波函数和波动方程
波动方程或称波方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation)是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。
波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域.历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时,都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。
在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）.在弦振动问题中,c依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大.而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky)上,波速可以慢到1米/秒.在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量,这种处理对应真实物理世界中的色散现象。
此时，c应该用波的相速度代替：实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动(譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。
这种情况下，标量u的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。
绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。
在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂,它必须同时考虑固体中的纵波和横波:式中：•和被称为弹性体的拉梅常数(也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli)，是描述各向同性固体弹性性质的参数;•表示密度；•是源函数（即外界施加的激振力）；•表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。
15-7波函数 玻恩统计解释
为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
波动方程通解
波动方程通解
波动方程是研究波的传播与变化规律的重要方程，其通解可以通过偏微分方程的求解得到。
波动方程的一般形式为：
^2u/t^2 = c^2 ^2u/x^2
其中u表示波函数，t表示时间，x表示空间位置，c表示波速。
解波动方程需要使用分离变量法，即假设u(x,t)可以分解为两个函数的乘积，即u(x,t) = X(x) × T(t)。
将u(x,t)带入波动方程中，得到：
X(x) × T''(t) = c^2 X''(x) × T(t)
两边同时除以X(x) × T(t)，得到：
T''(t) / T(t) = c^2 X''(x) / X(x)
由于左边只与t有关，右边只与x有关，所以等式两边必须相等，即：
T''(t) / T(t) = c^2 X''(x) / X(x) = -ω^2
其中ω为常数，可表示波的频率或角频率。
根据上述等式，我们可以分别求解出X(x)和T(t)的通解：
X(x) = A sin( kx + φ)
其中A、k、φ为常数，k = ω / c。
T(t) = B cos( ωt + α)
其中B、α为常数。
因此，波动方程的通解为：
u(x,t) = A sin( kx + φ) × B cos( ωt + α)
其中A、B、φ、α为常数，k = ω / c。
该通解可以表示任意形式的波函数，包括机械波、电磁波等。
在具体求解时，需要根据实际问题进行边界条件的约束，从而确定待定常数的具体取值。
14-2平面简谐波的波动方程
u
振动曲线 图形
A O
波形曲线
t A O t 0 P
t0 P
T
v
v
u x
研究 某质点位移随时间 对象 变化规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点 位移随位置变化规律
由波形曲线可知 该时刻各质点位移 波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
物理 周期 T 振幅 A 初相 0 意义
14-2 平面简谐波的波动方程
一、波函数的建立
波函数(wave function): 描述波传播媒质中不同质点的 运动规律,又称波动表达式(或波动方程).
y f x, t
依据：各质点沿波传播方 向相位依次落后. 平面波在传播过程中,波 线上的各质点都作同频率 同振幅的简谐运动—叫做 平面简谐行波(traveling wave). 波面为平面 传播中的波(相对于“驻波”而言)
x y A cos t u
(1)
P为任意点,波动表达式为
u O P( x )
x
