高三 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
高考数学一轮复习圆锥曲线中的最值(范围)问题
9 + 2 +6
12
＝4.
2×3+6
≤3＋
1
3
3
当且仅当9k2＝ 2，即k＝± 时等号成立.
当k＝0时，｜AB｜＝ 3，综上所述｜AB｜max＝2.
1
3
3
∴当｜AB｜最大时，△AOB的面积取得最大值Smax＝ ×｜AB｜max× ＝ .
2
2
2
利用函数性质求最值（范围）
【例3】 已知点A1（－ 6，0），A2（ 6，0），直线PA1，PA2的斜率之积为－
同理可得y4＝－ ，
3 −4
4
−1 2
则kAB＝2 2 ＝
＝
＝ .
+
2
(
+
)
2
3
4
3
4
1
2
4
−4
因为tan α＝kMN＝k，tan
β＝kAB＝ ，
2
tan−tan
所以tan（α－β）＝
＝
1+tantan
2
1+
2
−
·
1
1
2
＝ 2＝2 ≤ ，当且仅当 ＝k，即k＝
1.斜率为－1的直线过抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A，
B，M为抛物线上曲线段AB上的动点，若｜AB｜＝12.
（1）求抛物线的方程；
解：（1）抛物线y2＝－2px（p＞0）的焦点为
− ,0
2
，
则直线AB的方程为y＝－x－ ，
2
2
高考数学专题复习圆锥曲线定点定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值问题1、已知平面内的动点P 到定直线l ：22x =的距离与点P 到定点()2,0F 之比为2．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若点N 为轨迹C 上任意一点（不在x 轴上），过原点O 作直线AB 交（1）中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为1k 、2k ，问21k k •是否为定值？（3）若点M 为圆O ：422=+y x 上任意一点（不在x 轴上），过M 作圆O 的切线，交直线l 于点Q ，问MF 与OQ 是否始终保持垂直关系？2、已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，一条准线为:4l x =，若椭圆C 与x 轴交于,A B 两点，P 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线PA 交直线l 于点M ，直线PB 交直线l 于点N ，记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k .（1）求椭圆C 的方程；（2）求12,k k 的值；（3）求证：以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点的坐标.3、已知圆22:9C x y +=，点(5,0)A -，直线:20l x y -=.⑴求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；⑵在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PAPB为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标.4、已知椭圆E ：22184x y +=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C 恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点. （1）求圆C 的方程；（2）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长； （3）在平面上是否存在定点P ，使得12GF GP =？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.5、已知221(5)5(13)C x y A ++=-e :，点，． （Ⅰ）求过点A 与1C e 相切的直线l 的方程；（Ⅱ）设21C C e e 为关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．6、已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，其半焦距为c ，圆M 的方程为.916)35(222c y c x =+-（Ⅰ）若P 是圆M 上的任意一点，求证：21PF PF 为定值；（Ⅱ）若椭圆经过圆上一点Q ，且1611cos 21=∠QF F ，求椭圆的离心率；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若O OQ (331=为坐标原点），求圆M 的方程。
专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点和定值问题(二合一版)
专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：（1）2214x y +=；（2）0k <<或0k <<（3）(1,0)例2、在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． （1）求轨迹C 的方程；（2）当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解析：（1）2214x y +=；（2）k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解析: （1）22143x y +=（2）直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7题型二：定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解析：（1）36=e （2）122=+μλ例2、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.解析：（1）22143x y += （2）12例3、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1）求椭圆的标准方程和离心率e ；（2）若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：（1）椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==（2）存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3题型三：最值、范围问题例1、设椭圆E ：x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点M ，使∠=︒F PF 1290（1）求离心率e 的取值范围;（2）当离心率取最小值是，点N （0,3）到椭圆上的点的最远距离为 ①求椭圆E 的方程;②设斜率为(0)k k ≠的直线与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点(0,3P -、Q 的直线对称. 