2017年天津市耀华中学高三文科二模数学试卷

2017年天津市耀华中学高三文科二模数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 若a i2−i =1−2i5（i为虚数单位），则实数a的值为 A. 1B. −1C. ±1D. 22. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为600件、400件、300件，用分层抽样方法抽取容量为n的样本，若从丙车间抽取6件，则n的值为 A. 18B. 20C. 24D. 263. 已知命题p：∃x∈R，使sin x−cos x=3，命题q：集合x x2−2x+1=0,x∈R有2个子集；下列结论：①命题“p∧q”真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨¬q”是真命题，正确的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 34. 在如图所示的计算1+5+9+⋯+2013的程序框图中，判断框内应填入 A. i≤504B. i≤2009C. i<2013D. i≤20135. 设0<a<1，且m=log a a2+1，n=log a a+1，p=log a2a，则m，n，p的大小关系为 A. n>m>pB. p>m>nC. m>n>pD. m>p>n6. 已知等差数列a n的前项和为S n，且S21=42，若记b n=2a112−a9−a13，则数列b n A. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列7. 已知x，y，z为正实数，则xy+yzx+y+z的最大值为 A. 235B. 45C. 22D. 238. 设函数f x=12x2+2x+2,x≤0log2x,x>0，若关于x的方程f x=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则x1+x2x4+1x32x4的取值范围是 A. −3,+∞B. −∞,3C. −3,3D. −3,3二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知集合A= x x−55≤112,x∈R，则集合A中的最大整数为．10. 已知圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．11. 从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为．12. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为．13. 双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线被圆x2+y2−6x+5=0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为．14. 已知O为原点，直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=16交于两点M，N，若a2+b2=c2，P为圆O上任一点，则PM⋅PN的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知A，B是直线y=0与函数f x=2cos2ωx2+cos ωx+π3−1ω>0图象的两个相邻交点，且 AB =π2．（1）求ω的值；（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f A=−32，c=3，△ABC的面积为3a的值．16. 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元?17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，AC与BD交于O点，E为PC的中点，AD=CD=1，PD=2，DB=22．（1）证明PA∥平面BDE；（2）证明AC⊥平面PBD；（3）求三棱锥B−AEC的体积．18. 各项均为正数的数列a n的前n项和为S n，且满足a2=4，a n+12=6S n+9n+1，n∈N∗，各项均为正数的等比数列b n满足b1=a1，b3=a2．（1）求证a n为等差数列并求数列a n，b n的通项公式；（2）若c n=3n−2⋅b n，数列c n的前n项和为T n，①求T n；②若对任意n≥2，n∈N∗，均有T n−5m≥6n2−31n+35恒成立，求实数n的取值范围．19. 如图，已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，E的左顶点为A，上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4+23．（1）求椭圆的方程；（2）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴，y轴分别交于M，N两点，且MC=λCN，MD=μDN，求λ+μ的取值范围．20. 已知函数f x=e x+ax2+bx．（1）当a=0，b=−1时，求f x的单调区间；（2）设函数f x在点P t,f t0<t<1处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q．若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围．答案第一部分1. B2. D3. C4. D5. B6. C7. C8. D 【解析】作出函数f x的图象，由图可知，x1+x2=−4，x3x4=1；当log2x=2时，x=4或x=14，则1<x4≤4，故x1+x2x4+1x32x4=−4x4+1x3=−4x4+x4，其在1<x4≤4上是增函数，故−4+1<−4x4+x4≤−1+4；即−3<−4x4+x4≤3；即x1+x2x4+1x32x4的取值范围是−3,3．第二部分9. 6010. 206【解析】点3,5在圆内，最长弦AC即为该圆直径．