方法2 波线上沿传播方向每走一个,相位落后2
P点相位比O落后
y P A cos(t
即
x
2π
x
y A cos(t
2π
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
波函数波动方程
量子力学中概率密度：p | ( x, t ) |2 * ( x, t )( x, t )
在量子力学中，可测量的函数f（x）的平均值：
f(x)=
L
0
* ( x) f ( x) ( x)dx
L
0
* ( x) ( x)dx
* ( x) f ( x) ( x)dx，
0
L
（若 = ( x, t )，意味着f(x)的测量值与时间有关）
动量的平均值
px *( x) px ( x)dx
( x)
坐标表象（representation） 用坐标（例如一维坐标系中的x）来表示物理体系 （物理量）的行为。
若存在p=p(x),与海森伯不确定关系违背，也与波粒 二象性违背。因此 px(x)是没有意义的，就无法用上 面的公式获得动量的平均值。
f (t )eit dt , 2 / T
傅立叶拟变换：f (t )
1 2
F ( )eit d
类比，可得到具有空间周期性的函数f(x)：
1 傅立叶变换：F (k ) 2
f ( x)eikx dx, k 2 /
1 傅立叶拟变换：f ( x) 2
ˆ xx) ˆ ˆ x ](x)=(xp ˆ ˆ x -p ˆ (x) [x,p d d x[i (x)] (i )[ x(x)] dx dx i (x)
ˆ xy) ˆ ˆ x ](x)=(yp ˆ ˆ x -p ˆ (x) [y,p d d y[i (x)] (i )[ y(x)] dx dx 0
ˆ ,L ˆ ]i [L 利用上关系式和角动量 x y 直角坐标分量算符的表达 [ L ˆ ,L ˆ ]i y z 式,也不难证明 ˆ ,L ˆ ]i [L z x
波动学中的波速与波动方程知识点总结
波动学中的波速与波动方程知识点总结波动学是物理学中一个重要的分支，研究波的传播和性质。
在波动学中，波速以及波动方程是两个关键的知识点。
本文将对波速和波动方程进行总结介绍，以帮助读者更好地理解波动学的基本概念和原理。
一、波速波速是指波沿介质传播的速度。
根据波速的不同，波动可以分为机械波和电磁波两种类型。
1. 机械波的波速机械波是指需要介质传播的波动，例如水波和声波。
机械波的波速可以通过介质的性质来确定。
在同一介质中，波速与介质的密度以及弹性有关。
一般情况下，密度越大，波速越小，弹性越大，波速越大。
波速的确定可以通过实验测量，例如在绷紧的绳子上传播波动，可以通过测量绳子的质量和拉伸力来确定波速。
2. 电磁波的波速电磁波是指不需要介质传播的波动，例如光波和无线电波。
电磁波的波速与空气中的光速相等，约为3×10^8米/秒。
这是一个常数，与电磁波所处的媒质无关。
二、波动方程波动方程是用来描述波动传播的数学方程，可以根据波动的性质和场景的不同而有所差异。
常见的波动方程包括一维波动方程、二维波动方程和三维波动方程。
1. 一维波动方程一维波动方程描述沿着一个维度传播的波动。
一维波动方程可用以下形式表示：∂^2u/∂t^2 = v^2 ∂^2u/∂x^2其中，u表示波函数，t表示时间，x表示空间坐标，v表示波速。
这个方程说明了波函数在时间和空间上的二阶导数与波速的平方成正比。
2. 二维和三维波动方程二维和三维波动方程描述沿着两个或三个维度传播的波动。
以二维波动方程为例，可用以下形式表示：∂^2u/∂t^2 = v^2 (∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2)其中，u表示波函数，t表示时间，x和y表示空间坐标，v表示波速。
这个方程说明了波函数在时间和空间上的二阶导数与波速的平方成正比。
三、波动学中的应用波速和波动方程在波动学中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 声学声波是一种机械波，其传播速度取决于介质的性质。
量子力学-波函数与波动方程 Ⅴ. 不含时间的薛定谔方程,定态问题 Ⅵ. 不确定关系_
rN,t)
2.3 2.6 2.7
第五讲
第二章 波函数与波动方程 Ⅴ. 不含时间的薛定谔方程，定态问题
A. 不含时间的薛定谔方程 B. 定态 Ⅵ. 不确定关系 A. 一些例子 B. 一些实验
C. 不确定关系是波粒二象性的 必然结果
D. 能量－时间不确定关系 E. 一些应用举例 第三章 一维定态问题 Ⅰ. 一般性质 A. 简并性定理 B. 不同的分立能级的波函数
解可表为
(r, t) eiHˆ (r,pˆ )(tt0) (r, t0 )
如何从 t 0 时刻的波函数来确定 t
时刻的波函数的问题，是量子力学要解决 的重要问题之一。
若自由粒子在 t 0 时，处于态
(x,0)
(22
)1
4
e(
x2 42
i
PK x
/
)
C(Px
)
1 (2π
)1
2
eiPx
x
dPx
C(Px
则
i (r, t) Hˆ (rˆ, Pˆ , t)(r, t)
t
称为含时间的薛定谔方程
但应注意，同一力学量的经典表示，可
得不同的量子力学表示，所以力学量表为
算符时，应注意：
a. 在直角坐标中表示分量 Pi ，再代 入算符表示；
