数学分析—极限练习题及详细答案
数学—极限练习题及详细答案
一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
极限部分练习题答案
《极限部分练习题》参考答案1. 42lim416--→x x x解1 ()()()()()()84244x 48422lim 42lim4424344243416416++++-++++-=--→→x x x x x x x x x x x x x()()()()84216x 416lim4424316+++-+-=→x x x x x x 418888448424lim4424316=++++=++++=→x x x x x .解2 ()()4122121lim 222lim 42lim41644416416=+=+=+--=--→→→x x x x x x x x x . 【注】解1中是分子、分母同乘分子24-x 的共轭根式84244243+++x x x ，解2中是分子、分母同乘分母4-x 的共轭根式4+x ，显然解2比解1简单.2. 求a 的值，使得411lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x a解 a aa xx aa xx xx e x a x a x a ---∞→--∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1lim 1lim 1lim Θ，41=∴-a e ，即4=ae ,取对数得2ln 24ln ==a . 3. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x sin 11sinlim 解 101sin 1lim 11sinlim sin 1lim 1sin lim sin 11sin lim =+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→∞→∞→∞→x x xx x x x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限xx x 1sin lim ∞→时应用了第一个重要极限，而求极限x x x sin 1lim ∞→时则应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.4. 当∞→n 时，n 1sin2与k n1等价，则=k ？ 解 Θ当∞→n 时k n n 1~1sin 2，111sin lim2=∴∞→k n n n ，而111sin lim 11sin lim 11sin lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→∞→kn kn k k n n n n n n n ，2=∴k .5. xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→1212lim 解1 e e e x x x x x x x x x x xx x xx x x x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→2121212212212212211lim 211lim 211211lim 211211lim 1212lim . 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→2121212211221lim 1221lim 1212lim x x x x x x x xx xxe e x x x x x =⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→11221lim 1221lim 21212. 6. ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22211311211lim n n Λ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→n n n 1111311311211211lim Λ 21121lim 1134322321lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅⋅⋅=∞→∞→n n n n n n n n Λ. 7. 设()3222+-=+x x x f ，则()[]=2f f ？解 在()3222+-=+x x x f 中令0=x ，得()32=f ，从而()[]()32f f f =；再在()3222+-=+x x x f 中令1=x ，得()23=f ，即()[]22=f f .8. xxx 3sin 11lim0--→解1 ()()()()xx xx x x x x x x x x -+=-+-+--=--→→→113sin lim113sin 1111lim 3sin 11lim000 ()()616111131lim 3sin 3lim 11313sin 3lim 000=⨯=-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋅=→→→x x x x x x x x x . 解2 注意，当0→x 时，x x 3~3sin ，且()2~1111xx x ---+=--，所以当0→x 时，()2~1111x x x ---=--，于是由无穷小量替换法得613lim 3sin 11lim 00==--→→x 2xx x x x .9. xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→12lim 解1 31212212211lim 21lim 1121lim 1121lim 12lim e e e x x x x x x x x x x xx x x x xx x x ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. 解2 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→131131lim 131lim 12lim 331x x x x x x x xx xx333311131lim 131lim e e x x x x x =⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→-∞→. 10. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0解 110sin lim 1sin lim sin 11sinlim 000=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x x x x x x x x x x .【注】解题中求极限⎪⎭⎫⎝⎛⋅→x x x 1sin lim 0时应用了无穷小量的性质（无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量）.11. 