二次函数y=ax2的图象与性质
二次函数y=ax2的图象和性质
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)
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因为抛物线开口都向上,且 3> > ,根据“a>0 时,a 越大,抛物线的开口越小”得①<③<②, 故选 C. C4 32 3关闭解析答案1
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4.二次函数 y=- x2,x1,x2 对应的函数值分别为 y1,y2,当 x1<x2<0 时,y1 与 y2 的大 小为 .
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������2 -2m-1 = 2, 由函数图象是抛物线知,函数为二次函数,所以满足 解得 m=-1. 2 ������ -3m ≠ 0, 所以函数表达式为 4x2,顶点坐标为(0,0),对称轴为 y 轴,开口向上. y= 4x2 (0,0) y 轴 y= 向上
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解析
答案
A.y= x2
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D
D.
解析
答案
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2.若对任意实数 x,二次函数 y=ax2 的值总是非负数,则 a 的取值范围是 ( ) B.a≤0 D.a<0 A.a≥0 C.a>0
关闭
二次函数 y=ax2 的值总是非负数,说明抛物线开口向上,所以 a>0.
关闭
C
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答案
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3.抛物线①y=3x2,②y= x2,③y= x2 的开口大小的次序应为( A.①>②>③ C.②>③>① B.①>③>② D.②>①>③
右侧(x>0),函数 y 随 x 的增大而
4.已知函数 y=ax2, (1)当 a>0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≥ 0;当 x= 0 时,y 有最小 0 值,最小值是 . (2)当 a<0 时,对于一切 x 的值,总有函数 y ≤ 0;当 x= 时,y 有 0 0 最大值,最大值是 . 5.抛物线 y=ax2 的开口大小由|a|决定,|a|越大,抛物线的开 口
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案
人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。
通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。
但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。
2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。
2.二次函数的增减性和对称性。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数图象和性质的相关教学素材。
3.学生分组合作学习的材料。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。
同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。
呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。
学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。
操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。
学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。
二次函数y=ax2的图象与性质
二次函数y＝ax2的图象与性质一、阅读课本：P6—8二、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y＝ax2的图象；3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．三、探索新知：画二次函数y＝x2的图象．【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】描点，并连线由图象可得二次函数y＝x2的性质：1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．3．自变量x的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．四、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝12x2，y＝x2，y＝2x2的图象．解：列表并填：y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．归纳：抛物线y＝12x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象．列表：归纳：抛物线y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ． 五、理一理122．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于_______对称，开口大小_______________．3．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________； 当a ＜0时，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________．六、课堂训练 12．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接． ___________________________________七、目标检测1．函数y ＝37 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________．2．二次函数y ＝mx22 m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．。
二次函数 y=ax2的图象及其性质ppt课件
x轴
______对称.
如果已知y=ax2 (a≠0)的图象，可通过
2的图象.
翻折
_________更方便地得到y=－ax
上
当a＞0时，抛物线开口向___；
当a＜0时，抛物线开口向___.
下
y
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y=2x2
1 2 3 4 5
x
y=-2x2
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象
第1课时 二次函数 y=ax²的图象及其性质
学习目标
知识与技能 ：能够利用描点法画函数y=ax2的图象。
过程与方法 ：
①经历二次函数y=ax2图象的作法。
②探索二次函数y=ax2性质，获得利用图象研究函数性质的经验。
重点：会画函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解二次函数y=ax2
0 时， y 随x 的增大而减小
当 x=0 时， y 最大值 =0
16
探究新知
例1 已知二次函数y=ax2 (a≠0)的图象经过点(－2，－3).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的表达式.
解：把点(－2，－3)的坐标代入y=ax2 ，
得－3=a(－2)2，
解得 a=－
.
