2016高中数学 三角函数 4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、4.4单位圆的对称性与诱导公式课件
高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式课件北师大版
1．当α∈R时，下列各式恒成立的是( ) A．sinπ2＋α＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α C．cos(π＋α)＝cos α D．cos(－α)＝cos α 【解析】 由诱导公式知D正确． 【答案】 D
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
【精彩点拨】
解答本题要注意到
π6－α
＋
56π＋α
＝π，
2π 3
－α＝π－
π3＋α
，
π3＋α＋π6－α＝π2等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值．
1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同 名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻 求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到 已知式而完成求值．
是减少的
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x在[－π，π]上是增加的．( )
(2)y＝sin x在－π6，π上的最大值为1.(
)
(3)y＝cos x在0，π2上的最小值为－1.(
)
教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导 阅读教材P19～P21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中 α与－α角的终边关于 x轴 对称； α与π＋α的终边关于 原点 对称； α与π－α的终边关于 y轴 对称．
高中数学角函数单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式
2 2.
(2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°
＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.
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方向 2 给值求值问题 【例 3－2】 已知 sin(α－75°)＝－2 3 2，求 sin(105°＋α)的值．
解 sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
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课堂小结 1．求正弦函数、余弦函数的定义域、值域时要注意数形结合
(jiéhé)思想的运用，同时注意周期性在求解时的作用． 2．明确各诱导公式的作用
(1)将角转化为0～2π之间的角求值；(2)将0～2π内的角转化为 0～π之间的角求值；(3)将负角转化为正角求值．
看锐成角
时原角所在象限的正弦函数、余弦函数
值的符号． 12/9/2021
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【预习评价】 1．视α为锐角，则诱导(yòudǎo)公式中各角所在象限是什么？试完
成下表.
角 2kπ＋α π－α π＋α －α 2π－α
所在象限 一
二
三 _四____ __四___
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解析 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝13.
答案
1 3
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4．已知 cosπ6＋θ＝ 33，则 cos56π－θ＝________.
解析 cos56π－θ＝cosπ－π6＋θ
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高中数学第1章三角函数4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式
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解：(1)f(α)＝－sin－αccoossαα·s－incαosα＝－cosα.
(2)∵cosα－32π＝cos－2π＋π2＋α＝cosπ2＋α＝－sinα＝15， ∴sinα＝－15，又 α 是第三象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－ 1－215＝－256，
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)
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§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导(yòudǎo)公式
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 4.4 单位圆的对称性与诱导公式
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基础知识点对点
课后拔高(bá ɡāo)提能练
又∵sin(π－α)＝sinα，∴sinα＝－23，
1又2/12∵/2021sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝23.
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知识点三 化简求值 5．已知 f(α)＝sinα－co3sπ－cπos－2απ－sinα－sinπ－－αα＋32π. (1)化简 f(α)； (2)若 α 是第三象限角，且 cosα－32π＝15，求 f(α)的值．
∴f(α)＝－cosα＝2
5
6 .
