建立反比例函数模型1
《建立反比例函数模型解决实际问题》PPT课件
所以若要在一个工作日 ( 8 小时 ) 内完成，
则每小时要比原来多加工 15 个零件.
总结
在生活与生产中，如果某些问题的两个量成反 比例关系，那么可以根据这种关系建立反比例函数 模型，再利用反比例函数的有关知识解决实际问 题．
总结
运用反比例函数解决实际问题时常用的两种思路： (1) 通过问题提供的信息，明确变量之间的函数关系， 设出相应的函数表达式，再根据题目条件确定函 数表达式中的待定系数的值； (2) 已知反比例函数模型的表达式，运用反比例函数 的图象及性质解决问题.
你从中发现了什么规律 ? 同样多的橡皮泥，搓的长条越细，得到的长度越长 .
知识点 1 实际问题中的反比例函数关系式
对现实生活中的许多问题，我们都可以通过建立反 比例函数模型来加以解决.
例1 某机床加工一批机器零件， 如果每小时加工 30 个， 那么 12 小时可以完成. (1) 设每小时加工 x 个零件，所需时间为 y 小时，写 出 y 关于 x 的函数表达式； (2) 若要在一个工作日 ( 8 小时 ) 内完成， 则每小时 要比原来多加工几个零件?
1. 《典中点》P13T3 2. 《典中点》P13T4
知识点 2 实际问题中的反比例函数图象
反比例函数的图象在实际生活中的应用问题，体 现了数形结合思想及函数思想， 是初中数学常用的思 想方法.
例2 【中考·宜昌】 某学校要种植一块面积为100 m2 的长 方形草坪，要求相邻两边长均不小于 5 m，则草坪的 一边长 y ( 单位：m ) 随其邻边长 x ( 单位：m ) 的变 化而变化的图象可能是图中的( C )
第一章 反比例函数
1.3 反比例Байду номын сангаас数的应用
第1课时 建立反比例函数模型 解决实际问题
建立反比例函数模型解实际问题
(教案)27教学目标：1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题2、能依照实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。
3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。
教学重点、难点：重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题难点：依照实际问题中的条件确定反比例函数的解析式教学过程：一、情形创设：为了预防“非典”,某学校对教室采纳药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时刻x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,现在室内空气中每立方米的含药量为6mg,请依照题中所提供的信息,解答下列问题:(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范畴是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.(2)研究说明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要通过______分钟后,学生才能回到教室;(3)研究说明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且连续时刻不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?什么缘故?二、新授：例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。
（1）假如小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时刻才能完成录入任务？[来源:学,科,网][来源:学_科_网]（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时刻t(min)有如何样的函数关系？（3）小明期望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？例2某自来水公司打算新建一个容积为43410m⨯的长方形蓄水池。
（1）蓄水池的底部S()3m与其深度()h m有如何样的函数关系？（2）假如蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？（3）由于绿化以及辅助用地的需要，通过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）[来源:学_科_网]三、课堂练习1、一定质量的氧气,它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V( m3) 的反比例函数, 当V=10m3时,ρ=1.43kg/m3. (1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V =2m3时求氧气的密度ρ.2、某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度打算将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y (亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=-0.8.[来源:Zxxk ](1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%? [收益=(实际电价－成本价)×(用电量)]3、如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在BC边上移动(不与点B、C 重合),设PA=x,点D到PA的距离DE=y.求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范畴.四、小结五、作业教材习题1、2、3[来源:Z&xx&k ]。
反比例函数19种模型
反比例函数19种模型反比例函数是数学中常见的函数类型之一，用来表示两个变量之间的反比关系。
以下是反比例函数的一些常见模型：1.直线模型：y = k/x，其中k为常数。
2.比例关系模型：y = (kx)/(ax + b)，其中k、a、b为常数。
3.反比例关系模型：y = (k/x) + a，其中k、a为常数。
4.工作时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
5.人口密度模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
6.速度和时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
7.飞行时间和飞行距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
8.投资收益模型：y = k/(x+a)，其中k和a为常数，x表示投资金额。
9.流量与管道直径模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示管道直径。
10.压力和体积模型：y = k/x，其中k为常数，x表示体积。
11.购买力和价格模型：y = k/x，其中k为常数，x表示价格。
12.照明强度和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
13.土地价格和面积模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
14.音量和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
15.饼干消耗和人数模型：y = k/n，其中k为常数，n表示人数。
16.温度和容器大小模型：y = k/V，其中k为常数，V表示容器大小。
17.实验结果和样本数量模型：y = k/n，其中k为常数，n表示样本数量。
18.电阻和电流模型：y = k/I，其中k为常数，I表示电流。
19.体积和浓度模型：y = k/C，其中k为常数，C表示浓度。
这些模型仅是反比例函数在不同应用领域中的一些示例。
实际上，反比例函数可以描述的反比关系很多，取决于具体应用的背景和需求。
对于不同的问题和场景，可以选择适合的反比例模型来建模和分析。
湘教版九年级数学课件-建立反比例函数模型
y
=
50 x
，
得
y
=
50 3
.
