同角三角函数的基本关系导学案1
同角三角函数的基本关系导学案
同角三角函数的基本关系教学目标：1、知识目标:把握同角三角函数的基本关系式;2、能力目标:能用同角三角函数的基本关系式化简或证明三角函数的恒等式;3、情感价值观:通过小组探究合作,体验观察、分析、归纳等数学学习中的基本方法;体验发现规律、运用规律的过程;通过学生自己归纳总结,提高学习兴趣和自信心。
学情分析：1、学生在初中已学习过直角三角形中的三角函数,会求一些特殊角的函数值,这为本节课开头的探讨提供了基础。
2、本班大部分学生学习基础和计算能力一般,而且对新概念的归纳总结能力还有待进一步培养和提高,所以在小组探究时要给予必要的引导。
重点难点：重点:三角函数式的化简或证明;难点:同角三角函数基本关系式的变用、活用、倒用。
一、同一角的三角函数之间存在如下关系：1. 平方关系:2.商数关系:二、公式变形： ①22sin cos 1αα+=cos α=22cos 1sin αα=-a a a cos sin tan=sin α=22sin 1cos αα=-()()1cos sin 22=+a a②aa a cos sin tan =,tan cos sin a a a =.tan sin cos a a a = 的值。
是第三象限角，求，已知例αααtan ,cos 53sin .1a -=的值。
求变式：已知αααtan ,cos ,53sin -=例2，已知tana=2，且a 是第三象限角，求sina ，cosa 的值。
αααααcos sin cos sin ,2tan 3-+=求、已知例变式、已知tana=2,求αααα22cos sin cos sin -变式、已知tana=2,求变式、已知tana=2,求方法总结若已知sina 或cosa,先通过平方关系得出另外一个三角函数值,再用商数关系求得tana ；若已知tana,先通过商数关系确定sina 与cosa 的联系,再用平方关系与其组成方程组,解方程组即可。
同角三角函数的基本关系 学案
5．2.2 同角三角函数的基本关系[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．[重点] 同角三角函数关系式的应用． [难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．知识点一 同角三角函数基本关系式[填一填](1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α，其中α≠k π＋π2(k ∈Z )．[答一答]1．同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠k π＋π2，k ∈Z .2．这里的“同角”是什么含义？提示：这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin 23α＋cos 23α＝1成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．3．下列四个结论中可能成立的是( B ) A ．sin α＝12且cos α＝12B ．sin α＝0且cos α＝－1C ．tan α＝1且cos α＝－1D ．α是第二象限角时，tan α＝－sin αcos α[解析] (1)∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝－513，∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－⎝⎛⎭⎫－5132＝±1213. 又∵α是第四象限角，∴cos α>0，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.(2)解：∵cos α＝－35<0，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45，tan α＝sin αcos α＝－43； 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， tan α＝sin αcos α＝43.[答案] (1)D (2)见解析已知角α的某种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论，有两组结果.[变式训练1] 已知tan α＝2，则cos α＝±55.解析：由tan α＝sin αcos α＝2得，sin α＝2cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝15，∴cos α＝±55.类型二 整体代入，化切求值 [例2] 设tan α＝2，求下列各式的值： (1)1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α； (2)2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2α. [解] 因为tan α＝2≠0，所以(1)1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1＝22＋1＋2×222－1＝93＝3.(2)2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋5tan 2α＋1＝2×4－3×2＋54＋1＝75.[变式训练2] 已知tan α＝3，求下列各式的值： (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1sin αcos α； (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－31＋3＋1＋31－3＝－52.(2)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝103. (3)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α＝sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝9－6＋49＋1＝710. 类型三 三角函数式的化简 [例3] 化简下列各式： (1)1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin 2130°； (2)sin 2αtan α＋2sin αcos α＋cos 2αtan α. [分析] (1)中含有根号，运用三角函数平方关系将被开方式化为平方形式去根号；(2)观察式子中有正切，从而利用切化弦的思路进行变形．[解] (1)原式＝sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1. (2)原式＝sin 2α·sin αcos α＋2sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＝sin 4α＋2sin 2αcos 2α＋cos 4αcos αsin α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.