必修2第1章功和功率典型例题

第1章功和功率典型例题
[例题1]用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升，如果前后两过程的时间相同，不计空气阻力，则[ ]
A．加速过程中拉力的功一定比匀速过程中拉力的功大
B．匀速过程中拉力的功比加速过程中拉力的功大
C．两过程中拉力的功一样大
D．上述三种情况都有可能
[思路点拨] 因重物在竖直方向上仅受两个力作用：重力mg、拉力F．这两个力的相互关系决定了物体在竖直方向上的运动状态．设匀加速提升重物时拉力为F1，重物加速度为a，由牛顿第二定律F1－mg=ma，
匀速提升重物时，设拉力为F2，由平衡条件有F2=mg，匀速直线运动的位移S2=v·t=at2．拉力F2所做的功W2=F2·S2=mgat2．
[解题过程] 比较上述两种情况下拉力F1、F2分别对物体做功的表达式，不难发现：一切取决于加速度a与重力加速度的关系．
因此选项A、B、C的结论均可能出现．故答案应选D．
[小结] 由恒力功的定义式W=F·S·cosα可知：恒力对物体做功的多少，只取决于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态(加速、匀速、减速)无关．在一定的条件下，物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力做的功．[例题2]质量为M、长为L的长木板，放置在光滑的水平面上，长木板最右端放置一质量为m的小物块，如图8－1所示．现在长木板右端加一水平恒力F，使长木板从小物块底下抽出，小物块与长木板摩擦因数为μ，求把长木板抽出来所做的功．
[思路点拨] 此题为相关联的两物体存在相对运动，进而求功的问题．小物块与长木板是靠一对滑动摩擦力联系在一起的．分别隔离选取研究对象，均选地面为参照系，应用牛顿第二定律及运动学知识，求出木板对地的位移，再根据恒力功的定义式求恒力F的功．
[解题过程] 由F=ma得m与M的各自对地的加速度分别为
设抽出木板所用的时间为t，则m与M在时间t内的位移分别为
所以把长木板从小物块底下抽出来所做的功为
[小结] 解决此类问题的关键在于深入分析的基础上，头脑中建立一幅清晰的动态的物理图景，为此要认真画好草图(如图8－2)．在木板与木块发生相对运动的过程中，作用于木块上的滑动摩擦力f为动力，作用于木板上的滑动摩擦力f′为阻力，由于相对运动造成木板的位移恰等于物块在木板左端离开木板时的位移Sm与木板长度L之和，而它们各自的匀加速运动均在相同时间t 内完成，再根据恒力功的定义式求出最后结果．
[例题3] 如图8－3所示，用恒力F通过光滑的定滑轮，将静止于水平面上的物体从位置A 拉到位置B，物体可视为质点，定滑轮距水平面高为h，物体在位置A、B时，细绳与水平面的夹角分别为α和β，求绳的拉力F对物体做的功．
[思路点拨] 从题设的条件看，作用于物体上的绳的拉力T，大小与外力F相等，但物体从A运动至B的过程中，拉力T的方向与水平面的夹角由α变为β，显然拉力T为变力．此时恒力功定义式W=F·S·cosα就不适用了．如何化求变力功转而求恒力功就成为解题的关键．由于绳拉物体的变力T对物体所做的功与恒力F拉绳做的功相等，根据力对空间积累效应的等效替代便可求出绳的拉力对物体做的功．
[解题过程] 设物体在位置A时，滑轮左侧绳长为l1，当物体被绳拉至位置B时，绳长变为l2，因此物体由A到B，绳长的变化量
又因T=F，则绳的拉力T对物体做的功
[例题4] 汽车发动机的功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02的长直公路上时，如图8－4，所受阻力为车重的0.1倍(g＝10 m/s2)，求：
(1)汽车所能达到的最大速度vm=？
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？
(3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少？
(4)在10 s末汽车的即时功率为多大？
[思路点拨] 由P=F·v可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比．当汽车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服下滑力)相等时，速度达最大．只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当F·v=P额时，匀加速运动即告结束，可由W=F·S求出这一阶段汽车做的功．当10 s 末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由Pt=F·vt求发动机的即时功率．
[解题过程] (1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即
f＝Kmg＋mgsinα=4000＋800=4800 N．
又因为F＝f时，P=f·vm，所以
(2)汽车从静止开始，以a=0.6 m/s2，匀加速行驶，由F＝ma，有F′－f－mgsinα＝ma．所以
F′＝ma＋Kmg＋mgsinα＝4×103×0.6＋4800＝7.2×103 N．
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度v′m，有
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移
(3)由W=F·S可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为
W＝F·S＝7.2×103×57.82=4.16×105J．
(4)当t＝10 s＜13.9 s，说明汽车在10 s末时仍做匀加速行驶，则汽车的即时功率
Pt＝F·vt＝F·a·t＝7.2×103×0.6×10＝43.2 kW．
【例题4】倾角为θ的斜面上只有AB 段粗糙，动摩擦因数为μ＝2tan θ，其余部分光滑．AB 段长为2L ，有N 个相同的小木块（单独考虑每个小木块时，视为质点）沿斜面靠在一起，但不粘接，总长为L ，每一个小木块的质量均为m ，将它们由静止释放，释放时下端距A 为2L ，B 到斜面底端足够长．求：
（1）从第1个木块到第N 个木块通过A 点的过程中，第几个木块通过A 点的速度
最大，最大速度为多少．
（2）木块在斜面上滑动的过程中，第k -1个木块和第k +1个木块对第k 个木块做的总功．
（3）第k 个木块通过B 点的速度．（题中
1<k <N ）
解析：木块过A 点的位移为x 时，摩擦力为
θμcos xmg L
N f =，故摩擦力正比于位移，可由平均力求摩擦力做功．
（1）令有n 个木块过A 点速度最大，设为v m ，则θθμsin cos Nmg nmg =
解得 n ＝N /2，即一半木块过A 点速度最大
可得：θsin 5.4Lg v m =
又 （2）设全部木块刚过A 点时
速度为v ，则 021cos 213sin 2-=∙-
∙Nmv L Nmg L Nmg θμθ 解得：θsin 4Lg v =
而木块在斜面上滑动时，只有在通过A 点的过程中才可能有相互作用力，设所求功为W ．对从开始到所有木块刚通过A 点的过程，对第k 个木块有
02
1)(cos sin 32-=+--∙mv W N L k N mg L mg θμθ 解得：θsin 2mgL N
k N W -= （3）从所有木块刚过A 点到第k 个木块刚到B 点，对第k 个木块有
代入 θsin 4Lg v =
可得：θsin )(2Lg N
k N v B -=。