例3 已知 y (2 k)xk25 是反比例函數，
求k的值.
解：依題意得
k 2 5 1
∴ k =±2.
又∵ （2-k）≠0, ∴ k ≠ 2. ∴ k = -2.
練習
已知 y 與 x2 成反比例，並且當 x=3
時 y=4，求 x=1.5 時 y 的值.
解：設
設它的兩條對角線 AC， BD 的長分別為x，y.
寫 解:因出為變菱數形的y 與面積x等之於間兩的條對函角數線運長乘算積式的，一半並，指出它 是 所以什S麼菱形函= 12 數xy .180,
所以xy = 360(定值)， 即y與x成反比例關係． 所以 y 360 .
x
因此， 當菱形的面積一定時， 它的一條對角線長y是另 一條對角線長x 的反比例函數.
反比例函數的表達形式一般有哪些？
yk x
xy k
y kx1
其中k為常數 且k≠0
做一做
2.下列問題中，變數間的對應關係
可以用怎樣的函數運算式表示？
（1） 已知矩形的面積為120 cm2， 矩形的長y（cm）
120
隨寬x（cm）的變化而變化；
y x
I 220 （2） 在直流電路中， 電壓為220 V， 電R流I（A）
點是（ A ） A.（-3,2） B.（3,2） C.（2,3） D.（6,1）
結束
單位：北京市第二十五中學 姓名：許雯
k x
(k為常數，k≠0)
反比例函數的引數x的取值 範圍是什麼？
因為x作為分母不能等於零，因此引 數x的取值範圍是所有非零實數.
但是在實際問題中， 應該根據具體情況來確定
新湘教版九年级上册数学教案
第一章 反比例函数探究内容：1.1 建立反比例函数模型（1）目标设计：1、引导学生从具体问题中探索出数量关系和变化规律，抽象出反比例函数的概念；2、理解反比例函数的概念和意义；3、培养学生自主探究知识的能力。
重点难点：对反比例函数概念的理解 探究准备：投影片等。
探究过程： 一、旧知回顾： 1、函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
2、一次函数的概念： 一般地，如果y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）那么y 叫做x 的一次函数。
如：31y x =-，… 当0b =时，有y kx =（k 为常数，0k ≠）则y 叫做x 的正比例函数。
如：12y x =-，4y x =，…二、新知探究：类似地，有反比例函数： 1、概念：一般地，如果两个变量y 与x 的关系可以表示成ky x=（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
2、强调：①自变量在分母中，指数为1，且0x ≠；②也可以写成1y kx -=的形式，此时自变量x 的指数1-； ③自变量x 的取值为0x ≠的一切实数；④由于0k ≠，0x ≠，因此函数值y 也不等于0。
例题讲评：1、下列函数中，x 均表示自变量，那么哪些是反比例函数，并指出每一个反比例函数中相应的k 值。
⑴5y x =⑵20.4y x=- ⑶2x y =- ⑷2xy =分析： ⑴5y x=是反比例函数，5k =； ⑵20.4y x =-不是反比例函数； ⑶2xy =-是正比例函数；⑷2xy =，即2y x=，是反比例函数，2k =。
2、若函数()272mm y m x +-=-是反比例函数，求出m 的值并写出解析式。
分析：由题有：20m -≠且271m m ++=-，解得3m =- ∴解析式为15y x -=-，即5y x=-3、已知反比例函数的图象经过点（-1，2），求其解析式。
中考专题反比例函数常见模型
模型九：等角2——对称型
结论：正比例函数图象与双曲线交于Q、R两点，
则∠1=∠2，∠3=∠4
证明：作P点关于点O对称点S，
连SR,SP,SQ
易证四边形PQSQ为平行四边形
由模型八可知∠2=∠5，
又∵PR∥QS，∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2
∵∠2+∠4=90°，∠3+∠1=90°
∴∠3=∠4
|k|等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线的矩形的面积。
二、反比例函数的基本模型
模型一、对称性
结论：
∵正比例、反比例函数的图象都是关于原点成中心对称图形，
∴①OA=OB，OC=OD；
②四边形ACBD是平行四边形；
模型二：双曲矩形
结论：1、不论P在双曲线上何处，
2、当OA在x轴上平移时，
同理：当OB在y轴上平移时，
等底同高可证，证明略
模型三：双曲三角形
结论：
1、不论P在双曲线上何处，
2、不论O'在y轴上何处，
同底等高可证，证明略
模型四：等分面积
结论：
3、若Q为AB中点，则P也必为BC中点。
由2可得，证明略
模型五：三角转梯形
结论：
模型六：斜向平行线
结论：过双曲线上任意两点P、Q分别作PC⊥y轴于C，QA⊥x轴于A，连结AC，则PQ∥AC
由模型七得
∵ABQP为平行四边形
∴PQ∥AB，AP∥BQ，PQ=AB，AP=BQ
∴∠2=∠6=∠EPA
∵∠PEA=∠BCQ=90°
∴பைடு நூலகம்PEA≌△BCQ（AAS）∴PE=BC=a，
∵OM=a+b，OC=b，∴CM=OM-OC=a
建立“反比例”模型、解实际问题
