高考数学一轮复习 第四章 三角函数、平面向量与复数考点集训 理

第四章 三角函数、平面向量与复数考点集训(十八) 第18讲 任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式1．若sin α＝－223，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α等于 A ．－24 B.24C ．－2 2D ．22 2．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是A ．2B ．1 C.12D ．33．已知角α的终边过点P (－8m ，－6cos 60°)，且sin α＝－35，则m 的值为A ．－14B ．±12C ．－32D ．±324．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于A ．－43 B.54 C ．－34 D.455．在(0，2π)内，使sin x>cos x 成立的x 的取值范围为A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π26．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是__________．7．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin （α＋π）·tan （α－π）cos （3π－α）的值．8．已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值．9．已知函数f (x )＝sin （π－x ）cos （2π－x ）tan （－x ＋π）tan （π＋x ）sin （－π－x ）.(1)化简f (x )的表达式；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值．考点集训(十九) 第19讲 两角和与差及二倍角的三角函数1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝ A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．63．已知cos 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为A.1318B.1118C.79D ．－1 4．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α等于 A ．－79 B ．－13 C.13 D.795．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2B ．2α－β＝π2C ．2α＋β＝π26．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α的值为__________．7．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，求cos 2θ的值．8．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13.(1)求sin (α－β)的值； (2)求cos β的值．9．已知α，β∈(0，π)且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．考点集训(二十) 第20讲 三角恒等变换1．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于 A.12 B ．－12 C.22 D ．－222．已知7sin α－24cos α＝25，则tan α＝A. ±724B. ±247 C ．－247 D. －7243．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝ A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝__________．5.sin 2B1＋cos 2B －sin 2B＝－3，则tan 2B ＝________． 6．不查表计算：3－sin 70°2－cos 210°的值等于______． 7．化简：sin 7°＋cos 15°·sin 8°cos 7°－sin 15°·sin 8°.8．求证：sin （2α＋β）sin α－2cos (α＋β)＝sin βsin α.9．已知0<α<π2，0<β<π2，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tanα2＝1－tan2α2，求α＋β的值．考点集训(二十一) 第21讲 三角函数的图象1．将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则y ＝g (x )图象的一条对称轴是 A ．x ＝π12 B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝2π32．函数y ＝sin x|cos xsin x|(0<x<π)的图象大致是3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x ＋1的图象，可以将函数y ＝2sin 3x 的图象A ．向右平移π12个单位，向下平移1个单位B ．向左平移π12个单位，向下平移1个单位C ．向右平移π12个单位，向上平移1个单位D ．向左平移π12个单位，向上平移1个单位4．已知f (x )＝2sin (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的表达式为A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋5π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2π9D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43x ＋2518π 5．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则b －a 的值不可能是 A.π3 B.2π3 C ．π D.4π36．函数f (x )＝||sin x (x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，设交点中横坐标的最大值为α，则（1＋α2）sin 2αα＝________．7．已知函数f (x )＝Asin (x ＋φ)(A>0，0<φ<π)，x ∈R 的最大值是1，其图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12. (1)求f (x )的解析式；(2)已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．8．已知函数y ＝f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象经过如下三步变换得到的：①将y ＝sin x 的图象整体向左平移π6个单位；②将①中的图象的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12；③将②中的图象的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍． (1)求f (x )的最小正周期和对称轴；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝2，c ＝1，ab ＝23，且a >b ，求a ，b 的值．9．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ωx 2， －sin ωx 2，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos ωx2，sin ωx 2(ω>0)，函数f (x )＝a·b ，x 1，x 2是函数f (x )的任意两个相异零点，且|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求ω的值；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上无零点，求实数m 的取值范围．考点集训(二十二) 第22讲 三角函数的性质1．函数y ＝(sin x ＋cos x )(sin x －cos x )是A ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增B ．奇函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增C ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增D ．偶函数且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上单调递增 2．