Chapter5-间接平差
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附有条件的间接平差
V T PV
l T Pl
W
T x
K
s
W T xˆ
xˆT CT (Cxˆ)T
2021/3/11
8
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的开关按键来实现功能 的一种设计方式。
传统机械按键结构层图：
按键
PCBA
开关键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类型，尽量选择 平头类的按键，以防按键下陷。
BE 4 2
14 16
G
（1）选定参数。
1 17
A
n=18, t=8, u=10, s=u–t=2 方程总数：r+u=n+s=20 误差方程数：n=18 B 限制条件方程数：s=2 详见课本 P147
（2）计算近似坐标、计算近似边长和近似方位角。
（3）组成误差方程系数和常数项。 （4）列立条件方程。
2.开关按键和塑胶按键设计间隙建议 留0.05~0.1mm，以防按键死键。 3.要考虑成型工艺，合理计算累积公 差，以防按键手感不良。
二、精度评定
2. 协因数阵 基本思想是把其它变量表示为已知协因数阵的量的线性函数。
L L,
W BT Pl BT PL W 0 ,
Xˆ
X0
xˆ
X0
(
N 1 bb
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2
5.2 附有限制条件的间接平差
如图测角网，n=18 ,又高精度观测了 P1~P2的边长和P3~P4边的方位角，
P2 10 8
P1 75
t= 2×5-2=8 ,
P4 11
但在平差时，一般仍然选择各待定点的
13
坐标平差值为参数，即：
间接平差
x 2 ( X 1 x1 )
0 2
0
v4 ( X
0
x2) H
A
B
x 1 ( h1 X 1 H
)
0 2 0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) X1 )
B 0
0
x1 x 2 (h2 X
x 2 (h4 X
0
A 0
x 2 ( X 1 x1)
x2 H
C
v4 X 1 x1 H
0
B
B
x 1 ( h1 X 1 H
A
)
0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) ) )
0
x 2 ( h3 X
0 2 0
H
C
x1 (h4 X 1 H
B
v3 X
2
H
2
A
v4 X
H
B
v5 X 1 X
2
v6 X 1 X
2
v 1 v2 v3 v 4 v 5 v6
X 1 H
A
h1
B
X 1 H
h2
X
2
0
X 1 H
h1
B
140 x 1
X
2
X
0 2
x2
X 1 H
h2
间接平差
b1t xˆt d1 2 b2t xˆt d
2
L1 Vn bn1xˆ i bn2 xˆt bmt xˆt d n
（1）
6
§4-1 间接平差原理
L1
L
L2
Ln
V1
V
V2 Vn
Xˆ1
Xˆ
Xˆ
2
Xˆ
n
b11
B
b21
b12
b22
b1t b2t
bn1 bnt bnt
d1
d
d2
dn
（2）
2020/7/20
7
§4-1 间接平差原理
则平方值方程的矩阵形式为:
L V BXˆ d （3）
令 式中
Xˆ X 0 xˆ
l L BX 0 d （4）
n,1
为X参0 数的近似值，于是得误差方程为:
V Bxˆ l （5）
的，故平差值 不Lˆ因方L法不V 同而异。
单位权方差 的 02估值 ，计ˆ 02算式是
除以其自由度，即：
V T PV
ˆ
2 0
V T PV
r
V T PV
nt
2020/7/20
13
§4-1 间接平差原理
三、精度评定
1、单位权中误差的计算
中误差为 ˆ 0
V T PV nt
计算VTPV，可将误差方程代入后计算，即
2020/7/20
8
§4-1 间接平差原理
按最小二乘原理，上式的 必xˆ须满足 V T PV min
的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函
数自由极值的方法，得：
V T PV 2V T P V V T PB 0 （6）
第五章 附有限制条件的条件平差
1 ˆ V P 1 AT N aa (W Bx)
§5-2 精度评定
任何一种平差方法，其精度评定的内容都包括 以下三方面内容：单位权方差估值的计算、各向 量的协因数阵及向量间的互协因数阵的推导、平 差值函数协因数及其中误差的计算，本节也将对 这三方面内容作介绍。
