2012年,天津春季高考,数学真题,(图片版)
2012天津市高考数学试卷及答案(理数)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n (非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1至2页，第n卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：•如果事件A, B互斥，那么P(A B) =P(A) P(B) •如果事件A, B相互独立，那么P(AB)二P(A)P(B)•棱柱的体积公式V =Sh 其中S表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。
4 3 -球的体积公式V R33其中R表示球的半径、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) i是虚数单位，复数=3+i(A) 2 + i (B) 2 -i(C) -2 + i ( D) -2 -i(2 )设R,则“ =0 ”是“ f(x) COS(x •「)(x • R)为偶函数”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分与不必要条件(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为(A) -1 (B) 1(C) 3 ( D) 9(4)函数f (x) = 2x x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是(A) 0 ( B) 1(C) 2 ( D) 32 1 5(5)在(2x --)的二项展开式中，x的系数为x(A) 10 ( B) -(C) 40 (D) -40(6)在ABC中，内角A，B, C所对的边分别是a,b,c，(B )仁'2(D )(8)设 m, n R ，若直线(m 1)x (n 1)y -2 = 0与圆(x - 1)2 (y -1)2 = 1 相切，则 m + n 的取值范围是(A ) [1 - .3,1、3](D )(-二,2 -2、. 2] [2 2 . 2,二)第口卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2012年天津高考数学理科试卷(带详解)
2012年天津高考数学卷解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 是虚数单位，复数7i3iz -==+ （ ）A ．2i + B.2i - C .2i -+ D .2i --【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】直接给出复数的分式形式求其值. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】7i (7i)(3i)217i 3i 12i 3i (3i)(3i)10z ------====-++- 2.设ϕ∈R ，则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】三角函数的奇偶性,充分、必要条件.【考查方式】判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵0ϕ=⇒()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数，反之不成立，∴“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A.1- B.1 C.3 D.9第3题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读程序框图得出程序运算结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】根据图给的算法程序可知：第一次4x =，第二次1x =，则输出2113x =⨯+=.4.函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A.0B.1 C .2 D .3 【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】直接给出函数的解析式判断其零点的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】解法1：因为(0)1021f =+-=-，3(1)2228f =+-=，即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()0,1内连续不断，故()f x 在()0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.第4题图5.在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ） A.10 B.10- C.40 D.40- 【测量目标】二项式定理.【考查方式】直接给出一个二项展开式求某项的系数. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵2515103155C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x ----+=-=-，∴ 1031r -=，即3r =，∴x 的系数为40-.6.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知85,2b c C B ==，则cos C =（ ） A.725B.725-C.725±D.2425【测量目标】正弦定理，三角函数中的二倍角公式.【考查方式】已知三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵85b c =，由正弦定理得8sin 5sin B C =，（步骤1）又∵2C B =，∴8sin 5sin 2B B =，（步骤2）所以8sin 10sin cos B B B =，易知sin 0B ≠，（步骤3）∴4cos 5B =，27cos cos 22cos 125C B B ==-=.（步骤4） 7.已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足,AP AB λ=(1),AQ AC λ=-λ∈R ，若32BQ CP =-，则λ=（ ）A.12B.122±C.1102±D.3222-±【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.【考查方式】给出三角形边的向量关系式，运用平面向量的知识求解未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】∵(1),BQ AQ AB AC AB λ=-=--CP AP AC AB AC λ=-=-，（步骤1） 又∵32BQ CP =-，且2AB AC ==，,60AB AC ︒<>=，cos602AB AC AB AC ︒==（步骤2），∴3(1)()2AC AB AB AC λλ⎡⎤---=-⎣⎦，2223(1)(1)2AB AB AC AC λλλλ+--+-=，（步骤3）所以2342(1)4(1)2λλλλ+--+-=，解得12λ=. （步骤4）第7题图8.设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是 （ ） A.13,13⎡⎣ B.(),1313,⎡-∞++∞⎣C.222,222⎡-+⎣D.(),222222,⎤⎡-∞-++∞⎦⎣【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】已知一直线与圆的位置关系求未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】∵直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，（步骤1）∴圆心(1,1)到直线的距离为22(1)(1)21(1)(1)m n d m n +++-==+++，所以212m n mn m n +=++（）（步骤2）设t m n =+，则2114t t +，解得(),222222,t ⎤⎡∈-∞-++∞⎦⎣.（步骤3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】18，9【试题解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为250所， 所以应从小学中抽取15030=18250⨯，中学中抽取75309250⨯=. 