四川省宜宾市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
四川省宜宾三中2017-2018学年高一下学期11月月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年四川省宜宾三中高一（下）6月月考数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求）.1．已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．a2＜b2B．C．2a＜2b D．ab＜b22．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．353．△OAB的直观图△O′A′B′如图所示，且O′A′=O′B′=2，则△OAB的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．84．已知向量=（1，0），=（2，1），且（﹣λ）⊥，则实数λ的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25．如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC=60m，塔顶B的仰角α=45°，塔底C的仰角15°，则井架的高BC为（）A．m B．m C．m D．m6．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．67．m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则α⊥βB．若α∥β，m⊥n，则m⊥αC．若α∥β，m⊂α，则m∥n D．若m∥n，m⊂α，则α∥β8．如图，已知长度为4的线段AB在圆O的圆周上，O为圆心，则•=（）A．2 B．4C．8 D．和动圆O的半径有关9．如图：正四面体S﹣ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°10．在等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a1＞0且3a5=5a8，则数列{a n}前（）项和最大．A．10 B．11 C．11或12 D．1211．已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，2）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）D．（0，2）12．三棱锥A﹣BCD的外接球半径为，AD=2，且满足=，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．16二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是．14．数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣1，则{a n}的通项公式为a n=．15．如图所示，在△ABC中，点O是BC上的点，过O的直线MN分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，（m＞0，n＞0），则6m+2n的值为．16．过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．①若PA=PB=PC，则点O是P的外心；②若点P到△ABC三边所在直线的距离都相等，则点O是△ABC的内心；③若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，则点O是△ABC的垂心；④若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，则点O是△ABC的外心；上面选项中正确的序号是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2=ac，且a2+bc=ac+c2．（Ⅰ）求角A的大小．（Ⅱ）求的值．18．已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．19．如图1，直角△ACD中，AD=2AC，AB是斜边上的高，BE⊥AC，BF⊥AD，沿AB将△ACD折成棱锥A﹣BCD（图2），且CD⊥BC．（Ⅰ）DC⊥BE；（Ⅱ）求BF与平面ACD所成的角．20．数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n是{a n}的前n项和．若S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图2，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CC1=AB=AC=2，∠BAC=90°，D 为BC的中点．（Ⅰ）如图1给出了该三棱柱三视图中的正视图，请据此在框内对应位置画出它的侧视图；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）（文科做）若点P是线段A1C上的动点，求三棱锥P﹣AB1D的体积．（理科做）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．22．已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（n∈N*）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n}是等比数列，并求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{n2a n}的前n项和T n；（Ⅲ）对任意n∈N*，使得≤（n+6）λ恒成立，求实数λ的最小值．2015-2016学年四川省宜宾三中高一（下）6月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求）.1．已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．a2＜b2B．C．2a＜2b D．ab＜b2【考点】不等式的基本性质．【分析】令a=﹣2，b=﹣1，可得a2＞b2，2a＜2b，ab＞b2，＞，故只有C正确，由此得到结论．【解答】解：∵已知a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得a2＞b2，2a＜2b，ab＞b2，＞，故只有C正确，故选：C．2．如果等差数列{a n}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C3．△OAB的直观图△O′A′B′如图所示，且O′A′=O′B′=2，则△OAB的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】斜二测法画直观图．【分析】由斜二测画法还原出原图，求面积．【解答】解：由斜二测画法可知原图应为：其面积为：S==4，故选：C ．4．已知向量=（1，0），=（2，1），且（﹣λ）⊥，则实数λ的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】向量的数量积的运算和向量模的计算即可求出答案．【解答】解：∵向量=（1，0），=（2，1），且（﹣λ）⊥，∴（﹣λ）•=•﹣λ=1×2+0×1﹣λ=0，解得λ=2， 故选：D ． 5．如图，要测出山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得AC=60m ，塔顶B 的仰角α=45°，塔底C 的仰角15°，则井架的高BC 为（ ）A ． mB ． mC ． mD ． m【考点】正弦定理；任意角的三角函数的定义．【分析】由图和测得的仰角求出∠BAC 和∠ABC ，放在△ABC 中利用正弦定理求出BC 的长度．【解答】解：由题意得，∠BAC=45°﹣15°=30°，∠ABC=α=45°，且AC=60m ， 在△ABC 中，由正弦定理得，，即，解得BC=30（m ），故选B ．6．若x ，y 满足约束条件，则z=2x ﹣y 的最大值为（ ）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得点A（3，﹣3），当直线z=2x﹣y过点A（3，﹣3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值9．故选A．7．m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且n⊂β，则下列正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则α⊥βB．若α∥β，m⊥n，则m⊥αC．若α∥β，m⊂α，则m∥n D．若m∥n，m⊂α，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，∵n⊂β，∴α⊥β，正确；对于B，若α∥β，m⊥n，则m⊥α，有可能m∥α，不正确；对于C，若α∥β，m⊂α，则m∥n或m，n异面，不正确；对于D，m∥n，m⊂α，则α∥β或α，β相交，不正确．故选A．8．如图，已知长度为4的线段AB在圆O的圆周上，O为圆心，则•=（）A．2 B．4C．8 D．和动圆O的半径有关【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取AB的中点为C，则OC⊥AB，然后将转化成，然后根据数量积公式进行计算即可．【解答】解：取AB的中点为C，则OC⊥AB则•=0，∴•===4×2=8；故选C．9．如图：正四面体S﹣ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于（）A．90°B．45°C．60°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点AC的中点D，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，取AC的中点D，连接DE、DF，∠DEF为异面直线EF与SA所成的角设棱长为2，则DE=1，DF=1，而ED⊥DF∴∠DEF=45°，故选B10．在等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a1＞0且3a5=5a8，则数列{a n}前（）项和最大．A．10 B．11 C．11或12 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知求出，由a1＞0，得d＜0，从而=（n﹣12）2﹣72d．由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，前n项和为S n，a1＞0且3a5=5a8，∴3（a1+4d）=5（a1+7d），∴，由a1＞0，得d＜0，∴=﹣+﹣=（n2﹣24n）=（n﹣12）2﹣72d．∴当n=12时，S n取最大值﹣72d．故选：D．11．已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣4，2）B．（﹣2，0）C．（﹣4，0）D．（0，2）【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先把x+2y转化为（x+2y）（+）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据x+2y＞m2+2m求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．