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为A ．π B.3π4 C.π2 D.π43．已知函数f (x )＝cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π，若方程f (x )＝m 有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数m 的值是A ．－12 B.12C ．－22 D.224．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－1，1 ] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，325．设函数f (x )＝|sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3|，则下列关于函数f (x )的说法中正确的是 A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的最小正周期为πC ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π12上是增函数 6．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象沿x 轴向右平移a 个单位(a ＞0)，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为A ．π B.3π4 C.π2 D.π47．设函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos (2ωx ＋π)，其中ω>0. (1)求函数y ＝f (x ) 的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数，求 ω的最大值．8．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．题 号 答 案 1 2 3 4考点集训(二十三) 第23讲 解斜三角形1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝A ．－223 B.223 C ．－63 D.632．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知a ＝3，b ＝3，C ＝30°，则A ＝A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝3sin AsinC ，则角B 为A.π6B.π3C.23πD.56π 4．在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c 2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 是A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝__________．6．如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．7．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.8．已知函数f ()x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋sin xcos x ＋3sin 2x (x ∈R )．(1)求f ()x 的单调递增区间；(2)在△ABC 中，B 为锐角，且f ()B ＝3，AC ＝43，D 是BC 边上一点，AB ＝AD ，试求△ADC 周长的最大值．9．设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .已知C ＝π3，a cos A ＝b cos B .(1)求角A 的大小；(2)如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2.过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM、PN，垂足分别是M、N.设∠PCA＝α，求PM＋PN的最大值及此时α的取值．考点集训(二十四) 第24讲 三角形中的三角函数1．在△ABC 中，若2cos Bsin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，则b a＝ A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D.23．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，则命题p 是命题q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝ 2 ，则AC ＝A ．5 B. 5 C ．2 D. 15．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________．6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝bcos C ＋csin B. (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c.(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin (B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．题 号 答 案 1 2 3考点集训(二十五) 第25讲 三角函数模型及应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (π6x ＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为A ．5B ．6C ．8D ．102．已知函数f (x )＝sin πx 和函数g (x )＝cos πx 在区间[0，2]上的图象交于A ，B 两点，则△OAB 的面积是A.328B.22C.528D.3243．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(－1，2)，点C 位于第一象限，∠AOC ＝α.若|BC|＝5，则sin α2cos α2＋3cos 2α2－32＝A ．－255B ．－55C.55 D.2554．如图为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 的各边的长度(单位：km )：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为________km.5．设常数a 使方程sin x ＋3cos x ＝a 在闭区间[0，2π]上恰有三个解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝__________．6．在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是____________．7．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？8．已知函数f (x )＝Asin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(其中x ∈R ，A >0，ω>0)的最大值为2，最小正周期为8.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 为坐标原点，求cos ∠POQ 的值．9．已知函数f (x )＝ax sin x ＋cos x ，且f (x )在x ＝π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值，并讨论f (x )在[－π，π]上的单调性；(2)设函数g (x )＝ln(mx ＋1)＋1－x1＋x，x ≥0，其中m > 0，若对任意的x 1∈[0，＋∞)总存在x 2∈[0，π2]，使得g (x 1)≥f (x 2)成立，求m 的取值范围．考点集训(二十六) 第26讲 平面向量的概念及运算1．平面向量a ，b 共线的充要条件是 A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a ＋λ2b ＝0 2．已知|a|＝|b|＝|a －2b|＝1，则|a ＋2b |＝ A ．9 B ．3 C ．1 D ．23．已知△ABC ，D 是BC 边上的一点，AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，|AB →|＝2，|AC →|＝4，若记AB →＝a ，AC →＝b ，则用a ，b 表示BD →所得的结果为A.12a －12bB.13a －13b C ．－13a ＋13b D.12a ＋13b4．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋14b 5．