623lim 2232--++-→x x xx x x解 ()()()()()5231lim 2321lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .12. hx h x h 330)(lim -+→解1 ()()2220322033333lim 33lim limx h xh x hh xh h x hx h x h h h =++=++=-+→→→. 解2 ()()()[]()()[]2220220333lim lim limx x x h x h x hx x h x h x h hx h x h h h =++++=++++=-+→→→.【注】解1中分子是直接将二项式()3h x +展开再减3x ，而解2中分子是直接对()33xh x -+应用立方差公式. 13. 321lim3--+→x x x解 ()()()()()()41211lim 2133lim 2132121lim 321lim3333=++=++--=++-++-+=--+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . 14. ()x x x x -+++∞→)2)(1(lim解 ()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-+++∞→+∞→212121lim )2)(1(lim()()()()23123123lim2323lim 2121lim222=++++=++++=+++-++=+∞→+∞→+∞→x x x xx x x x x x x x x x x x . 【注】仿上步骤可知，()()()[]()()[]()()xx xx x x x x x x x x x x ++++++-++=-++-∞→-∞→212121lim )2)(1(lim()()()()+∞=+++-+=++++=+++-++=-∞→-∞→-∞→123123lim2323lim 2121lim222x x xxx x x x x x x x x x x x ，即极限()x x x x -++-∞→)2)(1(lim不存在，所以()x x x x -++∞→)2)(1(lim 也不存在，故将原题改为()x x x x -+++∞→)2)(1(lim .15. xx xx x e e e e 2223lim ++-+∞→解1 21231lim 23lim 322=++=++--+∞→-+∞→x x x x x x x x e e e e e e .解2 令xe u =，则当+∞→x 时，+∞→u ，故由无穷小量分出法，有212311lim 231lim23lim32222=++=++=+++∞→+∞→-+∞→uu u u u u e e e e u u x x xx x .16. xxx x 3sin sin 2tan 2lim+-+→ 解 ()()()xx x xx x x xxx x x sin 2tan 2sin sin 2tan 2sin 2tan 2lim sin sin 2tan 2lim3030+++++++-+=+-+→→ ()()xx x x x x x x x x x sin 2tan 2sin 1cos 1lim sin 2tan 2sin sin tan lim 2030+++-=+++-=→→ ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅-=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin cos 1lim 20（以下分3种作法） ① 原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 1sin 2sin 2lim 220 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅⋅⋅=→x x x x x x x xxx sin 2tan 21cos 1sin 242sinlim 2222220 241221111121sin 2tan 21lim cos 1lim sin lim 22sin lim21002020=⨯⨯⨯⨯=+++⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=→→→→x x x x x x x x x x x .② 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅+⋅-=→x x x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11sin cos 1lim 220 ⎪⎭⎫⎝⎛+++⋅⋅+=→x x x x x sin 2tan 21cos 1cos 11lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim cos 11lim000=⨯⨯⨯=+++⋅⋅+=→→→x x x x x x x .③ Θ当0→x 时，2~cos 12x x -，且22~sin x x ，∴由无穷小量替换法，原式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x x x sin 2tan 21cos 12lim 220⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⋅=→x x x x sin 2tan 21cos 121lim 0 2412211121sin 2tan 21lim cos 1lim 2100=⨯⨯⨯=+++⋅⋅=→→x x x x x . 17. xx x x⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 22解 x x xx x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→222111lim 1lim xx x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--∞→∞→11111lim 11111lim 1 1111lim 11lim 111=⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∞→--∞→ee x x xx xx . 18. ()xx x 3sin 21ln lim 0+→ 解1 ()()()xx x xx x x x x x x x x x x 33sin 21ln lim 32333sin 221ln 21lim 3sin 21ln lim 21000+=⋅⋅+=+→→→()x x x x xx 33sin lim 21ln lim 320210→→+= ()321ln 3233sin lim 21lim ln 320210=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→→e x x x x x x . 