2014届高考数学(理)一轮复习专题集训：正弦定理、余弦定理的应用举例
正、余弦定理及应用举例
02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理，它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性，即交换任意两 边及其对应的角，定理仍然成立。此 外，余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用，例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理，我们可以解决许多三角形问题，例如求三角形的边长、角度等。例如，已知三角形的 两边及其夹角，我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外，正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型，以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ，它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径，也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线，将三角形转化为直角三角形 ，再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角，求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如，如果一个三角形中存在两个角相等，则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题，如测量、工程设计等。例如，在测量中，可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义4.6正弦定理和余弦定理
第6讲正弦定理和余弦定理【2014年高考会这样考】1．考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合考查．2．考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题．对应学生65考点梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．【助学·微博】一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．考点自测1．(2012·湖北改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a ＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝()．A．60°B．90°C．120°D．150°解析由已知可得a2＋b2－c2＝－ab，根据余弦定理得：cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12.故C＝120°.答案 C2．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )． A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 因为8b ＝5c ，则由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，故选择A. 答案 A3．(2013·三亚模拟)在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是( )．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·a ＝c ，整理得a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 B4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，得3sin π3＝3sin ∠B ， sin ∠B ＝12.∵a >b ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝π6， ∴∠C ＝π－π3－π6＝π2. 答案 π25．(2013·郑州调研)已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为________．解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2. 答案2对应学生66考向一 利用正、余弦定理解三角形【例1】►(1)(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.(2)(2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. [审题视点] (1)利用余弦定理．(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解．解析 (1)根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. (2)由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145. 答案 (1)4 (2)145(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．【训练1】 (1)(2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )．A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 (1)∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理可得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，即ba ＝ 2.(2)由题可知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 (1)D (2)π6考向二 判断三角形形状【例2】►(2013·临沂一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．[审题视点] (1)由正弦定理进行角化边，再用余弦定理求cos A ；(2)利用三角形内角和定理用角B 表示角C ，求角B ，从而确定三角形的形状． 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．【训练2】 (1)(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定(2)在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则△ABC 的形状为________．解析 (1)由sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．(2)由a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，得：a sin A ＝b sin B ，由正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 (1)A (2)等腰三角形考向三 与三角形面积有关的问题【例3】►(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [审题视点] (1)由正弦定理进行边化角；(2)由余弦定理和面积公式建立关于b ，c 的方程组，求b ，c . 解 (1)由a cos C ＋ 3a sin C －b －c ＝0，及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来． 【训练3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解 (1)由正弦定理，则2c －a b ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154， 因此S＝12ac sinB＝12×1×2×154＝154.对应学生67热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，除了考查利用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、角、面积之外，常常在解答题中考查解三角形与三角函数、平面向量、数列、不等式等知识交汇，难度中等．【真题探究】► (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )． A.32 B.22 C.12 D ．－12[教你审题] 一审 由已知等式和余弦定理消去c ； 二审 用a ，b 表示出cos C ； 三审 由基本不等式求最小值．[解法] 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，所以选C. [答案] C[反思] 本题考查余弦定理和基本不等式，易错点有三：一是余弦定理公式记错；二是不能消去参数c ，无法得出关于a ，b 的代数式；三是基本不等式用错．【试一试】 (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( )． A. 3 B.7C ．2 2 D.23解析 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3. 答案 A对应学生261A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析 依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )． A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)． 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B＝32，∴B＝π3或2π3.答案π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.答案－2 4三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．解 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝ 1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C .所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析 由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4.答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC的周长等于 ( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]． 答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3， 所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝ 2cos π8sin π8＝12.。
2014届高考数学一轮复习4.6正、余弦定理及其应用举例教学案
BC AC 3 2 AC 1．B 解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 AC＝2 3. sin A sin B sin 60° sin 45° a＋c 2B 2．B 解析：∵cos ＝ ， 2 2c a＋c 2B ∴2cos －1＝ －1， 2 c a c 2 2 a ＋c －b2 a 2 2 2 ∴ ＝ ，∴c ＝a ＋b . 2ac c 3．C 解析：如图，A，B 为灯塔，船从 O 航行到 O′，
答题指导：
1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而 不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件． 2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条 件．
1．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 acos A＝bsin B，则 sin Acos A＋cos2B＝( )． 1 1 A． － B． C．－1 D．1 2 2 2．在△ABC 中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且 acos B＝bcos A，则△ABC 的形状为 __________． 3．(2012 福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝ 3，则 AC＝ __________. π 4． (2012 陕西高考)在△ABC 中， 角 A， B，C 所对边的长分别为 a，b，c.若 a＝2，B＝ ， 6
A．α ，a，b B．α ，β ，a C．a，b，γ D．α ，β ，γ 5．(2013 山东实验高三一诊)在△ABC 中， 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 若 a＝ 3， b＝ 2，B＝45°，则角 A＝________.