b. 对于与 pi 形成线性函数形式的物理
量 Pifi(x,y,z) ，则取
有解
T(t) AeiEt /
所以，当 H 与 t 无关时，含时间的
薛定谔方程的特解为：
E(r,t) uE(r)eiEt /
其中 Hˆ (r, pˆ )uE(r) EuE(r)
•
方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称 为能量本征方程。
15波动(横波、纵波、行波、简谐波、波长、波速、波动方程)
•液体和气体中 纵波 u B / B 容变弹性模量。
六、注意几点
1、周期、频率与介质无关，与波源的相同。 波长、波速与介质有关。
2、不同频率的同一类波在同一介质中波速相同。
3、波在不同介质中频率不变。
9
4.振动与波动的区别 •振动是表示一个质点的运动。 •波动是表示一系列质点所作的运动。
初位相不为0时：
y(x,t) Acos[(t x) ]
u
2 , 代入
T
y
A cos 2 Tt
x Tu
Tu 代入
y
A
cos 2 Tt
x
1 代入
T
y
A
cos2
t
x
t
显然质点振动速度与波速 u = 20m/s 不同。
上例中条件是已知 t = 0 时刻的波动方程。
如果t = 0时,波源 x = 0 点的振动方程为：
y 4102 cos(100t 2)m
波速不变。波动方程应该如何写？
y 4102 cos(100t 5x 2)m x>0
o
t
y x /4
o
t
y x /2
o
t
y x 3 / 4
o
t
15
3.当 t c
（常数）时 ，y f (x)
为某一时刻各质点 的振动位移，波形 的“拍照”
y t 0
o
x
y t T /4
o
x
y t T /2
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满足的波动方程
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
边界条件和归一化条件
边界条件 － 波函数 (r)及其导数 (r) / x
在边界处保持连续。 归一化条件 － 粒子在整个空间出现的几率为1
全空间 (r,t) 2d 3r 1
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
几率流密度 (1)
S方程： ( 2 2 V ) (r,t) i (r,t)
2m
t
*(r,t) 为 (r,t)的复数共轭, 它满足
( 2 2 V ) *(r,t) i *(r,t)
2m
t
其中
V
*
(r )
V
(r )
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
光子的偏振态的叠加 (1)
设有一束线性偏振光，射向一个理想的电气石 晶片
情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光束 将全部通过。
情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光束 将被完全吸收。
情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光束部
分通过:
I I0 cos2
sin 0.776n
n 1
50.90
与实验结果吻合
量子力学与原子核物理
微观粒子的状态
第二章 波函数和波动方程
经典力学的决定性观念－经典力学中，对于一 个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定初始
条后任件意，时即刻t=0粒时子的(确或切系位统置)的与位动置量r，t 与那动么量在p以t
薛定谔方程的引入 (1)
描述一维自由粒子 的波函数
(x,t)
1
i ( pxEt)
e
L3
非相对论情形
ii22(t(xx(xx,x2t,,)tt))Epp2((x(x,xt,,)tt))
E p2 2m
量子力学与原子核物理
(b) 1,000 Electrons
(d) Millions of Electrons
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
如果在同一时刻电子几乎一个一个地通过狭缝， 在足够长的时间后同样得到衍射花纹，说明波并 非由大量粒子组成。
衍射花纹也是大量粒子同一时间条件的统计结果
在底板上r点附近衍射花纹的强度 ➢～在r点附近感光点子的数目 ➢～在r点附近出现的电子的数目
全
r,t 1 r,t
A 要求波函数
➢有界 ➢单值 ➢连续
第二章 波函数和波动方程
r,
t
2
dr
1
全
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
不确定关系 (1)
海森伯不确定关系 xpx / 2
对于微观粒子，我们不能同时确定它们的 位置和动量。 另外的表达方式
唯一确定的。
量子力学中与物质波相联系的不仅有一个波长， 而且还有一个振幅， 称之为波函数。量子力
学中微观粒子的状态用波函数 r,t 表示。
量子力学与原子核物理
我们的问题
第二章 波函数和波动方程
波函数的数学描述?? 波函数的物理意义??