解2 ()3232lim 3sin 21ln lim 00==+→→x x x x x x （Θ当0→x 时，x x 2~)21ln(+，且x x 3~3sin ）.19. 9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，求=a ？解 Θa a a a a x x aa xx a a x aa x x xx x x e e e x a x a x a x a x a x a a x a x 21lim 1lim 11lim 11lim lim ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---∞→∞→--∞→∞→∞→. ∴92=a e ，两边取对数，得3ln 29ln 2==a ，3ln =a .20. ()x x xx ++-∞→100lim2解 ()()()xx x xx xxx xx x x x x -+-+++=++-∞→-∞→100100100lim100lim 22225011001100lim100100lim100100lim2222-=-+-=-+=-+-+=-∞→-∞→-∞→xxx x x xx x x x x x x x .【注】解题过程中要特别注意的是，由于-∞→x ，故x ＜0，于是作到第3步骤后，分母中的根式x x x x x x 1001100110022+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=+（同样的情况前面也有遇到，请参见第14题【注】的第4步骤）.。
极限定理习题及答案
极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。
通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。
本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。
一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。
因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。
2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。
但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。
对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。
将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。
因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。
3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。
我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。
为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。
对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。
数学分析2数列极限总练习题
第二章 数列极限总练习题1、求下列数列的极限： (1)limn →∞n 3+3n n；(2)limn →∞n 5e n；(3)lim n →∞( n +2−2 n +1+ n ).解：(1)当n>3时，n 3<3n ，∴3= 3n n< n 3+3n n< 2·3n n=3 2n→3(n →∞). 由迫敛性定理可知：lim n →∞ n 3+3n n=3.(2)设a n =n 5e n ，则limn →∞a na n +1=lim n →∞e nn+1 5=e>1，∴limn →∞n 5e n=0.(3)lim n →∞n +2−2 n +1+ n =lim n →∞n +2− n +1 − n +1− n =lim n →∞ n +2+n +1−n +1+ n=0.2、证明：(1)lim n →∞n 2q n =0(|q|<1)；(2)limn →∞lgn n a=0(a ≥1)；(3)lim n →∞ n !n=0.证明：(1)当q=0 时，n 2q n =0，lim n →∞n 2q n =0；当0<|q|<1时，令|q|=1p ，则p>1. 设p=1+h ，h>0. 由(1+h)n >13!n(n-1)(n-2)h 3,(n>2) 得0<|n 2q n|<n 2(1+h)n <6h 3·n 2n(n −1)(n −2)=6h 3·1n(1−1n )(1−12)→0(n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞n 2q n =0 (|q|<1).(2)任给ε>0，则10ε>1， n n→1(n →∞)，故存在N ，当n>N 时，有1< n n<10ε，取对数后得：0<lgn n<ε，∴limn →∞lgnn=0. 从而当a ≥1时，0<lgn n a ≤lgn n→0(n →∞).由迫敛性定理可知：limn →∞lgn n a=0(a ≥1).(3)任给ε>0，令M=1ε，则limn →∞M nn!=0.又对ε0=1，存在自然数N ，使得当n>N 时，M nn!<1，即1n!<εn ， ∴当n>N 时，有0< n !n <ε，∴limn →∞ n !n=0.3、设lim n →∞a n =a ，证明：(1)limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a(又问由此等式能否反过来推出lim n →∞a n =a )；(2)若a n >0，(n=1,2,…)，则lim n →∞a 1a 2…a n n =a.证：(1)∵lim n →∞a n =a ，∴对任意的ε>0，必存在N 1，使当n>N 1时，|a n -a|<ε，令m=max{|a 1-a|,|a 2-a|,…,|a n -a|}，于是n>N 1时，a 1+a 2+⋯+a nn −a =a 1−a +a 2−a +⋯+a n −an≤1n (|a 1-a|+|a 2-a|+…+|a N 1+1-a|+|a N 1+2-a|+…+|a n -a|)<N 1m n+(n −N 1)nε<N 1m n+ε.又limn →∞N 1m n=0. ∴对已给的ε>0，存在N 2，当n>N 2时，N 1mn<ε.取N=max{N 1,N 2}，则当n>N 时， a 1+a 2+⋯+a nn−a <2ε，∴limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=a. 此等式反过来不能推出lim n →∞a n =a .例如a n =(-1)n 不收敛，但limn →∞a 1+a 2+⋯+a nn=0.