一、利用正弦、余弦定理解三角形 【例 1－1】(2012 辽宁高考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.角 A，B， C 成等差数列． (1)求 cos B 的值； (2)边 a，b，c 成等比数列，求 sin Asin C 的值． sin A＋sin B 【例 1－2】△ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，tan C＝ ，sin(B cos A＋cos B －A)＝cos C．
高考数学一轮复习专题训练—正弦定理和余弦定理及其应用
正弦定理和余弦定理及其应用考纲要求 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．知识梳理1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；(3)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >ba ≤b解的个数一解两解 一解 一解 无解(1)S ＝12a ·h a (h a表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝abc 4R .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．4．测量中的几个术语 (1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B 点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解．1．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2.2．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ．3．在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔ cos A <cos B ．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比． (3)已知三角时，不可求三边．(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 不一定为锐角三角形．2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，c ＝4，则cos B ＝( ) A.1116 B ．1316C ．1114D ．1314答案 A解析 由余弦定理知cos B ＝22＋42－322×2×4＝1116.3.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522m答案 A解析 在△ABC 中，由正弦定理得 AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA，又∠CBA ＝180°－45°－105°＝30°， ∴AB ＝AC sin ∠ACBsin ∠CBA ＝50×2212＝502(m)．4．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2 B ．π3C ．π4D ．π6答案 C解析 因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， 且S △ABC ＝a 2＋b 2－c 24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1. 又C ∈(0，π)，故C ＝π4.5．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则tan B ＝( )A. 5 B ．2 5 C ．4 5 D ．8 5答案 C解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，得AB ＝3，所以AB ＝BC .过点B 作BD ⊥AC ，交AC 于点D ，则AD ＝12AC ＝2，BD ＝32－22＝5，所以tan ∠ABD ＝AD BD ＝25＝255，所以tan ∠ABC ＝2tan ∠ABD1－tan 2∠ABD＝4 5.故选C.6．(2019·浙江卷)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________. 答案1225 7210解析 如图，易知sin ∠C ＝45，cos ∠C ＝35.在△BDC 中，由正弦定理可得 BD sin ∠C ＝BCsin ∠BDC，∴BD ＝BC ·sin ∠Csin ∠BDC ＝3×4522＝1225.由∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝90°，可得cos ∠ABD ＝cos(90°－∠CBD )＝sin ∠CBD ＝sin[π－(∠C ＋∠BDC )] ＝sin(∠C ＋∠BDC )＝sin ∠C ·cos ∠BDC ＋cos ∠C ·sin ∠BDC ＝45×22＋35×22＝7210.考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( ) A ．2B ．3C ． 2D ． 3答案 (1)75° (2)D解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6sin 60°3＝22，所以B ＝45°或135°，因为b <c ，所以B <C ，故B ＝45°，所以A ＝75°.(2)由正弦定理及b sin 2A ＝a sin B ，得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，又sin A ≠0，sin B ≠0，则cos A ＝12.又c ＝2b ，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得ab ＝ 3.故选D.感悟升华 利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． 【训练1】 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个B ．2个C ．0个D ．无法确定(2)如图所示，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则 sin C 的值为________．答案 (1)B (2)66解析 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵0°<B <180°，A ＝45°，b >a ，∴B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有2个． (2)设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ， ∴AD ＝a ，BD ＝2a 3，BC ＝4a3. 在△ABD 中，cos ∠ADB ＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3＝33， ∴sin ∠ADB ＝63，∴sin ∠BDC ＝63. 在△BDC 中，BD sin C ＝BCsin ∠BDC ，∴sin C ＝BD ·sin ∠BDC BC ＝66.