10.―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .第10题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.【考查方式】给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积. 【难易程度】容易 【参考答案】189π+ 【试题解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为： 3433612π()189π32V =⨯⨯+⨯⨯=+3m . 11.已知集合{}23A x x =∈+<R ，集合{}()(2)0B x x m x =∈--<R ,且(1,)A B n =-，则m = ,n = .【测量目标】集合的基本运算，集合间的关系.【考查方式】给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】1-，1【试题解析】∵{}{}2351A x x x x =∈+<=-<<R ,又∵(1,)A B n =-，画数轴可知1,1m n =-=.12.己知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若EF ME =，点M 的横坐标是3，则p = . 【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线的参数方程，运用其简单的几何性质求未知数. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】∵22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩可得抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，（步骤1）∴焦点(,0)2pF ，∵点M 的横坐标是3，则(3,6)M p ±，（步骤2）所以点(,6),2p E p -±222()(06)22p pEF p =++±（步骤3）由抛物线得几何性质得2213,,63924p ME EF MF p p p p =+=∴+=++，解得2p =.（步骤4）13.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，33,1,,2AF FB EF ===则线段CD 的长为 .第13题图【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段. 【难易程度】中等 【参考答案】43【试题解析】∵33,1,,2AF FB EF ===由相交弦定理得AF FB EF FC =，所以2FC =，（步骤1）又48//,,233AF FC ABBD CE BD FC AB BD AF∴===⨯=，（步骤2）设CD x =，则4AD x =，再由切割线定理得2BD CD AD =，即284()3x x =，解得43x =，故43CD =.（步骤3）14.已知函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .【测量目标】函数图像的应用.【考查方式】已知两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】(0,1)(1,4)【试题解析】∵函数2y kx =-的图像直线恒过定点(0,2)B -，且(1,2),(1,0),(1,2)A C D --，∴2+2==010AB k --，0+2==210BC k ---，2+2==410BD k -，由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.第14题图三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】三角函数的周期性、最值.【考查方式】给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值. 【试题解析】(Ⅰ)2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2cos cos 22)34x x x =+=+ （步骤1）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==（步骤2）（Ⅱ）ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-（步骤3） 当πππ2()428x x +==时，max ()2f x =πππ2()444x x +=-=-时，min ()1f x =-（步骤4）16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率： （Ⅲ）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【测量目标】互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.【考查方式】针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）每个人参加甲游戏的概率为13p =，参加乙游戏的概率为213p -=（步骤1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C (1)27p p -=.（步骤2）（Ⅱ）44(4,)()C (1)(0,1,2,3,4)k k kXB p P X k p p k -⇒==-=，（步骤3） 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==（步骤4） （Ⅲ）ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==（步骤5）随机变量ξ的分布列为84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=（步骤6）17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA 丄平面ABCD ，,,45,2,1AC AD AB BC BAC PA AD AC ︒⊥⊥∠====.(Ⅰ)证明：PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒，求AE 的长.第17题图【测量目标】线线垂直、异面直线所成的角的正弦值. 【考查方式】通过空间几何体中的线线，线面直接的位置角度关系求证线线垂直以及异面直线所成角的正弦值. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角坐标系A xyz -.（步骤1）则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -（步骤2） (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥（步骤3）第17题（1）图（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n则0202200PC y z y z x y x z CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩n n 取1(1,2,1)z =⇒=n （步骤4）(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630cos ,sin ,66AD AD AD AD <>==⇒<>=n n n n得：二面角A PC D --（步骤5）（Ⅲ）设[]0,2AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11(,,),(2,1,0)22BE h CD ==-cos ,10BE CD BE CD hBE CD<>=⇔=⇔=即AE =（步骤6）18.(本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列,且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=(Ⅰ)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(Ⅱ)记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++…；证明：12210()n n n T a b n ++=-+∈N . 