数学分析第03章
03第三章地图投影
③其高程值：是埋设于青岛观象山密封井下的永久性的 标志点与验潮站平均海平面之间的高差。
1956年国务院批准建立的黄海高程系的 水准原点距平均海平面的高差为： 72.289m(利用50—56年观测记录)。
四等三角网的边长约4公里，可以保证在1：1万比例尺测图 时，每幅图内有1—2个控制点，每点大约控制20平方公里的 范围。
测量平面控制点的位置，通常采用三角测量的方法。这 种方法的实质是在地面上建立一系列相连接的三角形（ 组成三角锁和三角网，），量取一段精确的距离作为起 算边，在这个边的两端点，采用天文观测方法确定其点 位（经度、纬度和方位角），用精密测角仪器测定各三 角形的角值，根据起算边的边长和点位，就可推算出其 他各点的坐标。这样推算的坐标，称为大地坐标。
此外，在一些局部地区也可以用精密导线测量方法，测 量导线边的边长和夹角，推算各点的大地坐标。
（2）高程控制网：
测量高程控制点的主要方法是水准测量，有时也 用三角高程测量。
水准测量是借助水平视线来测定两点间的高差。 连续的水准测量即可组成作为全国高程控制的水 准网。
根据测量精度的不同，水准测量分为四等，作为 全国测图及工程建设的基本高程控制。
精度要求不高时，可将椭球体处理为正球体，地理坐标 均采用地球表面的球面坐标，经纬度均用地心坐标。
天文经纬度只能在天球上定义，天文经（纬）度与大地 经（纬）度相同时，其轨迹在大地经（纬）线附近呈非 平面曲线摆动。但由于θ角（铅垂线与法线的夹角）很 小，这种摆动的幅度也很小。
地心 地心纬度
大地纬度 天文纬度
2.地球体的物理表面（准规则曲面-假想面）
03第三讲 余项准则,一致收敛的例
| fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.2（余项准则）
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于 f 的充分必要条
件是:
lim sup |
n xD
fn( x)
f ( x) |
0.
(6)
充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有 sup | fn( x) f ( x) | .
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
1 ]上有
f
(x)
lim
n
fn(
x)
0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛fn ( x) 2n 2n2 x,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x 1, n
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
第三讲
余项准则 一致收敛函数列的例
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
欧阳光中数学分析答案
欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章euclid空间上的点集拓扑16．1euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的使用20．1偏导数在几何上的使用20．2方向导数和梯度20．3taylor公式20．4极值20．5logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3green 公式23．4green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3gauss公式24．4stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3b函数和函数第二十六章lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3lebesgue积分26．4（l）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7fubini定理练习及习题解答? 序言复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。
数列的极限与序列的收敛性
金融学
金融学中的数列 收敛性分析可用 于股市走势预测 和投资决策的制
定。
谢谢观看！
在数学的世界里，数列的极限与序列的收敛性是 一个非常重要且精彩的课题。通过深入理解数列 的极限概念和收敛性质，我们可以更好地应用数 学知识解决实际问题，探索数学的奥秘。希望本 次演讲能够带给您新的启发和思考，谢谢！
03 夹逼准则
如果数列an、bn、cn满足an≤bn≤cn且lim an lim cn = L，则lim bn = L。
收敛数列的应用
物理学
在物理学中，收 敛数列可用于描 述物体运动的变 化规律和稳定状
态。
工程学
工程学中的数列 极限理论可应用 于信号处理、控 制系统设计等领
域。
生物学
生物学研究中， 收敛数列可用于 模拟生物体内的 生长发育过程。
数列的极限与序列的收敛性
汇报人：大文豪
2024年X月
目录
第1章 数列与序列的概念 第2章 数列的极限计算 第3章 序列的收敛性判定 第4章 数列与序列收敛的应用 第5章 数列与序列的收敛性分析 第6章 总结与展望 第7章 数列的极限与序列的收敛性
● 01
第一章 数列与序列的概念
数列与序列的定 义
序列极限计算方法
直接计算 夹逼准则 L'Hopital法则
序列极限计算实例 分析
计算极限值 分析收敛性 比较各方法优劣
● 04
第4章 数列与序列收敛的应 用
数列与序列在微积分中的应用
01 数列和序列在微积分中的作用
探讨数列序列的极限对微积分的意义
02 使用数列与序列证明微积分定理
探究数列序列如何证明微积分定理
数列的极限概念
数列的极限是数列中的元素随着序号趋向于某个 常数时所表现出的性质。当数列的极限存在且有 限时，我们称该数列收敛。极限的概念在数学分 析中具有重要意义，能够帮助我们理解数列的变 化趋势和发展规律。