考点二 正弦定理、余弦定理的应用角度1 判断三角形的形状【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ， 从而△ABC 为等腰三角形．法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形． 角度2 三角形面积的计算【例3】 (2019·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．答案 6 3解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，解得c ＝23，所以a ＝43，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.角度3 以平面几何为背景解三角形【例4】 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ， AB ＝3k ，k >0.又BD ＝7，∠DAB ＝π3，所以在△ABD 中，由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，所以AD＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217， 所以sin ∠DBC ＝277，在△BCD 中，因为BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC ，所以CD ＝7×27732＝433.感悟升华 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．2．三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化． 3．求解几何计算问题要注意(1)根据已知的边角画出图形并在图中标示． (2)选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【训练2】 (1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝ a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．(2)(2021·西安模拟)如图，在锐角△ABC 中，D 为边BC 的中点，且AC ＝3，AD ＝322，O 为△ABC 外接圆的圆心，且cos ∠BOC ＝－13.①求sin ∠BAC 的值； ②求△ABC 的面积． 解 ①如图所示，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴cos ∠BOC ＝cos2∠BAC ＝1－2sin 2∠BAC ＝－13，∴sin 2∠BAC ＝23，sin ∠BAC ＝63.②延长AD 至E ，使AE ＝2AD ，连接BE ，CE ， 则四边形ABEC 为平行四边形，∴CE ＝AB ， 在△ACE 中，AE ＝2AD ＝32，AC ＝3， ∠ACE ＝π－∠BAC ， cos ∠ACE ＝－cos ∠BAC ＝－1－⎝⎛⎭⎫632＝－33，由余弦定理得，AE 2＝AC 2＋CE 2－2AC ·CE ·cos ∠ACE ，即(32)2＝(3)2＋CE 2－2×3·CE ×⎝⎛⎭⎫－33， 解得CE ＝3，AB ＝CE ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC＝12×3×3×63＝322. 解三角形应用举例一、测量距离问题测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视、两点间可视但不可达、两点都不可达．解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解． 【例1】如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.答案 900解析 由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°， 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°， ∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ， ∴PQ ＝P A .在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 二、测量高度问题测量高度问题一般涉及方位角、仰角、俯角等，因而所画图形为立体图形．在画图时，要注意运用空间想象力，解题时要尽可能地寻找其中的直角三角形，利用直角三角形中的特征关系解决问题，避免复杂的运算．【例2】如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.答案30＋30 3解析在△P AB中，∠P AB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．三、测量角度问题与距离问题和高度问题不同，角度问题求解的方向为角，解决角度问题的关键仍在于将实际问题转化为具体的解三角形问题，即确定所求角，找出三角形中已知的边和角，利用正、余弦定理将这些边、角联系起来从而求解．【例3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A．30°B．45°C．60°D．75°答案 B解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ， 又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝3052＋20102－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A ．1 B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( ) A ．2 5 B ． 5C ．25或 5D ．均不正确答案 C解析 ∵a sin A ＝b sin B，∴sin B ＝b sin A a ＝155·sin 30°＝32.∵b >a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，则C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，则C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.3．(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，则cos B ＝( )A.19 B ．13C ．12D ．23答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，所以AB ＝3，所以cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，又B ∈(0，π)，所以sin B >0， 所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析 如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．6．