(2)对任意自然数n ，a n >0，∴当a ≠0，lim n →∞1a n=1a .又11a 1+1a 2+⋯+1a nn=n1a 1+1a 2+⋯+1a n≤ a 1a 2…a n ≤a 1+a 2+⋯+a nn→a (n →∞).由迫敛性定理可知：lim n →∞a 1a 2…a n n =a.当a=0时，对任给的ε>0，存在N 1，使当n>N 1时，0<a n <ε，于是当n>N 1时，0< a 1a 2…a n n = a 1a 2…a N 1n · a N 1+1a N 1+2…a n n< a 1a 2…a N 1n·εn −N 1n< a 1a 2…a N 1·ε−N 1n·ε,∵lim n →∞a 1a 2…a N 1·ε−N 1n=1，从而存在N 2，使当n>N 2时，a 1a 2…a N 1·ε−N 1n<2，故当n>N=max{N 1,N 2}时，必有0< a 1a 2…a n n <2ε，∴lim n →∞a 1a 2…a n n=a.4、应用上题的结论证明下列各题： (1)limn →∞1+12+⋯+1nn=0；(2)lim n →∞a n =1(a>0)；(3)lim n →∞n n=1；(4)limn →∞n !n=0；(5)limn →∞ n !n=e ；(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =1；(7)若limn →∞b n +1b n=a (b n >0)，则lim n →∞b n n =a ；(8)若lim n →∞a n −a n−1 =d ，则limn →∞a nn=d .证：(1)∵lim n →∞1n =0；∴limn →∞1+12+⋯+1nn =0；(2)设a 1=a, a n =1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞a n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(3)设a 1=1, a n =nn −1 (n=2,3…)，则lim n →∞a n =1；∴lim n →∞n n=lim n →∞a 1a 2…a n n =1.(4)limn →∞n !n=lim n →∞11·12···1n n=limn →∞1n=0.(5)设a n =n nn ! (n=1,2…)，则a 1=1;limn →∞ n !n=lim n →∞a n n=lim n →∞a 2a 1·a 3a 2···a nan −1n=limn →∞a na n −1=lim n →∞1+1n−1n−1=e.(6)lim n →∞1+ 2+⋯+ n nn =lim n →∞n n=1. (7)令b 0=1，则lim n →∞b n n =lim n →∞b 1b 0·b 2b 1·b3b 2···b nb n −1n=limn →∞b n +1b n=a (b n >0).(8) lim n →∞a nn=lim n →∞(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋯+(a n −a n −1)n+a1n =lim n →∞a n −a n−1 =d .5、证明：若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，且lim n →∞(a n −b n )=0，则lim n →∞a n 与lim n →∞b n 都存在且相等.证：∵lim n →∞(a n −b n )=0，∴{a n -b n }有界，不妨设A ≤a n -b n ≤B ，A,B 为常数. ∵{a n }递增，{b n }递减，∴a n ≤B+b n ≤B+b 1，b n ≥a n -B ≥a 1-B. ∴{a n }{b n }单调有界 ∴{a n }{b n }都有极限. 而lim n →∞(a n −b n )= lim n →∞a n −lim n →∞b n =0，∴lim n →∞a n =lim n →∞b n .6、设数列{a n }满足：存在正数M ，对一切n 有： A n =|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n -a n-1|≤M 证明：{a n }与{A n }都收敛。
高等数学极限经典习题及解析
dv 1 v3 v C 1
1 x2
3
2
1 x2
1
2 C.
2v
3
3
2.求
I
arctan x
x dx .
解. I 2 arctan xd x 2 x arctan x 2 xd arctan x
2
x arctan
x
1
1
x
dx
2
x arctan
条件(充分,必要,充要).
3.设 f x 的一个原函数是 x sin x ,则 f x ______ .
4.反常积分 xexdx ______ .
x dx ,于是
At
1 2
t
f
t ,故 t
1 2
是
At
在0,1 上的唯一驻点,又 t 1 时 At 0 , t 1 时 At 0 ,故 t 1 是
2
2
2
At 在0,1 上的最小值点,证毕.
4
七.(1)求解初值问题
dx
dx
dx 2u
dx 2u
2u 1 u2
du
1 dx ,解得 ln 1 u2 x
ln
x
C1 x
1 u2
C ,即
x2 y2 Cx ,代入 x 1, y 0 C 1 ,因此 x2 y2 x .
(2)设 y y x 满足 y 3y 2 y 2ex ,且图形在 0,1 处与曲线 y x2 x 1
4.对于a,b 上函数的下列性质:(1)连续,(2)有界,(3)可导,(4)可积,下面
(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案
一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
函数极限习题及答案
函数极限习题及答案函数极限习题及答案函数极限是微积分中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
通过研究函数在某一点的极限，我们可以了解函数在该点附近的变化规律，进而推导出一些重要的结论。
本文将通过几个习题来讨论函数极限的相关概念和计算方法，并给出详细的解答。
1. 求函数f(x) = 2x + 3在x = 1处的极限。
解答：要求函数在某一点的极限，可以直接将该点的值代入函数进行计算。
将x = 1代入函数f(x) = 2x + 3中，得到f(1) = 2(1) + 3 = 5。
因此，函数f(x)在x = 1处的极限为5。
2. 求函数g(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)在x = 1处的极限。
解答：当直接代入x = 1时，函数g(x)的分母为0，无法计算。
此时，我们可以通过化简来求解。
将函数g(x)的分子进行因式分解，得到g(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)。
分子的(x - 1)与分母的(x - 1)相约，得到g(x) = x + 1。