建立“反比例”模型 解实际问题法国著名数学家笛卡儿说过：“我们所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用于解决其他问题。
”.我们学习反比例函数的目的，就是要建立其一个模型，用于解决实际问题.本文以中考题为例来说明.一、以其他学科知识为背景，建立反比例函数模型.例1（湖北襄樊）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度p(单位,kg/m 3)是v(单位,m 3)的反比例函数,它的图象如图1所示,,当v=10m 3时,气体的密度是（ ）A.5kg/m 3B.2kg/m 3C.100kg/m 3D.1kg/m 3分析 由图象知，p 和v 是变量，质量m 为常量，所以m=pv=5×2=10(kg),所以p=v 10 ( v ＞0). 当v=10m 3时,气体的密度是1101010===v p . 解 选D.点评 本题是以质量、密度和体积的知识为背景建模，也可以分别以电压、电流和电阻或压力、压强、受力面等为背景来建模.二、以药物释放为背景，建立反比例函数模型.例2 (杭州) 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为a y t=（a 为常数），如图2所示．据图2中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？分析 （1）这是一道正比例函数与反比例函数相结合的实际应用题，解题时应根据药物释放后的含药量y 与时间x 之间的关系建立反比例函数模型，然后求解函数解析式；（2）要计算学生回到教室的时间，关键是利用药物释放后反比例函数关系式计算每立方米空气中的含药量小于0.25毫克的时间.解 (1)将点)21,3(P 代入函数关系ta y =,解得23=a ,所以t y 23=. 将y=1代入t y 23=,得23=t , 所以药物释放完毕后y 与t 的函数关系式为t y 23= ( t ＞23) 再将)1,23(代入,kt y =得32=k , 所以药物释放过程中y 与t 的函数关系式为)320(32≤≤=t t y (2)解不等式4123<t ,解得t>6, 所以至少需要经过6小时后,学生才能进入教室. 点评 例2是有两个过程,首先是一个正比例函数,后来是一个反比例函数,注意每个函) 3） 图1数的自变量的取值范围.三、 以奥运会火炬传递为背景,建反比例函数的模型.例3 (江苏镇江)如图3，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T(m,n)表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M 点开始传递，到离北京路1000米的N 点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O （北京路与奥运路的十字路口），OATB 为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．（1）求图3中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；（3）设t=m-n ，用含t 的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．分析 (1) 根据鲜花方阵的面积是10000,求反比例函数解析式; (2) 设鲜花方阵的长为m 米，则宽为(250-m)米,根据面积是10000,求出m,即可求出火炬的位置; (3) 借助勾股定理和最小值确定火炬的位置（用坐标表示）．解 （1）由于矩形的方阵的面积为10000且顶点在反比例函数的图象上，所以反比例函数的解析 式是：x y 10000=. （2）设鲜花方阵的长为m 米，则宽为(250-m)米, 由题意得：m(250-m)=10000． 即：m 2-250m+10000=0，解得：m=50或m=200， 满足题意．∴此时火炬的坐标为(50,200)或(200,50)． （3）∵mn=10000，在R t △TAO 中，TO=2222n m AT OA +=+==∴当t=0时，TO 最小，此时m=n ，又mn=10000，m ＞0,n ＞0，∴m=n=100，且10＜100＜1000．∴T(100,100)．综观近几年中考题，在反比例函数考题中出现了一类新题型——建反比例函数模型．通过模型解决实际问题.它既符合素质教育提出的“培养学生应用意识”的新要求，同时也有利于培养学生分析问题和解决问题的能力，解这类数学应用题的关键是通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个反比例函数数学模型．x 图3。
第一课时建立反比例模型
第一课时教学内容：建立反比例函数模型。
（P2-3）教学目标：1、从现实情境和已有的知识、经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。
2、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
