中考全等三角形知识总结和经典例题

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全等三角形复习
[知识要点] 一、全等三角形
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路：
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⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪
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⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）
找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）
找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 性质
1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)
8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)
10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)
运用
1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上
做题技巧
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

因此我们可以来采取逆思维的方式。

来想要证全等，则需要什么条件
另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。

然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL ）证明三角形全等。

（二）实例点拨
例1 （2010淮安） 已知：如图，点C 是线段AB 的中点，CE=CD ，∠ACD=∠BCE 。

求证：AE=BD 。

解析：此题可先证三角形全等，由三角形全等得出对应边相等即结论成立。

证明如下： 证明：∵点C 是线段AB 的中点 ∴AC=BC
∵∠ACD=∠BCE
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE 即∠ACE=∠BCD
在△ACE 和△BCD 中， AC=BC
∠ACE=∠BCD CE=CD
∴△ACE ≌△BCD （SAS ） ∴AE=BD 反思：证明两边相等是常见证明题之一，一般是通过发现或构造三角形全等来得到对应边即要证边相等，或者若要证边在同一个三角形中，也常先证角相等，再用“等角对等边”
E B
C A D
来证明边相等。

例2 已知：AB=AC ，EB=EC ，AE 的延长线交BC 于D ，试证明：BD=CD
解析：此题若直接证BD 、CD 所在的三角形全等，条件不够，所以先证另一对三角形全等得到有用的角、边相等的结论用来证明BD 、CD 所在的三角形全等。

证明如下： 证明：在△ABE 和△ACE 中 AB=AC ， EB=EC ， AE=AE
∴ △ABE ≌△ACE (SSS) ∴∠BAE ＝∠CAE 在△ABD 和△ACD 中 AB=AC
∠BAE= ∠CAE AD=AD
∴ △ABD ≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD 反思：通过证明几次三角形全等才得到边、角相等的思路也是中考中等难度题型的常考思路。

此种题型需要学生先针对条件分析、演绎推理，逐步找出解题的思路，再书写规范过程。

例3.（2009·洛江中考）如图，点C 、E 、B 、F 在同一直线上，AC ∥DF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，
求证：AB=DE.
【证明】∵AC ∥DF ，∴F C ∠=∠ 在中和DFE ACB ∆∆
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=EF BC F C DF
AC ⇒和DFE ∆≌中和DFE ACB ∆
∆，∴AB=DE. 17、（2010·潼南中考）如图,四边形ABCD 是边长为2的正方形，点G 是BC 延长线上一点，连结AG ，点E 、F 分别在AG 上，连接BE 、DF ，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. (1)证明：△ABE ≌△DAF ；
（2）若∠AGB=30°，求EF 的长.
【解析】（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=AD ，
在△ABE 和△DAF 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠341
2DA AB ，
∴△ABE ≌△DAF.
（2）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠1+∠4=90o ∵∠3=∠4, ∴∠1+∠3=90o ∴∠AFD=90o
在正方形ABCD 中， AD ∥BC, ∴∠1=∠AGB=30o
在Rt △ADF 中，∠AFD=90o AD=2 , ∴AF=3 , DF =1, 由(1)得△ABE ≌△ADF, ∴AE=DF=1,
∴EF=AF-AE=13-.
例4、（2009·吉林中考）如图， ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对．．
全等三角形，并选取其中一对加以证明．
【解析】（1）ADB ADC △≌△、ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、
BFD BFE △≌△、
ABE ACD △≌△（写出其中的三对即可）.
（2）以△ADB ≌ADC 为例证明． 证明：
,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°.
在Rt ADB △和Rt ADC △中，
,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △.
要点二、角平分线的性质与应用
例5、（2009·温州中考）如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ）
A.PA PB =
B.PO 平分APB ∠
C.OA OB =
D.AB 垂直平分OP
【解析】选D.由OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，可得PA PB =，由HL 可得Rt △AOP ≌Rt △BO P ，
所以可得PO 平分APB ∠，OA OB =.
例6、（2009·厦门中考）如图，在ΔABC 中，∠C=90°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，则点D 到直线AB 的距离是_______厘米。

【解析】过点D 作DE 垂直于AB 于E,由勾股定理得68102222=-=-=BC BD CD ,由角平分线性质得6==CD DE 答案：6.
【实弹射击】
1、 如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。

2、如图：AC 与BD 相交于O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，求证：∠C ＝∠B
3、如图，已知AB=CD ，AD=CB ，E 、F 分别是AB ，CD 的中点， 且DE=BF ，说出下列判断成立的理由 .①△ADE ≌△CBF ②∠A=∠C
4、已知：BECF 在同一直线上， AB ∥DE ，AC ∥DF ，并且BE=CF 。

求证：△ ABC ≌ △ DEF
C
A B
D E 第1题图 O
A
C
D
B
第2题图
A
D
B
C
F
E 第3题图
D
A
F E
A
5、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．
6、如图，ΔABC 的两条高AD 、BE 相交于H ，且AD=BD ，试说明下列结论成立的理由。

（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH ≌ΔADC 。

7、如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．
i. 除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜
想是正确的；
ii. 你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过
程．
F
G
E D
C
B
A
A B
C
D
E H
8、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

9、如图所示，P 为∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于C ，•∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm ，求AO+BO 的值．
10、 如图：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 是CD 的中点，求证：AE ⊥BE 。

P D
A C
B O
A B E
11.如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+．
D
C B
A E
F
G。