数学新同步湘教版选修2-2讲义+精练：第6章 6.2.2 间接证明：反证法 Word版含解析

6．2.2 间接证明：反证法[读教材·填要点]1．反证法的定义先假设原命题的否定成立，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，这种间接证法称为反证法．2．反证法的一般步骤 (1)反设；(2)归谬；(3)结论．[小问题·大思维]1．用反证法证明命题“若p ，则q ”时，綈q 假，q 即为真吗？提示：是的．在证明数学问题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者中居其一，綈q 是q 的反面，若綈q 为假，则q 必为真．2．反证法与逆否命题证明的区别是什么？ 提示：反证法的理论依据是p 与綈p 真假性相反，通过证明綈p 为假命题说明p 为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p ⇒q ”与“綈q ⇒綈p ”是等价命题，通过证明命题“綈q ⇒綈p ”为真命题来说明命题“p ⇒q ”为真命题，证明过程不出现矛盾．直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 4＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．当点B 在W 上且不是W 的顶点时，求证：四边形OABC 不可能为菱形．[自主解答] 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2， 设AC 的中点为M ， 则M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2，因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k.因为k ·⎝⎛⎭⎫－14k ≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以四边形OABC 不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z)， 而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数， 则an 2＋bn ＝－c 为奇数，即n (an ＋b )为奇数． ∴n ，an ＋b 均为奇数，又∵a ＋b 为偶数， ∴an －a 为奇数，即a (n －1)为奇数， ∴n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． ∴f (x )＝0无整数根．已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[自主解答] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0， 即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．2．已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100，求证：a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25. 证明：假设a 1，a 2，a 3，a 4均不大于25， 即a 1≤25，a 2≤25，a 3≤25，a 4≤25， 则a 1＋a 2＋a 3＋a 4≤25＋25＋25＋25＝100， 这与已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4>100矛盾，故假设错误． 所以a 1，a 2，a 3，a 4中至少有一个数大于25.用反证法证明：过已知直线a 外一点A 有且只有一条直线b 与已知直线a 平行．[自主解答] 由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A 至少有一条直线与直线a 平行．假设过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝A ，b ′∥a .因为b ∥a ，由平行公理知b ′∥b .这与假设b ∩b ′＝A 矛盾， 所以假设错误，原命题成立．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．3．设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点． 证明：因为a >1， 所以f (0)＝1－a <0，f (ln a )＝(1＋ln 2a )e ln a －a ＝a ln 2a >0， 所以f (0)·f (ln a )<0，由零点存在性定理可知f (x )在(0，ln a )内存在零点． 假设至少有2个零点，则f (x )在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f ′(x )＝(1＋x 2)′e x ＋(1＋x 2)(e x )′＝(1＋x )2e x ≥0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾， ∴假设不成立，则f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点.证明：对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A ，B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．[巧思] 本题如果直接证明比较困难，但其反面相对来说比较简单，因此可采用反证法证明．[妙解] 假设存在实数k ，使得A ，B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有(1)直线l ：y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A ，B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝ax 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝－1， ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2， ②y 1＋y 22＝a x 1＋x22. ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1， 得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.④当k 2＝3时，l与双曲线仅有一个交点，不合题意．由②③得a(x1＋x2)＝k(x1＋x2)＋2. ⑤由④知x1＋x2＝2k3－k2，代入⑤整理得：ka＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k，使得A，B关于直线y＝ax对称．、1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，假设的内容应该是()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a能被5整除解析：至少有一个的反面应是一个都没有．答案：B2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是() A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．答案：B3．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数答案：B4．用反证法证明如果a＞b，那么3a＞3b，假设的内容应是________．解析：3a＞3b的反设为3a≤3b.答案：3a≤3b5．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②6．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．一、选择题1．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋1b，b＋1c，c＋1a()A．都不大于－2B．都不小于－2C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2解析：因为a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≤－6，所以三者不能都大于－2.答案：C2．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设() A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°解析：因为“至少有一个”的反面是“一个也没有”，所以“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定是“三角形三个内角一个也没有不大于60°”即“三个内角都大于60°”．答案：B3．已知数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n＝an＋2，b n＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有()A．0个B．1个C．2个D．无穷多个解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n＝b n，由题意a＞b，n∈N＋，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使a n＝b n.答案：A4．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：用反证法证题时一定要将对立面找全．在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的；②的假设是正确的．答案：D二、填空题5．用反证法证明命题“a，b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为__________________．解析：“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”，它的反面是“a，b不都是奇数”．答案：a，b不都是奇数6．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a ≠1或b ≠17．完成以下反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：反设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝__________________________________① ＝__________________________________② ＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：将a 1－1，a 2－2，...，a 7－7相加后，再分组结合计算． 答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)8．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：两个方程至少有一个方程有实根，考虑起来比较复杂，可以考虑其反面，即“两个方程都无实根”，这样求得a 的集合记为A ，那么原命题所求a 的取值范围即为∁R A ，解法如下：若两个方程都无实根⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2＜0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－1或a ＞13，－2＜a ＜0⇒－2＜a ＜－1. 则A ＝{a |－2＜a ＜－1}， 故∁R A ＝{a |a ≤－2或a ≥－1}． 答案：(]－∞，－2∪[)－1，＋∞ 三、解答题9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，f (c )＝0，且当0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点； (2)试用反证法证明：1a >c .证明：(1)∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根， 设为x 1，x 2. ∵f (c )＝0，∴c 是f (x )＝0的一个根， 不妨令x 1＝c . 又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a (1a ≠c )， ∴1a 是f (x )＝0的一个根， 即1a 是函数f (x )的一个零点． (2)由(1)知1a ≠c ，故假设1a <c .∵1a >0，又当0<x <c 时，f (x )>0， ∴f ⎝⎛⎭⎫1a >0，与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴假设不成立，∴1a>c .10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解：(1)当n ＝1时， a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2， 所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1， 公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列， 记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N ＋)， 则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为p<q<r，所以r－q，r－p∈N＋.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．。