一、单位权方差估值的计算公式
如果在u个参数中有s个是不独立的或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式则建立平差模型时应列出s个限制条件方程除此之外再列出crus个一般条件方程因此方程总数也可以认为是cs个形成如下的函数模型若为线性形式则为无论线性模型还是非线性模型按照第二章介绍的线性化方法和结论并考虑到则可写出其线性化后的函数模型为以上式作为函数模型而进行的平差称为附有限制条件的条件平差有的文献也称其为概括平差函数模型
CN C K s CN We W x 0
N cc CN bb1C T
1 bb
于是前式可写成
N cc K s CN W e W x 0 由此式可得
1 bb
K s N (Wx CN We )
1 cc
1 bb
（5-1-25）
将上式代入（5-1-24）式，整理可得
Qww AQll A N aa
T
（5-2-4）
We B T N aa1W
QW eW e B N N aa N B B N B N bb （5-2-5）
T T
Q XˆX ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) N bb ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) T ˆ
u 1
1 aa
1 aa
1 aa
( E N bb1C T N cc1C )( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 )
§5-2 精度评定
任何一种平差方法，其精度评定的内容都包括 以下三方面内容：单位权方差估值的计算、各向 量的协因数阵及向量间的互协因数阵的推导、平 差值函数协因数及其中误差的计算，本节也将对 这三方面内容作介绍。
一、单位权方差估值的计算公式
如果在u个参数中有s个是不独立的或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式则建立平差模型时应列出s个限制条件方程除此之外再列出crus个一般条件方程因此方程总数也可以认为是cs个形成如下的函数模型若为线性形式则为无论线性模型还是非线性模型按照第二章介绍的线性化方法和结论并考虑到则可写出其线性化后的函数模型为以上式作为函数模型而进行的平差称为附有限制条件的条件平差有的文献也称其为概括平差函数模型
CN C K s CN We W x 0
N cc CN bb1C T
1 bb
于是前式可写成
N cc K s CN W e W x 0 由此式可得
1 bb
K s N (Wx CN We )
1 cc
1 bb
（5-1-25）
将上式代入（5-1-24）式，整理可得
Qww AQll A N aa
T
（5-2-4）
We B T N aa1W
QW eW e B N N aa N B B N B N bb （5-2-5）
T T
Q XˆX ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) N bb ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 ) T ˆ
u 1
1 aa
1 aa
1 aa
( E N bb1C T N cc1C )( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 )
测量平差基础课件——间接平差原理
要求 V T PV min
值。
X1 X2
先看一个确定三角形形状的例子：
L1 v1 Xˆ 1 L2 v2 Xˆ 2
L3
v3
180
Xˆ 1
Xˆ
2
v1 Xˆ 1 L1 v2 Xˆ 2 L2
v3
180
Xˆ 1
Xˆ 2
L3
平差值方程 误差方程
令：Xˆ X 0 xˆ
vv (Xˆ1 L1)2 (Xˆ 2 L2 )2 (Xˆ1 Xˆ 2 180 L3 )2 min
2.7
0.3
1.0047 0.5037(m) 0.5003 0.5047
6.求平差值
参数平差值
Xˆ Xˆ
1 2
X X
0 1
0 2
xˆ1
xˆ2
1122..050131(m)
12.7.7(mm)
1122..05004873(m)
7
第二节 误差方程的列立
一、参数个数的确定
二、参数的选取
0 jk
(xˆk
xˆ j )
Y
0 jk
S
0 jk
( yˆk
yˆ j )
li
Li
S
0 jk
导线网是上述两种情况的 综合,此时要注意观测值
权的确定.