化简三角函数式常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.[变式训练3] 化简下列各式： (1)2sin 2α－11－2cos 2α； (2)sin 2α－sin 4α(其中α是第二象限角)．解：(1)2sin 2α－11－2cos 2α＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)－2cos 2α＝sin 2α－cos 2αsin 2α－cos 2α＝1.(2)sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α.类型四 sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系 [例4] 已知sin α＋cos α＝－13，0<α<π.(1)求sin αcos α的值； (2)求sin α－cos α的值．[解] (1)由sin α＋cos α＝－13⇒(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0<α<π，sin α＋cos α＝－13，所以sin α>0，cos α<0⇒sin α－cos α>0. sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝173.(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号．[变式训练4] 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝－75.解析：由sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925.又－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0， ∴sin x －cos x ＝－75.1．下列结论能成立的是( C ) A ．sin α＝13且cos α＝23B ．tan α＝2且cos αsin α＝13C ．tan α＝1且cos α＝22D ．sin α＝1且tan α·cos α＝12解析：A 中，sin 2α＋cos 2α≠1，故A 选项不成立；B 中，tan α·cos αsin α≠1，故B 选项不成立；D 中，tan α·cos α≠sin α，故D 选项不成立．只有C 正确．2．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝( B )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512 解析：由α为第四象限角，cos α＝1213，得sin α＝－1－cos 2α＝－1－(1213)2＝－513，故选B.3．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 的值为( A )A.153B ．－153C.53 D ．－53解析：因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝13>0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A >0.又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝153，故选A.4．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为2110.解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.5．已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解：∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限角．若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－8172＝－1517，tanα＝sinαcosα＝－15 17－817＝158.——本课须掌握的五大问题1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1.2．sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.3．在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立．4．注意公式变形的灵活应用．5．在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类讨论．。
高一数学导学案
三：基础练习
四：例题动
类型一：
应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题
例1．已知 求 的值。
高考真题在线:
例2．已知 且 是第二象限角，求角 的余弦值和正切值。
类型二：
应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式
练习：求证：sin4α－cos4α=2sin2α－1；
课题：1.2.2同角三角函数的基本关系
【学习目标】
1.【知识目标】
（1）掌握同角三角函数的基本关系。
（2）能准确应用同角三角函数基本关系进行求值、证明
2.【重点难点】
[重点]：同角三角函数基本关系的推导及应用
[难点]：在于关系式在解题中的灵活运用和对学生进行思维灵活性的培养上
3.【突破方法】
（1）循序渐进，层层深入
（2）练习——认识——再练习
【问题导学】
（预习教材 ,找出疑惑之处）
一：温故知新
问题1.如图1，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于 ，那么由三角函数的定义可知：
问题2.图1中的三角函数线是：
正弦线余弦线正切线
问题3.问题1中三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的，你能从圆的几何性质出发，讨论一下同一个角的不同三角函数之间的关系吗？
五：当堂检测
1.已知 且 是第三象限角，求 的值。
2.已知 求 的值。
3.已知 求 的值。
4.化简：（1） ；（2）
5.求证：（1） （2）
【归纳总结】
（1）同角三角函数的基本关系式
（2）三种基本题型:
【思维导图】
二：合作探究
1、探究同角正弦、余弦之间的关系
问题⑴当角的终边不在坐标轴上时正弦、余弦之间的关系是什么？（如图）