【测量目标】等差等比数列的通项及性质.【考查方式】给出等差等比数列中已知项之间的关系求解数列的通项，由两种数列结合成的新数列的性质运用与证明. 【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；则34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩（步骤1）得：31,2nn n a n b =-=(Ⅱ)121122311211...2222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++……111213132352222n n n n n n n a n n n c c ------++==-=-（步骤2）[]1223112()()()2()n n n n n n T c c c c c c c c -=-+-++-=-…1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-（步骤3）19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若AP OA =，证明：直线OP 的斜率k 满足k >【测量目标】椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】由椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程以及椭圆的参数，判断椭圆与直线的位置关系求解未知数的取值范围.【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；则221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=（步骤1）222212a b e e a -==⇔=（步骤2）（Ⅱ）设(cos ,sin )(02π)P a b θθθ<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ（步骤3）1AQ AP OA AQ OP k k =⇔⊥⇔⨯=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQb k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+（步骤4）2223AQAQ ak b a k k ⇒+<⇔<⇔>（步骤5）20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[)0,x ∈+∞,有2()f x kx 成立，求实数k 的最小值；（Ⅲ）证明：*12ln(21)2()21ni n n i =-+<∈-∑N .【测量目标】运用导数的相关性质求函数的最值，证明与推理最值问题. 【考查方式】给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,)a -+∞（步骤1）11()ln()()101x a f x x x a f x x a a x a x a+-'=-+⇒=-==⇔=->-++ （步骤2）()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（步骤3）（Ⅱ）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++则()0g x 在[)0,x ∈+∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔=（*）（步骤4）(1)1ln 200g k k =-+⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++（步骤5）①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)2k g x x x g x g k -'⇔=⇒<与（*）矛盾②当12k 时，min ()0()(0)0g x g x g '⇒==符合（*）（步骤6）得：实数k 的最小值为12（Ⅲ）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取[]222(1,2,3,,)ln(21)ln(21)2121(21)x i n i i i i i ==⇒+--<---…（步骤7）当1n =时，2ln32-< 得：12ln(21)221n i n i =-+<-∑ 当2i 时，2211(21)2321i i i <---- 得：121ln(21)ln(21)2ln 3122121n i i i i n =⎡⎤-++-<-+-<⎢⎥--⎣⎦∑（步骤8）。
【VIP专享】2012年,天津春季高考,数学真题,(图片版)
2012年高考理科数学天津卷(含答案解析)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥 ，那么 如果事件A ，B 相互独立，那么 ()()()P AB P A P B =+()()()P AB P A P B =⋅棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式34π3V R =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 其中R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 是虚数单位，复数7i3i-=+（ ）A. 2i +B. 2i -C. 2i -+D. 2i --2. 设ϕ∈R 则“0ϕ=”是“()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数”的 （ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为 （ ） A. 1- B. 1 C. 3D. 94. 函数3()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 35. 在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 （ ）A. 10B. 10-C. 40D. 40-6. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知85b c =，2C B =，则cos C =（ ）A. 725B. 725-C. 725±D. 24257. 已知ABC △为等边三角形，2AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=，(1)AQ AC λ=-，λ∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A. 1B.C. D. 8. 设,m n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n+的取值范围是（ ）A. [1B. [,1[13,]-∞++∞ C. [2-+D. [,2[222,]-∞-++∞第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2. 本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取_________所学校.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________3m .11. 已知集合{|23}A x x =∈+<R ，集合{|()(2)3}B x x m x =∈--<R ，且(1,)A B n =-，则m =_________，n =_________.12. 已知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩（t 为参数），其中0p >，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若||||EF MF =，点M 的横坐标是3，则p =_________.13. 如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为_________.14. 