解析：（1）1e ∈） 解法1：利用椭圆自身的范围求解 解法2：利用根的判别式求解 解法3：利用三角函数有界性求解 解法4：利用焦半径公式求解 解法5：利用基本不等式求解 解法6：利用平面几何知识求解解法7：利用椭圆中的焦点三角形求解 解法8：利用椭圆中的焦点三角形面积公式（2）①2213216x y +=②((0,22-⋃例2、设椭圆：x a y ba b 222210+=>>（）的左顶点为A 、上顶点为D ，点P 是线段AD 上任一点，左、右焦点分别为F F 12、，且12PF PF 的最大值为1，最小值为115- （1）求椭圆方程;（2）设椭圆右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的一点，直线AS 、BS 与直线34:15l x =分别交于M 、N 两点，求|MN|的最小值.解析：（1）2214x y +=（2）1615例3、已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.专题：椭圆中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
高考数学(文)二轮复习：专题五 第3讲 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
则Δx1＝＋6x42＝m2－k2－3＋81m64k（k2，3＋4k2）（m2－3）＞0，① x1·x2＝4（3m＋24－k23.）
又 y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝3（m3＋2－4k42k2）. ∵椭圆的右顶点为 A2(2，0)，AA2⊥BA2， ∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0， ∴3（m3＋2－4k42k2）＋4（3m＋2－4k32 ）＋31＋6m4kk2＋4＝0，
解得
x＝1，y＝± 36.设
A1，
36，B1，－
36，
则
2－ k1＋k2＝ 2
36＋2＋2
6 3 ＝2
为定值.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1). 将 y＝k(x－1)代入x32＋y2＝1 化简整理，得(3k2＋1)x2－6k2x ＋3k2－3＝0， 依题意，直线 l 与椭圆 C 必相交于两点， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝3k62k＋2 1，x1x2＝33kk22－＋31. 又 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
真题感悟 (2016·全国Ⅱ卷)已知 A 是椭圆 E：x42＋y32＝1 的左顶点，斜 率为 k(k>0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积. (2)当 2|AM|＝|AN|时，证明： 3<k<2.
圆锥曲线有关的定点定值、最值范围问题PPT课件
必 备 知 识方 法
上页 下页 返回
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，“设而不 求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简 化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝ 1＋k12|y2－y1|，其 中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用韦达定理，即作如下变形： |x2－x1|＝ x1＋x22－4x1x2； |y2－y1|＝ y1＋y22－4y1y2. (2)弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法” 来简化运算．
上页 下页 返回
2．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标 函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、 范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和 不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个 合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题， 这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标 等，要根据问题的实际情况灵活处理．
∞)．]
上页 下页 返回
4．(2012·浙江)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为 曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x 的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则 实数a＝________.
上页 下页 返回
解析
因曲线
C2：x2＋(y＋4)2＝2
2
42
2，所以 a＝94.
答案
9 4
上页 下页 返回
本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题 之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查定点、定值、最 值、范围问题或探索性问题，试题难度较大．
圆锥曲线中的最值、定值和范围问题
圆锥曲线中的最值、定值和范围问题与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
下面我们探讨与圆锥曲线有关的最值、定值和范围问题的常用方法。
一. 最值问题求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。
例1：如图所示，设点1F ，2F 是22132xy+=的两个焦点，过2F 的直线与椭圆相交于A 、B两点，求△1F AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。