《同角三角函数的基本关系》第1课时示范教学方案北师大新课标
第四章三角恒等变换4.1同角三角函数的基本关系第1课时同角三角函数的基本关系1．能根据三角函数定义，利用单位圆，推导出同角三角函数的基本关系．2．理解同角三角函数的基本关系．3．并能运用同角三角函数基本关系进行简单的求值．4．通过本节课的学习，提升逻辑推理、数学运算等核心素养．教学重点：同角三角函数基本关系的推导及应用．教学难点：已知一个角的一个三角函数值，求这个角的其它三角函数值时符号的确定．PPT课件．一、导入新课问题1：阅读课本第137页，回答下列问题：（1）本章将要探究哪些问题？（2）本章要探究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设答案：（1）本章将要探究基本的三角恒等变换公式及其简单的应用，提高数学运算、逻辑推理的核心素养．（2）三角恒等变换是研究三角函数性质的工具，求三角函数最值，三角恒等变换是常用方法之一，也是解三角形的工具之一．设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．问题2：数学是美的，其中一个重要的原因在于数学中存在十分美妙的数量关系，如勾股定理反映了直角三角形的三边之间关系的美妙．若直角三角形斜边为1，锐角α的对边为sin α、邻边为cos α，在这个直角三角中，你能得出什么关系？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：如图，若直角三角形斜边为1，锐角α的对边为sin α、邻边为cos α， 自然将有sin 2α＋cos 2α＝12，即sin 2α＋cos 2α＝1，另外还有tan α＝sin αcos α．设计意图：通过学生回顾、探究直角三角形的边角关系，引出本节课的研究主题–同角三角函数的基本关系（版书）．二、新知探究1．同角三角函数基本关系式问题1：观察单位圆，利用三角函数分析角α的正弦、余弦和正切之间存在什么关系？师生活动：学生独立思考和交流后，举手回答． 预设答案：sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin αcos α．设计意图：利用三角函数定义推导基本关系． 知识点1：同角三角函数基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α，2k k Z παπ≠+∈（,）． 问题2：同角三角函数的基本关系式对任意角都成立吗？ 师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 恒成立，而tan α＝sin αcos α仅对α≠π2＋k π（k ∈Z ）成立．设计意图：让学生进一步理解同角三角函数的基本关系式．问题3：sin2α能写成sinα2吗？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2．设计意图：理解同角三角函数的基本关系式结构．问题4：“同角”的含义是什么？师生活动：学生思考，举手回答．预设答案：这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．设计意图：帮助学生进一步理解同角三角函数的基本关系式．★资源名称：【知识点解析】同角三角函数的基本关系．★使用说明：本资源为《同角三角函数的基本关系》的知识解析，通过讲解相关概念，并结合具体例题，提高知识的应用能力．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．2．同角三角函数基本关系式的变形问题5：同角三角函数基本关系式的变形有哪些？师生活动：学生思考，写出公式变形，教师补充．预设答案：（1）sin2α＋cos2α＝1的变形公式sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α．（2）tanα＝sinαcosα的变形公式sinα＝cosαtanα；cosα＝sinαtanα．设计意图：进一步理解同角三角函数关系．问题6：已知4sin5α=，角的终边在第二象限，如何求cos,tanαα的值？师生活动：学生思考、求解．预设答案：34 cos,tan53αα=-=-．因为4sin5α=，角的终边在第二象限，所以3sin4 cos,tan5cos3αααα==-==-．设计意图：巩固同角三角函数的基本关系式及其变形．三、巩固练习例1已知12cos13α=-，求sin,tanαα的值．师生活动：学生分析解题思路，找学生板书解题过程．预设答案：①当α在第二象限，则sin0α>，5sin13α===，sin5tancos12ααα==-．②当α在第三象限，则sin0α<，5sin13α===-，sintan12cosααα==．方法总结：若已知sinα或cosα，求其它角的函数值，可以利用平方关系、和商数关系求解，注意角的范围．设计意图：巩固同角三角函数的基本关系式．例2已知tan(0)m mα=≠求sinα和cosα的值．师生活动：学生分析解题思路，教师书写解题过程．预设答案：因为22sin cos1αα+=，sintancosmααα==，αα所以|cos |α=若α在第一象限或第四象限，cos α=，sin α=⎪⎪⎩． 若α在第二象限或第三象限，cos α=，sin α=⎪⎪⎩． 综上所述：cos α=⎪⎪⎩，sin α=⎪⎪⎩． 方法总结：（1）已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解．（2）当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．设计意图：巩固同角三角函数的基本关系式以及分类讨论思想．例3如图，点A ，B 在圆O 上，且点A 位于第一象限，圆O 与正半轴的交点是C ，点B 的坐标为43(,)55-，AOC α∠=，若||1AB =，求sin α的值．师生活动：学生分析解题思路，写出解题过程．x预设答案：半径4||(1r OB ===， 由三角函数定义知，点A 的坐标为（cos α，sin α）． ∵点B 的坐标为43(,)55-，||1BC =，1=， ∴整理可得：-6sin α+8cos α=5，又22cos sin 1αα+=，解得3sin 10α-+=或3sin 10α--=， 又∵点A 位于第一象限，∴，∴sin α=方法总结：利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视角Α范围，造成sin α、cos α漏解或多解的错误．设计意图：巩固三角函数的定义与同角三角函数的基本关系式的综合应用． 【板书设计】四、归纳小结问题7：回归本节的学习，你有什么收获？可以从以下几个问题归纳． （1）同角三角函数的基本关系的内容是什么？ （2）已知三角函数值求其他三角函数值的方法是什么？ 师生活动：学生尝试总结，老师适当补充． 预设答案：（1）同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．