已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程，或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ[,]44-上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，AB BC ⊥，45BAC ∠=，2PA AD ==，1AC =.（Ⅰ）证明PC AD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PC D --的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30，求AE 的长.18.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=，4410S b -=.（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，*n ∈N ，证明*12210()n n n T a b n +=-+∈N .19.（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为12-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若||||AP OA =，证明直线OP 的斜率k满足||k >.20.（本小题满分14分）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a ＞. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明1*2ln(21)2()21ni n i n =-+-∈∑N ＜.2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）答案解析)(1)0f<，且函在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B1()2r rx--=【提示】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项A【解析】∵(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-，又∵32BQ CP=-，且2A B A C==，,60AB AC<>=，cos60AB AC AB AC︒==3[(1)]()2AC AB AB ACλλ---=-，2223(1)(1)2AB AB AC ACλλλλ+--+-=，2(1)4(1)2λλλ+--+-=，解得2λ=．(1)BQ AQ AB AC ABλ=-=--，CP AP AC AB ACλ=-=-进而根据数量积的定义求出BQ CP再根据32BQ CP=-即可求出λ．2][222,+，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形．第Ⅱ卷(1,AB n =-213,34EF MF p p p ==++2．AF FB EF FC =，所以FC 又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=，设CD x =，则4AD =再由切割线定理得2BD CD AD =，即2843x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得4x =42FC =，由相似比求出CD AD 求解．【考点】圆的性质的应用． (0,1)(1,4)2y kx =-的图像直线恒过定点010=-，10BC k --10-(0,1)(1,4)．2(4,)B p ⇒人中去(4)P X +=【考点】互斥事件与相对独立事件的相关性质，数学期望．（Ⅰ）以,,AD AC AP 为,x y 则(2,0,0),(0,1,0),(0,0,2)D C P(0,1,2),(2,0,0)PC AD PC AD PC AD=-=⇒⇔⊥（Ⅱ）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-的法向量(,,)n x y z =0200n PC x y n CD ⎧=⎪⇔⇔⎨⎨⎨-==⎩⎩⎪⎩(1,2,1)n ⇒=(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量630cos ,sin ,6AD n AD n AD n AD n<>==⇒<>=得：二面角A PC D --的正弦值为306． ；则(0,0,2)AE =，11,,,(2,1,0)BE h CD ⎛⎫==- ⎪3310,2101020BE CDBE CD h BE CD <>=⇔⇔=+，10=．为原点，建立空间直角坐标系，通过得出PC AD ，证出的一个法向量，利用两法向量夹角求解．3,BE CD <>=，得出关于h 的方程求解即可．。
2012年天津卷(文科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（天津卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则534i i+=- A.1i - B.1i -+ C.1i + D.1i --2.设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数32z x y =-的最小值为A ．5-B ．4-C ．2-D ．33.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为A ．8B ．18C ．26D ．804.已知122a =，0.21()2b -=，52log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．b c a <<5.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为A ．cos 2y x =，x R ∈B ．x y 2log =，x R ∈且0x ≠C ．2x xe e y --=，x R ∈ D ．31y x =+，x R ∈ 7.将函数()sinf x x ω=（其中0ω>）的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(0)4π，，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53 D ．2 8.在ABC ∆中，90A ∠=o ，1AB =，设点P ，Q 满足AP AB λ=u u u r u u u r ，(1)AQ AC λ=-u u u r u u u r，R λ∈，若2BQ CP ⋅=-u u u r u u u r ，则λ=A ．13B ．23C ．43D ．2二、填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分.9.集合{|25}A x R x =∈-≤中最小整数位 . 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积 2m .11.已知双曲线1C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）与双曲线2C ：221416x y -=有相同的渐近线，且1C 的右焦点为(5,0)F ，则a = ，b = .12.设m ,n R ∈，若直线l ：10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 .13.如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为 .14.已知函数2|1|1x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.A B CD F E15.（本小题满分13分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（Ⅰ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
春季高考历年真题-2012年天津市春季高考数学试卷
——3
分
所以，双曲线的焦点坐标为（-3,0）、（3,0）；顶点坐标为
（-2,0）、（2,0）
渐近线方程为y=±χ,即χ±2y=0.
——7
分
2.由对称性知，焦点到渐近线的距离为
d==
——11
分
3.依题意知，椭圆的焦点坐标为（-2,0），（2,0）；顶点坐标为
（-3,0）（3,0），故短半轴长为 =
，
所以椭圆的标准方程为 - =1 .