所以这个二次函数的表达式是y=－
0.5x2的图象，它们的共同特点是( D )
A．都关于x轴对称，抛物线开口向上
B．都关于原点对称，顶点都是原点
C．都关于y轴对称，抛物线开口向下
D．都关于y轴对称，顶点都是原点
24
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 参考解析
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课前预习1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）.当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，此时抛物线有最低点，即当x=0时，y取得最小值0 ；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时抛物线有最高点，即当x=0时，y取得最大值0 .|a|越大，抛物线的开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同.课堂练习知识点1 二次函数y=ax2的图象1.填写下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最值.2.某同学画二次函数y=ax2的图象时，列下列表格：（1）将表格中的空格补全；（2）这个二次函数的解析式为y=-1x2；2（3）在平面直角坐标系中画出二次函数的图象.解：（3）函数图象如图所示.知识点2 二次函数y=ax2的性质3.已知二次函数y=（m-2）x2的图象开口向上，则m的取值范围是m>2 .4.下列各点在二次函数y=-2x2图象上的是（ B ）A.（-1，2）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，4）5.关于函数y=x2的图象，下列说法错误的是（ C ）A.它的图象是一条抛物线B.它的开口向上，且关于y轴对称C.它的顶点是抛物线的最高点D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0）课时作业1.与二次函数y=x2开口大小相同，方向相反的二次函数是y=-x2.2.二次函数y=-0.2x2的图象是一条开口向下的抛物线，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）.当x= 0 时，函数有最大值0 ；当x ＞0时，y随x的增大而减小.3.关于函数y=3x2的性质，下列说法正确的是（ C ）A.无论x为任何实数，y的值总为正B.当x值增大时，y的值也增大C.它的图象关于y轴对称D.它的图象在第一、第三象限内4.已知A （-1，y ₁），B （-2，y ₂）都在二次函数y=x 2上，则y ₁，y ₂之间的大小关系是（ C ）A.y ₁>y ₂B.y ₁=y ₂C.y ₁<y ₂D.不能确定 5.二次函数y=ax 2（a ＞0）的图象经过点（3，4），则其图象一定经过点（ C ） A.（3，-4） B.（-3，-4） C.（-3，4） D.（4，3）6.如图，当ab ＞0时，函数y=ax 2与函数y=bx+a 的大致图象是（ C ）7.二次函数y=2x 2，y=-2x 2，y=12x 2的共同性质是（ B ） A.开口向上 B.对称轴是y 轴 C.都有最高点 D.y 随x 的增大而增大 8.已知函数y=（m+2）226m m x +-是关于x 的二次函数. （1）求m 的值；（2）当m 为何值时，函数图象的顶点为最低点？ （3）当m 为何值时，函数图象的顶点为最高点？ 解：（1）根据二次函数的定义得22026 2.m m m +≠+-=⎧⎨⎩，解得⎩⎨⎧-==.4,221m m ∴m 的值为2或-4；（2）当m=2时，抛物线的开口向上，函数有最小值，函数图象的顶点为最低点； （3）当m=-4时，抛物线的开口向下，函数有最大值，函数图象的顶点为最高点.9.在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数的图象：①y=x 2；②y=12x 2；③y=-x 2；④y=-12x 2.从图象上对比，说出解析式中二次项系数a对抛物线的形状有什么影响？解：列表如下描点、连线，函数图象如图所示a的绝对值相同，抛物线的形状相同；a的绝对值越大，开口越小.10.如图，A，B为抛物线y=x2上的两点，且AB∥x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若2.解：∵AB=22∴BC=122∴点B的横坐标为2代入抛物线的解析式得y=2.∵AB∥x轴，∴点B与点C的纵坐标相同.∴OC=2，即圆的半径为2.由二次函数的对称性得，图中阴影部分的面积等于圆面积的14， 即S 阴影=14π×22=π.11.函数y=ax 2（a ≠0）的图象与直线y=2x-3交于点（1，b ）. （1）求a 和b 的值；（2）x 在什么范围时，二次函数y=ax 2中的y 随x 的增大而增大？ （3）求抛物线y=ax 2与直线y=-2的两个交点及顶点所围成的三角形的面积. 解：（1）把点（1，b ）代入y=2x-3，得b=-1. ∴交点坐标为（1，-1）. 把（1，-1）代入y=ax 2，得a=-1. ∴a=-1，b=-1；（2）由（1）得y=-x 2，当x ≤0时，y 随x 的增大而增大； （3）根据题意，得2,2.y x y ⎧=-⎨=-⎩解得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩或 2.x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ ∴两交点坐标分别为（-2），（-2）.故S △=12×。
二次函数y=ax2的图象与性质
特征 函数y = x2的图象开 口__向__上__.
这条抛物线关于y 轴对称，y轴就是 它的对称轴.