(2021·郑州调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( ) A.π12 B ．π6C ．π4D ．π3答案 B解析 由题意得A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ，又a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，故cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π2－π6＝π6. 二、填空题7．(2021·北京西城区模拟改编)在锐角三角形ABC 中，若a ＝2，b ＝3，A ＝π6，则cos B ＝________. 答案74解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b ·sin Aa ＝3×122＝34，又△ABC 为锐角三角形，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－916＝74. 8.如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的点，且满足AD ＝3BD ，AD ＋AC ＝BD ＋BC ＝2，CD ＝2，则cos A ＝________.答案 0解析 设BD ＝x (x >0)，则AD ＝3x ，AC ＝2－3x ，BC ＝2－x ， 易知cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC . ∴9x 2＋2－2－3x 22×2×3x＝－x 2＋2－2－x22×2x，解得x ＝13，故AD ＝1，AC ＝1，∴cos A ＝AD 2＋AC 2－CD 22·AD ·AC＝0.9．(2020·长春二模改编)在△ABC 中，C ＝30°，cos A ＝－23，AC ＝15－2，则AC 边上的高为________． 答案5解析 依题意得sin A ＝1－cos 2A ＝53，则sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53×32－23×12＝15－26. 由正弦定理得BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC ·sin A sin B ，所以AC 边上的高为BC ·sin C ＝AC ·sin A ·sin C sin B＝15－2×53×1215－26＝ 5.三、解答题10．(2020·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝150°. (1)若a ＝3c ，b ＝27，求△ABC 的面积； (2)若sin A ＋3sin C ＝22，求C . 解 (1)由题设及余弦定理， 得28＝3c 2＋c 2－2×3c 2×cos 150°， 解得c ＝－2(舍去)或c ＝2，从而a ＝2 3. 因此△ABC 的面积为12×23×2×sin 150°＝ 3.(2)在△ABC 中，A ＝180°－B －C ＝30°－C ， 所以sin A ＋3sin C ＝sin(30°－C )＋3sin C ＝sin(30°＋C )， 故sin(30°＋C )＝22. 而0°<C <30°，所以30°<30°＋C <60°， 所以30°＋C ＝45°，故C ＝15°.11．(2021·成都诊断)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a －c )sin(A ＋B )＝(a －b )(sin A ＋sin B )． (1)求角B 的大小；(2)若b ＝4，求a ＋c 的最大值．解 (1)在△ABC 中，∵sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， ∴(a －c )sin C ＝(a －b )(sin A ＋sin B )． 由正弦定理，得(a －c )c ＝(a －b )(a ＋b )，整理，得c 2＋a 2－b 2＝ac . ∴c 2＋a 2－b 22ac ＝12，∴cos B ＝12.又0<B <π，∴B ＝π3.(2)∵b ＝4，∴a 2＋c 2－16＝ac ， 即(a ＋c )2－16＝3ac . ∵ac ≤⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴(a ＋c )2－16≤3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，∴14(a ＋c )2≤16， ∴a ＋c ≤8，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴a ＋c 的最大值为18.B 级 能力提升12．(2021·西安一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋b ＝a tan A ＋btan B ，则角C ＝( ) A.π6 B ．π4C ．π3D ．π2答案 D 解析 ∵a ＋b ＝a tan A ＋b tan B， ∴a ＋b ＝a cos A sin A ＋b cos Bsin B ，由正弦定理得sin A ＋sin B ＝sin A cos A sin A ＋sin B cos Bsin B，即sin A －cos A ＝cos B －sin B ， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫A －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－B ， ∴A －π4＝π4－B 或A －π4＋π4－B ＝π，即A ＋B ＝π2或A －B ＝π(舍)，∴C ＝π2，故选D.13．(2020·太原调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的外接圆面积为16π，且cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ，则a ＋c 的最大值为________． 答案 8解析 由cos 2C －cos 2B ＝sin 2A ＋sin A sin C ， 得(1－sin 2C )－(1－sin 2B )＝sin 2A ＋sin A sin C ， 即sin 2B －sin 2C ＝sin 2A ＋sin A sin C ，结合正弦定理，得b 2－c 2＝a 2＋ac ，即a 2＋c 2－b 2＝－ac ， 所以由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.因为0<B <π，所以B ＝2π3，则A ＋C ＝π－B ＝π3，C ＝π3－A ，且0<A <π3.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由条件得πR 2＝16π， 解得R ＝4，所以由正弦定理，得a sin A ＝c sin C＝2R ＝8， 所以a ＝8sin A ，c ＝8sin C ，所以a ＋c ＝8sin A ＋8sin C ＝8sin A ＋8sin ⎝⎛⎭⎫π3－A ＝8sin A ＋8⎝⎛⎭⎫32cos A －12sin A ＝4sin A ＋43cos A ＝8sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. 