再将x = 1代入该函数，得到g(1) = 1 + 1 = 2。
因此，函数g(x)在x = 1处的极限为2。
3. 求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限。
解答：当直接代入x = 0时，函数h(x)的分母为0，无法计算。
此时，我们可以利用极限的性质来求解。
首先，我们可以观察到当x接近0时，sin(x)也接近0。
因此，我们可以猜测函数h(x)在x = 0处的极限为1。
为了证明这个猜测，我们可以利用泰勒级数展开来近似计算。
根据泰勒级数展开，sin(x)可以表示为x -x^3/3! + x^5/5! - ...。
将这个级数代入函数h(x)，得到h(x) = (x - x^3/3! +x^5/5! - ...)/x。
分子中的x与分母的x相约，得到h(x) = 1 - x^2/3! + x^4/5! -...。
当x接近0时，x^2、x^4等项的值都会趋近于0，因此，我们可以得到h(x)在x = 0处的极限为1。
极限150题答案解析 第1
极限150题答案解析第1这个系列一共分成六部分发出所有题目的解析均为笔者现做现发，时间较为匆忙，如果有错误之处还请读者在评论区指出如果有不懂的地方也欢迎在评论区留言讨论，也可以加入我主页的数学群讨论问题在纠错或提问之前，请务必自己做计算在一些解题过程中，省略了加减乘除等不重要的化简运算。
不自己算，可能会跳过解题步骤，或者误以为分析错了光看对提高数学水平没有帮助以下为150题链接：极限必做150题1\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\left( \frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x} \right)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x\tan x\sin x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan x\left( 1-\cos x\right)}{x^{3}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x\frac{1}{2}x ^{2}}{x^{3}}=\frac{1}{2}2\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\left( a+x\right)+\ln\left( a-x \right)-2\ln a}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\left( 1+\frac{x}{a}\right)+\ln\left( 1-\frac{x}{a} \right)}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\left( \frac{x}{a} -\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)+\left( -\frac{x}{a}-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)+o\left( x^{2}\right)}{x^{2}}=-\frac{1}{a^{2}}3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{1-\cos x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{\frac{1}{2}x^{4}}}{\ frac{1}{2}x^{2}}=\sqrt{2}本题与第77题类似，但第77题的结果却是极限不存在，请读者思考原因4\lim\limits_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}+\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\lim\limits_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}+\lim\limits_{x\toa}\frac{\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\lim\limits_{x\to a}\frac{x-a}{\left( \sqrt{x}+\sqrt{a} \right)\sqrt{x^{2}-a^{2}}}+\lim\limits_{x\to a}\frac{1}{\sqrt{x+a}}=\lim\limits_{x\to a}\frac{\sqrt{x-a}}{\left( \sqrt{x}+\sqrt{a}\right)\sqrt{x+a}}+\frac{1}{\sqrt{2a}}=\frac{1}{\sqrt{2a}}5\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1+x^{2}}}{\sqrt{1+x}-1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\left( 1+\frac{1}{2}x+o\left ( x \right) \right)-\left( 1+\frac{1}{2}x^{2}+o\left( x^{2} \right)\right)}{\frac{1}{2}x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x-x^{2}+o\left( x\right)}{x}=16\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan mx}{\sinnx}=\lim\limits_{x\to0}\frac{mx}{nx}=\frac{m}{n}7\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\left( 1+x+x^{2}\right)+\ln\left( 1-x+x^{2} \right)}{\sec x-\cos x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x}{1+\cosx}\frac{\ln\left( 1+x+x^{2} \right)+\ln\left( 1-x+x^{2} \right)}{1-\cos x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\left[ \left(x+x^{2} \right) -\frac{1}{2}\left( x+x^{2} \right)^{2}+o\left( x^{2}\right)\right]+\left[ \left( x^{2} -x\right) -\frac{1}{2}\left( x^{2} -x\right)^{2}+o\left( x^{2} \right)\right] }{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^{2}+o\left( x^{2}\right)}{x^{2}}=18\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\ln\frac{e^{x}+e^{2x}+\c dots+e^{nx}}{n}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\left( e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx} \right)-\ln n}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{e^{x}+2e^{2x}+\cdots+ne^{nx} }{e^{x}+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}=\frac{\frac{n\left( n+1 \right)}{2}}{n}=\frac{n+1}{2} 9\lim\limits_{n\to\infty}\sin\left( \sqrt{n^{2}+a^{2}}\pi \right)=\left( -1 \right)^{n}\lim\limits_{n\to\infty}\sin\pi\left( \sqrt{n^{2}+a^{2}} -n\right)=\left( -1 \right)^{n}\lim\limits_{n\to\infty} \sin \left( \frac{a^{2}\pi}{\sqrt{n^{2}+a^{2}}+n} \right)=\left( -1 \right)^{n}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a^{2}\pi}{\sqrt{n^{2}+a^{2}}+n}=010\lim\limits_{n\to\infty}\left( \frac{3n^{2}-2}{3n^{2}+4} \right)^{n\left( n+1\right)}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{n\left( n+1\right)\ln\left(1 -\frac{6}{3n^{2}+4} \right)}=\lim\limits_{n\to\infty} e^{n\left( n+1\right)\left( -\frac{6}{3n^{2}+4} \right)}=e^{-2}11\lim\limits_{n\to\infty}\left( \frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{n\ln\left( 1+\f rac{2}{2n-1} \right)}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{2n}{2n-1}}=e12\lim\limits_{n\to\infty}\left( \frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt [n]{b}}{2} \right)^{n}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{n\ln\left( 1+\frac{\sqrt[n ]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}-1 \right)}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{n\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n ]{b}-2}{2}}=e^{\lim\limits_{n\to\infty}n\frac{e^{\frac{1}{n}\ln a}-1}{2}+\lim\limits_{n\to\infty}n\frac{e^{\frac{1}{n}\ln b}-1}{2}}=e^{\frac{\ln a+\ln b}{2}}=\sqrt{ab}13\lim\limits_{n\to\infty}n^{2}\left[ e^{2+\frac{1}{n}} +e^{2-\frac{1}{n}}-2e^{2}\right]=\lim\limits_{n\to\infty}n^{2}e^{2}\left[ \left( 1+\fr ac{1}{n} +\frac{1}{2}\frac{1}{n^{2}}\right) +\left( 1-\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\frac{1}{n^{2}}\right)+o\left( \frac{1}{n^{2}}\right)-2\right]=e^{2}14\lim\limits_{n\to\infty}n\left( a^{\frac{1}{n}}-1\right)=\lim\limits_{n\to\infty}n\left( e^{\frac{1}{n} \ln a}-1 \right)=\lim\limits_{n\to\infty}n\frac{1}{n}\ln a=\ln a15\lim\limits_{n\to\infty}\left( \frac{\sqrt{n^{2}+1}}{n +1} \right)^{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left( \sqrt{\frac{n^{2}+1}{n ^{2}+1+2n}} \right)^{n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left( 1-\frac{2n}{n^{2}+1+2n} \right)^{\frac{n}{2}}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{n}{2}\ln\left( 1-\frac{2n}{n^{2}+1+2n} \right)}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\frac{n}{2}\left( -\frac{2n}{n^{2}+1+2n} \right)}16解法参考第2题答案为： -\frac{1}{a^{2}}17\lim\limits_{n\to\infty}n\left( e^{\frac{a}{n}}-e^{\frac{b}{n}} \right)=\lim\limits_{n\to\infty}ne^{\xi}\frac{a-b}{n} ， \xi 