1 第1课时 应用案巩固提升

[A基础达标]
1．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于() A．{0}B．{0，2}
C．{－2，0} D．{－2，0，2}
解析：选D.集合M＝{0，－2}，N＝{0，2}，故M∪N＝{－2，0，2}，选D.
2．已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝()
A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}
C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}
解析：选C.在数轴上表示两个集合，如图．
易知P∪Q＝{x|x≤4}．
3．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝() A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：选B.(A∪B)∩C＝{1，2，4，6}∩C＝{1，2，4}．
4．已知集合M＝{－1，1}，则满足M∪N＝{－1，1，2}的集合N的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.依题意，得满足M∪N＝{－1，1，2}的集合N有{2}，{－1，2}，{1，2}，{－1，1，2}，共4个．
5．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()
A．a<2 B．a>－2
C．a>－1 D．－1<a≤2
解析：选C.在数轴上表示出集合A、B即可知选C.
6．若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________；A∩B＝________．
解析：如图所示，借助数轴可知：
A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x＜5}．
答案：R{x|4≤x＜5}
7．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且满足A∩B＝{2}，则实数a＝________．解析：当a＞2时，A∩B＝∅；
当a＜2时，A∩B＝{x|a≤x≤2}；
当a＝2时，A∩B＝{2}．
综上，a＝2.
答案：2
8．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，Venn图如图所示，则阴影部分所表示的集合的元素共有________个．
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N＝{1，3}，即阴影部分所表示的集合共有2个元素．
答案：2
9．设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}．
(1)求a，b的值及A，B；
(2)求(A∪B)∩C.
解：(1)因为A∩B＝{2}，
所以4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0，
即a＝－8，b＝－5，
所以A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}，
B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}．
(2)因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}，
所以(A∪B)∩C＝{2}．
10．(2019·伊春检测)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}．
(2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}，
所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4.
[B能力提升]
11．下列表示图形中的阴影部分正确的是()
A．(A∪C)∩(B∪C) B．(A∪B)∩(A∪C)
C．(A∪B)∩(B∪C) D．(A∪B)∩C
解析：选A.阴影部分完全覆盖了C部分，这样就要求交集运算的两边都含有C部分．所以A正确．
12．已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2，1，5}，A ∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝________．
解析：因为A∩B＝{－2}，
所以－2∈A且－2∈B，将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，
所以A＝{1，－2}，
因为A∪B＝{－2，1，5}，A∩B＝{－2}，
所以B＝{－2，5}，
所以q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，
所以p＋q＋r＝－14.
答案：－14
13．设集合A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}，且A∩B＝C，求实数x，y的值及A∪B.
解：由A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1，7}且A∩B＝C，得7∈A，7∈B且－1∈B，
所以在集合A中x2－x＋1＝7，
解得x ＝－2或3.
当x ＝－2时，在集合B 中，x ＋4＝2， 又2∈A ，故2∈A ∩B ＝C ，
但2∉C ，故x ＝－2不合题意，舍去； 当x ＝3时，在集合B 中，x ＋4＝7， 故有2y ＝－1， 解得y ＝－1
2，
经检验满足A ∩B ＝C . 综上知，所求x ＝3，y ＝－1
2
.
此时A ＝{2，－1，7}，B ＝{－1，－4，7}， 故A ∪B ＝{－1，2，－4，7}．
14．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <－1或x >16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．
(1)A ∩B ＝∅； (2)A ⊆(A ∩B )．
解：(1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1>3a －5， 即a <6.
若A ≠∅，如图所示，
则⎩⎪⎨⎪
⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，
解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A ⊆(A ∩B )，所以A ∩B ＝A ， 即A ⊆B .
显然A ＝∅满足条件，此时a <6.
若A ≠∅，如图所示，
则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －53a －5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16. 由⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1，解得a ∈∅； 由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16，
解得a >152
.
综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a <6或a >152
}．
[C 拓展探究]
15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有________种； (2)这三天售出的商品最少有________种．
解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．
由图可知：(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．
(2)这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)． 由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.
所以(43－y )min ＝43－14＝29.
答案：(1)16(2)29。