分析：12112F F B F AB F FAS S S =+ ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11212121||||||(1)2F AB F F y y y y c S =⋅-=- =设直线A B 的方程为1x ky =+代入椭圆方程得22(23)440k y ky ++-=12122244,2323k y y y y k k --⇒+==++即122||123y y k - ==+令1t =≥，∴12FA Bt tS +=12t t+（1t ≥）利用均值不等式不能区取“＝”∴利用1()2f t t t=+（1t ≥）的单调性易得在1t =时取最小值1F AB S 在1t =即0k =时取最大值为3，此时直线A B 的方程为1x =例2．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA + )O B ，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||N P的最小值与最大值.解（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y k k x x于是).44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为(x,y ), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得4x 2+y 2-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2-y =0解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x ，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x 当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为 （0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x（2）由点P 的轨迹方程知.4141,1612≤≤-≤x x 即所以 127)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x xx y x NP故当41=x ，||NP 取得最小值，最小值为1;4① ②当16x =-时，||NP 取得最大值，最大值为.621对于()*，有∆=m 2+4b =10-m 2>0，所以m <<。
与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
常考问题15与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题03 - 专题提升训练提升解题技能对接蒿老（建议用时：50分钟）2 21. （2013济南模拟）若双曲线拿—器=1（a>0, b>0）与直线尸3x无交点，则离心率e的取值范围是（）.A. （1, 2）B. （1, 2]C. （1, 5）D. （1, .5]解析因为双曲线的渐近线为y=£x，要使直线y= .3x与双曲线无交点，贝U直线y= 3x应在两渐近线之间，所以有b< ,3,即b< 3a,所以b2< 3a2, ac2—a2< 3a2,即卩c2< 4a2, e2<4,所以1<e<2.答案 B2•直线4kx—4y—k= 0与抛物线y2= x交于A, B两点，若|AB|= 4,则弦AB的1中点到直线x+勺=o的距离等于（）.7 9A. B. 2 C. D. 44 4解析直线4kx—4y—k= 0,即y= k x—4，即直线4kx —4y—k= 0过抛物线A ） 1y2=x 的焦点^4，0 .设A（X1, y1）, B（X2, y2）,则|AB|=X1+ x2 + ?= 4, 故X1 + x27 7 1 7 1=7，则弦AB的中点横坐标是”，弦AB的中点到直线x + 0的距离是94.答案C3•已知抛物线卜4x,圆F: （x—1）2 + — 1,过点F 作直线I,自上而下顺次与上述两曲线交于点A, B,C,D（如图所示），则AB| |CD|的值正确的是（）.A •等于1B •最小值是1C •等于4D •最大值是4解析设直线I: x= ty+ 1,代入抛物线方程，得y 一4ty一 4 = 0.设A(x1, y1), D(x2, y2),根据抛物线定义|AF|= X1 + 1, |DF|= X2 + 1,故|AB|= X1, |CD|= x2,2所以|AB||CD匸沁二(yy° ,而y1y2= —4,代入上式，得|AB| |CD|= 1.故选 A.答案 A2 24.已知椭圆：+治=1（0<b<2）与y轴交于A, B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则厶ABF面积的最大值为（）.A . 1B . 2 C. 4 D . 8解析不妨设点F的坐标为f '4 —b2,0）,而|AB匸2b「S^BF=gx 2b* ■'4—b2取等号），故MBF面积的最大值为2. 答案B =2(当且仅当b2= 4—b2,即b2=2 (4— b ) <5•过抛物线y 2二2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线I 与抛物线分别交于A , B 两点，则BF|的值等于C . 3解析 设 A(x i , y i ), B(X 2, y 2),且 x i >X 2,~23p ,代入抛物线方程y 2= 2px ,可得x i + X 2 p 3p p x i +2 y +2= =3. p+p6 +2答案 C2 26.抛物线x 2= 2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线号一卷=1相交于A , B 两点, 若厶ABF 为等边三角形，则p = ________________ .解析由题意知B L 3,—2，代入方程§ — y3=1得P =6. 答案 62 27. (2013镇江模拟)已知点F 是双曲线字一器=1(a>0, b>0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点，若 △ ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 _________ .解析 由题意知，AABE 为等腰三角形.若△ ABE 是锐角三角形，则只需要n/ AEB 为锐角.根据对称性，只要/ AEF<4即可.直线AB 的方程为x = — c , 代入双曲线方程得y 2=字，取点A — c ,牛，则AF|= ba , |EF|= a + c ,只要|AF|v|EF|就能使/ AEF<n,即-<a + c ,即 b 2<a 2+ ac ,即卩 c 2— ac — 2a 2<0,即 4 a e 2— e — 2<0，即—1<e<2.又 e>1,故 1<e<2.答案(1, 2)28•设F i 是椭圆X4 + 1的左焦点，0为坐标原点，点P 在椭圆上，则P P i • P O的最大值为 _________ .易知直线AB 的方程为y = . 3x — =|p , X i x 2=牛，可得 x i ^P ,x2二 6,可得 |BF|= pX 2+ 2解析设P(x o, y o),依题意可得F i( —3, 0),则PF i PO= x o + y o^. 3x o= X0+,x2门3x0 门，3 2 3 21 —~4 + 怒=壬 + 3x o + 1= 4x0+-^ .又一2<x o< 2,所以当x o = 2时，PF i PO取得最大值4+ 2 3.