介于 \frac{a}{n} 和 \frac{b}{n} 之间=\lim\limits_{\xi\to0}\left( a-b \right)e^{\xi}=a-b本题用等阶无穷小和洛必达也可解（略）本题拓展练习，请点击链接18\lim\limits_{n\to\infty}\left( \frac{1}{n}+e^{\frac{1}{n}}\right)^{n}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{n\ln\left( \frac{1}{n}+e^{ \frac{1}{n}} \right)}，t=\frac{1}{n}=\lim\limits_{t\to0}e^{\frac{\ln\left( t+e^{t}\right)}{t}}=\lim\limits_{t\to0}e^{\frac{1+e^{t}}{t+e^{t}}}19\lim\limits_{n\to\infty}n\left[ \ln\left( n+1 \right)-\ln n \right]=\lim\limits_{x\to+\infty}x\left[ \ln\left( x+1\right)-\ln x\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}x\frac{1}{\xi}\left( x+1-x \right) ， \xi 介于 x 和 x+1 之间=1本题用洛必达和等价无穷小也可解（略）20\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{\ln \left| x\right|}=\lim\limits_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{\ln\left(- x\right)}=\lim\limits_{x\to-1}\frac{2x}{\frac{1}{x}}=221\lim\limits_{x\to+\infty}x\left[ \ln\left( x+1\right)-\ln\left( x -1\right) \right]=\lim\limits_{x\to+\infty}x\frac{1}{\xi}\left[ \left( x+1 \right)-\left( x-1 \right) \right] ， \xi 介于 x 和 x+1 之间=2本题用洛必达和等价无穷小也可解（略）22\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln\cos x}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^{2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}23\lim\limits_{x\to+\infty}x\left[ \left( x+2\right)\ln\ left( x+2 \right) -2\left( x+1 \right)\ln\left( x+1 \right)+x\ln x\right]=\lim\limits_{x\to+\infty}x\left\{ \left[ \left( x+2 \right) \ln\left( x+2 \right)-\left( x+1\right)\ln\left( x+1 \right)\right] -\left[ \left( x +1\right) \ln\left( x+1 \right)-x\lnx\right]\right\}=\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln\left( 1 +\frac{1}{\xi} \right)\left[ \left( x+1 \right) -\left( x \right)\right]， \xi 介于 x 和 x+1 之间=\lim\limits_{x\to +\infty}x\frac{1}{\xi}=1本题用洛必达和泰勒展开也可解（略）24\lim\limits_{x\to0}\left( \sqrt{x^{2}+1}+x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{\ln\left( \sqrt{x^{2}+1}+ x \right)}{x}}=\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+ 1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}}=e25\lim\limits_{x\to0}\left( \cos \sqrt{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{\ln \cos\sqrt{x}}{x}}=\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{\cos\sqrt{x}-1}{x}}=\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{-\frac{1}{2}x}{x}}=e^{-\frac{1}{2}}。
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一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
解析：0lim ()lim 0,0bbxbx x x a e b x f x a a e be ∞→∞→∞⎧-=∞>⎧⎪==⇒⎨⎨≤--=∞⎪⎩⎩。
6.关于曲线y x = ） A.只有水平渐近线，没有斜渐近线 B.既没有水平渐近线，也没有斜渐近线 C.只有斜渐近线，没有水平渐近线D.既有水平渐近线，又有斜渐近线6.【答案】C 。
解析：由题意可知，无水平渐近线；()lim 2,lim[()]lim[2]11],222x x x x x x f x a b f x ax x x x x y x →∞→∞→∞→∞→∞====-====-=-。
7.若f(x)在x=a 处为二阶可导函数，则'20()()()lim h f a h f a hf a h→+--=( ) A.f"(a)/2B.f"(a)C.2f"(a)D.-f"(a)7.【答案】A 。
解析：'''''200()()()()()()lim lim 22h h f a h f a hf a f a h f a f a h h →→+--+-==。
8.设()232xxf x =+-，则当x 趋近于0时，有（ ） A.f （x ）是x 的等价无穷小B.f （x ）与x 同阶但非等价无穷小C.f （x ）是比x 高阶的无穷小D.f （x ）是比x 高阶的无穷小8.【答案】B 。