2012年天津市高等院校春季招生统一考 试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1 至9页，第Ⅱ卷10至12页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共75分）
注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在 答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。 2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试 卷上的无效。 3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
第六页 24.本小题满分12分
某一年级共有500名学生参加某次数学测试，现随机抽取若干名学生 的数学成绩，绘制成下面的直方图：
1.将成绩分组对应的频率填入下面的表格：
成 [40,50] [50,60] [60,70] [70,80] [80,90] [90,100] 绩 分 组 频 率 2.估计本次考试中，全年级的及格率（60分及以上的成绩为及格） 3.估计本次考试中，全年级成绩在80分及以上的学生人数
9.已知向量a=（2,1），b=(-1,k),若直线AB的倾斜角是60°，则常数a=
A. 0
B.4
2012年天津高考数学理科试卷(带详解)
2012年某某高考数学卷解析一、选择题：在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的. 1．i 是虚数单位,复数7i3iz -==+〔〕 A ．2i + B.2i -C .2i -+D .2i --[测量目标]复数代数形式的四如此运算. [考查方式]直接给出复数的分式形式求其值. [难易程度]容易 [参考答案]B [试题解析]7i (7i)(3i)217i 3i 12i 3i (3i)(3i)10z ------====-++- 2.设ϕ∈R ,如此"0ϕ=〞是"()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数〞的〔〕 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[测量目标]三角函数的奇偶性,充分、必要条件.[考查方式]判断三角函数初相参数取值与函数奇偶性的关系. [难易程度]容易 [参考答案]A[试题解析]∵0ϕ=⇒()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数,反之不成立,∴"0ϕ=〞是"()cos()()f x x x ϕ=+∈R 为偶函数〞的充分而不必要条件.3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为〔〕 A.1- B.1 C.3 D.9第3题图[测量目标]循环结构的程序框图.[考查方式]阅读程序框图得出程序运算结果. [难易程度]容易 [参考答案]C[试题解析]根据图给的算法程序可知：第一次4x =,第二次1x =,如此输出2113x =⨯+=. 4.函数3()22xf x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是〔〕C .2D .3[测量目标]函数零点的求解与判断.[考查方式]直接给出函数的解析式判断其零点的个数. [难易程度]容易 [参考答案]B[试题解析]解法1：因为(0)1021f =+-=-,3(1)2228f =+-=,即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()0,1内连续不断,故()f x 在()0,1内的零点个数是1.解法2：设3122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如以下图：可知B 正确.第4题图5.在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为〔〕A.10B.10-C.40D.40- [测量目标]二项式定理.[考查方式]直接给出一个二项展开式求某项的系数. [难易程度]容易 [参考答案]D[试题解析]∵2515103155C (2)()2(1)C r r r r r r rr T x x x ----+=-=-,∴1031r -=,即3r =,∴x 的系数为40-.6.在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,85,2b c C B ==,如此cos C =〔〕 A.725B.725-C.725±D.2425[测量目标]正弦定理,三角函数中的二倍角公式.[考查方式]三角形角与边的关系运用正弦定理求一角的余弦值. [难易程度]容易 [参考答案]A[试题解析]∵85b c =,由正弦定理得8sin 5sin B C =,〔步骤1〕又∵2C B =,∴8sin 5sin 2B B =,〔步骤2〕所以8sin 10sin cos B B B =,易知sin 0B ≠,〔步骤3〕∴4cos 5B =,27cos cos 22cos 125C B B ==-=.〔步骤4〕 7.ABC △为等边三角形,2AB =,设点,P Q 满足,AP AB λ=(1),AQ AC λ=-λ∈R ,假如32BQ CP =-,如此λ=〔〕A.12B.12± D.32-±[测量目标]平面向量在平面几何中的应用.[考查方式]给出三角形边的向量关系式,运用平面向量的知识求解未知参数. [难易程度]中等 [参考答案]A[试题解析]∵(1),BQ AQ AB AC AB λ=-=--CP AP AC AB AC λ=-=-,〔步骤1〕又∵32BQ CP =-,且2AB AC ==,,60AB AC ︒<>=,cos602AB AC AB AC ︒==〔步骤2〕,∴3(1)()2AC AB AB AC λλ⎡⎤---=-⎣⎦,2223(1)(1)2AB AB AC AC λλλλ+--+-=,〔步骤3〕所以2342(1)4(1)2λλλλ+--+-=,解得12λ=. 〔步骤4〕第7题图8.