3、在具体情境中，会写出较简单问题的反比例函数的解析式。
教学重点难点：重点：理解和领会反比例函数的概念，确定反比例函数的解析式。
难点：领会反比例函数的意义,理解反比例函数的概念。
教学方法教师引导学生进行归纳。
教学准备：投影仪、投影片。
教学过程：一、创设问题，情境引入：（出示投影1）问题：1、什么是正比例函数？2、正比例函数有什么性质？3、已知正比例函数的图象经过点（1，2），那么点（－1，－2）是否也在该图象上？为什么？让学生逐个回答，教师适当引导归纳。
（出示投影2）P2的观察：谁先到终点？甲、乙、丙、丁四人在3000m赛马过程中的平均速度分别为15m/s，14.5 m/s，14.2 m/s和14 m/s，那么他们谁先到终点?让学生讨论后,教师引导学生分析:甲跑的速度最快,花的时间最少,所以甲先到终点。
这是由于当路程s＝3000m，所花的时间t与速度v的关系是t＝3000/v。
利用这个公式，可以计算出甲、乙、丙和丁所花的时间分别为200s、206.9s、211.3s和蔼可亲14.3s。
二、探究新知：1、通过上面的实例引入反比例函数的概念：在上面的例子中，当路程s＝3000m时，所花的时间t（s）与速度v（m/s）的关系为t＝3000/v。
这个公式表明：当路程一定时，所花的时间t是速度v的函数。
由于当路程一定时，时间t与速度v成反比例关系，因此我们把这样的函数叫作反比例。
2、教师板书反比例函数的定义：一般地，如果两个变量y与x关系可以表示成y＝k/ X（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x反比例函数。
3、说一说：让学生举例说出现实生活活中的反比例函数。
4、比一比：让学生比较正比例函数与反比例函数的异同。
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建立反比例函数模型
教学目标：
理解反比例函数概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式。
重点：理解反比例函数的概念及求表达式。
难点：根据实际问题列出反比例函数关系式的分析过程。
教学过程：
知识回顾：
什么是函数？一次函数？正比例函数？
一、创设情景探究问题
情境1：当路程一定时，速度与时间成什么关系？（ vt＝s）
当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系?
情境2：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.
问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？
（2）利用（1）的关系式完成下表：
随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？
（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？
问题：（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？
（2）它们有一些什么特征？
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成y＝k
x
(k为常数，k≠0)的
v(km/h) 60 80 90 100 120 t（h）
形式，那么称y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是因变量，y是x的函数，k是比例系数. （有的书上写成y＝kx－1的形式.）
二、例题教学
例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？
(1)y＝
x
15
；(2)y＝
2
x－1
；(3)y＝－
3
x
；(4)y＝
1
x
－3；
(5)y＝2＋1
x
；(6)y＝
x
3
＋2；(7)y＝
－1
2x
.
例2：在函数y＝2
x
－1，y＝
2
x+1
，y＝x－1，y＝
1
2x
中，y是x的反比例函
数的有个.
例3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为.
三、拓展练习
1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数. 如果是，指出比例系数k的值.
（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；
（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x （人）的变化而变化；
2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？
（1）y＝2
3
x；（2）y＝
2
3x
；（3）xy＋2＝0；
（4）xy＝0；（5）x＝
2
3y .
3、已知函数y＝（m＋1）x22
m是反比例函数，则m的值为.
四、课堂小结
这节课你学到了什么？还有那些困惑？
1、牢记反比例函数的概念；
2、能正确区别正、反比例函数
五、布置作业：书P4 A组
[教学后记]。