注意:四种特殊情况
vi
X
0 jk
S
0 jk
xˆ j
Y
0 jk
S
0 jk
yˆ j
X
0 jk
S
0 jk
xˆk
Y
0 jk
S
0 jk
yˆk li
提示:按J-K方向与按K-J方向列立的方
chapter05_地面三维激光雷达点云配准与多源信息融合
利用反射标志进行配准的意义在于提供精确的同名特征点， 以期得到较高的 配准精度。根据配准模型，至少设置 3 对同名反射标志，反射标志的空间位置关 系应避免共线， 同时也要考虑扫描测程和通视条件。扫描反射标志时通常采取高 密度重复扫描，再进行几何中心的拟合，这样得到了特征点点位精度相对要高。 配准时选择其中一测站为参考站。
图 5.6 Point to Plane 同名点搜索法
（3）Point to Projection 同名点搜索法 采用 Point toProjection 同名点搜索法的速度比较快。 如图 5.7 所示， 图中 Oq 是扫描目标曲面的透视点的位置。Point to Projection 搜索法是根据原曲面上的一 个点 P 和透视点 Oq ，在目标曲面上找出 q 点作为对应于 P 点的最近点，通过确 定 Oq 点向 p 点方向的投影线与目标曲面的交点 q，作为搜索的最近点。
4
1 n E ( R,= t) ∑ pi − ( Rqi + t )= min n i =1 ICP 的算法的步骤如下： 1）重心化； 2）对目标点云寻找 k 邻域，在参考点云上确定最近点对； 3）根据最近点对，计算旋转参数和平移参数；
2
(式 5-12)
4）根据旋转参数和平移参数，将目标点云转换到参考点云坐标系下； 5）若 E (R, t ) 达到最小，则结束；否则返回 2） 。 多数情况下先用第一种方法进行粗配准，以减少寻找最邻近点的复杂度，避 免陷入局部收敛。
５．１
点云配准
在地面三维激光雷达的数据采集过程中，可能存在前景遮挡后景的情况，还 可能要获取某对象的三维模型而进行环绕对象多站扫描， 获取其不同视角下的点 云数据。 地面激光雷达直接输出的数据信息是基于该摄站坐标体系的局部坐标数 据， 为获得研究对象的整体三维模型，不同视角获取的点云数据必须借助于重叠 信息融为一体， 即将不同摄站的点云数据归并到某一个摄站坐标系中去，这个过 程称为点云数据配准或点云拼接， 即是将两个或两个以上坐标系中的三维点云数 据转换到统一坐标系统中的数学计算过程。 点云配准的实质就是空间坐标变换。空间坐标变换可以由三类参数唯一确 定：尺度、旋转和平移。点云配准前后相对大小没有发生改变，即不发生尺度变 化，因此只需要解求三个旋转参数和三个平移参数，称为六参数配准模型。 配准包括两个步骤：①根据已知控制点解算不同空间坐标系间的转换关系； ②根据坐标系间的转换关系， 以其中一个坐标系作为参考，将其他坐标系下的点 云转换到该坐标系中。
图 5.6 Point to Plane 同名点搜索法
（3）Point to Projection 同名点搜索法 采用 Point toProjection 同名点搜索法的速度比较快。 如图 5.7 所示， 图中 Oq 是扫描目标曲面的透视点的位置。Point to Projection 搜索法是根据原曲面上的一 个点 P 和透视点 Oq ，在目标曲面上找出 q 点作为对应于 P 点的最近点，通过确 定 Oq 点向 p 点方向的投影线与目标曲面的交点 q，作为搜索的最近点。
4
1 n E ( R,= t) ∑ pi − ( Rqi + t )= min n i =1 ICP 的算法的步骤如下： 1）重心化； 2）对目标点云寻找 k 邻域，在参考点云上确定最近点对； 3）根据最近点对，计算旋转参数和平移参数；
2
(式 5-12)
4）根据旋转参数和平移参数，将目标点云转换到参考点云坐标系下； 5）若 E (R, t ) 达到最小，则结束；否则返回 2） 。 多数情况下先用第一种方法进行粗配准，以减少寻找最邻近点的复杂度，避 免陷入局部收敛。
５．１
点云配准