【解答】解：∵+=1，∴x+2y=（x+2y）（+）=4++≥4+2=8，∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2，故选：A．12．三棱锥A﹣BCD的外接球半径为，AD=2，且满足=，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】平面向量数量积的运算．【分析】三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，再根据基本不等式，即可求出最大值．【解答】解：∵=，∴侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c由题意得：a2+b2+c2=4R2=4×13=52，∵AD=c=2，∴a2+b2=48，∴48=a2+b2≥2ab，即ab≤24，=×abc≤8，∴V A﹣BCD故选：C ．二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 8﹣π ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知，几何体是一个正方体挖去一个圆锥得到的，它的体积是由正方体的体积减去圆锥的体积，根据所给的半径和柱体的高，分别求出两种几何体的体积，用正方体的体积减去圆锥的体积．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是一个正方体挖去一个圆锥得到的， 要求的几何体的体积是由正方体的体积减去圆锥的体积， 正方体的体积是23=8，圆锥的体积是×πR 2•h=，∴要求的几何体的体积是8﹣，故答案为：8﹣π．14．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n ﹣1，则{a n }的通项公式为a n = 2n ﹣1 ． 【考点】等比数列的通项公式；数列递推式．【分析】由S n =2a n ﹣1和S n +1=2a n +1﹣1相减得a n +1=2a n +1﹣2a n ，所以，由此可求出数列{a n }的通项公式．【解答】解：由S n =2a n ﹣1， 得S n +1=2a n +1﹣1，二式相减得：a n +1=2a n +1﹣2a n ，∴，∴数列{a n}是公比为2的等比数列，又∵S1=2a1﹣1，∴a1=1，∴a n=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．15．如图所示，在△ABC中，点O是BC上的点，过O的直线MN分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，（m＞0，n＞0），则6m+2n的值为3．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由=2m+，根据向量的共线定理可知2m+=1，即可求得6m+2n=3．【解答】解：=2m+，由M，O，N三点共线，∴2m+=1，∴6m+2n=3，故答案为：3．16．过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥α，垂足为O，连接PA，PB，PC．①若PA=PB=PC，则点O是P的外心；②若点P到△ABC三边所在直线的距离都相等，则点O是△ABC的内心；③若PA⊥PB，PB⊥PC，PA⊥PC，则点O是△ABC的垂心；④若PA，PB，PC与平面α所成的角都相等，则点O是△ABC的外心；上面选项中正确的序号是①③④．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，可证得△POA≌△POB≌△POC，从而证得OA=OB=OC，符合这一性质的点O是△ABC外心；②点P到△ABC的三边距离相等，可得O到三边的距离相等；③连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，可得BC⊥PA，由PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，PO⊥BC，可得BC⊥AE，同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．故H是△ABC的垂心；④），∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心．【解答】解：①点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，故△POA，△POB，△POC都是直角三角形∵PO是公共边，PA=PB=PC∴△POA≌△POB≌△POC∴OA=OB=OC故O是△ABC外心，正确；②∵点P到△ABC的三边距离相等，∴O到三边的距离相等，∴P点在平面ABC上的射影是△ABC的内心，故正确；③连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．∴H是△ABC的垂心．④∠PAO=∠PBO=∠PCO⇒AO=BO=CO⇒O为三角形的外心，正确．故答案为①③④．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17．在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若b2=ac，且a2+bc=ac+c2．（Ⅰ）求角A的大小．（Ⅱ）求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosA=，结合范围A∈（0，π），即可得解A=．（Ⅱ）利用正弦定理可得，由已知可得sin2B=sinAsinC，化简即可计算得解．【解答】（本题满分为10分）解：（Ⅰ）∵b2=ac，且a2+bc=ac+c2．又∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴解得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=…（Ⅱ）∵，又∵b2=ac，有sin2B=sinAsinC，∴则．18．已知函数f（x）=ax2+bx﹣a+2（1）若关于x的不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a＞0，解关于x的不等式f（x）＞0．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bx﹣a+2=0的两根分别为﹣1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（ax﹣a+2）＞0，由此讨论﹣1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集．【解答】解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3）∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2=0的两根，∴可得，解之得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）当b=2时，f（x）=ax2+2x﹣a+2=（x+1）（ax﹣a+2），∵a＞0，∴①若，即a=1，解集为{x|x≠﹣1}．②若，即0＜a＜1，解集为．③若，即a＞1，解集为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图1，直角△ACD中，AD=2AC，AB是斜边上的高，BE⊥AC，BF⊥AD，沿AB将△ACD折成棱锥A﹣BCD（图2），且CD⊥BC．（Ⅰ）DC⊥BE；（Ⅱ）求BF与平面ACD所成的角．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）棱锥中的垂直关系，在平面图形中分析出来，运用线面垂直的判断定理，证得CD⊥平面ABC，由线面垂直性质，得出DC⊥BE．（2）由（1）分析位置关系时，易发现BE⊥平面ACD，故EF为BF在平面ACD的投影，∠BFE为所求角，再构造三角形求解．【解答】（Ⅰ）证明：AB是斜边上的高，沿AB将△ACD折成棱锥A﹣BCD，有AB⊥BC，AB⊥BD，且BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD∴AB⊥平面BCD．…1分又CD⊂平面BCD∴AB⊥CD．…3分又CD⊥BC，且AB⊂平面ABC、BC⊂平面ABC∴CD⊥平面ABC．…5分又∵BE⊂平面ABC所以DC⊥BE …6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DC⊥BE，且由题BE⊥AC，∴BE⊥平面ACD．…7分所以BF在平面ACD内的射影就是EF，∴BF与平面ACD所成的角就是∠BFE，且△BDF为RT△．…8分∴，…9分∵在平面图中，∴…11分∴∠BFE=30°，即BF与平面ACD所成的角为30°．…12分20．数列{a n}是公比大于1的等比数列，S n是{a n}的前n项和．若S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设公比为q，且q＞1，由等比数列的通项公式及等差中项的性质，列出方程组求出a1、q，即可求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）和对数的运算性质化简b n，利用裂项相消法求出前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设公比为q，且q＞1，由题意得，，则，解得解得a1=1，q=2，所以a n=2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，+1=n+1，则log2a n+1=n，log2a n+1所以=，则T n=b1+b2+…+b n===21．如图2，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CC1=AB=AC=2，∠BAC=90°，D 为BC的中点．（Ⅰ）如图1给出了该三棱柱三视图中的正视图，请据此在框内对应位置画出它的侧视图；（Ⅱ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）（文科做）若点P是线段A1C上的动点，求三棱锥P﹣AB1D的体积．（理科做）求二面角B﹣AB1﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=AC=2，BD=DC，可得AD⊥BC，AD=BC=．即可得出该三棱柱的左视图如图所示的矩形．（Ⅱ）：连接A1B交AB1于点O，连接OD，可得O为A1B的中点．利用三角形中位线定理可得：A1C∥OD．再利用线面平行的判定定理即可证明．=1．又点P是（Ⅲ）（文科做）由AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，可得S△ACD线段A1C上的动点，由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D，因此点P到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离．可得==．由AA1⊥底面ABC，，可得BB1为三棱锥B1﹣ACDD的高．利用三棱锥P﹣AB1D的体积=即可得出．（理科做）过点D作DH⊥AB于H，过H点作HG⊥AB1于H，连接HD．可得DH⊥平面AB1，AB1⊥平面DGH，∠DGH就是二面角B﹣AB1﹣D的平面角，再利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】（Ⅰ）解：在Rt△ABC中，AB=AC=2，BD=DC，可得AD⊥BC，AD=BC=．