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内容(nèiróng)总结
第一章 三角函数(sānjiǎhánshù)。基础知识点对点
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基础知识点对点
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高中数学三角函数的性质及相关题目解析
高中数学三角函数的性质及相关题目解析一、三角函数的基本性质三角函数是高中数学中重要的概念之一，它包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解析三角函数题目之前，我们首先来了解一下三角函数的基本性质。
1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
3. 正负性：在单位圆上，正弦函数的值在[-1,1]之间取值；余弦函数的值也在[-1,1]之间取值；正切函数的值在整个实数轴上取值。
二、三角函数的相关题目解析1. 题目一：已知sinθ=1/2，求cosθ的值。
解析：根据三角函数的基本性质，我们可以利用三角函数的定义来解决这个问题。
已知sinθ=1/2，代入sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。
假设y=1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。
根据余弦函数的定义cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。
代入已知条件，可以求得cosθ=√3/2。
2. 题目二：已知cosθ=-1/2，求sinθ的值。
解析：同样地，根据三角函数的定义，我们可以利用已知条件来求解。
已知cosθ=-1/2，代入cosθ=x/r，其中x为θ对应的直角三角形的邻边，r为斜边的长度。
假设x=-1，r=2，则根据勾股定理，可以求得斜边的长度为√5。
根据正弦函数的定义sinθ=y/r，其中y为θ对应的直角三角形的对边，r为斜边的长度。
代入已知条件，可以求得sinθ=√3/2。
3. 题目三：已知tanθ=1，求θ的值。
解析：根据正切函数的定义tanθ=y/x，其中y为θ对应的直角三角形的对边，x 为邻边。
已知tanθ=1，代入已知条件，可以得到y=x。
根据勾股定理，可以得到斜边的长度为√2。
根据三角函数的定义，我们可以得到sinθ=y/r=1/√2，cosθ=x/r=1/√2。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3、4 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 单位圆的对称性与
5．解读诱导公式(π2＋α，π2－α) 诱导公式(π2＋α，π2－α)不同于前面的四个诱导公式，原因是 等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦 也变成正弦，其他规则不变．
类型一 正、余弦函数的定义域、值域、最值
【例 1】 (1)函数 y＝sin3x的定义域是( A )
A．R
B．[－1,1]
【解析】 ∵y＝cosx 在(0，π)是单调递减函数，在[π，2π) 上是单调递增函数．∴y＝－23cosx 在(0，π)是单调递增函数，在[π， 2π)上是单调递减函数，A 成立．
规律方法 函数 y＝Asinx＋B 或 y＝Acosx＋B 型函数的单调 性常常利用 y＝sinx 与 y＝cosx 的单调性解决．但要注意 A>0， A<0 情况的讨论．
6．诱导公式(函数名称改变)
sin(π2＋α)＝ cosα ，cos(π2＋α)＝ －sinα .
sin(π2－α)＝ cosα
，cos(π2－α)＝ sinα
.
文字概括：
π2±α 的正弦(余弦)函数值，分别等于 α 的余弦(正弦)函数值，
前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号．
[答一答] 3．怎样记忆七组诱导公式？
(2)原式＝(cosπ7＋cos67π)＋(cos27π＋cos57π)＋(cos37π＋cos47π)＝ [cosπ7＋cos(π－π7)]＋[cos27π＋cos(π－27π)]＋[cos37π＋cos(π－37π)]＝ (cosπ7－cos7π)＋(cos27π－cos27π)＋(cos37π－cos37π)＝0.
知识点二 余弦线与利用单位圆看 y＝cosx 性质
[填一填] 3．根据单位圆理解余弦函数 y＝cosx 性质 (1)定义域是 全体实数 ； (2)最大值是 1 ，最小值是 －1 ，值域是 [－1,1] ； (3)它是周期函数，其最小正周期是 2π ；
高中数学-三角函数
高中数学-三角函数本文将介绍高中数学中的三角函数知识点。
三角函数是数学中的一种基本函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数和三角形的三个角度有关，因此被称为三角函数。
一、三角函数的基本概念1. 三角函数的定义首先，我们需要了解三角函数的定义。
正弦函数、余弦函数、正切函数是三角函数的最基本的函数，它们是由一个与一个角度对应的单位圆上的点定义的。
对于一个角度θ，我们可以在单位圆上取一点P(x,y)，其中x为该点在x轴上的坐标，y为该点在y轴上的坐标。
此时，正弦函数表示为sin θ，余弦函数表示为cos θ，正切函数表示为tan θ，且有：sin θ = ycos θ = xtan θ = y/x2. 三角函数的特性三角函数有一些特性，这些特性对于解题和理解三角函数的性质很重要，包括：(1) 周期性：三角函数的图像是周期性的，其周期为2π，即当θ增加2π时，三角函数的值也相应地增加2π。
(2) 对称性：正弦函数为奇函数，即sin(-θ) = -sinθ，余弦函数为偶函数，即cos(-θ) = cosθ，而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
(3) 值域：正弦函数和余弦函数的值域在[-1,1]之间，而正切函数的值域为(-∞,+∞)。
二、三角函数的基本性质1. 三角函数的基本关系式三角函数之间有许多基本的关系式，我们可以通过这些关系式来互相转换三角函数的值。
下面是一些常用的关系式：(1) 三角函数之间的关系式：sin2θ + cos2θ = 11 + tan2θ = sec2θ1 + cot2θ = csc2θ(2) 三角函数的倒数关系式：cosec θ = 1/sin θsec θ = 1/cos θcot θ = 1/tan θ(3) 三角函数之间的和差关系式：sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin bcos(a+b) = cos a cos b - sin a sin btan(a+b) = (tan a + tan b)/(1 - tan a tan b)(4) 三角函数之间的倍角关系式：sin2θ = 2sinθ cosθcos2θ = cos2θ - sin2θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan2θ)2. 三角函数的图像三角函数的图像非常有用，可以帮助我们更直观地理解三角函数的性质和特点。
