高考数学专题讲解：正余弦定理解三角形

高考数学专题讲解：正余弦定理解三角形

【训练一】：【2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c 。设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。

（Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若c b a 22=+，求C sin 。

【本题解析】：（Ⅰ）-=-+⇒-=-A C B C B C B A C B 22222sin sin sin 2sin sin sin sin sin )sin (sin

3

2122cos 2sin sin 2222

2

2

2

2

2

π=⇒==-+=⇒=-+⇒-=-+⇒A bc bc bc a c b A bc a c b bc a bc c b C B 。

（Ⅱ）C C A C B C B A c b a sin )sin(2

6

sin sin 232sin 2sin sin 222=++⇒=+⨯

⇒=+⇒=+ C C C C C C A C C A cos 23

sin 2326sin 2sin 21cos 2326sin 2cos sin cos sin 26-=⇒=++⇒=++⇒

2

2)6sin()cos 6sin sin 6(cos 326)cos 21sin 23(326=-⇒-=⇒-=⇒

πππC C C C C 第一种情况：4

1256

4

4

6

π

πππ

π

π

π

=--=⇒=

+

=

⇒=

-

C A B C C 4

2

6222123224cos 6sin 6cos 4sin )64sin(125sin

sin +=⨯+⨯=+=+==πππππππC ； 第二种情况：4

1211643436

π

ππππππ

-=--=⇒=+=⇒=

-

C A B c C 这种情况不成立。 【训练二】：【2019年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c 。已知：C c B b A a sin 4sin sin =-，41cos -=A ，则=c

b

（ ）

A 、6

B 、5

C 、4

D 、3 【本题解析】：2224sin 4sin sin c b a C c B b A a =-⇒=-；

根据余弦定理得到：bc c b bc c b A bc c b a 2

1

)41(2cos 22222222++=-⨯-+=-+=，2224c b a =-

666321421222222=⇒=⇒=⇒=⇒=-++⇒c

b

c b c bc c bc c b bc c b 。

【训练三】：【2019年高考理科数学新课标Ⅱ卷第15题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c 。若6=b ，c a 2=，3

π

=

B 。则AB

C ∆的面积为 。

【本题解析】：根据余弦定理得到：22222233621

22436cos 2c c c c c B ac c a b =⇒⨯⨯⨯-+=⇒-+=

362

3323421sin 2134232122=⨯⨯⨯==

⇒==⇒=⇒=⇒∆B ac S c a c c ABC 。 【训练四】：【2019年高考文科数学新课标Ⅱ卷第15题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，

c 。已知：0cos sin =+B a A b ，则=B 。

【本题解析】：B B B B B A A B B a A b cos sin 0cos sin 0cos sin sin sin 0cos sin -=⇒=+⇒=+⇒=+

4

31tan 1cos sin π

=

⇒-=⇒-=⇒

B B B B 。 【训练五】：【2019年高考数学新课标Ⅲ卷理科第18题文科第18题】AB

C ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。已知：A b C

A a sin 2

sin =+。 （Ⅰ）求B ；

（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，且1=c 。求ABC ∆面积的取值范围。 【本题解析】：（Ⅰ）B C

A A

B

C A A A b C A a sin 2

sin sin sin 2sin sin sin 2sin

=+⇒=+⇒=+ 3

62212sin 2sin 212cos 2sin 22cos )22sin()22sin(πππ=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒⋅=-⇒B B B B B B B B B 。

（Ⅱ）根据正弦定理得到：

C

B

C C B C C B C A C A c a C c A a sin cos sin cos sin sin )sin(sin sin sin sin sin sin +=+===⇒= 21tan 23

cos tan sin +=+=C B C B 。C A C A B -=⇒=+⇒=3

2323πππ，锐角三角形 )2,0(32)2,0(πππ∈-⇒∈⇒C A )3

2,6(ππ∈⇒C ，),33(tan )2,6()2,0(+∞∈⇒∈⇒∈C C C πππ