推进新课
y 9
6
3
（0，0）
-3 O
3x
在抛物线y = x2上 任取实一际点上，（每m条，抛m物2）， 线因都为有它对关称于轴，y轴抛的物线对称 与点对（称-m轴，的m交2点）叫也做在抛抛 物物线线的y顶= 点x2.上顶，点是所抛以物抛 线物的线最y低= 点x2或关最于高y轴点．对称。
顶点是（__0_，__0_）__ .
a = 2>0
思考探究
2. 已知下列二次函数①y=-x2；②y= 3x2；③y=15x2；④y
=-4x2；⑤y = 4x2.
5
a>0
（1）其中开口向上的是_②___③__⑤__（填序号）；
（2）其中开口向下且开口最大的是___①___（填序号）；
（3）有最高点的是__①___④__（填序号）.
a<0，y=ax+b单调递减 故A错；
y=ax2开口向下
×
故C对.
思考探究
a<0 二次函数
6. m为何值时，函数 y mxm2－m的图象是开口向下的抛物线？
解：由题意得
m2 m m 0，
2，
解得m=-1 ∴当m=-1时，函数 y mxm2－m 的图象是开口向下的抛物线.
拓展延伸
思考探究
推进新课
2.描点
y
根据表中x，y的数值在坐标平面
9
中描出对应的点.
6
3.连线
3
用平滑曲线顺次连接各点，就得 -3 O 3 x 到y = x2的图象.
推进新课
知识点2 二次函数y = ax2的图象和性质
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
x
… -2 -1
0
1
y=2x2 …
y=2x2
…
(2)描点并连线:
2
…
…
…
【思路点拨】 首先列表求出函数图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.注 意连线时一定要用平滑的实线连接.
解:(1)8 2 0 2 8 -8 -2 0 -2 -8 (2)
类型二:二次函数y=ax2图象的性质的应用
例2 已知函数y=ax2的图象过点(1, 1 ).
2
增大而减小.
(2)在其图象上有两点(x1,y1),(x2,y2),且x1>x2>0,比较y1,y2的大小.
【思路点拨】 (2)二次函数y=ax2的对称轴为y轴,由(1)知a<0,所以在其对称轴 的右侧y随x的增大而减小,又x1>x2>0,故y1<y2. 解:(2)因为x1>x2>0, 所以y1<y2.
(1)简述函数y=ax2的性质;
2
【思路点拨】 (1)把点(1, 1 )代入函数y=ax2的解析式求得a的值,即可判定函
数的性质.
2
解:由题意得 a=- 1 ,所以 y=- 1 x2.
2
2
(1)函数 y=- 1 x2,开口向下,在 y 轴左侧 y 随 x 的增大而增大,在 y 轴右侧 y 随 x 的
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象
二次函数y=ax2的图象是 抛物线 ,对称轴与抛物线的交点叫做 顶点 ,顶点是
(0,0) ,当a>0时,抛物线的开口 向上 ,顶点是抛物线的最 低 点;当a<0时, 抛物线的开口 向下 ,顶点是抛物线的最 高 点.对于y=ax2,|a|越 大 ,抛物 线的开口越小.
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第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质
一、学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．
二、探索新知：
○1、画二次函数y＝x2的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y
的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】
列表：
描点，并连线（在坐标纸上画出y＝x图像）
○2、由图象可得二次函数y＝x2的性质：（阅读课本：P4—6上方）
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于
对称, 从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．
三、例题分析
例1 在同一直角坐标系中(坐标纸)，画出函数y＝1
2x
2，y＝x2，y＝2x2的图象．
解：列表：
归纳：抛物线y＝1
2x
2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；
对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－1
2x
2，y＝－2x2的图象．
归纳：抛物线y＝－x2，y＝－1
2x
2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________
对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．四、理一理
1
2的性质
2．抛物线y＝x与y＝－x关于________对称，因此，抛物线y＝ax与y＝－ax关于_______ 对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；
当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．
五、课堂训练 1
2．若二次函数y ＝ax 的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y ＝ax 2 ② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2
比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接． ___________________________________
六、目标检测
1．函数y ＝3
7 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x ＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y ＝mx
2
2 m 有最低点，则m ＝___________．
3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．
七、课后作业
预习下一节课 完成本节练习册。