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．6．如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，则AP ∶PM 的值为________．7．若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a＋b )三向量的终点在同一条直线上？8．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.9．在△ABC 中，||AD ||AB ＝13，||AE ||AC ＝14，BE 与CD 交于点P ，且AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示AP →.题 号 答 案 1 2 3 4 5 6考点集训(二十七) 第27讲 平面向量的基本定理和向量的坐标运算1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝A ．－92 B ．0C ．3 D.1533．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(3，S )，且满足p ∥q ，则C ＝A.π6B.π3C.2π3D.5π64．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是A.3，1 B ．1, 3C ．－1, 3D ．－3，15．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2PA →，则A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝146．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →分别为a ，b ，则AH →＝A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b7．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．8．如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________．9．如图，梯形OABC 中，OA ＝OC ＝2AB ＝1，OC ∥AB ，∠AOC ＝π3，设OM →＝λOA →，ON →＝μOC→(λ>0，μ>0)，OG →＝12(OM →＋ON →) .(1)当λ＝12，μ＝14时，点O ，G ，B 是否共线，请说明理由；(2)若△OMN 的面积为316，求||OG →的最小值．考点集训(二十八) 第28讲 平面向量的数量积及应用1．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(k ，1)，若a ＋2b 与a －b 平行，则k 的值是A ．－6B ．－23 C.23D ．142．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 33．非零向量a ，b 满足||a －b ＝||a ＋b ＝2||a ，则向量a ＋b 与b －a 夹角的余弦值为 A.12 B.22 C.32D ．1 4．在等腰△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →的值为A ．－23B ．－13 C.13 D.435．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________． 6．已知两个单位向量a ，b 的夹角为30°，c ＝t a ＋b ，d ＝a －t b .若c ·d ＝0，则正实数t ＝________．7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，DE ＝EC ，若F 是线段BC 上的一个动点，则AE →·AF →的最大值是________．8．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)．(1)求向量AC →，BC →夹角的大小；(2)若动点D 满足||CD →＝1，求||OA →＋OB →＋OD →的最大值．9．己知向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，1，θ∈R . (1)若a ⊥b ，求tan θ的值：(2)若a ∥b ，且θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求θ的值．考点集训(二十九) 第29讲 平面向量的综合应用1．已知向量a ＝(1，1－cos θ)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos θ，12，且a ∥b ，则锐角θ等于 A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°2．已知函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，A ，B 分别是这部分图象上的最高点、最低点，O 为坐标原点，若OA →·OB →＝0，则函数f (x ＋1)是A ．周期为4的奇函数B ．周期为4的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数3．在直角坐标平面上，OA →＝(1，4)，OB →＝(－3，1)，且OA →与OB →在直线l 的方向向量上的投影的长度相等，则直线l 的斜率为A ．－14 B.25C.25或－43D.524．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC →＝54OA →＋34OB →，则r ＝__________．5．已知A (3，3)，O 是原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ＜0，x －3y ＋2＜0，y ≥0，则OA →·OP→|OP →|的取值范围为________．6．已知圆M ：x 2＋()y －12＝1，圆N ：x 2＋()y ＋12＝1，直线l 1，l 2分别过圆心M ，N ，且l 1与圆M 相交于A ，B ，l 2与圆N 相交于C ，D ，P 是椭圆x 23＋y 24＝1上的任意一动点，则PA →·PB→＋PC →·PD →的最小值为______．7．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v 1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|v 2|＝4 km/h ，设v 1和v 2的夹角为θ(0°<θ<180°)．(1)当cos θ多大时，船能垂直到达对岸？(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最少？为什么？8．已知△ABC 中，AB →＝(－3sin x ，sin x )，AC →＝(sin x ，cos x )．(1)设f (x )＝AB →·AC →，若f (A )＝0，求角A 的值；(2)若对任意的实数t ，恒有|AB →－tAC →|≥|BC →|，求△ABC 面积的最大值．9．已知抛物线y ＝x 2上两点A ，B 满足AP →＝λPB →，λ＞0，其中，点P 的坐标为(0，1)，OM →＝OA →＋OB →，O 为坐标原点，求：(1)∠AOB 的大小；(2)四边形OAMB 的面积S 的最小值．考点集训(三十) 第30讲 复数的概念及运算1．复平面内表示复数i (1－2i )的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi＋i ·z ＝A ．iB ．－2iC ．2D ．2i3．若(x －i )i ＝y ＋2i ，x 、y ∈R ，则复数x ＋y i ＝ A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2i D ．1＋2i4．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝ A ．3－4i B ．3＋4i C ．－3－4i D ．－3＋4i5．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝ A ．－5 B ．5C ．－4＋iD ．－4－i6．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z |＋1z ＝__________．8．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第______象限，复数z 对应点的轨迹是__________．9．若()1＋i ()2＋i ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________． 10．ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i ，2＋i ，则点D 所对应的复数为__________．