∴ AC =10，最短弦BD⊥AC．∴ BD =46，S四边形ABCD =12AC ⋅ BD =206．11. 2512. 11+2213. 6214. −6,10第三部分15. （1）f x=cosωx+12cosωx−32sinωx=−3sin ωx−π3．由函数的图象及 AB =π2，得到函数的周期T=2πω=2×π2，解得ω=2．（2）因为f A=−3sin2A−π3=−32，所以sin2A−π3=32．又因为△ABC是锐角三角形，所以−π3<2A−π3<2π3，即2A−π3=π3，解得A=π3．由S△ABC=12bc sin A=3b2×32=33，解得b=4．由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=42+32−2×4×3×12=13，即a=13．16. 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得x+y≤300,500x+200y≤90000, x≥0,y≥0.目标函数为z=3000x+2000y．二元一次不等式组等价于x+y≤300, 5x+2y≤900, x≥0,y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．如图：作直线l:3000x+2000y=0，即3x+2y=0．平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．联立x+y=300, 5x+2y=900.解得x=100，y=200．所以点M的坐标为100,200．z max=3000x+2000y=700000（元）．答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．17. （1）连接OE，因为AD=CD，DB平分∠ADC，所以O为AC的中点，又E为PC的中点，所以EO∥PA，又EO⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE．（2）由（Ⅰ）知DO⊥AC，因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥PD，PD∩DO=D，所以AC⊥平面PBD．（3）取线段CD的中点F，所以EF∥PD，则EF⊥平面ABCD，EF=1，△ADC为等腰直角三角形，AD=CD=1，所以AC=，DO=22，DB=322，所以V B−AEC=V E−ABC=13S ABC⋅EF=12．18. （1）因为a n+12=6S n+9n+1，所以a n2=6S n−1+9n−1+1，所以a n+12−a n2=6a n+9n≥2，所以a n+12=a n+32，又因为数列a n各项均为正数，所以a n+1=a n+3n≥2，所以数列a n从a2开始成等差数列，又a2=4，42=6a1+9+1，所以a1=1，所以a2−a1=3，所以a n为公差为3的等差数列，所以a n=3n−2，因为b1=1，b3=4，所以b n=2n−1．（2）c n=3n−2⋅2n−1，①T n=1⋅20+4⋅21+⋯+3n−2⋅2n−1，2T n=1⋅21+4⋅22+⋯+3n−2⋅2n，所以−T n=1+321+22+⋯+2n−1−3n−2⋅2n，−T n=1+62n−1−1−3n−2⋅2n，所以T n=3n−5⋅2n+5；②3n−5⋅2n⋅m≥6n2−31n+35恒成立，所以m≥6n 2−31n+353n−5⋅2=3n−52n−73n−5⋅2=2n−72，即m≥2n−72恒成立，设k n=2n−72，k n+1−k n=2n−52−2n−72=9−2n2，当n≤4时，k n+1>k n，n≥5时，k n+1<k n，所以k n max=k5=332，所以m≥332．19. （1）由题意得：2a+2c=4+23, e=ca=32,解得a2=4,b2=1,所以椭圆的方程为x24+y2=1．（2）又A−2,0，B0,1，所以k AB=12．由CD∥AB，可设直线CD的方程为y=12x+m，由已知得M−2m,0，N0,m．设C x1,y1，D x2,y2，由x24+y2=1,y=12x+m得：x2+2mx+2m2−2=0Δ=2m2−42m2−2>0⇒m2<2，所以x1+x2=−2m，x1x2=2m2−2，由MC=λCN得x1+2m,y1=λ−x1,m−y1，所以x1+2m=−λx1即λ=−1−2mx1，同理，由MD=μDN得μ=−1−2mx2．所以λ+μ=−2−2m1x1+1x2=−2−2m×x1+x2x1x2=−2+2m2m−1=2m−1．由m2<2⇒2m−1∈−∞,−2∪2,+∞，所以λ+μ∈−∞,−2∪2,+∞20. （1）当a=0，b=−1时，f x=e x−x，fʹx=e x−1，所以当x∈−∞,0时，fʹx<0；当x∈0,+∞时，fʹx>0；所以函数f x的单调递减区间为−∞,0，单调递增区间为0,+∞．（2）因为fʹx=e x+2ax+b，所以函数f x在点P t,f t0<t<1处的切线l的斜率k=fʹt=e t+2at+b，所以切线l的方程为y−e t+at2+bt=e t+2at+b x−t，令x=0，得y=1−t e t−at20<t<1．当0<t<1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1，只需1−t e t−at2<1，即t−1e t+at2+1>00<t<1．令g t=t−1e t+at2+1，则gʹt=t e t+2a，因为0<t<1，所以1<e t<e，①若2a≥−1即a≥−12时，e t+2a>0，所以当t∈0,1时，gʹt>0，即g t在0,1上单调递增，所以g t>g0=0恒成立，所以a≥−12满足题意．②若2a≤−e，即a≤−e2时，e t+2a<0．所以当t∈0,1时，gʹt<0，即g t在0,1上单调递减．所以g t<g0，所以a≤−e2时不满足条件．③若−e<2a<−1，即−e2<a<−12时，0<ln−2a<1，列表如下：t0,ln−2a ln−2a ln−2a,1 gʹt−0+g t单调递减极小值单调递增所以g ln−2a<g0=0，所以−e2<a<−12不满足题意．综上①②③可得：当a≥−12时，g t>0，0<t<1．此时点Q的纵坐标恒小于1．。