多项式的概念及运算
多项式的除法运算
定义：多项式除以 除数 与被除数的每一项 分别相除，得到商 和余数
注意事项：除数不 能为0，否则无意 义
举例说明：多项式 除以单项式的具体 运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。 代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。 通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。 代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个 单项式通过加减运 算得到的代数式。
多项式的次数是所 有单项式中次数最 高的那一项的次数。
多项式中每一项的 系数不能为0。
多项式中单项式的 排列顺序不影响多 项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式 举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变 运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)
03多项式插值方法(工程数学)
析表达式的简单函数,所以它在 x
= x 处的值可以按表达式精
确地计算出来。这样我们就可以将 g ( x ) 看成 y = f ( x ) 的近似 值了。
6
本章只研究多项式插值，亦即g(x)是x的多项式的 情形。这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因 为在许多场合，函数容易用多项式近似地表示出来。 此外，用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应 用价值的重要问题。特别是数值积分与数值微分的问 题。
22
同理可得
( x − x0 ) ( x − x2 ) l1 ( x ) = ( x1 − x0 ) ( x1 − x2 )
于是有二次插值多项式：
( x − x0 ) ( x − x1 ) l2 ( x ) = ( x2 − x0 ) ( x2 − x1 )
P2 ( x ) = y 0 l0 ( x ) + y1l1 ( x ) + y 2 l 2 ( x ) ,
x − x0 x − x1 P 1 ( x) = y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
17
记：
x − x1 l 0 ( x) = , x 0 − x1
x − x0 ， l1 ( x ) = x1 − x 0
称为一次插值基函数。
该基函数的特点如下： 基函数的思想使得插值多项式形
式简洁和易于推广
19
1.3 二次插值(抛物线插值)问题
已 知 函 数 y = f ( x ) 在 三 点 x 0 , x1 , x 2 处 的 函 数 值
y0 = f ( x0 ) ， y1 = f ( x1 ) ， y2 = f ( x2 ) 。求一个次数不超过二次的
多项式 p2 ( x ) ,使其满足：
数学分析第三章极限与函数的连续性03
二、连续函数的四则运算
设
lim
xx0
f (x)
f
( x0
),
lim
xx0
g(x)
g(x0 ),
则
（1）
lim
xx0
(f
(
x)
g(x))
f
应用反函数连续性定理，继续证明定理3.15。
（3） 反三角函数. 由于y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; 反三角函数在其定义域内皆连续.
（4） 对数函数. （5） 幂函数.
得一区间套 {[an , bn ]，} 满足 f (an ) 0, f (bn ) 0
根据区间套定理，知存在 r [a ,b]，有
lim
n
Байду номын сангаас
an
lim
n
bn
r
由 f (x) 在 r 连续，知
f
(r)
lim
n
f
(an )
0
f
(r)
lim
n
f
(bn
)
0
故 f (r) 0 定理证完。
(x), g(x)都是无穷小量, 如果
lim
x x0
f (x) g(x)
0，则称
f (x) 关于 g(x) 是高阶无穷小量（或g(x) 关于f (x)是
普林斯顿数学分析读本
目录分析
曲面积分和向量场是数学分析中研究曲面面积和向量场的学问，是解决许多 实际问题的关键工具。在曲面积分和向量场部分，作者详细介绍了曲面积分和向 量场的定义、性质和运算规则等。作者还介绍了曲面积分和向量场的几何意义和 应用等。通过学习曲面积分和向量场，读者可以更好地理解向量场和几何对象的 性质和应用。
阅读感受
我被这本书的深度和广度所震撼。它涵盖了从实数理论、极限、连续性、可 微性到积分等基础概念，同时也深入探讨了级数、广义积分、微分方程等更高级 的主题。每一章节都写得清晰明了，对每个概念都进行了深入的解释，并给出了 大量的实例和练习题，帮助读者深入理解。
阅读感受
我对这本书的逻辑严密性印象深刻。数学分析是一门严谨的学科，需要严密 的逻辑推理和证明。这本书在这方面做得非常好，每个定理和命题都有详细的证 明和解释，让读者可以真正理解数学分析的精髓。
目录分析
重积分和曲线积分是数学分析中研究多变量积分和曲线积分的学问，是解决 许多实际问题的关键工具。在重积分和曲线积分部分，作者详细介绍了二重积分、 三重积分和曲线积分的定义、性质和运算规则等。作者还介绍了重积分和曲线积 分的几何意义和应用等。通过学习重积分和曲线积分，读者可以更好地理解多变 量积分的性质和应用。
精彩摘录
“可微性是指函数在某一点处的切线斜率存在且唯一。换句话说，函数在某 一点处的变化率可以由一个确定的数值表示。” -这句话准确地定义了可微性的 概念，是学习微积分的基础。
精彩摘录
“可积性是指定积分存在的条件。如果一个函数在某个区间上的不连续点数 量有限，那么这个函数在该区间上就是可积的。” -这句话解释了可积性的概念， 有助于理解定积分的计算方法。
内容摘要