答案4+ 2 3.x 229.(20i3北京卷)已知A, B, C是椭圆W: 4 + y = i上的三个点，O是坐标原占八、、・(i)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；⑵当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.2x解⑴由椭圆W: - + y2= i,知B(2, 0).因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分，所以可设A(i, t), 代入^4+y2= i,得t= ±2^.•••|A牛2|t|= .3.i i因此菱形的面积S= 2OB| • AC|=2X2x 3= 3.⑵假设四边形OABC为菱形.因点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y= kx+ m(kM 0, mM0).< 2 2x + 4y = 4,由y= kx+ m消y 并整理得(1+ 4k2)x2+ 8kmx+ 4m2— 4 = 0.设A(x i, y i), C(x2, y2),则x i + X2 4km y i + y2 , x i + X2 m=—2, = k •+ m= 2,2 1 + 4k' 2 2 1 + 4k', ( 4km m '•••线段AC中点M —i+k2, 1+靠.1因为M为AC和OB的交点，二k°B= —4^.又k • —4k = —4工—1，・' AC与OB不垂直.故四边形OABC不是菱形，这与假设矛盾.所以，当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形.10.(2013浙江卷)已知抛物线C的顶点为0(0, 0),焦点为F(0, 1).(1)求抛物线C的方程；直线AO，BO分别交直线I : y= x —2于M， N 两点，求|MN|的最小值.解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0)，则2= 1,所以抛物线C的方程为x2=4y.⑵设A(x1, y1)，B(x，y2)，直线AB 的方程为y= kx+ 1. kx+ 1, 2由彳2 消去y,整理得x2—4kx—4 = 0,x = 4y所以X1 + X2= 4k, X1X2= — 4. 从而凶—X2= 4 k2+ 1. 又y=知，且y=x—2, 解得点M的横坐标X M = 2X1= 2X1 2= —.X1 —y1 X1 4 —X1(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若X1 — 4所以|MN|= .2|X M—X N|同理点N的横坐标X N=令 4k — 3 = t , 0,贝U k =字.当 t>0 时,|MN|= 2 2 . '25+ 6 + 1>2 ,2.综上所述，当t =—彳，即k = — 4时,8|MN 取到最小值52.11. (2013郑州模拟)已知椭圆的焦点坐标为F i (—1, 0), F 2(1, 0),过F 2垂直于 长轴的直线交椭圆于P , Q 两点，且|PQ 匸3.(1) 求椭圆的方程；(2) 过F 2的直线I 与椭圆交于不同的两点 M , N,则厶F 1MN 的内切圆的面积是 否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请 说明理由.2 2解(1)设椭圆方程为拿+ ^2= 1(a>b>0), 2b2c = 1.由 |PQ|= 3,可得一= a又 a 2 — b 2= 1,得 a = 2, b = -j 3.2 2故椭圆方程为+ £ = 1. ⑵设 M(x 1, y 1), N(x 2, y 2), 不妨令 y 1>0, y 2<0, 设厶F 1MN 的内切圆的半径R ,1则厶 F 1MN 的周长为 4a = 8, S A F 1MN = Q(|MN|+ IF 1MI + |F 1N|)R = 4R ,因此要使厶F 1MN 内切圆的面积最大，则 R 最大，此时&F1MN 也最大.1S A F 1MN =2尸们2|"1 — y 2|= y 1 — y 2,由题知，直线I 的斜率不为零，可设直线I 的方程为x = my + 1,当 t<0 时，|MN|= 2 22.由焦点坐标可得3.|4k — 3| '1625+3 5+x= my + 1,由」x 2 y 2 得(3m 2 + 4)y 2 + 6my — 9= 0, <4 + 3 = 1，—3m + 6 m ?+ 1— 3m —6・ m ?+ 1得 y i =，防 —，令 t = m 2 + 1,则 t > 1,12 m +112t12则&F1MN=药k=E 灵1 1 令 f(t)= 3t + f ，则 f't)(= 3—孑，当 t > 1 时，f ' (t)>0,所以f(t)在［1 ,+x)上单调递增，12有 f(t)> f(1)= 4, S A F 1MN < ~ = 3,当 t = 1, m = 0 时，S ^F 1MN = 3,又 S\F 1MN = 4R , --R max =9故厶F 1MN 内切圆面积的最大值为16 n ，且此时直线I 的方程为x = 1.则 S A F i MN12 m 2+ 1 3m 2 + 4，这时所求内切圆面积的最大值为 16n -。
高考圆锥曲线中的最值和范围问题解析版
高考专题 圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。
代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。
直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。
因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例1 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．(1)求曲线C 1的方程；(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x ＝－4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．例2如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．例3如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝22，且a 2c＝2 2.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P 满足：OP →＝OM →＋2ON →，其中M 、N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．例4在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．演练方阵A 档（巩固专练）1．已知点(2,1)A ,抛物线24y x =的焦点是F ,若抛物线上存在一点P ,使得PA PF +最小,则P 点的坐标为（ ）A ．