第四章 三角函数、平面向量与复数第18讲 任意角的三角函数、同角关系式与诱导公式【考点集训】1．C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.－3347．【解析】(1)∵|OP|＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cosα＝45.故所求式子的值为54.8．【解析】(1)方法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①sin 2α＋cos 2α＝1 ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴sin α>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α，∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－257.9．【解析】(1)f(x)＝sin x ·cos x ·（－tan x ）tan x ·[－sin （π＋x ）]＝－sin x ·cos x sin x＝－cos x.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15，又α是第三象限角．∴cos α＝－1－sin 2α＝－265.∴f(α)＝－cos α＝265.第19讲 两角和与差及二倍角的三角函数【考点集训】1．B 2.D 3.B 4.C 5.C 6.－337．【解析】∵1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝（1＋cos θ）＋sin θ（1－cos θ）＋sin θ＝2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝cosθ2sinθ2∴tan θ2＝2，∴tan θ＝2tanθ21－tan2θ2＝－43，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－725. 8．【解析】(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2.又∵tan (α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0，∴sin (α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos (α－β)＝31010.∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝45∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 9．【解析】tan α＝tan [(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13<1，∴0<α<π4.tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34<1，∴0<2α<π4.tan (2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1，∵0<β<π，∴－π<－β<0，∴－π<2α－β<π4，∴2α－β＝－3π4.第20讲 三角恒等变换【考点集训】1．A 2.D 3.B 4.－55 5.346.2 7．【解析】原式＝sin （15°－8°）＋cos 15°·sin 8°cos （15°－8°）－sin 15°·sin 8°＝sin 15°·cos 8°－cos 15°·sin 8°＋cos 15°·sin 8°cos 15°·cos 8°＋sin 15°·sin 8°－sin 15°·sin 8° ＝sin 15°·cos 8°cos 15°·cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°·tan 30°＝2－ 3. 8．【解析】∵sin （2α＋β）sin α－2cos (α＋β)＝sin （2α＋β）－2sin α·cos （α＋β）sin α＝sin [α＋（α＋β）]－2sin α·cos （α＋β）sin α＝sin α·cos （α＋β）＋cos α·sin （α＋β）－2sin α·cos （α＋β）sin α＝cos α·sin （α＋β）－sin α·cos （α＋β）sin α＝sin [（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α，∴等式成立．9．【解析】∵4tan α2＝1－tan 2α2，且1－tan 2α2≠0.∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝12.又∵3sin β＝sin (2α＋β)，∴3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]， 即3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α ＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α， ∴2sin (α＋β)cos α＝4cos (α＋β)sin α，∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π，∴sin (α＋β)≠0，cos α≠0.∴cos (α＋β)sin α≠0，∴2sin （α＋β）cos αcos （α＋β）sin α＝4，即tan （α＋β）tan α＝2.∴tan (α＋β)＝2tan α＝1. ①又∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π， ②由①和②知α＋β＝π4.第21讲 三角函数的图象【考点集训】1．C 2.B 3.D 4.B 5.A 6.2 7．【解析】(1)∵f(x)＝A sin (x ＋φ)(A>0，0<φ<π)的最大值是1，∴A ＝1.∵f(x)的图象经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝12.∵0<φ<π⇒φ＝π2，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x.(2)∵f(x)＝cos x ，∴f(α)＝cos α＝35，f(β)＝cos β＝1213.已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， sin β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.故f(α－β)＝cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝35×1213＋45×513＝5665. 8．【解析】(1)由变换得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以最小正周期T ＝2π2＝π；由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴为x ＝k π2＋π6，k ∈Z .(2)由f (C )＝2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 又C ∈(0，π)，可得C ＝π6.在△ABC 中，根据余弦定理，有c 2＝1＝a 2＋b 2－2ab cos π6，即a 2＋b 2＝7，联立ab ＝23，及a >b ，可得a ＝2，b ＝ 3.9．【解析】(1)由已知f (x )＝sin ωx 2·cos ωx 2－sin 2ωx 2＝12sin ωx －（1－cos ωx ）2＝12sin ωx ＋12cos ωx －12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4－12. 令f (x )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx 1＋π4＝22，sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx 2＋π4＝22. 当|x 1－x 2|最小时，可取ωx 1＋π4＝π4，ωx 2＋π4＝3π4，即x 1＝0，x 2＝π2ω，则|x 1－x 2|＝π2ω.因为|x 1－x 2|min ＝π2，则π2ω＝π2，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12，g (x )＝f (x )－m 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上无零点，即y ＝f (x )与y ＝m 的图象在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上无交点．