设,m n ∈R ,假如直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,如此m n +的取值X 围是〔〕A.1⎡⎣B.(),113,⎡-∞++∞⎣C.2⎡-+⎣ D.(),2222,⎡-∞-++∞⎣[测量目标]直线与圆的位置关系.[考查方式]一直线与圆的位置关系求未知参数的取值X 围. [难易程度]中等 [参考答案]D[试题解析]∵直线(1)(1)20m x n y ++--=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,〔步骤1〕∴圆心(1,1)到直线的距离为1d ==,所以212m n mn m n +=++（） 〔步骤2〕设t m n =+,如此2114t t +,解得(),2222,t ⎡∈-∞-++∞⎣.〔步骤3〕二、填空题：本大题共6小题,每一小题5分,共30分.9.某地区有小学150所,中学75所,大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进展视力调査,应从小学中抽取所学校,中学中抽取所学校. [测量目标]分层抽样.[考查方式]运用分层抽样里的按比例抽样知识解决实际问题. [难易程度]容易 [参考答案]18,9[试题解析]∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为250所, 所以应从小学中抽取15030=18250⨯,中学中抽取75309250⨯=. 10.―个几何体的三视图如以下图<单位：m >,如此该几何体的体积为3m .第10题图[测量目标]由三视图求几何体的外表积与体积.[考查方式]给出一个几何体的三视图求其原几何体的体积. [难易程度]容易 [参考答案]189π+[试题解析]由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积为：3433612π()189π32V =⨯⨯+⨯⨯=+3m . 11.集合{}23A x x =∈+<R ,集合{}()(2)0B x x m x =∈--<R ,且(1,)AB n =-,如此m =,n =.[测量目标]集合的根本运算,集合间的关系.[考查方式]给出含有未知参数的集合通过它们直接的关系求出未知参数. [难易程度]容易 [参考答案]1-,1[试题解析]∵{}{}2351A x x x x =∈+<=-<<R ,又∵(1,)AB n =-,画数轴可知1,1m n =-=.12.己知抛物线的参数方程为22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩〔t 为参数〕,其中0p >,焦点为F ,准线为l ,过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,假如EF ME =,点M 的横坐标是3,如此p =. [测量目标]抛物线的简单几何性质.[考查方式]给出抛物线的参数方程,运用其简单的几何性质求未知数. [难易程度]中等 [参考答案]2[试题解析]∵22,2,x pt y pt ⎧=⎨=⎩可得抛物线的标准方程为22(0)y px p =>,〔步骤1〕∴焦点(,0)2pF ,∵点M 的横坐标是3,如此(3,M ,〔步骤2〕所以点(,2p E -222()(022p pEF =++±〔步骤3〕由抛物线得几何性质得2213,,63924p ME EF MF p p p p =+=∴+=++,解得2p =.〔步骤4〕13.如图,AB 和AC 是圆的两条弦.过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D ,过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ,与AB 相交于点F ,33,1,,2AF FB EF ===如此线段CD的长为.第13题图[测量目标]圆的性质的应用.[考查方式]给出与圆相关的直线与线段由圆的性质求未知线段. [难易程度]中等 [参考答案]43[试题解析]∵33,1,,2AF FB EF ===由相交弦定理得AF FB EF FC =,所以2FC =,〔步骤1〕又48//,,233AF FC AB BD CE BD FC AB BD AF ∴===⨯=,〔步骤2〕设CD x =,如此4AD x =,再由切割线定理得2BD CD AD =,即284()3x x =,解得43x =,故43CD =.〔步骤3〕14.函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点,如此实数k 的取值X 围是.[测量目标]函数图像的应用.[考查方式]两个函数的图像的位置关系求解未知参数的取值X 围. [难易程度]中等 [参考答案](0,1)(1,4)[试题解析]∵函数2y kx =-的图像直线恒过定点(0,2)B -,且(1,2),(1,0),(1,2)A C D --,∴2+2==010AB k --,0+2==210BC k ---,2+2==410BD k -,由图像可知(0,1)(1,4)k ∈.第14题图三、解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.〔本小题总分为13分〕函数2ππ()sin(2)sin(2)2cos 1,33f x x x x x =++-+-∈R . <Ⅰ>求函数()f x 的最小正周期； 〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. [测量目标]三角函数的周期性、最值.[考查方式]给出三角函数的函数解析式求解其最小正周期和在某个区间内的最值. [试题解析]<Ⅰ>2ππ()sin(2)sin(2)2cos 133f x x x x =++-+-ππ2sin 2cos cos 2)34x x x =+=+〔步骤1〕函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==〔步骤2〕〔Ⅱ〕ππππ3π2π2sin(2)11()24444424x x x f x -⇒-+⇒-+⇔-〔步骤3〕当πππ2()428x x +==时,max ()f x =当πππ2()444x x +=-=-时,min ()1f x =-〔步骤4〕16.