∴该三棱柱的左视图如图所示的矩形：（Ⅱ）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD，则O为A1B的中点．又∵D为BC的中点，∴OD是△A1BC的中位线．∴A1C∥OD．∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）解：（文科做）∵AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，==1．∴S△ACD又∵点P是线段A1C上的动点，由（Ⅱ）可知A1C∥平面AB1D，故点P到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离．∴==．又∵AA1⊥底面ABC，，∴BB1⊥底面ABC，即BB1=2为三棱锥B1﹣ACDD的高．即三棱锥P﹣AB1D的体积==×1=．（理科做）过点D作DH⊥AB于H，过H点作HG⊥AB1于H，连接HD．∵平面AB1⊥平面ABC，∴DH⊥平面AB1．∴DH⊥AB1，HG⊥AB1，∴AB1⊥平面DGH，∠DGH就是二面角B﹣AB1﹣D的平面角．CC1=AB=AC=2，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴DH=1．H也是AB的中点，AH=1，又HG⊥AB1，∴HG=，DG=．在直角三角形DGH中，．22．已知数列{a n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=（n∈N*）（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{na n}是等比数列，并求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{n2a n}的前n项和T n；（Ⅲ）对任意n∈N*，使得≤（n+6）λ恒成立，求实数λ的最小值．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．=（n≥2），与原递推【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式可得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1式作差可得当n≥2时，数列{na n}是等比数列，再由等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）把数列{a n}的通项a n代入n2a n，利用错位相减法数列{n2a n}的前n项和T n；代入≤（n+6）λ，分离参数λ，由函数的单调性求出最值得答案．（Ⅲ）把a n+1【解答】（Ⅰ）证明：由a1+2a2+3a3+…+na n=，=（n≥2），得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1①﹣②：，即（n≥2），∴当n≥2时，数列{na n}是等比数列，又a1=1，a1+2a2+3a3+…+na n=，得a2=1，则2a2=2，∴，∴（n≥2），∴；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，∴T n=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，则，两式作差得：，得：；（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，即对任意n∈N*恒成立．当n=2或n=3时有最小值为5，有最大值为，故有，∴实数λ的最小值为．2016年12月1日。
四川省宜宾市重点名校2017-2018学年高一下学期期末学业水平测试数学试题含解析
四川省宜宾市重点名校2017-2018学年高一下学期期末学业水平测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在数列{}n a 中，121,64a a ==，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于（ ） A ．7a B ．8aC ．6a 或9aD ．10a【答案】C 【解析】 【分析】在数列{}n a 中，11a =，264a =，且数列1{}n n a a +是等比数列，其公比12q =-，利用等比数列的通项公式可得：171(1)2n n n n a a --+=-⋅．可得(2)(1)(1)(68)32221121(1)2n n n n nn n aa a a a a a a ---+--=⨯⨯⨯⨯=-，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】在数列{}n a 中，11a =，264a =，且数列1{}n n a a +是等比数列，其公比12q =-， ∴1171641()(1)212n n n n n a a ---+=⨯-=-⋅． ∴01(2)65(8)3211211(1)2n n nn n a a a a a a a a +++-+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯(2)(1)(1)(68)22(1)2n n n n ---+-=-，2(1)(14)115169()2228n n n --=--+．由7n =或8时，(2)(1)2(1)1n n ---=-，6n =或9时，20692a a ==，∴数列{}n a 的最大项等于6a 或9a ．故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、累乘法、二次函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 2．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度， 故选：B. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题. 3．不等式10xx-≥的解集为( ) A ．[]0,1 B ．(]0,1C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．()[),01,-∞⋃+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】可将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零. 【详解】原不等式可化为()100x x x ⎧-≥⎨≠⎩，其解集为(]0,1，故选B.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =3π4c =，则c =（ ）A B ．1C ．2D【解析】 【分析】由余弦定理可直接求出c 边的长. 【详解】由余弦定理可得，()22212c =+-3π212cos54⨯⨯⨯=，所以5c =. 故选A. 【点睛】本题考查了余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asinA －bsinB=4csinC ，cosA=－14，则b c =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．6．如图，'''A B C ∆是ABC ∆的直观图，其中'''',''//A B A C A B x =轴，''//A C y 轴，那么ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形【答案】D 【解析】 【分析】利用斜二测画法中平行于坐标轴的直线，平行关系不变这个原则得出ABC ∆的形状．在斜二测画法中，平行于坐标轴的直线，平行关系不变，则在原图形中，//AB x 轴，//AC y 轴，所以，AB AC ⊥，因此，ABC ∆是直角三角形， 故选D ． 【点睛】本题考查斜二测直观图还原，解题时要注意直观图的还原原则，并注意各线段长度的变化，考查分析能力，属于基础题．7．已知a 是第二象限角,5sin ,cos 13a a ==则（ ） A ．1213-B ．513- C ．513D ．1213【答案】A 【解析】cosα＝±1213，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－1213. 8．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B．3CD ．23【答案】C 【解析】试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为a，则1,,2AE EO a OA ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=⋅2221()()()a a a +-==，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角．9．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ）cm ．A ．12B ．16C ．4(13)+D ．4(12)+【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图与原图形的关系，可知原图形为平行四边形，结合线段关系即可求解. 【详解】根据直观图，可知原图形为平行四边形， 因为正方形O A B C ''''的边长为2cm ， 所以原图形2OA BC == cm ，242OB O B =''=()224226AB =+=，所以原平面图形的周长为()62216+⨯=， 故选：B. 【点睛】本题考查了平面图形直观图与原图形的关系，由直观图求原图形面积方法，属于基础题. 10．为了得到()cos2g x x =的图象，只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象( ) A ．向右平移12πB ．向左平移12πC ．向右平移6π D ．向左平移6π 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式将函数()g x 化成正弦函数的形式，再根据平移变换，即可得答案. 【详解】∵()cos2sin(2)2g x x x π==+，∵()sin 2sin 2()sin(2)()31232f x x x x g x ππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π可得()g x . 故选：B. 【点睛】本题考查诱导公式、三角函数的平移变换，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平移是针对自变量x 而言的.11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin sin 6B AC C π--==，则B 的大小是（ ） A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π 【答案】C 【解析】∵sin sin()2B A C --=，∴sin()sin()2cos sin 2A C A C A C +--==， 又6C π=，∴cos A =，又A 为三角形的内角，所以6A π=，故()66B πππ=-+23π=。
四川省宜宾市第四中学2017-2018学年高一下学期期末模拟数学试题(含精品解析)