高中数学 第一章 三角函数 4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学案 北师大版必修4
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质学习目标 1.会利用单位圆研究正弦、余弦函数的基本性质.2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关的问题.知识点 正弦、余弦函数的性质思考1 正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？答案 设任意角x 的终边与单位圆交于点P (cos x ，sin x )，当自变量x 变化时，点P 的横坐标是cos x ，|cos x |≤1，纵坐标是sin x ，|sin x |≤1，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为－1.思考2 能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是增加的？答案 不能，右半圆可以表示无数个区间，只能说正弦函数在每一个区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的. 梳理 正弦、余弦函数的性质1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × )提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )提示 正弦函数在第一象限不是增函数，因为在第一象限，如－5π3<π6，但sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3＝sin π3＝32，sin π6＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π3>sin π6.3.存在实数x ，使得cos x ＝ 2.( × ) 提示 余弦函数最大值为1.4.余弦函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数.( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确.类型一 正弦、余弦函数的定义域 例1 求下列函数的定义域. (1)y ＝2sin x －3； (2)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22＋1－2cos x . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 解 (1)自变量x 应满足2sin x －3≥0， 即sin x ≥32. 图中阴影部分就是满足条件的角x 的范围，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z. 反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.跟踪训练1 函数y ＝2sin x ＋1的定义域为 . 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z解析 要使2sin x ＋1有意义， 则必须满足2sin x ＋1≥0，即sin x ≥－12，结合单位圆，知x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋2k π，7π6＋2k π，k ∈Z . 类型二 正弦、余弦函数的值域与最值例2 (1)求函数y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域.题点 正、余弦函数的值域解 ∵y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上是增加的， 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6上是减少的，∴当x ＝0时，y max ＝1，当x ＝5π6时，y min ＝cos 5π6＝－32，∴y ＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≤x ≤5π6的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.(2)已知函数y ＝a sin x ＋1的最大值为3，求它的最小值. 考点 正、余弦函数的最值 题点 含参正、余弦函数的最值解 当a >0时，y max ＝a ×1＋1＝3，得a ＝2， ∴当sin x ＝－1时，y min ＝2×(－1)＋1＝－1； 当a <0时，y max ＝a ×(－1)＋1＝3，得a ＝－2， ∴当sin x ＝1时，y min ＝－2×1＋1＝－1. ∴它的最小值为－1.反思与感悟 (1)求正、余弦函数的值域或最值时应注意定义域，解题时可借助图像结合正、余弦函数的单调性进行分析.(2)对于含有参数的值域或最值，应注意对参数分类讨论.跟踪训练2 函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为 .考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析 由单位圆，可知当x ∈⎝⎛⎦⎥⎤－π3，2π3时，cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以2＋cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，所以函数y ＝2＋cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，2π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.类型三 正弦、余弦函数的单调性例3 函数y ＝cos x 的一个递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2B.(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 D.