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
h hc
p 2mec2Ek
1240nm eV
2 0.511106 eV Ek (eV)
1.226 nm Ek (eV)
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
电子的德布罗意波长 (2)
sin n n 1.226nm
a a Ek (eV)
镍晶体 a=0.215nm 若入射电子能量Ek=54eV
态叠加原理 (2)
在 态下，测量A所得结果既可能为 a1 ，也可能为
an . 而测得 a1, an, 的相对几率是完全确定的， 它们分别是 c1 2, , cn 2,
c11 c2 2 cn n
A a1 a2
an
P c1 2 c2 2
c2 2
量子力学与原子核物理
若体系处于 n 描述的状态下，测量某力学量A所 得结果是一个确切的值 an(n=1,2,…)
则 c11 c22 cnn 称为 1, n, 的线性叠加态。 态也是体系可能处于的状态。
c1, cn, 为常数
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
戴维孙-革末实验
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
布喇格散射公式
Bragg’s formula
n asin
n=1,2,3,… a为横竖晶格常数
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
电子的德布罗意波长 (1)
非相对论近似下
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
计算单位
1fm 10-15m 1eV 1.61019 J hc 1.24nm keV c 197fm MeV 197nm eV
e2 / 40 1.44fm MeV 1.44nm eV
mec2 0.511MeV 511keV
tE / 2
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
不确定关系 (2)
xpx / 2
x=0 px px=0 x
例如具有确定动量的自由粒子，其波函数为 平面波形式，位置是完全不确定的。
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
谐振子的基态能级
p h k, E h
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
子弹的双缝实验 (1)
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
子弹的双缝实验 (2)
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
水波的双缝实验 (1)
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
光子的偏振态的叠加 (2)
现在考虑只有一个光子入射 情况(a) 光子将通过晶片，能量及偏振态均不
发生变化。
情况(b) 光子将被完全吸收，晶片后观测不到 光子。
情况(c) 在晶片后有时观测到一个整个光子，
有时没有。光子通过晶片的几率为 cos2 cos // sin
自由电子对应的物质波
戴维孙-革末实验的结果可以由两个假设解决 ➢ 布喇格散射公式 ➢ 德布罗意假设
X射线散射实验的结果可以由布喇格散射解释
根据类比，我们假设自由电子对应的物质波 可以由平面波的形式描述。
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
描述自由粒子的波函数 (1)
我们继续假定自由粒子对应的物质波由平面 波的形式描述。
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
相同态的叠加
c c1 c2
是两个相同状态的线性叠加。 ,和描述的相对几率分布是完全相同的。 在量子力学中,和描述体系的同一个状态。
这是和经典力学不同的地方。
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
p2
e2
2
e2
E 2me 40r ~ 2mer 2 40r
dE dr
0
2 me r 3
e2
40r 2
r
4πε02 mee2
E
me 22
e2
4 0
2
13.6eV
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
态叠加原理 (1)
若体系处于1 描述的状态下，测量某力学量A所 得结果是一个确切的值 a1
第二章 波函数和波动方程
几率流密度 (2)
i ( * ) i * *i
t
t
t
( 2 2 V ) * *( 2 2 V )
2m
2m
2（ *2 2 *）
dP (r,t) 2 dr
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
波函数的统计诠释 (2)
波函数的几率解释不是，也不可能从什么地 方推导出来。
波函数的几率解释是量子力学的基本原理之 一，也就是一个基本假设。
量子力学与原子核物理
归一化条件
r,t 2 dr A
第二章 波函数和波动方程
薛定谔方程的引入 (2)
描述一维自由粒子的波函数满足下述波动方程
2 2m
2 (x,t)
x2
i (x,t)
t
V(x,t)=0
薛定谔假设在势场V(x,t)中运动的一维自由粒子
的波函数满足
2 2m
2 x2
V
( x, t )
( x, t )
xp ~ / 2
x ~ a p ~ p ~
E
p2 2me
1 2
me 2 x2
2a
~
2 8me a 2
1 2
me 2a2
2
2 8me a 2
1 2
me
2
a
2
1
2
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
氢原子的基态能级
xp ~
x ~ r p ~ p ~ / r
一维自由粒子的波函数由平面波的形式描述。 而且我们采用复数的形式。