2018年春期四川省宜宾市第四中学高一年级期末模拟考试数学试题第I卷（选择题 60分）一．选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置上填涂）．1. 已知集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出B中不等式的解集，确定出B，求出两集合的交集即可.详解：，又，.故选：B.点睛：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解题的关键.2. 已知向量，且，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据时，，列方程求出x的值.详解：向量，当时，，解得.故选：D.点睛：本题考查了平面向量的数量积与垂直的应用问题.3. 已知等差数列中，则A. B. 196 C. 256 D. 169【答案】A【解析】分析：由列出方程组，得出与，再直接利用求和即可.详解：，解得，.故选：A.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．4. 在中，且的面积为，则边的长为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用三角形的面积公式求出AC，然后利用余弦定理求解即可.详解：在中，且的面积为，可得，解得，由余弦定理可得：.故选：C.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．5. 若，满足约束条件，则的最大值为A. B. C. 1 D.【答案】D【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.详解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得，化目标函数，化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为：6.故选：D.点睛：线性规划问题的解题步骤：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．6. 若不等式的解集为,则的值分别是A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：通过不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数.详解：不等式的解集为，是的两个根，，解得.故选：B.点睛：本题考查一元二次不等式解集的定义，实际上是考查一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系.7. 函数的最大值为A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，所以函数的最大值为，故选B.8. 已知，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：分别判断出a，b，c的大致范围，即可比较出它们的大小.详解：，，..故选：B.点睛：(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.9. 在平行四边形中，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,，选A.10. 当时,不等式恒成立，则的取值范围为A. B. C. D.【解析】令，则不等式恒成立转化为在上恒成立，则，整理得，解得或，所以实数的取值范围是，故选A.11. 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为A. 16πB.C. 9πD.【答案】B【解析】分析：正四棱锥的外接球的球心在它的高上，记为O，求出，，解出球的半径，求出球的表面积.详解：设球的半径为R，棱锥的高为4，底面边长为2，，，球的表面积为.故选：B.点睛：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题.12. 设等差数列满足：，公差．若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是A. B. C. D.详解：由，得，，则，由，对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前n项和取得最大值，，解得，首项的取值范围是.故选：D.点睛：本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力.第二部分（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．13. 已知数列的前项和，则数列的通项公式__________．【答案】 .【解析】分析：根据与的关系即可得出.详解：当时，；当时，,当代入上式也成立，.故答案为：.点睛：由a n＝S n－S n－1求a n时的n是从2开始的自然数，由此求得的a n不一定就是它的通项公式，必须验证n＝1时是否也成立，否则通项公式只能用分段函数来表示.14. 若变量满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】.【解析】画出不等式组表示的区域如图，结合图形可知当动直线经过点时，动直线在轴上的截距最大，，应填答案。
2017-2018学年四川省宜宾市高一(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知向量＝（1，2），＝（3，x）若∥，则实数（）A．3B．﹣C．5D．62．（5分）在等差数列{a n}中，已知a2＝1，a8＝13，则公差d＝（）A．3B．2C．4D．53．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝60°，a＝，b＝，则∠B＝（）A．30°B．45°C．60°D．135°4．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，则异面直线D1C1与AC 所成角是（）A．B．C．D．5．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则•＝（）A．2B．﹣2C．4D．﹣46．（5分）设a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法正确的是（）A．a∥b，b⊂α，则a∥αB．a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥bC．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βD．a∥b，a⊥β，则a⊥α7．（5分）四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为（）A．B．C．D．18．（5分）设a，b∈R，且a＞b，则（）A．a2＞ab B．＜C．＜D．2﹣a＜2﹣b 9．（5分）在△ABC中，点D是BC上的点，且满足＝4，＝m+n，则的值分别是（）A．B．4C．D．310．（5分）在数列{a n}中，若a1＝0，a n+1﹣a n＝2n，则++…+的值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，在四边形ABCD中，已知•＝0，||＝3，||＝2，则•的最小值为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，且a1＝2，S n为其前n项和，等比数列{b n}的前三项分别为a2，a5，a11，设向量＝（，）（n∈N*），则的模的最大值是（）A．B．2C．D．2二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为．14．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值是．15．（5分）若互不相等的实数a，bc成等差数列，b，a，c成等比数列，且a+3b+c＝5，则a＝．16．（5分）在正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝2，AB＝4，若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量||＝1，||＝2．（1）若与的夹角是120°，求|+|；（2）若（﹣）⊥，求与的夹角．18．（12分）在公差不为零的等差数列{a n}中，若首项a1＝1，a4是a2与a8的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．19．（12分）如图，在四边形ABCD中，已知∠BDC＝45°，∠BAD＝60°，AD＝2，BD ＝．（1）求∠ADC的大小；（2）若AC＝2，求△BCD的面积．20．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，O是BD的中点，P A＝AD．（1）在线段PD上找一点M，使得OM∥平面P AB，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求证平面ABM⊥平面PCD．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且不等式f（x）＜2x的解集为（1，3），对任意的x∈R都有f（x）≥2恒成立．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式kf（2x）﹣2x+1≤0在x∈[1，2]上有解，求实数k的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝a n+1﹣2n+1+1（n∈N*），且a2＝5．（1）证明{+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log3（a n+2n），且证明T n＜2；（3）在（2）小问的条件下，若对任意的n∈N*，不等式b n（1+n）﹣λn（b n+2）﹣6＜0恒成立，试求实数λ的取值范围．2017-2018学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算．【解答】解：∵∥，∴x﹣2×3＝0，解得x＝6．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．【考点】84：等差数列的通项公式．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2＝1，a8＝13，得d＝．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．3．【考点】HP：正弦定理．【解答】解：∵＝，∴＝，解得：sin B＝，而B是三角形的角，且B＜A，故B＝45°，故选：B．【点评】本题考查了正弦定理的应用，是一道基础题．4．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵底面ABCD为正方形，∴∠ACD＝，∵DC∥D1C1，∴∠ACD即为异面直线D1C1与AC所成角，为．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．5．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：根据题意得＝+，又，∴＝0∴＝•（+）＝+＝0＝＝2．故选：A．【点评】本题考查数量积的运算．6．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【解答】解：由a，b是空间中不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A错误；在B中，a⊂α，b⊂β，α∥β，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，a∥b，a⊥β，则由线面垂直的判定定理得a⊥α，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．