(2,1)B ．(1,1)C ．1(,1)2D ．1(,1)42．已知椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．233C ．22D ．633．抛物线24y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当FPM∆为等边三角形时,其面积为A ．23B ．4C ．6D ．434．已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则AFK ∆的面积为（ ）A ．32B ．16C ．8D ．45．点P 是抛物线24y x =上一点，P 到该抛物线焦点的距离为4，则点P 的横坐标为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．355B ．2C ．115D ．37．抛物线22y x =的准线方程是______;该抛物线的焦点为F ,点00(,)M x y 在此抛物线上,且52MF =,则0x =______.8．已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ,离心率为22,且过点(2,2).(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)M ,N ,P ,Q 是椭圆C 上的四个不同的点,两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点1F ,2F ,且这两条直线互相垂直,求证:11||||MN PQ +为定值.9．已知椭圆22:143x y C +=和点(4,0)P ,垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A B ,两点,连结PB 交椭圆C 于另一点E .(Ⅰ)求椭圆C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线AE 与x 轴相交于定点.10．已知椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,一个顶点为)1,0(-B ,且其右焦点到直线022=+-y x 的距离等于3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)是否存在经过点)23,0(Q ,斜率为k 的直线l ,使得直线l 与椭圆C 交于两个不同的点N M ,,并且BN BM =?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.B 档（提升精练）1．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 等于 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．42．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是（ ）A ．12B ．22C ．32D ．2233．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 23±= B ．x y 23±= C ．x y 33±= D ．x y 3±=4．已知1(,0)F c -，2(,0)F c 分别是双曲线1C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的两个焦点，双曲线1C 和圆2C ：222x y c +=的一个交点为P ，且12212PF F PF F ∠=∠，那么双曲线1C 的离心率为（ ）A ．52B ．3C ．2D ．31+5．已知P (,)x y 是中心在原点，焦距为10的双曲线上一点，且y x的取值范围为33(,)44-，则该双曲线方程是（ ） A ．221916x y -= B ．221916y x -=C ．221169x y -= D ．221169y x -=6．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K ，点A 在抛物线上且||2||AK AF =，则△AFK 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．327．方程2x xy x +=的曲线是（ ）A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点.若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+9．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．355B ．2C ．115D ．310．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A.12(,)33 B.1(,1)2 C. 2(,1)3 D.111(,)(,1)322C 档（跨越导练）1．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )．A ．18B ．24C ．36D ．482．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)3．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则O P →·F P →的取值范围为( )．A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－74，＋∞D.⎣⎡⎭⎫74，＋∞ 4．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为( )．A ．－2B ．－8116C ．1D ．06．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的距离的最小值是( )．A.43B.75C.85D ．3 7．设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A ，B 两点．(1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．8．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．9．抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求△ABP 面积的最大值．10．已知动点),(y x P 与一定点)0,1(F 的距离和它到一定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知直线:l '1+=my x 交轨迹C 于A 、B 两点，过点A 、B 分别作直线4:=x l 的垂线，垂足依次为点D 、E .连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.。