因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－12∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，2－12， 所以m ∈(－∞，0]∪⎝⎛⎭⎪⎫2－12，＋∞.第22讲 三角函数的性质【考点集训】1．C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.D7．【解析】(1)f(x)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx＝3sin 2ωx ＋1.因为－1≤sin 2ωx ≤1，所以函数y ＝f(x)的值域为[]1－3，1＋3.(2)因为y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin 2ωx ＋1(ω>0)在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.8．【解析】(1)f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2＝sin ωx －cos ωx ＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4. 当ω＝12时，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，而－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4≤1，所以f (x )的最大值为2， 此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z ，相应的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .(2)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，所以，x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2，又0<ω<10，所以0<8k ＋2<10，－14<k <1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，f (x )的最小正周期为π. 9．【解析】f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x .g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x ) 成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．第23讲 解斜三角形【考点集训】1．D 2.A 3.A 4.B 5.346．【解析】(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437，所以sin ∠BAD＝sin (∠ADC －∠B)＝sin ∠ADC cos ∠B －cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3，在△ABC 中由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49，所以AC ＝7. 7．【解析】(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74.故PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理，得3sin 150°＝sin αsin （30°－α），化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.8．【解析】(1)f(x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x cos x ＋sin x cos x ＋3sin 2x ＝2sin x cos x－3(cos 2x －sin 2x)＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )．∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)由f (B )＝3得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32.又0<B <π2，则－π3<2B －π3<2π3，从而2B －π3＝π3，∴B ＝π3.由AB ＝AD 知△ABD 是正三角形，AB ＝AD ＝BD ， ∴AD ＋DC ＝BD ＋DC ＝BC ，在△ABC 中，由正弦定理，得43sinπ3＝BCsin ∠BAC ，即BC ＝8sin ∠BAC .∵D 是BC 边上一点，∴π3<∠BAC <2π3，∴32<sin ∠BAC ≤1，知43<BC ≤8. 当∠BAC ＝π2，C ＝π6时，AD ＋CD 取得最大值8，周长最大值为8＋4 3.9．【解析】(1)由a cos A ＝b cos B 及正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B, 即sin 2A ＝sin 2B ，又A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，所以有A ＝B 或A ＋B ＝π2，又因为C ＝π3，得A ＋B ＝2π3，与A ＋B ＝π2矛盾，所以A ＝B ，因此A ＝π3.(2)由题设，得在Rt △PMC 中，PM ＝PC ·sin∠PCM ＝2sin α； 在Rt △PNC 中，PN ＝PC ·sin∠PCN ＝PC ·sin(π－∠PCB )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3. 所以，PM ＋PN ＝2sin α＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝3sin α＋3cos α＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，从而有sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1， 即23sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6∈(3，23]． 于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM ＋PN 取得最大值2 3.第24讲 三角形中的三角函数【考点集训】1．C 2.D 3.C 4.B 5.1 6．【解析】(1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ① 又A ＝π－(B ＋C)，故sin A ＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ． ② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B.又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac.由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.7．【解析】(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin (B －A)＝sin 2A ，得sin (A ＋B)＋sin (B －A)＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B)＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A<π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．8．【解析】(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C)sin B ＝(2sin C －sin A)cos B ， 化简可得sin (A ＋B)＝2sin (B ＋C)．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ．因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.又因为cos B ＝14，且0<B<π，所以sin B ＝154，因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.9．【解析】(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C.又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝sin 2C ， 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55.