作者讨论了导数的定义、求导法则以及导数在研究函数行为中的应用。 第五章进入微分部分，重点介绍了微分的定义和性质，以及微分在近似计算和函数图像中的应用。 还介绍了微分学的基本定理和求导法则。 积分作为微分的逆运算，在第六章中进行了详细探讨。作者从定积分的定义出发，逐步引入了积 分的基本性质和计算方法，并讨论了定积分在几何和物理问题中的应用。 第七章到第十一章分别介绍了级数、多元函数、隐函数、微分形式、曲线积分与曲面积分等专题 内容。这些章节的安排逻辑清晰，内容深入浅出，有助于读者深入理解数学分析的各个方面。 《普林斯顿数学分析读本》是一本非常优秀的教材，适合于对数学分析感兴趣的读者使用。通过 阅读这本书，读者可以全面了解数学分析的基础知识，掌握数学分析的基本思想和方法。无论是 对数学专业的学生还是对数学有兴趣的读者来说，这本书都是一本非常有价值的参考书。
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第三章函数极限§1 函数极限概念一趋于时函数的极限设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量趋于时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数。
例如，对于函数x=5:50; y=1./x;plot(x,y,'r'), axis([5,55,0,0.22])从图象上可见，当无限增大时，函数值无限地接近于0；而对于函数，则当趋于时函数值无限地接近于。
我们称这两个函数当时有极限。
clf, x=0:50; y=atan(x); plot(x,y,'r'), axis([0,55,0,1.7])一般地，当趋于时函数极限的精确定义如下：定义1 设定义在上的函数，为定数。
若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或。
在定义1中正数的作用与数列极限定义中的相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实数，而不仅仅是正整数。
因此，当趋于时函数以为极限意味着：的任意小邻域内必含有在的某邻域内的全部函数值。
定义1的几何意义如下图所示，对任给的，在坐标平面上平行于轴的两条直线与，围成以直线为中心线、宽为的带形区域；定义中的“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域之内。
如果正数给的小一点，即当带形区域更窄一点，那么直线一般要往右平移；但无论带形区域如何窄，总存在这样的正数，使得曲线在直线的右边部分全部落在这更窄的带形区域内。
现设为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近某定数 ，则称当或时以为极限，分别记作或或这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，只须把定义1中的“”分别改为“”或“”即可。
显然,若为定义在上的函数，则（1）例1 证明。
证任给，取，则当时有所以。
例2 证明：1）；2）证任给，由于（2）等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围。
为此，先限制，则有故对任给的正数，只须取，则当时便有（2）式成立。
这就证明了1）。
类似地可证2）。
注由结论（1）可知，当时不存在极限。
二趋于时函数的极限设为定义在某个空心邻域内的函数。
现在讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数。
这类函数极限的精确定义如下：定义2（函数极限的定义）设函数在某个空心邻域内有定义，为定数。
若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或。
下面我们举例说明如何应用定义来验证这种类型的函数极限。
请读者特别注意以下各例中的值是怎样确定的。
例3 设，证明。
证由于当时，，故对给定的，只要取，则当时有。
这就证明了。
例4证明：1）； 2）证先建立一个不等式：当时有（3）事实上，在如图3-2的单位圆内，当时，显然有，即，由此立得（3）式。
又当时有，故对一切都有；当时，由得。
综上，我们又得到不等式，（4）其中等号仅当时成立。
现证1）。
由（4）式得。
对任给的，只要取，则当时，就有。
所以。
2）的证明留给读者作为练习。
例5证明。
证当时有若限制于（此时），则。
于是，对任给的，只要取，则当时，便有。
例6 证明（）证由于，，因此于是，对任给的（不妨设），只要取，则当时，就有。
应用定义还立刻可得，这里为常数，为给定实数。
通过以上各个例子，读者对函数极限的定义应能体会到下面几点：1.定义2中的正数，相当于数列极限定义中的，它依赖于，但也不是由所唯一确定，一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小些也无妨。
如在例3中可取或等等。
2.定义中只要求函数在某一空心邻域内有定义，而一般不考虑在点处的函数值是否有定义，或者取什么值。
这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于过程中函数值的变化趋势。
如在例3中，函数在点是没有定义的，但当时的函数值趋于一个定数。
3.定义2中的不等式等价于，而不等式等价于。
于是，定义又可写成：任给，存在，使得对一切有。
或更简单地表为：任给，存在，使得。
4．定义的几何意义如图3-3所示。
对任给的，在坐标平面上画一条以直线为中心线、宽为的横带，则必存在以直线为中心线、宽为的竖带，使函数的图象在该竖带中的部分落在横带内，但点可能例外（或无意义）。
单侧极限有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义。
例如，函数（5）当而趋于0时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于0时，应按来考察。
又如函数在其定义区间端点处的极限，也只能在点的右侧和点的左侧来分别讨论。