(π，2π)题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 D解析 ∵y ＝cos x 的递增区间为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ，令k ＝1得[π，2π]，即为y ＝cos x 的一个递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π]，故选D. 反思与感悟 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并.跟踪训练3 求下列函数的单调区间.(1)y ＝sin x ，x ∈[－π，π]；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]. 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间解 (1)y ＝sin x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.(2)y ＝cos x 在x ∈[－π，π]上的递增区间为[－π，0]，递减区间为[0，π].1.函数y ＝cos x －1的最小值是( ) A.0 B.1 C.－2 D.－1考点 正弦函数、余弦函数的最大值与最小值 题点 余弦函数的最大值与最小值 答案 C解析 cos x ∈[－1，1]，所以y ＝cos x －1的最小值为－2.2.不等式2sin x －1≥0的解集为 . 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z解析 由2sin x －1≥0得，sin x ≥22. 由单位圆可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .3.函数f (x )＝－2sin x ＋1的最大值为 .答案 3解析 因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－1时，f (x )取最大值2＋1＝3.4.求y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域. 考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域解 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π，得sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴y ∈[－2，1]，∴y ＝－2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π的值域为[－2，1].利用单位圆来研究正弦、余弦函数的基本性质，能够加深对正弦、余弦函数性质的理解与认识，同时也有助于提升学生利用数形结合思想解决问题的意识.一、选择题1.函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A.[k π，(k ＋1)π](k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，(2k ＋1)π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，(k ＋1)π(k ∈Z )D.[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 B解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z ).2.函数y ＝sin 2x 的递减区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.[π＋2k π，3π＋2k π](k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 考点 正弦函数、余弦函数的单调性 题点 正弦函数、余弦函数单调性的判断 答案 B解析 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴y ＝sin 2x 的递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).3.函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z D.R考点 正弦函数、余弦函数的定义域 题点 正弦函数、余弦函数的定义域 答案 C解析 ∵cos x －12>0，∴cos x >12，∴2k π－π3<x <2k π＋π3，k ∈Z .∴函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3，k ∈Z .4.函数y ＝4sin x ＋3在[－π，π]上的递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 B解析 y ＝sin x 的递增区间就是y ＝4sin x ＋3的递增区间.5.y ＝3cos x ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，4π3的最大值与最小值分别为( )A.3，－3B.3，－332C.3，32D.3，－32考点 正、余弦函数的最值 题点 求正、余弦函数的最值 答案 A6.在[0，2π]内，使sin x ≥12成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56π，π考点 解三角不等式 题点 解三角不等式 答案 B7.已知f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3，x ∈Z ，则f (x )的值域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－32，32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－12，12，－32，32D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12，32考点 余弦函数的值域 题点 余弦函数的值域 答案 A 二、填空题8.y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，5π3的递增区间为 .考点 正、余弦函数的单调性 题点 求正、余弦函数的单调区间 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π3 9.满足sin α－cos α>0的α的取值范围是 . 