又因为sin B ＝sin (A ＋C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以 sin B ＝31010. 由正弦定理得c ＝223b.又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝6 2，故b ＝3.第25讲 三角函数模型及应用【考点集训】1．C 2.A 3.D 4.7 5.7π36．(6－2，6＋2)7．【解析】(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin [π－(A ＋C)]＝sin (A ＋C) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m )．所以索道AB 的长为1 040 m .(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时甲行走了(100＋50t)m ，乙距离A 处130 t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t ×(100＋50t)×1213＝200(37t 2－70t ＋50)．因为0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min )时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m )．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m )，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m /min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m /min )范围内． 8．【解析】(1)∵f(x)的最大值为2，且A>0， ∴A ＝2.∵f(x)的最小正周期为8，∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)解法一：∵f(2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝2cos π4＝2， f(4)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－2sin π4＝－2， ∴P(2，2)，Q(4，－2)．∴|OP|＝6，|PQ|＝23，|OQ|＝3 2.∴cos ∠POQ ＝|OP|2＋|OQ|2－|PQ|22|OP||OQ|＝（6）2＋（32）2－（23）226×32＝33. 解法二：∵f(2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝2cos π4＝2， f(4)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－2sin π4＝－2， ∴P(2，2)，Q(4，－2)．∴OP →＝(2，2)，OQ →＝(4，－2)．∴cos ∠POQ ＝cos OP →，OQ →＝OP →·OQ →||OP →||OQ→＝66×32＝33.解法三：∵f(2)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝2cos π4＝2，f(4)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－2sin π4＝－2，∴P(2，2)，Q(4，－2)．作PP 1⊥x 轴，QQ 1⊥x 轴，垂足分别为P 1，Q 1，∴|OP|＝6，|OP 1|＝2，|PP 1|＝2，|OQ|＝32，|OQ|2＝4，|QQ 1|＝ 2. 设∠POP 1＝α，∠QOQ 1＝β，则sin α＝33，cos α＝63，sin β＝13，cos β＝223.∴cos ∠POQ ＝cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33. 9．【解析】(1)f′(x)＝a sin x ＋ax cos x －sin x ＝(a －1)sin x ＋ax cos x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(a －1)·22＋π4·a ·22＝2π8， ∴a ＝1，∴f ′(x)＝x cos x.∴f ′(x)>0⇒－π<x<－π2，或0<x<π2，∴f ′(x)<0⇒－π2<x<0，或π2<x<π，则f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增； f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)单调递增，∴f(x)min ＝f(0)＝1则依题g(x)≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立，g′(x)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋m －2m （mx ＋1）（x ＋1）2，(x ≥0，m>0)①当m ≥2时，m －2m≥0，∴g ′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，即g(x)在[0，＋∞)上单调递增，又g(0)＝1， 所以g(x)≥1在x ∈[0，＋∞)上恒成立， 即m ≥2时成立．②当0<m<2时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2－m m 时，g ′(x)<0，此时g(x)单调递减，∴g(x)<g(0)＝1，故0<m<2时不成立，综上m ≥2.第26讲 平面向量的概念及运算【考点集训】1．D 2.B 3.C 4.B 5.126.4∶17．【解析】 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ，AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →，即－23a ＋13b ＝λt b －λa ，∴⎩⎪⎨⎪⎧23＝λ，13＝λt .∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上．8．【解析】(1)∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2)显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →. 而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.9.【解析】取AE 的三等分点M ，使|AM |＝13|AE |，连结DM . 设|AM |＝t ，则|ME |＝2t .又|AE |＝14|AC |，∴|AC |＝12t ，|EC |＝9t ， |AD ||AB |＝|AM ||AE |＝13，∴DM ∥BE ，∴|PC ||DC |＝|PE ||DM |＝|EC ||MC |＝911.∴|DP |＝211|DC |.∴AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋211DC →＝13AB →＋211(DA →＋AC →)＝13AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋AC →＝311AB →＋211AC →＝311a ＋211b . 第27讲 平面向量的基本定理和向量的坐标运算【考点集训】1．B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.12 8.129．【解析】(1)当λ＝12，μ＝14时，OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋12OC →，OG →＝12()OM →＋ON →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋14OC →＝14⎝⎛⎭⎪⎫OA →＋12OC →，∴OB →＝4OG →，∴OB →∥OG →，∴O ，G ，B 三点共线．(2)S △OMN ＝12||OM →·||ON →sin π3＝34λμ＝316，∴λμ＝14. OG →＝12()OM →＋ON →＝12()λOA →＋μOC →， OG →2＝14()λ2OA →2＋μ2OC →2＋2λμOA →·OC → ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μ2＋2λμcos π3＝14()λ2＋μ2＋λμ≥3λμ4＝316，当且仅当λ＝μ＝12时取等号，∴||OG→的最小值是34. 第28讲 平面向量的数量积及应用【考点集训】1．C 2.B 3.A 4.A 5.1526.17.68．【解析】(1)因为A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，所以AC →＝(4，0)，BC →＝(3，－3)所以cos 〈AC →，BC →〉＝124×12＝32所以向量AC →，BC →的夹角为30°.。