〔本小题总分为13分〕现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏. 〔Ⅰ〕求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：〔Ⅱ〕求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：〔Ⅲ〕用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记X Y ξ=-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.[测量目标]互斥事件与相对独立事件的相关性质、数学期望.[考查方式]针对实际问题运用互斥事件与相对独立事件的性质求解概率问题. [难易程度]中等[试题解析]〔Ⅰ〕每个人参加甲游戏的概率为13p =,参加乙游戏的概率为213p -=〔步骤1〕 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22248C (1)27p p -=.〔步骤2〕〔Ⅱ〕44(4,)()C (1)(0,1,2,3,4)k k kXB p P X k p p k -⇒==-=,〔步骤3〕 这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为1(3)(4)9P X P X =+==〔步骤4〕 〔Ⅲ〕ξ可取0,2,48(0)(2)2740(2)(1)(3)8117(4)(0)(4)81P P X P P X P X P P X P X ξξξ=======+=====+==〔步骤5〕随机变量ξ的分布列为8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=〔步骤6〕17.〔本小题总分为13分〕如图,在四棱锥P ABCD-中,PA 丄平面ABCD ,,,45,2,1AC AD AB BC BAC PA AD AC ︒⊥⊥∠====.<Ⅰ>证明：PC AD ⊥；〔Ⅱ〕求二面角A PC D --的正弦值；〔Ⅲ〕设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为30︒,求AE 的长.第17题图[测量目标]线线垂直、异面直线所成的角的正弦值.[考查方式]通过空间几何体中的线线,线面直接的位置角度关系求证线线垂直以与异面直线所成角的正弦值. [难易程度]较难[试题解析]<Ⅰ>以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向,建立空间直角坐标系A xyz -.〔步骤1〕如此11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22D C B P -〔步骤2〕(0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=⇒=⇔⊥〔步骤3〕第17题〔1〕图〔Ⅱ〕(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-,设平面PCD 的法向量(,,)x y z =n 如此0202200PC y z y zx y x z CD ⎧=-==⎧⎧⎪⇔⇔⎨⎨⎨-===⎩⎩⎪⎩n n 取1(1,2,1)z =⇒=n 〔步骤4〕(2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量得：二面角A PC D --的正弦值为6〔步骤5〕〔Ⅲ〕设[]0,2AE h =∈；如此(0,0,2)AE =,11(,,),(2,1,0)22BE h CD ==-cos ,10BE CD BE CD h BECD<>=⇔=⇔=即AE =〔步骤6〕18.<本小题总分为13分〕{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,{}n b 是等比数列,且1144442,27,10a b a b S b ==+=-=<Ⅰ>求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；<Ⅱ>记112231n n n n n T a b a b a b a b --=++++…；证明：12210()n n n T a b n ++=-+∈N . [测量目标]等差等比数列的通项与性质.[考查方式]给出等差等比数列中项之间的关系求解数列的通项,由两种数列结合成的新数列的性质运用与证明. [难易程度]较难[试题解析]<Ⅰ>设数列{}n a 的公差为d ,数列{}n b 的公比为q ；如此34434412732322710246210a b d d q S b q a d q +==⎧++=⎧⎧⇔⇔⎨⎨⎨-==+-=⎩⎩⎩〔步骤1〕得：31,2nn n a n b =-=<Ⅱ>121122311211...2222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++ (111)213132352222n n n n n n n a n n n c c ------++==-=-〔步骤2〕[]1223112()()()2()n n n n n n T c c c c c c c c -=-+-++-=-…1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-〔步骤3〕19.〔本小题总分为14分〕设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B 两点,O 为坐标原点. 〔Ⅰ〕假如直线AP 与BP 的斜率之积为12-,求椭圆的离心率；〔Ⅱ〕假如AP OA =,证明：直线OP 的斜率k 满足k [测量目标]椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系.[考查方式]由椭圆的简单几何性质求解椭圆的标准方程以与椭圆的参数,判断椭圆与直线的位置关系求解未知数的取值X 围.