定义3 设函数在内有定义，为定数。
若对任给的，存在正数，使得当（或）时有则称为函数当趋于（或）时的右左极限，记作（）或（右极限与左极限统称为单侧极限。
在点的右极限与左极限又分别记为按定义3容易验证函数（5）在的左右极限分别为。
同样还可验证符号函数在的左右极限分别为例7 讨论在定义区间端点处的单侧极限。
解由于，故有任给,则当时，就有（6）于是取，则当即时，（6）式成立。
这就推出。
类似地可得。
单侧极限与双侧极限的关系关于函数极限与相应的左右极限之间的关系，有下述定理：定理3.1类似有:应用定理3.1，除了可验证函数极限的存在（如对函数（3）有），还常可说明函数极限的不存在，如前面提到的符号函数，由于它在处的左右极限不相等，所以不存在。
例8 证明: 极限不存在.例9 设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有=§2 函数极限的性质在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1）； 2）； 3）；4）； 5）； 6）。
它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。
至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。
定理3.2（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的。
证设、都是当时的极限，则对任给的，分别存在正数与，使得当时有（1）当时有（2）取，则当时，（1）式与 (2) 式同时成立，故有由的任意性得。
这就证明了极限是唯一的。
定理3.3（局部有界性）若极限存在，则在某空心邻域内有界。
证设。
取，则存在，使得对一切有。
这就证明了在内有界。
定理3.4（局部保号性）若（或），则对任何正数（或），存在，使得对一切有（或）。
证设，对任何，取，则存在，使得对一切有，这就证得结论。
对于的情形可类似地证明。
定理3.5（保不等式性）设与都存在，且在某邻域内有，则。
（3）证设，，则对任给的，分别存在正数与，使得当时（4）当时有（5）令，则当时，不等式与（4）,（5）式同时成立，于是有，从而。
由的任意性得，即（3）式成立。
定理3.6（迫敛性）设==，且在某内有（6）则。
证按假设，对任给的，分别存在正数与，使得当时（7）当时有（8）令，则当时，不等式（6）、（7）、（8）式同时成立，故有，由此得，所以。
定理3.7（四则运算法则）若极限与都存在，则函数，当时极限也存在，且1）=2）=又若，则当时极限也存在，且有3）这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练习。
利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发计算较复杂的函数极限。
例1求。
解由第一章§3习题13，当时有，而，故由迫敛性得。
另一方面，当时有，故由迫敛性又可得。
综上，我们求得。
例2 求。
解由及§1例4所得的并按四则运算法则有=例3 求解当时有。
故所求极限等于。
例4 证明证任给（不妨设），为使（9）即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要于是，令，则当时，就有（9）式成立，从而证得结论。
§3 函数极限存在的条件与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。
下面的定理只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。
下述归结原则有时成为海涅（Heine）定理。
定理3.8（归结原则）设在内有定义。
存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等。
证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时，有。
另一方面，设数列且，则对上述的，存在，使得当时，有，从而有。
这就证明了。
(充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在一点，尽管，但有。
现依次取，，，…，，…，则存在相应的点，，，…,…,使得，而，。
显然数列且，但当时不趋于。
这与假设相矛盾，所以必有。
注1 归结原则也可简述为：对任何（）有。
注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列注3与，使与都存在而不相等，则不存在。
例1 证明极限不存在。
证设，（），则显然有，（），（）。
故有归结原则即得结论。
函数的图象如图3-4所示。
由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振荡，而不趋于任何确定的数。
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。
从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。
对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式，现以这种类型为例阐述如下：定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。
的充要条件是：对任何以为极限的递减数列，有。
这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要作适当的修改，以保证所找到的数列能递减地趋于。
证明的细节留给读者作为练习。
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。
现以这种类型为例叙述如下：定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。
证不妨设在上递增。