解析：0232()232,limln 2ln 3x x xxx f x x→+-=+-=+，所以()232x x f x =+-与x 是同阶但非等价的无穷小。
9.22223n n n a n ++=-，则lim n n a →∞的值为（ ）A.2B.3C.4D.59.【答案】A 。
解析：2222414limlim lim 2322n n n n n n n n →∞→∞→∞+++===-。
10.已知函数237()23x f x x x +=--的间断点（ ）A.X=7B.X=-73C.X=-1或X=3D.X=1或X=-310.【答案】C 。
解析：237()23x f x x x +=--，2230,3,1x x x --==-，所以3，-1是函数的间断点。
11.设当x (0,)∈+∞时1f ()sin x x x=则在（0，+∞）内（ ） A.f ()x 与'f ()x 都无界 B.f ()x 有界，'f ()x 无界 C.f ()x 与'f ()x 都有界D.f ()x 无界，'f ()x 有界11.【答案】B.解析01lim ()lim sin0x x f x x x →→==，01lim ()lim sin 0x x f x x x→∞→==故f(x)有界，111'()sin cos f x x x x=-，0lim '()x f x →=∞，无界，选B. 12.在区间[0.1]上，函数nf ()(1)x nx x =-的最大值记为M （n ）,则lim ()n M n →∞的值为（ ） A.1e -B.eC.2eD.3e12.【答案】A.解析.211'()(1)(1)(1)(1)nn n f x n x xn x n x x nx --=---=---所以f(x)的驻点有两个,分别是x=1和11x n =+,且11x n =+是极大值点又因为是闭区间[0,1],所以11x n =+也是最大值点，所以(1)(1)11()()()(1)111n n n M n f n n n ++===-+++所以当n →∞时. (1)(1)11lim ()lim()lim(1)11n n n n n n M n n n e++→∞→∞→∞==-=++所以极限为1/e 。
选A 。
13. ( )A.B.0C.1D.13.【答案】D 。
解析：由，故选D 。
14.计算：（ ）. A. B. C.D. 14.【答案】B2+1lim [123...]x n n →∞++++=∞12()22+1112lim [123...]lim 2x x n n n n n →∞→∞+++++==332321lim 752x x x x x →∞+-=-+1237322515.已知=2，其中a.b ,则a-b 的值为（ ） A.6B.-6C.2D.-215.【答案】C.解析：由=2可得,所以16.设f(x)=sinx/x ，则x=0是函数f(x)的（ ） A ．连续点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.可去间断点16.【答案】D 。
解析：，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。
17.设，则x=0是函数f(x)的（ ）. A.可去间断点B.无穷间断点C.连续点D.跳跃间断点17．【答案】D18.设函数f (x )在x =0处连续，且220)(lim nn f n →=2，则（ ） A.f (0)=1且f ˊ(0)=2 B. f (0)=0且f ˊ(0)=2 C. f (0)=1且f +ˊ(0)=2D. f (0)=0且f +ˊ(0)=218.【答案】B ．【解析】2'2'200()2()lim lim (0)2,(0)02n n f n nf n f f n n→→====，答案选B 。
19.设函数f （x ）=x 2+t ，且2lim ()1x f x →=，则t=（ ）A.-3B.-1C.1D.319.【答案】A ．【解析】2lim ()1,(2)1,(2)41,3x f x f f t t →===+==-。
20.计算极限：0lim →x (l+ 2x)x 1，正确的结果为( )。
A ．0B.1C.eD.e 220.【答案】D.解析：22210])21[(lim e x x x =+→.故选择D. 21．x=O 为函数f(x)=sinx.sin x1的（ ） A.可去间断点B ．跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x 12lim 2R ∈22222lim lim 11x x x x ax ax bx bax b x x →∞→∞⎛⎫------= ⎪++⎝⎭2,2a a b =--=0, 2.b a b =-=0sin lim1x xx→=0()0 0x f x x ≠=⎪=⎩21.【答案】A.解析：有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量，即01sinsin lim 0=⋅→xx x . 但是x=0是函数没有定义.因此x=0为函数f(x)=sinx.sinx1的可去间断点. 22.设函数f （x ）=1x 21-e asinxx 0x =≠在x=0处连续，则常数a 的值为( )。
A. 1B. 2C. 3D. 422.【答案】B.解析：由题设可知1x 21-e lim asinx 0=→x .当0→x 时，有0sin →x a ，则12sin sin 1lim sin 0=⋅-→xxa x a e x a x ，即满足12=a ，所以2=a .故选择B. 23.已知f （x ）=12sin x e ot dt -⎰，g （x ）=33x +44x ，则当x →0时，f （x ）是g （x ）的（ ）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小23.【答案】C 。
解析：()()()()()000'lim 0,lim lim 'x x x f x f x f x g x g x →→→=∴=，()()2'sin 1x x f x e e =-， ()22232300sin 1limlim 1x xxx x e e x e x x x x→→-==++，()f x ∴是g(x)的等价无穷小。
24.如果222lim 2x x ax bx x →++--=2，则ab 的值为（ ）A ．2B ．-4C ．8D ．-1624.【答案】D 。
解析：222lim 2x x ax bx x →++--= 22lim (2)(1)x x ax b x x →++-+因为x 趋向于2，所以要消去x-2，即2x ax b ++可分解为(2)()x x c -+的格式即22lim (2)(1)x x ax b x x →++-+=2lim 21x x c x →+=+，所以c=4，所以2(2)(4)28x x x x -+=+-，所以a=2，b=-8，所以ab=-16。
25．设f (x )在x =0的某个邻域内连续，f (0)=0，02()lim12sin2x f x x→=，则f (x )在x =0处（ ）A ．可导B ．可导且f '(0)≠0C ．取得极大值D ．取得极小值25.【答案】D 。