（2）①若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α求得cos α的值，再由公式02πα<<tan α＝sin αcos α求得tan α的值．②若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确同角三角函数基本关系及其应用． 布置作业：教科书第142页，A 组第1，2题． 五、目标检测设计1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A ．513B ．－513C ．512D ．－512设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况． 2．已知cos θ＝45，且3π2<θ<2π，则1tan θ的值为( )A ．34B ．－34C ．43D ．－43设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况． 3．已知sin θ＝1213，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于 ．设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况． 4．若sin(180°＋α)＝－1010，0°<α<90°．求sin (－α)＋sin (－90°－α)cos (540°－α)＋cos (－270°－α)的值． 设计意图：检查学生对同角三角函数的基本关系掌握的情况． 【参考答案】 1．答案：B ．解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25169，又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－513．2．答案：D ．解析：由于cos θ＝45，且3π2<θ<2π．所以sin θ＝－＝－35，所以tan θ＝－34，故1tan θ＝－43．3．答案：－125．解析：因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝＝－125．4．解析：由sin(180°＋α)＝－1010，α∈(0°，90°)， 可得sin α＝1010，cos α＝31010， ∴原式＝－sin α－sin(90°＋α)cos(360°＋180°－α)＋cos(270°＋α)＝－sin α－cos α－cos α＋sin α＝－1010－31010－31010＋1010＝2．。
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)
4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(学案)知识归纳1、 同角三角函数的基本关系式（1） 平方关系 （2） 商数关系 （3） 倒数关系）记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限（其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指 的变化（2）利用诱导公式把任意的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤是：任意角的三角函数→正角的三角函数→00360 的角的三角函数→锐角三角函数 3、平方关系 s is α商数关系 t a nαc o t α倒数关系 s e c α 4、sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-三者之间的关系()2sin cos 12sin cos αααα+=+()2sin cos 12sin cos αααα-=- ()()22sin cos sin cos 2αααα++-=()()22sin cos sin cos 4sin cos αααααα+--=5、同角三角函数关系式和诱导公式的应用主要包括三类题型：求值、化简、证明典型例题例1、（1）已知()cot 2πα-=，求3sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值 （2） 已知()cot 0m m α=≠，求cos α例2、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值：()4sin 2cos 15cos 3sin αααα-+ ()2s i n c o s αα ()()23sin cos αα+例3、已知()()()()()3sin cos 2tan 2cot sin f ππαπααααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=----（1） 化简()f α（2） 若α是第三象限角，且31cos 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()f α的值 （3） 若313πα=-，求()f α的值例4、（1）求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅（2）已知()()sin 2cos 2αππα-=- 求证：()()()()sin 5cos 233cos sin 5παπαπαα-+-=----例5、已知关于x的方程)2210x x m -+=的两根为sin θ和cos θ，()0,2θπ∈求（1）sin cos 1cot 1tan θθθθ+--的值（2）m 的值（3）方程的两根及此时θ的值堂清练习1、19sin 6π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于（ ）A 、12B 、12- C2D、2-2、如果A 为锐角，()1sin 2A π+=-，那么()cos A π-=（ ）A 、12- B 、12C、2-D23、已知a =200sin ，则160tan 等于A、- B、C、a-D、a4cos sin 1+=-，则θ是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角5、若022x π≤≤cos 2x =成立的x 的取值范围是（ ）A 、0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B 、3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C 、5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、30,,44πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦6、405cot 300tan +的值为＿＿＿＿。