因在上有界，由确界原理，存在，记为。
下证。
事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。
取，则由的递增性，对一切=，有另一方面，由，更有。
从而对一切有这就证得。
最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则。
定理3.11（柯西准则）设在内有定义。
存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何，，有．证必要性设，则对任给的，存在正数，使得对任何有。
于是对任何，有。
充分性设数列且。
按假设，对任给的，存在正数，使得对任何，有。
由于（），对上述的，存在，使得当时有，, 从而有.于是,按数列的柯西收敛准则,数列的极限存在,记为,即.设另一数列且, 则如上所证, 存在, 记为. 现证.为此,考虑数列:,,,,．．．,,,．．．易见且(见第二章§3例7).故仍如上所证, 也收敛.于是，作为的两个子列，与必有相同的极限。
所以由归结原则推得按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限不存在的充要条件：存在，对任何（无论多么小），总可找到，，使得．如在例１中我们可取，对任何设正整数，令，，则有，，而于是，按柯西准则极限不存在．§4 两个重要的极限一证明 [重要极限演示]证§1例4中我们已导出如下不等式（）．除以，得到，由此得（１）在（１）式中用代替时，（１）式不变，故（１）式当时也成立，从而它对一切满足不等式的都成立．由及函数极限的迫敛性，即得．函数的图象如右图所示．例１求解令，则，且当时．所以有例2 求解＝＝二证明y='(1+1/x)^x';ezplot(y,[10,100])证所求证的极限等价于同时成立以下两个极限（2）（3）先利用数列极限证明（2）式成立．为此，作定义在上的两个阶梯函数如下：，，，，易见增（第二章§3习题4）且有上界, 减（第二章§3习题9）且有下界．故据上节习题2，与皆存在．于是，由归结原则（取＝）得到＝＝另一方面，当时有以及，即有，．从而根据迫敛性，定理（2）式得证．现证（3）式．为此作代换，则，且当时，从而有＝以后还常用到的另一种极限形式：（4）事实上，令，则，所以＝例3 求解＝例4 求解令, 则当时，因此==例5 求解．另一方面，当时有而由归结原则（取），＝＝于是，由数列极限的迫敛性得§5 无穷小量与无穷大量一无穷小量与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义.定义1 设在某内有定义．若，则称为当时的无穷小量．若函数在某内有界，则称为当时的有界量．类似地定义当，，，以及时的无穷小量与有界量．例如，，与都是当时的无穷小量，是当时的无穷小量，而，为当时的无穷小量．又如是当时的有界量，是当时的有界量．特别，任何无穷小量也必都是有界量．由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：1. 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量．2. 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．例如，当时，是无穷小量，是有界量，故有性质2即得．clf, x=-0.1:1/500:0.1;y=x.^2.*sin(1./x);y1=x.^2; y2=-x.^2;plot(x,y,x,y1,x,y2)函数的图象如上图所示．由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论：是当时的无穷小量．二无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．为此我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断．设当时，与均为无穷小量．1．若，则称当时为的高阶无穷小量，为的低阶无穷小量，记作（）．特别，为当时的无穷小量记作（）．例如，当时，，，（为正整数）等都是无穷小量，因而有（），，而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量，即有（）．又如，由于＝＝．故有（）．2．若存在正数和，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量．特别当时，与必为同阶无穷小量．例如，当时，与皆是无穷小量．由于＝，所以与为当时的同阶无穷小量．又如，当时，与都是无穷小量，由于它们之比的绝对值满足，所以与为当时的同阶无穷小量．若无穷小量与满足关系式，，则记作（）．特别，若在某内有界，则记为（）．例如（）；（）；（）．甚至当（）时，也有（）．注：本段中的等式（）与（）等，与通常等式的含义是不同的．这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类，而中间的等号的含义是“属于”．例如，前面已经提到（）（1）其中，等式（1）表示函数属于此函数类．3．若，则称与为当时的等价无穷小量．记作（）．例如，由于，故有（）．又由于（上节习题１（6）），故有（）．以上讨论了无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当时，和都是无穷小量，但它们的比=或=当时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较．下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用．定理3.12 设函数，，在内有定义，且有（）．(ⅰ) 若，则(ⅱ) 若，则证 (ⅰ)(ⅱ)可类似的证明.例1 求解由于（）, （）, 故有定理3.12得.例2 利用定价无穷小量代换求极限.解由于=,而（）, （）, （）,故有=注在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若由（）,（）,而推出 = ,则得到的是错误的。