7．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：几何体的直观图如图：是正方体的一部分，正方体的棱长为：1，四棱锥的体积为：＝．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．8．【考点】R3：不等式的基本性质．【解答】解：利用排除法，当a＝0，b＝﹣1时，排除A，B，C．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：排除法在不等式的性质中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．【考点】9H：平面向量的基本定理．【解答】解：∵点D是BC上的点，＝4．∴＝＝＝．∴m＝，n＝，，故选：C．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用以及平面向量基本定理的运用；属于基础题．10．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：数列{a n}中，若a1＝0，a n+1﹣a n＝2n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝0+2+4+…+2（n﹣1）＝（n﹣1）•2n＝n（n﹣1），即有＝＝﹣，n≥2，n∈N*，可得++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：A．【点评】本题考查数列的通项公式和数列的求和方法，注意运用数列恒等式和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．11．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：由•＝0，可知AB⊥AD，分别以AB，AD所在的直线为x轴，y轴建立直角坐标系，如图所示，∵||＝3，||＝2，设C（m，n），z则AC＝＝3则可设，m＝3cosα，n＝3sinα），设B（a，0），D（0，b）∵BD＝2∴a2+b2＝4故可设a＝2cosβ，b＝2sinβ，即B（2cosβ，0），D（0，2sinβ），则•＝（m，n﹣b）•（m﹣a，n）＝m2﹣ma+n2﹣nb，＝9﹣6（cosαcosβ+sinαsinβ），＝9﹣6cos（α﹣β）≥3即最小值为3．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算，坐标系的建立可求简化基本运算．12．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：数列{a n}是公差d不为零的等差数列，且a1＝2，S n为其前n项和，等比数列{b n}的前三项分别为a2，a5，a11，可得a52＝a2a11，即（a1+4d）2＝（a1+d）（a1+10d），化为a1＝2d＝2，可得d＝1，则a n＝2+n﹣1＝n+1；S n＝n（n+3），向量＝（，）＝（，），可得||2＝（1+）2+（1+）2＝++，由于n∈N*，当n＝1时，取得最大值1，可得++的最大值为++＝8，则的模的最大值是2．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项性质，以及向量的模的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．14．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：由z＝x﹣2y得y＝x﹣，作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣，过点B时，直线y＝x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得B（1，3）．代入目标函数z＝x﹣2y，得z＝1﹣2×3＝1﹣6＝﹣5．∴目标函数z＝x﹣2y的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．15．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a＝b﹣d，c＝b+d，由题设得，，解方程组得，或，∵d≠0，∴b＝1，d＝3，∴a＝b﹣d＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的中项性质建立等式求解，注意三个成等差数列的数的设法：x﹣d，x，x+d．16．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：正四棱锥P﹣ABCD中，P A＝2，AB＝4，可得P﹣ABCD的高为h＝＝＝2，设正四棱锥的内切球的半径为r，V P﹣ABCD＝S ABCD h＝×16×2＝，由正四棱锥的斜高为h'＝＝＝4，可得正四棱锥的表面积为S全＝42+×4×4×4＝48，即有内切球的半径为r＝＝＝，由正方体为球的内接几何体可得：正方体的对角线即为球的直径，设正方体的边长为a，可得2r＝a，可得a＝，即有正方体的最大棱长为，故答案为：．【点评】本题考查正四棱锥的性质和内接正方体的棱长问题，运用正四棱锥的内切球和正方体的关系是解题的关键，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【解答】解：（1）＝+2•+＝12+2×1×2×cos120°+22＝3，∴|+|＝；……………………………（5分）（2）设与的夹角为θ，∵（﹣）⊥，∴（﹣）•＝0，∴﹣•＝0，∴12﹣1×2×cosθ＝0，cosθ＝；……………………………（8分）θ∈[0，π]，∴与的夹角为θ＝．……………………………………（10分）【点评】本题考查了平面向量数量积的应用问题，是基础题．18．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【解答】解：（1）设等差数列公差d不为零的等差数列{a n}，a4是a2与a8的等比中项，a1＝1，可得a42＝a2a8，即（1+3d）2＝（1+d）（1+7d），解得d＝1 或d＝0 （舍去），即a n＝a1+（n﹣1）d＝n；（2）2n•a n＝n•2n，前n项和S n＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①2S n＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，②由①﹣②得﹣S n＝2+22+23+…+2n，﹣n•2n+1＝﹣n•2n+1，化简可得S n＝（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．【考点】HP：正弦定理．【解答】（本题满分为12分）解：（1）在△ABD中，由正弦定理得：＝，∴sin∠ABD＝＝∵AD＜BD，∠ABD＜∠BAD＜60°，∴∠ABD＝45°，又∠BAD+∠ABD+∠ADB＝180°，∠ADB＝75°，∵∠BDC＝45°故∠ADC＝∠ABD+∠BDC＝120°，……………………………………………………（6分）（2）在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DC•cos∠ADC，可得：DC2+2DC﹣8＝0，∴解得：DC＝2，∴S△BCD＝BD•DC•sin∠BDC＝．……………………………………（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．20．【考点】LW：直线与平面垂直；L Y：平面与平面垂直．【解答】解：（1）M是线段PD的中点，在△PBD中，O，M分别是BD、PD的中点，∴OM∥PB，……………………（3分）又∵PB⊂平面P AB，OM⊄平面P AB，………（5分）∴OM∥平面P AB．……………………（6分）证明：（2）∵P A⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥AD且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，……………………………………（8分）又PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD，又∵P A＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，且AB∩AM＝A，……………………………………（10分）∴PD⊥平面ABM，PD⊂平面PCD，∴平面ABM⊥平面PCD．………………………………………………（12分）【点评】本题考查满足线面平行的点的位置的判断，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想，是中档题．21．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：（1）∵f（x）＝ax2+bx+c＜2x的解集为（1，3），∴方程ax2﹣（2﹣b）x+c＝0的两个根是1和3．故，∴．又∵f（x）≥2在x∈R上恒成立，∴ax2﹣（2﹣4a）x+3a﹣2≥0在x∈R上恒成立．则△＝（2﹣4a）2﹣4a（3a﹣2）≤0，即（a﹣1）2≤0，又∵（a﹣1）2≥0，∴（a﹣1）2＝0，即a＝1．∴f（x）＝x2﹣2x+3；（2）由kf（2x）﹣2x+1≤0，即k（22x﹣2•2x+3）≤2x﹣1．∵22x﹣2•2x+3＝（2x﹣1）2+2＞0，∴k≤，设t＝2x﹣1∈[1，3]，则k≤．又∵，当且仅当t＝，即t＝时取得最大值．∴k，即实数k的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．22．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）在2S n＝a n+1﹣2n+1+1中，令n＝1，得2a1＝2S1＝a2﹣4+1，∵a2＝5，解得a1＝1，当n≥2时，由2S n＝a n+1﹣2n+1+1，可得2S n﹣1＝a n﹣2n+1，相减得到2a n＝a n+1﹣a n﹣2n，则+1＝（+1），又a2＝5，则+1＝（+1），可得数列{+1}是以为首项，为公比的等比数列，即有+1＝（）n，即a n＝3n﹣2n；（2）证明：b n＝log3（a n+2n）＝log33n＝n，当n＝1时T1＝＝1＜2，当n≥2时，＜＝﹣，T n＝＝1+++…+＜1+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＜2，综上，T n＜2；（3）当b n（1+n）﹣λn（b n+2）﹣6＜0恒成立时，即（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6＜0恒成立，设f（n）＝（1﹣λ）n2+（1﹣2λ）n﹣6（n∈N*），当λ＝1时，f（n）＝﹣n﹣6＜0恒成立，则λ＝1满足条件；当λ＜1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ＞1时，由于对称轴x＝＜0，则f（n）在[1，+∞）上单调递减，f（n）≤f（1）＝﹣3λ﹣4＜0恒成立，则λ＞1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查构造数列法，以及数列不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和，考查数列的单调性的运用，以及转化思想和运算能力和推理能力，属于难题．。
