线性变换的运算

§7.2 线性变换的运算
2、基本性质 （1）满足结合律：( A B ）满足结合律：
)
C= A ( B C
)
（2） E A = A E = A，E为单位变换 ） 为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地， ）交换律一般不成立，即一般地，
A B
≠
BA
（4）乘法对加法满足左、右分配律： ）乘法对加法满足左、右分配律：
)
0 为零变换. （iii） + A = A + 0 = A , 0为零变换 ） 为零变换
§7.2 线性变换的运算
（3）负变换 为线性空间V的线性变换 的线性变换， 设 A为线性空间 的线性变换，定义变换 − A 为：
( − A ) (α ) = − A (α ) ,
注：① ( − A ) + A = 0 ② 减法
f ( x ) = am x m + L + a1 x + a0 ∈ P[ x ], 设
A 为V的一个线性变换，则 的一个线性变换， 的一个线性变换
f ( A ) = am A m + L + a1 A + a0 E
也是V的一个线性变换， 也是 的一个线性变换，称 f ( A )为线性变换 A 的 的一个线性变换 多项式. 多项式
A −1也是 的线性变换 (1) 可逆变换 A的逆变换 也是V的线性变换 的线性变换.
(2) 线性变换 A可逆 ⇔ 线性变换 A是一一对应 是一一对应. (3) 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基， A 为V的 是线性空间V的一组基 的一组基， 的 线性变换， 线性变换，则 A可逆当且仅当 线性无关. 线性无关 (4) 可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关 的向量组. 的向量组
§7.2 线性变换的运算
A (ε 1 ),L , A (ε n )
3．线性变换的幂
为线性空间V的线性变换 的线性变换， 为自然数 为自然数， 设 A 为线性空间 的线性变换，n为自然数，定义
A = 123 , ALA
n n
称之为 A 的n次幂 次幂. 次幂 当 n = 0 时，规定 A = E 单位变换）. （单位变换）
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的线性运算 二、线性变换的乘积 三、线性变换的逆 四、线性变换的多项式
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§7.2 线性变换的运算
一、 线性变换的线性运算
1．加法 （1）定义 为线性空间V的两个线性变换 的两个线性变换， 设 A , B为线性空间 的两个线性变换，定义它们 的和 A + B 为：
2
σ 2τ − τσ 2 = 2σ = 2σ 2−1 .
§7.2 线性变换的运算
时成立， 假设命题对 k − 1 时成立，即
σ k −1τ − τσ k −1 = ( k − 1)σ k − 2 .
对②两端左乘 σ ，得
②
σ kτ − στσ k −1 = ( k − 1)σ k −1 ,
对①两端右乘 σ k −1 , 得
x
(
0
) = f ( x),
x
即 DJ = E .
而，
( JD ) ( f ( x ) ) = J ( f ′ ( x ) ) = ∫0
∴ DJ ≠ JD.
§7.2 线性变换的运算
f ′ ( t ) dt = f ( x ) − f ( 0 )
∈ P n×n 为两个取定的矩阵，定义变换 、 为两个取定的矩阵， 例2. 设A、B
0
§7.2 线性变换的运算
注：
① 易证 A
m+n
=A A ,
m mn,
m, n ≥ 0
为可逆变换时， 负整数幂为 ② 当 A为可逆变换时，定义 A 的负整数幂为
A
−n
=
(
A
−1
)
n
③一般地， A B) ≠ A n B n. 一般地， (
n
§7.2 线性变换的运算
四、 线性变换的多项式
(k
A ) (α ) = k A (α ) ,
∀α ∈ V
也是V的线性变换 的线性变换. 则 k A 也是 的线性变换
§7.2 线性变换的运算
（2）基本性质 ）
(1) ( kl ) A = k ( l A) (2) ( k + l ) A = k A + l A (3) k ( A + B) = k A + k B (4) 1 A = A
③
στσ
k −1
− τσ = σ
k
k −1
,
④
③＋④，得 σ kτ − τσ k = kσ k −1 . 由归纳原理，命题成立.. 由归纳原理，命题成立..
§7.2 线性变换的运算
作业
P321
3.
§7.2 线性变换的运算
A ( X ) = AX , B ( X ) = XB ,
∀X ∈ P n×n
的线性变换， 则 A ， B 皆为 P n×n的线性变换，且对 ∀X ∈ P n×n , 有
( A B)( X ) = A( B ( X )) = A( XB ) = A( XB ) = AXB ,
( B A)( X ) = B( A ( X )) = B( AX ) = ( AX ) B = AXB .
∀α ∈ V
也为V的线性变换 的线性变换， 负变换. 则 − A也为 的线性变换，称之为 A的负变换
( A − B ) (α ) = A(α ) − B(α ) ,
§7.2 线性变换的运算
∀α ∈ V
2．数量乘法
（1）定义 为线性空间V的线性变换 的线性变换， 设 A 为线性空间 的线性变换，k ∈ P , 定义 k与 A 与 的数量乘积 k A为：
§7.2 线性变换的运算
注： ① 在 P [ x ] 中，若
h( x ) = f ( x ) + g ( x ) , p( x) = f ( x) g ( x)
h 则有， 则有， ( A ) = f ( A ) + g ( A ) , p( A ) = f ( A ) g ( A )
② 对 ∀f ( x ), g ( x ) ∈ P[ x ], 有
∴ A B
=
BA
§7.2 线性变换的运算
三、 线性变换的逆
1．定义 为线性空间V的线性变换 若有V的变换 的线性变换， 设 A 为线性空间 的线性变换，若有 的变换 B使
A B
=
BA
=E
为可逆变换， 的逆变换， 则称 A为可逆变换，称 B为 A的逆变换，记作 A −1.
§7.2 线性变换的运算
2．基本性质
注： 线性空间 上的全体线性变换所成集合对于 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 线性变换的加法与数量乘法构成数域 上的一个线性 空间， 空间，记作 L(V ).
§7.2 线性变换的运算
二、 线性变换的乘法
1．定义 为线性空间V的两个线性变换 的两个线性变换， 设 A , B为线性空间 的两个线性变换，定义它们 的乘积 A B 为：( A B ) (α ) = A ( B( α ) ) , ∀α ∈ V 也是V的线性变换 的线性变换. 则 A B也是 的线性变换
( A + B ) (α ) = A(α ) + B(α ) ,
也是V的线性变换 的线性变换. 则 A + B 也是 的线性变换
∀α ∈ V
§7.2 线性变换的运算
（2）基本性质 （i）满足交换律： A + B = B + A ）满足交换律： （ii）满足结合律： ( A + B) + C = A + ( B + C ）满足结合律：
证明： 证明： σ kτ − τσ k = kσ k −1 , 作数学归纳法. 证：对k作数学归纳法 作数学归纳法 当k=2时，若 στ − τσ = E , 时 对①两端左乘 σ ，得 对①两端右乘 σ ，得 上两式相加， 上两式相加，即得
2
k > 1.
①
σ τ − στσ = σ ,
στσ − τσ = σ ,
f ( A) + g( A ) = g( A ) + f ( A ) f ( A) g( A ) = g( A
) f ( A)
即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律. 即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律
§7.2 线性变换的运算
练习：设 σ ,τ 为线性变换，若 στ − τσ = E , 为线性变换， 练习：
( A + B ) C= A C+ B C C (A + B )= CA + C B
§7.2 线性变换的运算
例1. 线性空间 R[ x ]中，线性变换
D( f ( x)) = f ′( x)
J ( f ( x ) ) = ∫ f ( t )dt
x
( DJ ) ( f ( x ) ) = D ∫0 f ( t ) dt