在地面三维激光雷达的数据采集过程中，可能存在前景遮挡后景的情况，还 可能要获取某对象的三维模型而进行环绕对象多站扫描， 获取其不同视角下的点 云数据。 地面激光雷达直接输出的数据信息是基于该摄站坐标体系的局部坐标数 据， 为获得研究对象的整体三维模型，不同视角获取的点云数据必须借助于重叠 信息融为一体， 即将不同摄站的点云数据归并到某一个摄站坐标系中去，这个过 程称为点云数据配准或点云拼接， 即是将两个或两个以上坐标系中的三维点云数 据转换到统一坐标系统中的数学计算过程。 点云配准的实质就是空间坐标变换。空间坐标变换可以由三类参数唯一确 定：尺度、旋转和平移。点云配准前后相对大小没有发生改变，即不发生尺度变 化，因此只需要解求三个旋转参数和三个平移参数，称为六参数配准模型。 配准包括两个步骤：①根据已知控制点解算不同空间坐标系间的转换关系； ②根据坐标系间的转换关系， 以其中一个坐标系作为参考，将其他坐标系下的点 云转换到该坐标系中。
第五章 间接平差
v1 x1 ( L1 X 10 ) 0 v2 x2 ( L2 X 2 ) 0 0 v3 x1 x2 ( L3 X 1 X 2 180)
绵阳师范学院
间接平差原理
根据最小二乘准则，要求：
V T PV min
Y jk sin jk 2 S jk S jk
绵阳师范学院
误差方程
1 (Xk X j ) 1 ( Yk Y j Xk X j )
2
f Y j
(Xk X j ) ( X k X j ) (Yk Y j )
2 2
X jk S
2 jk
绵阳师范学院
间接平差原理 4.解算法方程，求出参数的改正数，并 计算参数的平差值；
1 解法方程： x1 5 3 0.78 1 0.89 5 x2
求改正数：
0.78 0.89 V B x l 0.89 1.22
值及改正数的形式代入，得观测值方程：
h1 v1 X 1 H A h2 v2 X 1 X 2 h3 v3 X 2 H C h4 v4 X 1 H B
X 10 H A h1 2.003m
0 X 2 H C h3 2.503m
用近似值带入后，得误差方程为：
v1 x1 0 v2 x1 x2 1 v3 x2 0 v4 x1
2、方向的误差方程 设j、k的坐标为未知参数： ( X j , Y j )， k , Yk ) (X
Z j ——零方向的方位角
j N
Zj
零方
向
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间接平差原理
根据最小二乘准则，要求：
V T PV min
Y jk sin jk 2 S jk S jk
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误差方程
1 (Xk X j ) 1 ( Yk Y j Xk X j )
2
f Y j
(Xk X j ) ( X k X j ) (Yk Y j )
2 2
X jk S
2 jk
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间接平差原理 4.解算法方程，求出参数的改正数，并 计算参数的平差值；
1 解法方程： x1 5 3 0.78 1 0.89 5 x2
求改正数：
0.78 0.89 V B x l 0.89 1.22
值及改正数的形式代入，得观测值方程：
h1 v1 X 1 H A h2 v2 X 1 X 2 h3 v3 X 2 H C h4 v4 X 1 H B
X 10 H A h1 2.003m
0 X 2 H C h3 2.503m
用近似值带入后，得误差方程为：
v1 x1 0 v2 x1 x2 1 v3 x2 0 v4 x1
2、方向的误差方程 设j、k的坐标为未知参数： ( X j , Y j )， k , Yk ) (X
Z j ——零方向的方位角
j N
Zj
零方
向
c+间接平差法
间接平差法是一种测量平差方法，通常用于解决线性系统中的超定方程问题，即有多余观测的情况。
这种方法通过解最小二乘问题来找到最佳的参数估计值。
在间接平差法中，待估参数和已知参数是通过最小二乘目标函数（通常是误差项的平方和）进行连接的。