【全国市级联考】四川省2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2018年春期高一期末教学质量监测试题数学一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 62. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.8. 设，且，则A. B. C. D.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 不等式解集是__________．14. 已知满足约束条件，则的最小值是__________．15. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且则____．16. 在正四棱锥中,,若一个正方体在该正四棱锥内部可以任意转动，则正方体的最大棱长为________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知向量,.（1）若与的夹角是，求；（2）若，求与的夹角.18. 在公差不为零的等差数列中，若首项，是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19. 如图，在四边形中，已知，,,.（1）求的大小；（2）若，求的面积.20. 如图所示，在四棱锥中，已知底面是矩形，是的中点，. （1）在线段上找一点,使得,并说明理由；（2）在（1）的条件下，求证.21. 已知二次函数,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立. （1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.22. 设数列的前项和为，已知（），且.（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，且证明；（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量若，则实数A. 3B.C. 5D. 6【答案】D【解析】分析：利用向量共线的条件，即可求解.详解：由题意向量，因为，所以，解得，故选D.点睛：本题主要考查了向量的共线定理及其应用，其中熟记向量的共线定理和向量的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2. 在等差数列中，已知,则公差=A. B. C. 4 D.【答案】A【解析】分析：由题意，利用等差数列的通项公式，列出方程组，即可得到答案.详解：由题意，等差数列中，，则，解得，故选A.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中熟记等差数列的通项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力属于基础题.3. 在中，所对的边分别为，若则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据三角形的正弦定理，得，即，即可求解.详解：在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以，故选B.点睛：本题主要考查了利用正弦定理解三角形问题，其中认真分析题设条件，恰当的选择正弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在长方体中，底面为正方形，则异面直线与所成角是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据长方体的性质，把异面直线与所成的角，转化为与所成的角，在直角三角形中，即可求解.详解：由题意，在长方体中，，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在直角中，因为底面为正方形，所以为等腰直角三角形，所以，即异面直线与所成的角为，故选A.点睛：本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，利用解三角形的知识求解是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理与计算能力.5. 已知正方形的边长为，为的中点, 则A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据向量的加法法则，可得，再根据向量的数量积的运算性质，即可求解.详解：由题意，因为为的中点，根据向量的加法法则，可得，所以，故选A.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理和平面向量的数量积的运算，其中熟记平面向量的基本定理和数量积的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6. 设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判，定即可得到答案.详解：由题意，由于是空间不同的直线，是不同的平面，A中，或，所以不正确；B中，，则是平行直线或异面直线，所以不正确；C中，或相交，所以不正确；D中，，由面面平行的性质定理得，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系的判定，其中熟记空间中点、线、面位置的判定定理和性质定理是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.7. 四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的体积为A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由已知中的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，利用椎体的体积公式，即可求解其体积.详解：由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体表示一个底面为边长为1的正方形，高为1的四棱锥，所以几何体的体积为，故选B.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.8. 设，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据不等式的性质及指数函数的单调性，即可得到答案.详解：由题意，，且，A中，如，所以，所以不正确；B中，如，所以，所以不正确；C中，由，符号不能确定，所以不正确；D中，由指数函数为单调递增函数，且，所以是正确的，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质，以及指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和函数的单调性的应用是解答的关键，着重考查了推理，与论证能力，以及分析问题和解答问题的能力.9. 在中，点是上的点,且满足,,则的值分别是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用平面向量的三角形法则和向量的共线定理，即可得出结论.详解：由题意，在中，为上的点，且满足，则，又由，所以，所以，故选C.点睛：本题主要考查平面向量的三角形法则的运算，以及平面向量的基本定理的应用，其中熟记平面向量的运算法则和平面向量的基本定理的应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.10. 在数列中，若，，则的值A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式，进而即可求解的和.详解：由题意，数列中，，则，所以所以，故选A.点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.11. 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用不等式求解，即可得到答案.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，设点，因为，所以，则，所以，又由，所以，即的最大值为，所以，即的最小值为3，故选C.点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算和不等式的应用，其中建立直角坐标系转化为向量的坐标运算，合理利用不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，为其前项和，等比数列的前三项分别为，设向量()，则的最大值是A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意利用等比中项公式求解，进而得到等差数列的通项公式和前n项和，求解向量的坐标，利用向量模的运算公式，转化为二次函数求解最值，即可求解.详解：由题意构成等比数列，所以，即，解得，又由，所以，所以，所以，所以，由二次函数的性质，可得当取得最大值，此时最大值为，故选B.点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，以及向量的模的计算等知识点的综合应用，其中熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式，以及向量的基本运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
【高一数学试题精选】2018年宜宾市高一数学下期末试卷(带答案和解释)
2018年宜宾市高一数学下期末试卷（带答案和解释）
c 2018学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．若等差数列{an}的通项式是an=2n+5，则此数列（）
A．是差为5的等差数列B．是差为3的等差数列
c．是差为2的等差数列D．是差为7的等差数列
【考点】等差数列的通项式．
【分析】由题意an=2n+5，再化简当n≥2时an﹣an﹣1后，由等差数列的定义即可得答案．
【解答】解因为an=2n+5，
所以当n≥2时，an﹣an﹣1=2n+5﹣[2（n﹣1）+5]=2，
所以数列{an}是以2为差的等差数列，
故选c．
2．已知 =（3，1），向量 =（2，λ），若∥ ，则实数λ的值为（）
A．﹣ B． c． D．﹣
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程即可求出λ的值．
【解答】解∵ =（3，1），向量 =（2，λ），且∥ ，
∴3λ﹣2×1=0，
解得λ= ．
故选B．
3．若a，b是任意实数，且a＞b，则（）。
四川省宜宾市一中2017-2018学年高中数学下学期第15周周考试题