因为π3<A ＋π3<2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝1， 即A ＝π6时，a ＋c 取得最大值8.14．已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC中线AD 的长．解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴T ＝2π2＝π.∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵在△ABC 中f (A )＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17且B ∈(0，π)，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝a sin A ，得55314＝a32， ∴a ＝7，∴BD ＝72.在△ABD 中，由余弦定理得， AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝52＋⎝⎛⎭⎫722－2×5×72×17＝1294， 因此△ABC 的中线AD ＝1292.。
2014年文科一轮复习 正弦余弦定理的应用
2014年高三一轮复习 正弦余弦定理的应用-解斜三角形题型一 两个定理解斜三角形1．在△ABC 中，222a b c bc =++，则A 等于（ ） A 、60° B 、45° C 、120 D 、30°3．在ABC ∆中已知=C B A sin :sin :sin 2:3:4,求cosA=__________________________. 4在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.24255.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长．6在△ABC 中，A ，B ，C 分别是三边a ，b ，c 的对角．设m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C 2)，m ，n 的夹角为π3. (1)求C 的大小；(2)已知c ＝72，三角形的面积S ＝332，求a ＋b 的值．7.已知：A 、B 、C 是ABC ∆的内角，BC=5，AC=4，cos CAD ∠ =3231,AD=BD,求ABC ∆的面积(Ⅰ)求B ；（Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，.题型二 判断三角形的形状1．在△ABC 中，已知sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形2．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是________．4.在△ABC 中，若222-b c sinC+sinB=1a c b -=，，则△ABC 的形状是.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形5.在△ABC 中，若cC b B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（ ） A 、有一内角为30°的直角三角形B 、等腰直角三角形C 、有一内角为30°的等腰三角形D 、等边三角形 6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．题型三 实际应用与综合问题1.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为________．2．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )A ．11. 4B ．6.6C ．6.5D ．5.63.在椭圆上的一点P 与焦点21F F ，构成的三角形21PF F 中已知=212121sin :sin :sin PF F F PF F PF 2:3:4,则椭圆的离心率为__。
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个
或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条 件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知
量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要
求的解．
考点自测
1．(2012· 江苏金陵中学)已知△ABC的一个内角为120°， 并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积
解析 68sin 120° 由正弦定理，得 MN＝ ＝34 6(海里)，船 sin 45°
34 6 17 6 的航行速度为 ＝ (海里/时)． 4 2 17 6 答案 2
4．在△ABC 中，若 2 3absin C＝a2＋b2＋c2，则△ABC 的形状是________．
解析
由 2 3absin C＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2abcos C
பைடு நூலகம் 解
设“大连号”用 t h 在 D 处追上
“敌舰”， 则有 CD＝10 3t， BD＝10t， 如图在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC ＝2，∠BAC＝120° ， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos∠BAC AC· ＝( 3－1)2 ＋22 －2· 3－1)· cos 120° ( 2· ＝6
60°－60°＝60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA. AB AC (2)解 在△ABC 中， ＝ ， sin∠BCA sin∠ABC
ACsin 60° 3 2＋ 6 即 AB＝ ＝ (km)， sin 15° 20 3 2＋ 6 因此，BD＝ (km) 20 3 2＋ 6 故 B、D 的距离约为 km. 20
β＝1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到 电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高 测量精度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少 时，α－β最大？
高三一轮总复习高效讲义第4章第6节正弦定理、余弦定理及应用举例课件
[对点练]
1．在△ ABC中，c－2ca
＝sin
2B 2
(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则
△ ABC的形状为( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由cos
B＝1－2sin
2B 2
得sin
2B 2
＝1－co2s
B ，所以c－2ca ＝1－co2s
AE sin sin
45° 30°
＝
2AB cos 15°
，因此CD＝AD
sin
60°＝ cos
2×10 （45°－30°）
×sin 60°＝10(3－ 3 )．
答案：10(3－ 3 )
备考第 2 步——突破核心考点，提升关键能力