1.2.2同角三角函数关系(2015年人教A版数学必修四导学案)
2 cos2 1 （2） 1 2 sin 2 a
5、求证： （1） 1 tan
2
1 cos 2
（2） sin cos sin cos
4 4 2 2
课题：1.2.2 同角三角函数关系 班级： 【学习目标】 姓名： 备 注
4 ， 且 为第三象限角， 则 sin =_______， tan =________。 5 1 2、已知 sin =－ ，则 cos ________，tan =_________。 2
1、 已知 cos －
3、已知 sin =－ （ A、－ ）
3 3 ， ∈( ，2 )，则 tan 等于 5 2
1 (0 ) ， 则 sin cos ___________ ， 5
tan _____。
3 、 已 知 sin cos
60 ， 且 ， 则 sin __________ ， 169 4 2
cos __________。
2
【课堂研讨】 例 1、已知 sin
4 ，且 是第二象限角，求 cos ， tan 的值。 5
练习：已知 tan
12 ，求 sin ， cos 的值。 5
例 2、已知 tan 2，求下列各式的值： （ 1 ）
4 sin 2 cos 3 cos 3 sin
（ 2 ）
sin 2 2 sin cos 3 cos2
例 3、已知 sin cos
sin cos （1）
4 ，求下列各式的值： 3 sin 3 cos3 sin 4 cos4 （2） （3）
北师大版4.2.1同角三角函数的基本关系及三角函数诱导公式导学案
规律：_______________________________________
3．同角三角函数的关系式的基本用途：
根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．
4．诱导公式的作用：
诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值．
【导学释疑】
例1.已知 = ,且α是第二象限角，求cosα，tanα的值
变式训练1已知tanα= ,求sinα, cosα的值
【检测反馈】
1已知 ，且 ，则 的值是
2 的值等于（）.
3若 ，则 _________________．
【学生小结】
谈谈学完本节课有什么收获？
教学反思
公式四sin( +α)=______________
cos( +α)=______________ (k∈Z)
tan( +α)=______________
公式五sin( )=________________
cos( )=________________ (k∈Z)
公式六sin( )=________________
公式二sin(-α)=______________Байду номын сангаас
cos(-α)=______________ (k∈Z)
tan(-α)=______________
公式三sin( -α)=______________
cos( -α)=______________ (k∈Z)
tan( -α)=______________
安边中学高三年级上学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第24课时
导学案018同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系式和诱导公式考纲要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x ． 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 考情分析1.利用同角三角函数的基本关系及诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点．2.主要以选择题、填空题的形式考查. 教学过程基础梳理：一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：________. 2．商数关系： ________.对于角“k π2±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说k π2±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”双基自测1．sin 585°的值为 ( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.322．(教材习题改已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于 ( ) A ．－π6B ．－π3 C.π6D.π33．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为 ( )A ．0 B.34 C ．1 D.544．(2011²重庆高考)若cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.5．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值 是________． 典例分析考点一：同角三角函数的基本关系[例1] (2011²大纲全国卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________.变式1若例1中条件变为“若sin θ＝－45，tan θ>0”，则cos θ＝________.[例2] (2012²温州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是 ( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2变式2(2011²杭州师大附中月考)如果f(tan x)＝sin2x －5sin xcos x ，那么f(5)＝________. 方法总结：1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用 sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.考点二：诱导公式[例3] (2012²衢州模拟)已知α∈(－π，0)，tan(3π＋α)＝1log 3aa(a >0，且a ≠1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α的值为 ( )A.1010 B ．－1010 C.31010 D ．－31010变式3.(2012²聊城模拟)已知f(x)＝asin(πx ＋α)＋bcos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，f(2 011)＝ 5，则f(2 012)＝( )A ．3B ．5C ．1D ．