四川省宜宾市一中2017-2018学年高中数学下学期第15周周考试题一、选择题（每题6分，共72分）1、已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，则S 9等于（ ） A. -8 B. -6C. 10D. 0答案: D解析:解：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴=a 1a 4， ∴=a 1•（a 1+3×2），化为2a 1=-16， 解得a 1=-8． ∴则S 9=-8×9+×2=0，故选：D ．2、已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以唯一地表示成（λ，μ为实数），则实数m 的取值范围是（ ）A. （-∞，2）B.C. （-∞，-2）∪（-2，+∞）D.答案: D解析: 解：由题意可知为一组基向量，故而不共线， ∴-2m≠3（m-2），即m≠．故选：D ．3、等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n ，若，则S 2n+1=（ ）A. 4n+2B. 4nC. 2n+1D. 2n答案: A4、平行于同一个平面的两条直线的位置关系为（D ）A、平行B、相交C、异面D、以上三种均有可能5、已知a＞0，b＞0，且a+2b=8，那么ab的最大值等于（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案:B解析:解：a＞0，b＞0，且a+2b=8，则ab=a•2b≤（）2=×16=8，当且仅当a=2b=4，取得等号．则ab的最大值为8．6、已知ax2-（1+a）x+b≥0的解集为{x|≤x≤1}，则a+b=（）C. -4D. 4 A. B.答案:C解析:解：ax2-（1+a）x+b≥0的解集为{x|≤x≤1}，∴方程ax2-（1+a）x+b=0的实数根为和1，∴，解得a=-5，b=1；∴a+b=-4．故选：C．7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（B）A．90πB．63πC．42πD．36π8、已知O是正△ABC的中心．若=，其中λ，μ∈R，则的值为（）D. 2 A. B. C.答案:C解析:解：∵O是正△ABC的中心，∴，由=，可得+=，∴（1+μ）++（-λ-μ）=．∴1+λ=μ=-λ-μ⇒2λ=-μ∴则的值为-，故选：C．9、在四面体ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，AB=CD，AB⊥CD，则异面直线EF与AB所成角的大小为（）A. B. C. D.答案:B10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=20，三角形面积为，A=60°，则a=（）A. 7B. 8C. 5D. 6答案:A解析:解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20-a=b+c．由余弦定理可得11、如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M、N分别为线段PD、PO上的动点，已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案:B解析:解：在PC上取点M′，使得PM′=PM，则MN=M′N，当AM′⊥PC时，AM′取得最小值，即AN+NM′的最小值为AM′，∵M为PD的中点，故而M′为PC的中点，∴PA=AC=2，∴PO==，设外接球的半径为r，则r2=（-r）2+1，解得：r=．∴外接球的表面积为4πr2=．故选：B．12、某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（）A. B. C. 2 D. 1答案:A解析:解：由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P-ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，且侧面PAB⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为PO=1，最长的棱为PC，连接OC，则PO⊥OC，∴PC====．故选：A．二、填空题（每题6分，共24分）13、已知向量，，，若，则=______．答案:解析:解：向量，，，可得+2=（x+2，5），若，则5（x+2）=-5， 解得x=-3， 则||==，故答案为：．14、下列说法正确的是 ①若直线a 不在平面∂内，则∂//a 。
四川省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷(一)
四川省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷（一）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（每小题6分，满分36分）1.在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2．已知||=1，||=6，（﹣）=2，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．3 D．3．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．24π﹣16 B．24π+16 C．24π﹣18 D．24π+484．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么f（﹣1）=（）A．2 B．C．D．﹣25．若实数x，y满足且z=2x+y的最小值为4，则实数b的值为（）A．0 B．2 C．D．3=a m+a n．数列{a n}的前n 6．已知数列{ a n}满足a1=，且对任意的正整数m，n，都有a m+n项和为S n，若恒有＜T（n∈N*），则T的最小整数值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题6分，共24分）7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为．8．已知=1，tan（β﹣α）=﹣，则tan（β﹣2α）=．9．若数列{a n}满足﹣=d（n∈N+，d诶常数），则称数列{a n}为“调和数列”，已知正项数列{}为“调和数列”，且b1+b2+…b9=90，则b4b6的最大值是．10．不等式++＞0对满足a＞b＞c恒成立，则λ的取值范围．三、解答题（11题12分，12题13分，13题15分，共40分，解答应写出文字文明、证明过程或推演步骤）．11．已知f（x）=，其中=（2cosx，﹣sin2x），=（cosx，1）（x∈R）．（1）求f（x）的周期和单调递减区间；（2）在△ABC 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，f（A）=﹣1，a=，=3，求边长b和c的值（b＞c）．12．解关于x的不等式＞﹣1（a∈R）．13．已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n为正整数）．=a n+（）n﹣1，并求数列{a n}的通项公式；（1）证明：a n+1（2）若=，T n=c1+c2+…+c n，求T n．参考答案一、单项选择题1．C 2．D．3．A．4．A．5．D 6．C．二、填空题7．答案为：18．答案为：﹣19．答案为：10010．答案为λ＜4．三、解答题11．解：（Ⅰ）由题意知：f（x）==，∴f（x）的最小正周期T=π．…由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈z，求得，k∈z．∴f（x）的单调递减区间[，k∈z．…（2）∵f （A）==﹣1，∴，…又＜2A+＜，∴2A+=π，A=．…∵即bc=6，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc，7=（b+c）2﹣18，b+c=5，…又b＞c，∴b=3，c=2．…12．解：不等式＞﹣1可化为＞0①a＞1时，解集为（﹣∞，）∪（2a，+∞）；②a=1时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；③a ＜1时，解集为（﹣∞，2a ）∪（，+∞）．13．解：（1）∵数列{a n }的前n 项和（n 为正整数），∴当n=1时，S 1=a 1=﹣a 1﹣1+2，∴a 1=．当n ≥2时，S n ﹣1=﹣a n ﹣1﹣（）n ﹣2+2，∴S n ﹣S n ﹣1=a n =﹣a n +a n ﹣1﹣（）n ﹣1+（）n ﹣2，∴2a n =a n ﹣1+（）n ﹣1，∴2a n +1=a n +（）n ，∴．设b n =2n a n ，∴b n ﹣b n ﹣1=1，即当n ≥2时b n ﹣b n ﹣1=1又∵b 1=2a 1=1∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． ∴b n =1+（n ﹣1）×1=n=2na n ，∴a n =．（2）∵，∴=（n +1）（）n ，∴T n =2×+3×（）2+4×（）3+…+（n +1）（）n ，①T n =2×（）2+3×（）3+4×（）4+…+（n +1）（）n +1，②由①﹣②得T n =1+（）2+（）3+…+（）n ﹣（n +1）（）n +1=﹣，∴T n =3﹣．。
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2017-2018学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若等差数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列（）A．是公差为5的等差数列 B．是公差为3的等差数列C．是公差为2的等差数列 D．是公差为7的等差数列2．已知=（3，1），向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．D．﹣3．若a，b是任意实数，且a＞b，则（）A．＞B．＜1 C．（）a＜（）b D．lg（a﹣b）＞04．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．2 D．5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．80 B．40 C．D．6．已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0，若•=1，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．87．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD．其中一定正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．①④8．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形9．{a n}是各项均不为0的等差数列，{b n}是等比数列，若a1﹣a+a13=0，且b7=a7，则b3b11=（）A．16 B．8 C．4 D．210．△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．11．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则•=（）A．B．C．D．12．设正实数m，n，t满足m2﹣3mn+4n2﹣t=0，则当取得最小值时，m+2n﹣t的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．在等比数列{a n}中，a3=2，a6=，则数列{a n}的公比为．14．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+y的最大值为．15．若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为．16．已知数列{a n}，{b n}，{c n}，满足a1=8，b1=10，c1=6，且a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则b n=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知，是夹角为60°的单位向量，且，（1）求；（2）求的夹角＜＞．