考点 解三角不等式 题点 解三角不等式答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π<α<5π4＋2k π，k ∈Z 解析 由图可解.10.y ＝3sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3的值域为 .考点 正、余弦函数的值域 题点 正、余弦函数的值域答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3解析 借助单位圆可知，函数f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，4π3在x ＝π2处取最大值1，在x ＝－π3和x ＝4π3处同时取得最小值－32，即－32≤sin x ≤1，所以－332≤3sin x ≤3. 11.下列说法正确的是 .(只填序号) ①y ＝|sin x |的定义域为R ； ②y ＝3sin x ＋1的最小值为1； ③y ＝－sin x 为周期函数；④y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈R ).考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 答案 ①③解析 对于②，y ＝3sin x ＋1的最小值为－3＋1＝－2；对于④，y ＝sin x －1的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，故②④错，填①③.三、解答题12.已知函数y ＝a cos x ＋b 的最大值是0，最小值是－4，求a ，b 的值. 考点 正、余弦函数的最值 题点 含参正、余弦函数的最值解 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，－a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，a ＋b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝b ＝－2. 13.已知函数f (x )＝12－sin x.(1)判定函数f (x )是否为周期函数； (2)求函数f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6时，求f (x )的值域. 考点 正、余弦函数的基本性质 题点 正、余弦函数的基本性质综合 解 (1)函数f (x )的定义域是R .因为f (x ＋2π)＝12－sin (2π＋x )＝12－sin x＝f (x )，所以f (x )是周期函数.(2)由正弦函数的基本性质，可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上，函数y ＝sin x 是增加的，而此时函数h (x )＝2－sin x 是减函数，从而可知此时函数f (x )是增函数， 故可知函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ).(3)设t ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π6，5π6，则t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1，所以1≤2－t <52，则25<12－t≤1.故f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤25，1. 四、探究与拓展14.函数y ＝－23cos x ，x ∈(0，2π)，其单调性是( )A.在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的B.在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π2，2π上是增加的，在⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的C.在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的D.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是增加的，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是减少的考点 正、余弦函数的单调性题点 正、余弦函数的单调性答案 A15.已知f (x )＝－sin x .(1)试写出f (x )的单调区间；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a 上是减少的，求实数a 的取值范围. 考点 正弦函数的单调性题点 正弦函数的单调性综合解 (1)∵f (x )＝－sin x ，根据正弦函数y ＝sin x 的单调性可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是减少的， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是增加的. (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减少的， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，a ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， 即－π2<a ≤π2. ∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，π2.。
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4
易错案例 正、余弦函数基本性质的应用 【典例】若x是三角形的最小内角,则正弦函数y=sinx的值域为_____.
【失误案例】
【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是角的范围错误,忽视了“最小内角”对角范围 的限制.
【自我矫正】因为x是三角形的最小内角,
则0<x≤
3
2.图像的利用 在求解函数的值域时,结合单位圆,能避免出错,如本例中x∈ (0，] 时,
3
最大值与最小值的求解,作出单位圆后,结果就很清晰了.
(2)周期函数一定存在最小正周期吗? 提示:不一定.如常数函数是周期函数,但是没有最小正周期.
2.关于周期函数,下列说法正确的是________(填序号). ①周期函数的定义域可以是有限集; ②周期函数的周期只有唯一一个; ③周期函数的周期可以有无数多个; ④周期函数的周期可正可负. 【解析】由周期函数的定义可得①②是错误的,③④是正确的. 答案:③④
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
x
1， 2
结合单位圆(如图所示)知x的取值范围是 2k x 7 2k,k Z.