具体步骤如下：
1. 列出误差方程：误差方程是观测值与计算出的观测值初值之间的差值。
2. 计算出V后与观测值求和，得到最终的平差值。
此外，间接平差法还可以用于解决GNSS SPP、摄影测量解算、光束法平差、控制网平差等测绘问题。
在解决这些问题时，通常会使用非线性最小二乘解法中的其他方法，如梯度下降法（最速下降法）来获得最佳的参数估计值。
总之，间接平差法是一种广泛应用的测量平差方法，通过最小化目标函数来求解线性系统中的超定方程问题。
它被广泛应用于各种测绘解算问题，为参数估计提供了有效的解决方案。
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ˆ X0 x ˆ2 X 2 2
V1 1 V2 1 V 0 3 V4 0 V 5 0
0 1 1 1 0
0 0 ˆ1 23 0 x ˆ2 0 (m m) 0 x ˆ3 14 1 x 误差方程： V B x l 1 0 B和l分别是？？？
vi 1 l1 v 1 l 2 x ˆ 2 v 1 n ln 设Li的权为Pi , 权阵P为 : P 1 P P2 Pn
X 2 X n] d2 dn ] b1 t1 b2 t 2 bn t n
T
T
令X X x
0
V B( X x ) d L
0
B x ( L BX 0 d )
令l L ( BX 0 d )
x ( B PB) B Pl
T T
1
ˆ L V ˆ l ，求观测值的平差值 L V Bx
5.1 间接平差原理
例题：如图所示的水准网中，已知水准点A的高程是HA=237.483m，为求B、 C、D三点高程，进行了水准测量，测得高差和水准路线长度见下表。试按 照间接平差方法求B、C和D的高程平差值 。 水准 路线
观测高差
路线长度
1
3 A
B 2 C 4 D
(m)
1 2 3 4 5 5.835 3.782 9.640 7.384 2.270
(km)
3.5 2.7 4.0 3.0 2.5
5
5.1 间接平差原理
解：
1、选择参数：
n=5，t=3，r=2，选取B、C、D三点的高程为参数
X 1 HB
X 2 HC
4、 解法方程：
ˆ1 x 11.75m m 1 T 1 ˆ x ˆ 2 N bb W ( B PB) W 2.04m m x x 7.25m m ˆ 3
5、
计算改正数：
12 9 ˆ l 2 m m V Bx 9 7
min
2 X 1 X 2 L1 L3 180 0
求参数 X 、 1 X2
X 1 2 X 2 L2 L3 180 0
间接平差 法方程
求观测值改正数……………………
5.1 间接平差原理
间接平差原理
间接平差法：在平差计算中，通过选定t个独立未 知量作为参数，将每个观测值的平差值都分别表达 成这t个参数的函数，建立函数模型，并按最小二乘 原理来求解未知数的最或然值，从而求得各观测值 的平差值。 ，Ln ，其多余观测数为r, 设有n个观测值 L1，L2， 选定t个独立参数 X ，则第i个观测值的平差值可表 示为：
1 3 A 4 D B
2
C
5
5.1 间接平差原理
参数的近似值选为
X H A L1
0 1
0 X2 H A L3
0 X3 H A L5
ˆ1 x 设未知参数近似值的改正数为：
ˆ2 x
ˆ3 x
ˆ X0 x ˆ3 X 3 3
ˆ X0 x ˆ1 X 1 1
将上式代入到误差方程
X 3 HC
2、根据所示水准路线列出误差方程，即
ˆ H L1 v1 X 1 A 、 ˆ X ˆ L v X 1 2 2 2 ˆ H L3 v3 X 2 A L v X ˆ X ˆ 4 4 2 3 ˆ L5 v5 X 3 H A
分别表示 1 、 2 、 4 、 6 水准路线 的高差平差值
所有观测值的平差值能否表达
为这4个参数的函数？？？
5.1 间接平差原理
问题引入——例子2
等精度独立观测 L1、L2、L3 取两个内角的最或是值作为参数 X 1 、 X2 可建立参数与观测值之间的函数关系式
解方程：
x ( B PB) B Pl
T T
1
5.1 间接平差原理
间接平差的计算步骤