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形[自主演练]
1．△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin
答案：BC
4．在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，b>c， △ ABC的面积为5 3 ，则c＝________．
解析：由三角形面积公式，得12 ×4×5sin C＝5 3 ，
即sin
C＝
3 2
．又b>a，b>c，所以C为锐角，于是C＝60°．
由余弦定理，得c2＝42＋52－2×4×5cos 60°，解得c＝ 21 ．
3．(多选)在△ ABC中，角A，B，C所对的各边分别为a，b，c，若a＝1，b＝ 2 ，
A＝30°，则B等于( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．150°
解析：根据正弦定理sina A ＝sinb B 得，
2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理
2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理第一篇：2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1.正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；（4）公式的变形：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；a=__R（R为∆ABCsinAsinA=②abc,sinB=,sinC=2R2R2R；③sinA:sinB:sinC=a:b:c．（5）三角形面积公式：S∆ABC=________=_________=________．(6)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
2.余弦定理：a=_____________________；b2=____________________；c2=_____________________.强调几个问题：(1)熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）；οb2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2cosC=(4)变形：cosA= cosB=．2bc2ac2ac（5）余弦定理的应用范围：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.3.解斜三角形(1)．两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。
（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:①若A为锐角时:⎧a<bsinA无解⎪⎪a=bsinA一解(直角)⎨⎪bsinA<a<b二解(一锐, 一钝)⎪a≥b一解(锐角)⎩已知边a,b和∠Aa无解a=CH=bsinA仅有一个解CH=bsinA②若A为直角或钝角时:⎨⎧a≤b无解⎩a>b一解(锐角)三、基础检测：1.在中，则等于（）A．B．C．D．2.若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形3.在，面积，则BC长为（）A．B．75C．51D．494．在中，已知角则角A的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或15°5．中，sinB=1,sinC=,则a：b：c为（22）A.1：3：2B.1：1：C.1：2：D.2：1：或1：1：6.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=CD,2AB=,BC=2BD，则sinC的值为A． B． C．D．7.若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为________。
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正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题(每小题6分，共36分)1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( ) (A)35 (B)45 (C)34 (D)432.(2012·威海模拟)在200米高的山顶上测得一建筑物顶部与底部的俯角分别为30°与60°，则该建筑物高为( )(A)4003米 (B)40033米 (C)20033米 (D)100米3.线段AB 外有一点C ，∠ABC＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则几小时后，两车的距离最小( ) (A)6943 (B)1 (C)7043(D)2 4.若△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则BC 的长为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)85.某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )(A)15米 (B)5米 (C)10米 (D)12米6.(易错题)一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是每小时( )(A)5海里(B)53海里 (C)10海里 (D)103海里二、填空题(每小题6分，共18分)7.某人站在60米高的楼顶A 处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C 的仰角为30°，塔底B 的俯角为15°，已知楼底部D 和电视塔的底部B 在同一水平面上，则电视塔的高为 米.8.地面上有两座塔AB 、CD ，相距120米，一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍，在两塔底连线的中点O 处测得塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为 .9.(2012·东营模拟)在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则BC ＝ . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(2012·沈阳模拟)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF的余弦值.11.(2012·德州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sinC ＋sin(B －A)＝2sin2A ，求△ABC 的面积.【探究创新】(16分)如图，A ，B ，C 是三个汽车站，AC ，BE 是直线型公路.已知AB＝120 km ，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°.