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三角函数
4．3
单位圆与正弦函数、余弦函数的 基本性质
4.4单位圆的对称性与诱导公式
1．问题导航 (1)由于 α 与－ α 的终边关于 x 轴对称， 故若 β 与 α 的终边关于 x 轴对称，则必有 β＝－ α，这样说对吗？ (2)角 α 与角 β 的所有三角函数值都相等 ,则 α 与 β 有什么关系？ (3)在应用诱导公式时，公式中的角 α 必须是锐角吗？ 2．例题导读
5π π 19π 3π (4)sin cos － ＋ sin － cos 4 4 3 6 π π π π ＝ sin π ＋ cos ＋ sin － － 6π ² cos π － 6 4 4 3 π π π π ＝－ sin cos ＋ sin － － cos 4 6 3 4 2 3 3 2 ＝－ ³ ＋ － ³－ ＝ 0. 2 2 2 2
31π 31π ②法一： cos － 6 ＝ cos 6 π 7π π 3 ＝ cos 4π ＋ 6 ＝ cos π ＋6 ＝－ cos ＝－ . 6 2 31π 5π 法二： cos － 6 ＝ cos － 6π＋ 6 π π 3 ＝ cos π －6 ＝－ cos ＝－ . 6 2
π 3π cos ＋α · cos（2π －α）· sin －α＋ 2 2 3．化简 ＝ 3 π sin（－π －α） · sin ＋ α 2
－cos α _____________ ．
π － sin α ² cos α ² － sin － α＋ 2 sin α ²（－cos α ）
给角求值
求下列各角的三角函数值： (1)cos(－1 290°)；(2)sin 1 230°； 29π 5π π 19π 3π (3)cos ；(4)sin cos － ＋ sin － cos . 4 4 4 6 3 (链接教材 P22 例 4)
[解 ]
(1)cos(－1 290°)＝ cos 1 290°
1．根据单位圆理解正弦函数y＝sin x的性质 根据正弦函数y＝sin x的定义，我们不难从单位圆看出函数y ＝sin x有以下性质： R ； (1)定义域是___________
1，最小值是______ －，值域是 1 [－1， 1] (2)最大值是______ _________ ； 2kπ(k∈Z，k≠ 0) 周期函数 (3)它是____________ ，其周期是________________ ，最小正 2π ；． 周期为____________
π π cos α (6)sin ＋ α ＝ ____________， cos ＋ α ＝－ sin α .(1.13) 2 2 π π sin α (7)sin － α ＝ cos α ， cos － α ＝ ____________ ． (1.14) 2 2
cos α ．(1.10) (3)sin(2π － α)＝－ sin α ， cos(2π － α)＝________
－cos α (4)sin(π － α)＝ sin α ， cos(π － α)＝ ____________ ． (1.11)
－sin α (5)sin(π ＋ α)＝ ____________ ， cos(π ＋ α)＝－ cos α .(1.12)
(4)从单位圆上看正弦函数y＝sin x在区间
______________________________________
0，π ，2kπ -π ，2kπ +π (k∈ Z) 2 2 2
2kπ +π ，2kπ +3π (k∈ Z) 2 2 上是增加的，在区间____________________________ 上是减
少的.
2．特殊角的终边的对称关系 原点 对称； (1)π＋α的终边与角α的终边关于____________ x轴 (2)－α的终边与角α的终边关于___________ 对称； y轴 (3)π－α的终边与角α的终边关于__________ 对称． 3．诱导公式 sin α (1)sin(α＋2kπ)＝____________ ，cos(α＋2kπ)＝cos α.(1.8) －sin α (2)sin(－α)＝____________ ，cos(－α)＝cos α.(1.9)
π π 1 sin π － x＋ ＝ sin x＋ ＝ . 6 6 4 π π π 又因为 x＋ ＋ － x ＝ ， 6 3 2 π π π 所以 cos － x ＝ cos － x＋ ＝ 6 3 2 π 1 sin x＋ ＝ . 6 4 5 1 1 5 2π 所以 sin 6π －x ＋ cos ＝ ＋ ＝ . －x 4 16 16 3
5 若本例(1)中条件不变，求“cos 6π －x ” ． π 5 π 解：因为 6π －x － － x ＝ ， 3 2