选择t个独立的未知参数 将 每 个 观 测 值 表 示 成 未 知 参 数 的 函 数 ， 形 成
ˆ l 误差方程 V Bx
形成法方程 求解法方程 计算改正数
ˆ BT Pl 0 ( BT PB) x
组成法方程, 并解算 : Nbb BT PB Pi
i 1 n n
BT Pl Pili
i 1
n
ˆ BT PB B Pl in1 x
1 T
Pl P
i 1 i
ii
ˆ X0 x ˆ X
6、 检核
A
5
B 2
3
4
C
5.1 间接平差原理
习题： A、B、C三点在同一直线上，测出了AB、BC、AC的 长分别为l1=200.010m, l2=300.010m, l3=300.070m, l4=500.090m。 令100m量距权为单位权，试按间接平差法求各段的平差值。
5.6 直接平差
相关概念
Li vi ai X 1 bi X 2 ti X n di
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.1 间接平差原理
间接平差原理
Li vi ai X 1 bi X 2 ti X n di 令 T L [ L1 L2 Ln ] L V B X d
V [V1 V2 Vn ]T X [X 1 d [ d1 a1 a B 2 an
定义：对同一未知量 X 进行多次观测 L1 、 L2 、 … 、
Ln，求该量的平差值并评定精度
特点：必要观测数=1
即：直接平差是间接平差只有一个参数的特殊情
况
5.6 直接平差
计算：对同一未知量 X 进行多次观测 L1 、 L2 、 … 、
Ln，相应的权分别为P1、P2、…、Pn
0 ˆ X ˆ L v X0 x ˆ ˆ ˆ li L v x ( L X )x i i i i i
5.1 间接平差原理
问题引入
引入最小二乘原则，即
[ pvv] min
由于观测值为等精度观测，所以
2 2
[vv] min
展开： [vv] ( X 1 L1 ) ( X 2 L2 ) ( X 1 X 2 180 L3 ) 2
求偏导数，得到
第5章 间接平差
曹君
5.1 间接平差原理
问题引入——例子1
测定水准路线1、2、3、4、5、
6、7
假设4个未知参数 X 、 X4、 X6 1 X2、
h1 X 1 h2 X 2 h3 ( X 1 X 2 ) h4 X 4 h5 X 4 X 1 X 2 h6 X 6 h7 X 4 X 1 X 2 X 6
误差方程： V B x l
5.1 间接平差原理
间接平差原理
引入最小二乘原理 求偏导
V T PV x
V T PV min
V x
2V T P
2V T PB 0
BT PV 0
将误差方程 V B x l ，代入上式，得到法方程
ˆ BT Pl 0 ( BT PB) x
3.7 2.5 3.3
6.6 N bb BT PB 3.7 0
3.7
0 9.5 3.3 3.3 7.3
5.1 间接平差原理
ˆ1 85.1 0 x 6.6 3.7 3.7 9.5 3.3 x ˆ2 38.9 0 ˆ3 3. 3 7. 3 0 x 46.2
5.1 间接平差原理
3、组成法方程：
取10km观测高差为单位权观测，则：
pi 10 S i
p1 2.9, p2 3.7, p3 2.5, p4 3.3, p5 4.0
2.9 p 4.0
85.1 W B T Pl 38 . 9 46.2
5.1 间接平差原理
5、 计算平差值：
ˆ X0 x ˆ1 243.330m X 1 1
ˆ X0 x ˆ3 239.746m X 3 3
ˆ L V L
ˆ X0 x ˆ 2 247.121 X m 2 2
ˆ 5.847m , L ˆ 3.719m , L ˆ 9.638m , L 1 2 3 ˆ 7.375m , L ˆ 2.263m L 4 5 1
L1 v1 X 1 L2 v2 X 2 L3 v3 X 1 X 1 180
A
B
C
v1 X 1 L1 v2 X 2 L2
v3 X 1 X 2 180 L3
即：参数 X 1 、 X 2 的数值一经确定，就可确定相应的改正数的值