[难易程度]较难 [试题解析]〔Ⅰ〕取(0,),(,0),(,0)P b A a B a -；如此221()22AP BP b b k k a b a a ⨯=⨯-=-⇔=〔步骤1〕2222122a b e e a -==⇔=〔步骤2〕〔Ⅱ〕设(cos ,sin )(02π)P a b θθθ<；如此线段OP 的中点(cos ,sin )22ab Q θθ〔步骤3〕sin sin cos 22cos AQ AQ AQb k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+〔步骤4〕2223AQAQ ak b a k k ⇒+<⇔<⇔>〔步骤5〕20.〔本小题总分为14分〕函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中0a >. 〔Ⅰ〕求a 的值；〔Ⅱ〕假如对任意的[)0,x ∈+∞,有2()f x kx 成立,某某数k 的最小值；〔Ⅲ〕证明：*12ln(21)2()21ni n n i =-+<∈-∑N .[测量目标]运用导数的相关性质求函数的最值,证明与推理最值问题. [考查方式]给出函数解析式运用导数的相关性质求解其函数最值. [难易程度]较难[试题解析]〔Ⅰ〕函数()f x 的定义域为(,)a -+∞〔步骤1〕11()ln()()101x a f x x x a f x x a a x a x a+-'=-+⇒=-==⇔=->-++〔步骤2〕得：1x a =-时,min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=〔步骤3〕〔Ⅱ〕设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++如此()0g x 在[)0,x ∈+∞上恒成立min()0(0)g x g ⇔=〔*〕〔步骤4〕(1)1ln 200g k k =-+⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++〔步骤5〕①当1210()2k k -<<时,0012()00()(0)2kg x xx g x g k-'⇔=⇒<与〔*〕矛盾 ②当12k时,min ()0()(0)0g x g x g '⇒==符合〔*〕〔步骤6〕得：实数k 的最小值为12〔Ⅲ〕由〔2〕得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取[]222(1,2,3,,)ln(21)ln(21)2121(21)x i n i i i i i ==⇒+--<---…〔步骤7〕当1n =时,2ln32-<得：12ln(21)221ni n i =-+<-∑当2i时,2211(21)2321i i i <----得：121ln(21)ln(21)2ln 3122121ni i i i n =⎡⎤-++-<-+-<⎢⎥--⎣⎦∑〔步骤8〕。
最新春季高考历年真题-天津市春季高考数学试卷
2013年天津市高等院校春季招生统一考试数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至9页，第Ⅱ卷10至12页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共75分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目涂写在答题卡上，并将本人考试用条形码贴在答题卡的贴条形码处。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3. 考试结束，监考员将本试卷和答题卡一并收回。
—、单项选择题：本大题共15小题，每小题5分，共75分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.已知全集U={1,2,3,4，5,6}，A, ={1,2,3,6}， B={3, 5}，则B ∩=C u A= A.{5} B.{3,4,5} C.{3，4，5，6} D.{1,2,3,4,5,6}2.已知log a 4=-21，则a=A. 161B=2C.8 D=163.条件“χ=0”是结论“yx=0”的A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)= 1)12lg(2-X -X 的定义域是A.（ 21 ，-∞）B.（ 21，1）∪（1，＋∞）C.（-1,1）∪（1，＋∞）D. （0,1）∪（1，+∞）第一页5.在数列{a n }中，若a 2=2，且满足a n =3n-1（n ≥2）,则α5=A.162B. 54C.17D. 146.若α=323π，则α是A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角 7.在下列函数中，周期为π的奇函数是A. f(x)=sinxB. f(x)=cosxC. f(x)=sin2xD. f(x)=cos2x 8.在ΔABC 中，已知AB=4，BC=6，∠B=60°，则AC= A. 28 B.27 C. 76 D.2199.已知点A=（3,1），B=(1,2),C=(1，2),D=(2，1),则向量−−→−+−→−BD AC 2的坐标是A. (6，-3)B.(4，1)C. (-1，2)D.(3，0)10.若点M （1，2），N （-2,3），P(4,b)在同一条直线上，则b=A. 21B. 23C. 1D. -1 11.已知点a （-1,0），B(5，0),则线段AB 为直径的圆的标准方程是 A.（x-3）2+y 2=3 B. （x-3）2+y 2=9 C.（x-2）2+y 2=3 D. （x-2）2+y 2=9 12.顶点为坐标原点，准线为直线x=-1的抛物线的标准方程是 A. y 2=4x B. y 2=-4x C. y 2=2x D. y 2=-2x13.已知如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的直观图，应该为虚线的线段共有 A.1条 B.2条第二页C.3条D.4条14.从13名学生中选出两人担任正、副组长，不同的选举结果共有 A.26种 B.78种 C.156种 D.169种15.从不超过20的正整数中任取一个数恰好是3的倍数的概率为A.51B.41C.203D.103第三页2013年天津市高等院校春季招生统一考试数学第二卷（非选择题）注意事项；1.答第II 卷前，考生须将密封线内的项目填写清楚。