π π 5 故 π －x＝ ＋ － x， 6 2 3 5 cos 6π －x π π ＝ cos ＋ － x 2 3 π 3 ＝－ sin － x ＝－ . 5 3
解析：原式＝
sin α ² cos α ² cos α ＝ ＝－ cos α . － sin α ² cos α
对正弦、余弦函数诱导公式的理解 (1)利用诱导公式， 可以将任意角的正弦、 余弦函数问题转化为 锐角的正弦、余弦函数问题．具体步骤是：首先将任意负角的 三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，其次转化为 0°～ 360°的三角函数，然后转化为锐角的三角函数，最后运 用特殊角的三角函数值求值． 步骤可简记为“负化正， 大化小， 化到锐角再求值”．如： 20π 2π 20π 2π cos － ＝ cos os π － ＝－ cos ＝－ . 3 2 3
π π 例如， 将 cos ＋α 写成 cos 1· ＋ α ， 因为 1 是奇数， 则 “cos” 2 2 π 变为正弦函数符号 “sin” ，又将 α 看作锐角时， ＋α 是第二象 2 π π 限角， cos ＋α 的符号为“－”， 故有 cos ＋α ＝－ sin α . 2 2
＝ cos(210°＋ 3³ 360° )＝ cos 210° 3 ＝ cos(180°＋ 30°)＝－ cos 30°＝－ . 2 (2)sin 1 230°＝ sin(150°＋3³360°)＝ sin 150° 1 ＝ sin(180°－ 30° )＝ sin 30°＝ . 2 29π 5π 5π (3)cos ＝ cos ＋ 6π ＝ cos 4 4 4 π π 2 ＝ cos π ＋ ＝－ cos ＝－ . 4 2 4
给值求值
π π 3 (1)已知 sin － x ＝ ，则 cos x＋ ＝ ( A ) 3 5 6 A. 3 5 4 B. 5 4 D．－ 5
3 C．－ 5
π 1 5π 2π ＝ (2)已知 sin x＋ ＝ ，则 sin ＋ cos － x － x 6 4 6 3 5 ________ ． 16 (链接教材 P23 练习 2 T3， P24 习题 1－4B 组 T1)
P20 例 3.通过本例学习，学会利用 α 与－ α，α 与 α± π，α 与 π －α 的正弦、余弦函数关系求三角函数值．
试一试：教材P20练习1T1你会吗？ P22例4.通过本例学习，学会利用诱导公式求三角函数值．
试一试：教材P23习题1－4A组T2你会吗？
P22例5.通过本例学习，学会利用诱导公式化简三角函数式． 试一试：教材P24习题1－4A组T8你会吗？
π 1 2．已知 sin x＝ ，则 cos x－ ＝ ( A ) 3 2 1 A. 3 2 C. 3
π π 解析：cos x－ ＝ cos － －x 2 2 π 1 ＝ cos －x ＝ sin x＝ . 3 2
2 2 B. 3 1 D．－ 3
π π π [解析 ] (1)由 － x ＋ x＋ ＝ ， 3 6 2 π π π 故 x＋ ＝ － － x， 6 2 3 π 有 cos x＋ 6 π π ＝ cos － － x 2 3 π 3 ＝ sin － x ＝ . 3 5 π 5 (2)因为 x＋ ＋ 6π －x＝π ， 6 5 所以 sin 6π －x＝
方法归纳 求正弦、余弦函数值的一般步骤
1． (1)代数式 sin 120° cos 210°的值为 ( A ) 3 A．－ 4 3 C．－ 2 (2)求下列各三角函数式的值： 31π ① sin 1 320°；② cos － 6 . 3 B. 4 1 D． 4
解： (1)由诱导公式可得， sin 120°cos 210°＝ sin 60°³(－ cos 3 3 3 30° )＝－ ³ ＝－ ，故选 A. 2 2 4 (2)①法一： sin 1 320°＝ sin(3³ 360° ＋ 240° ) 3 ＝ sin 240° ＝ sin(180° ＋ 60° )＝－ sin 60° ＝－ . 2 法二： sin 1 320° ＝ sin(4³360° － 120° )＝ sin(－ 120° ) 3 ＝－ sin(180° －60° )＝－ sin 60° ＝－ . 2
1．判断正误． (正确的打“√”，错误的打“³” ) (1)由公式 (1.9)知 cos[－ (α－ β)]＝－ cos(α－ β)． ( ³ ) (2)在△ ABC 中， sin(A＋ B)＝ sin C． ( √ ) π (3)sin α－ ＝ cos α .( ³ ) 2 π (4)若 α 为第二象限角，则 sin ＋ α ＝ cos α .( √ ) 2 π π (5)sin － α ＝ cos ＋ α .( √ ) 4 4