有一辆车(称甲车)以每小时96km 的速度往返于车站A ，C 之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车(称乙车)以每小时120 km 的速度从车站B 开往另一个城市E ，途经车站C ，并在车站C 也停留10分钟.已知早上8点时甲车从车站A ，乙车从车站B 同时开出.(1)计算A ，C 两站距离及B ，C 两站距离； (2)求10点时甲、乙两车的距离.(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4，331≈18.2)答案解析1.【解题指南】坡度34是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出 cos α.【解析】选B.因为tan α＝34，则sin α＝34cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得：cos α＝45. 2.【解析】选A.如图，AB ＝200，∠EAD ＝30°，∠EAC ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AB ·tan ∠BAC ＝200×33＝20033. 即AE ＝20033， 在Rt △ADE 中，DE ＝AE ·tan ∠DAE ＝20033×33＝2003∴CD ＝CE －DE ＝200－2003＝4003(米) 3.【解析】选C.如图所示，设过x h 后两车距离为y ，则BD ＝200－80x ，BE ＝50x ，∴y 2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x ·cos60°，整理得y 2＝12 900x 2－42 000x ＋40 000(0≤x ≤2.5)，∴当x ＝7043时y 2最小，即y 最小. 4.【解析】选C.设△ABC 的三边长为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝2012bcsin60°＝103a 2＝b 2＋c 2－2bccos60°即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝20bc ＝40a 2＝b 2＋c 2－bc解得a ＝7.5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.【解析】选C.如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h.在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得：OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD ·cos ∠OCD ，即(3h)2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去).6.【解析】选C.如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10海里，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5海里，于是这只船的速度是50.5＝10(海里/小时).7.【解析】如图，用AD 表示楼高，AE 与水平面平行，E 在线段BC 上，设塔高为h ，因为∠CAE ＝30°，∠BAE ＝15°，AD ＝BE ＝60，则AE ＝BE tan15°＝602－3＝120＋603， 在Rt △AEC 中，CE ＝AE ·tan30°＝(120＋603)×33＝60＋403，所以塔高为60＋403＋60＝(120＋403)米. 答案：120＋40 38.【解析】设高塔高H ，矮塔高h ，在矮塔下望高塔仰角为α，在O 点望高塔仰角为β， 因为分别在两塔底测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍，所以在高塔下望矮塔仰角为α2，即tan α＝H 120，tan α2＝h 120， 根据倍角公式有H 120＝2×h 1201－(h 120)2 ①在塔底连线的中点O 测得两塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔仰角为π2－β，即tan β＝H 60，ta n(π2－β)＝h 60， 根据诱导公式有H 60＝60h ②，联立①②得H ＝90，h ＝40， 即两座塔的高度分别为40米，90米.答案：40米，90米9.【解析】由sin ∠ABC 2＝33， 得cos ∠ABC ＝13， 在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b由余弦定理得：9b 2＝a 2＋4－43a ① 又由∠ADB 与∠CDB 互补∴cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB 即4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b 化简得3b 2－a 2＝－6 ②解①②得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3答案：3【方法技巧】三角形中的几何计算问题以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.10.【解析】作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M.DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC)2＋BC 2＝902＋1202＝150，在△DEF 中，由余弦定理，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 11. 【解析】(1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△A BC 的面积等于3，所以12absinC ＝3，得ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4， 解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A)＋sin(B －A)＝4sinAcosA ，即sinBcosA ＝2sinAcosA ，当c osA ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233， 当cosA ≠0时，得sinB ＝2sinA ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433所以△ABC 的面积S ＝12absinC ＝233. 【探究创新】【解析】(1)在△ABC 中，∠ACB ＝60°.∵AB sin60°＝BC sin75°＝AC sin45°， ∴AC ＝120sin45°sin60°＝120×2232＝406≈96(km)， BC ＝120sin75°sin60°＝120×6＋2432＝602＋206≈132(km). (2)10点时甲车离开C 站的距离为5060×96＝80(km)，乙车离开C 站的距离为4460×120＝88(km)，两车的距离等于802＋882－2×80×88×cos120°＝8100＋121＋110＝8331≈8×18.2＝145.6(km)。