不能确定方法总结;利用诱导公式化简求值时的原则 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90° 的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角 直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.考点三：三角形中的诱导公式 [例4] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．变式4.△ABC 中，cos A ＝13，则sin(B ＋C )＝________.方法总结：1.诱导公式在三角形中经常应用，常用的变形结论有A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π； A 2＋B 2＋C 2＝π2.2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范 围，最后求角．[考题范例](2012·九江调研)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的 值为 ( ) A ．－3或－33 B ．－33 C ．－ 3 D ．－32 法一：由sin θ＋cos θ＝3－12两边平方得sin θ·cos θ＝－34，由sin θ·cos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34， 解得tan θ＝－3或tan θ＝－33，由于θ∈(0，π)，0<sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1， ∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，|sin θ|>|cos θ|，∴|tan θ|>1，即θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π，∴tan θ<－1，∴tan θ＝－33，舍去． 故tan θ＝－ 3. 法二：由sin θ＋cos θ＝3－12，两边平方得sin θ·cos θ＝－34，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋32＝4＋234＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋122， ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)<1，∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ－cos θ>0，∴sin θ－cos θ＝3＋12，由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－12sin θ－cos θ＝3＋12得sin θ＝32，cos θ＝－12.∴tan θ＝－3.一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4＝…. 三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负－脱周－化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．本节检测1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A ．sin θ<0，cos θ>0B ．sin θ>0，cos θ<0C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<02．(2012²临沂一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( )A ．－33 B.33C ．－ 3 D. 33．(2012²淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则sin α＋cosα＝( )A ．－15 B.15 C ．－75 D.754．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.235．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________． 6．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.自我反思。
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伊春一中高一数学导学案 编制组：高一数学组
1.2.2同角三角函数的基本关系
【主干知识】1、最基本的关系式：
1c o s s i n 2
2
=+αα
2、
α
α
αt a n c o s s i n =
2、公式的变形：
1、 αα22cos 1sin -=
2、 αα22sin 1cos -=
3、ααααcos sin 21)cos (sin 2
+=+ 4、ααααcos sin 21)cos (sin 2
-=-
5、
ααα
αcos 1sin sin cos 1-=
+ 6、
α
αα
αsin 1cos cos sin 1-=
+
7、α
α2
2
tan 11
cos +=
8、α
αα2
2
2
tan 1tan sin +=
9、αααtan cos sin ⋅=
【典型例题】：
类型一、已知三角函数值，求三角函数值: 例1.已知5
4sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值．
变式．已知17
8cos -
=α
，求sin α、tan α的值．
类型二、齐次式的求值问题: 例2、求下列各式的值：已知,2tan =α 1、
α
αααs i n c o s 5c o s 2s i n -+ 3、
α
αcos sin 1
3、αα22cos sin 2+
4、ααcos sin 2-
三、利用基本关系化简: 例2：化简：
1、
1
tan cos sin --θθθ. 2、 440sin 12-
3、
10
sin 110sin 10cos 10sin 212
--
-
4、的值。
求已知αααα4
4
cos sin
,21cos sin +=
+
5、已知),,0(,5
1cos sin πααα∈=
+求α
α22
cos sin -的值
四、利用基本关系证明三角恒等式: （1）直接法：从条件直推到结论
例3求证：（1）1sin 2cos sin 244-=-ααα（2）1
cos cos sin sin 2
2
2
4=++αααα
（3）αααα2222sin tan sin tan ⋅=- （4）
α
α
αα
cos sin 1sin 1cos +=-。