18．一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行（2﹣2）nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C．（1）求AC的长；（2）如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小？19．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且cosB=．（Ⅰ）求+的值；（Ⅱ）设•=，求a、c的值．20．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，Rt△AOC通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角．动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的正切值；（Ⅲ）求CD与平面AOB所成角最大时该角的正切值．21．已知定义在R上的函数f（x）=x2﹣（3﹣a）x+2（1﹣a）（其中a∈R）．（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x﹣3对任意x＞2恒成立，求a的取值范围．22．已知数列{a n}满足条件a n+1﹣a n=2，a5=11，前n项和为S n，数列{b n}前n项和为T n，满足条件T n=2b n﹣2．（1）求a n与b n；（2）求数列{a n•b n}的前n项和K n；（3）令C n=，若不等式x2+2mx+1≥C1+C2+C3+…+C n对任意x∈R和任意的正整数n恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年四川省宜宾市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若等差数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列（）A．是公差为5的等差数列 B．是公差为3的等差数列C．是公差为2的等差数列 D．是公差为7的等差数列【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意a n=2n+5，再化简当n≥2时a n﹣a n﹣1后，由等差数列的定义即可得答案．【解答】解：因为a n=2n+5，所以当n≥2时，a n﹣a n﹣1=2n+5﹣[2（n﹣1）+5]=2，所以数列{a n}是以2为公差的等差数列，故选C．2．已知=（3，1），向量=（2，λ），若∥，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列出方程即可求出λ的值．【解答】解：∵=（3，1），向量=（2，λ），且∥，∴3λ﹣2×1=0，解得λ=．故选：B．3．若a，b是任意实数，且a＞b，则（）A．＞B．＜1 C．（）a＜（）b D．lg（a﹣b）＞0【考点】不等式的基本性质．【分析】对于A，B，D举反例可以判断，对于C，根据指数函数的单调性即可判断．【解答】解：若a，b均小于0，则A不成立，若a＜0，由a＞b，则得到＞1，故B不正确，根据指数函数的性质可知，y=为减函数，故C正确，当0＜a﹣b＜1时，D不成立，故选：C．4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则a等于（）A．B．C．2 D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由b，c以及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值．【解答】解：∵c=，b=，cosB=cos120°=﹣，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即6=a2+2+a，解得：a=．故选A5．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A．80 B．40 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．据此可计算出该几何体的体积．【解答】解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．从图中可知，三棱锥的底是两直角边分别为4和5的直角三角形，高为4，体积为V=．故选D．6．已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0，若•=1，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．9 D．8【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．【分析】由•=1，可得x+2y=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵向量=（x，2），=（1，y），∴•=x+2y=1，∵x＞0，y＞0，∴+=（+）（x+2y）=5++≥5+4=9，当且仅当=时取等号，∴+的最小值为9，故选：C．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1E=B1F，有下面四个结论：①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD．其中一定正确的有（）A．①②B．②③C．②④D．①④【考点】的真假判断与应用．【分析】作出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，利用正方体的结构特征，结合题设条件，能够作出正确判断．【解答】解：如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．故选D．8．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半可判断原图形的形状．【解答】解：∵矩形O'A'B'C'是一个平面图形的直观图，其中O'A'=6，O'C'=2，又∠D′O′C′=45°，∴O′D′=，在直观图中OA∥BC，OC∥AB，高为OD=4，CD=2，∴OC==6．∴原图形是菱形．故选C．9．{a n}是各项均不为0的等差数列，{b n}是等比数列，若a1﹣a+a13=0，且b7=a7，则b3b11=（）A．16 B．8 C．4 D．2【考点】等差数列的通项公式．【分析】由等差数列的通项公式得到，从而b7=a7=2，由此利用等比数列通项公式能求出b3b11．【解答】解：∵{a n}是各项均不为0的等差数列，a1﹣a+a13=0，∴，∵a7≠0，∴b7=a7=2，∵{b n}是等比数列，∴b3b11==22=4．故选：C．10．△ABC中，a，b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a，b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A．B．C．D．【考点】解三角形．【分析】先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2﹣2ac，又∵△ABC的面积为，∠B=30°，故由，得ac=6．∴a2+c2=4b2﹣12．由余弦定理，得，解得．又b为边长，∴．故选B11．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则•=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，且==+，代入要求的式子运算求得结果．【解答】解：在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则△ABD是等边三角形，，且==+．∴=（）•（）=++=1+×1×1cos60°+=，故选D．12．设正实数m，n，t满足m2﹣3mn+4n2﹣t=0，则当取得最小值时，m+2n﹣t的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】基本不等式．【分析】求得t=m2﹣3mn+4n2，（m，n，t＞0），代入，整理后运用基本不等式，可得m=2n，取得最小值，此时t=mn=2n2，代入m+2n﹣t，运用二次函数的最值求法，可得最大值．【解答】解：m2﹣3mn+4n2﹣t=0，可得t=m2﹣3mn+4n2，（m，n，t＞0），即有==+﹣3≥2﹣3=1，当且仅当m=2n时，取得最小值1．此时t=mn=2n2，则m+2n﹣t=4n﹣2n2=﹣2（n﹣1）2+2，当n=1时，m+2n﹣t取得最大值2．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．在等比数列{a n}中，a3=2，a6=，则数列{a n}的公比为．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的性质求解．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a3=2，a6=，∴q3===，∴q=．故答案为：．14．若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=x+y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】由题意画出平面区域，根据线性规划解答．【解答】解：作出平面区域如图：则当过A（3，0）时，目标函数z=x+y有最大值3．故答案为：3．15．若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC的形状为等腰三角形．【考点】三角形的形状判断．【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．【解答】解：∵====0，∴，∴△ABC为等腰三角形．故答案为：等腰三角形16．已知数列{a n}，{b n}，{c n}，满足a1=8，b1=10，c1=6，且a n+1=a n，b n+1=，c n+1=，则b n=2×（﹣）n﹣1+8．【考点】数列递推式．【分析】由条件可知a n=8，b n+1=+4，c n+1=+4，两式相减求得c n+1﹣b n+1=﹣（c n﹣b n），c1﹣b1=﹣4，{c n﹣b n}是以﹣4为首项，以﹣为公比的等比数列，求得通项公式；两式相加，利用数学归纳法证明：c n+b n=16，将c n=16﹣b n代入通项公式，即可求得b n．【解答】解：由a1=8，a n+1=a n=8，b n+1==+4，c n+1==+4，∴c n+1﹣b n+1=﹣（c n﹣b n），c1﹣b1=6﹣10=﹣4，∴{c n﹣b n}是以﹣4为首项，以﹣为公比的等比数列，c n﹣b n=（﹣4）×（﹣）n﹣1，c n+1+b n+1=（c n+b n）+8，∵c1+b1=16，∴c2+b2=16，c3+b3=16，猜想：c n+b n=16，用数学归纳法证明：①当n=1时，c1+b1=16，结论成立，②假设当n=k时结论成立，即c k+b k=16，那么当n=k+1时，c k+1+b k+1=（c k+b k）+8=16，即当n=k+1时结论也成立，由①②得：当n=N*时，c n+b n=16恒成立，将c n=16﹣b n代入c n﹣b n=（﹣4）×（﹣）n﹣1，解得：b n=2×（﹣）n﹣1+8，故答案为：b n=2×（﹣）n﹣1+8．三、解答题：本大题共6个小题，共70分。