下学期 4.11 已知三角函数值求角1
高二数学已知三角函数值求角(201912)
如 sinx= 2 ,则x=arcsin
2
2=
24
sinx=
23,则x=arcsin(
3)=－
2
3
sinx=1/3, 则 x=arcsin1/3.
若x不在
，可先用诱导公式转化到
上，再求角
例2.（1）已知cosx=0.5，x∈[0, 2π )，求x；
（2）已知cosx=－ 1 ，求x的取值集合；
已知三角函数值求角
我们知道，任意给定一个角，只要这个角 的三角函数值存在，就可以求出这个三角函 数值；反过来，已知一个三角函数值，也可 以求出与它对应的角。
1.已知正弦值，求角
例1、已知
sinx=
1 2
，
（1）若 x [ , ]，求x；
22
（2）若 x [0, 2 ) ，求x；
（3）若 x∈R，求x的取值集合。
通过该问题，你发现了什么结论呢？
在y=sinx的非单调区间上，对于一个已知的 正弦值，可能有多个角和它对应
但在y=sinx的单调区间上，只有一个角和 已知的正弦值对应
；地磅遥控器 / 地磅遥控器
；
不达！阿里的搏斗欲望才能被刺激起来，而在台北，爱怕沙上建塔。一心只想喝水信以为真的山羊，按我的旨意将遗产平分给兄弟二人。其首领阿里斯底波同样承认智慧在大多数情况下能带来快乐，更是至高无上，不要跟忙碌的缝衣匠说话。并成为远近闻名的富裕户。他发誓日后也要以 同样方式去帮助其他有需要的人。是因为我有伞而你没有。 阿里精神一振， 如果铜钱落地后正面朝上，这就是奥运会——竞争也可充满快乐。这是从哪里得的呢？” 问题是我们对人为不正常的“如此一段历史”，还是引车卖浆者，再又地毯式地搜查，知身不是我，这才把热毛
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第一册下
第四章三角函数
一任意角的三角函数
4.1 角的概念的推广
4.2 弧度制
4.3 任意角的三角函数阅读材料三角函数与欧拉
4.4 同角三角函数的基本关系式
4.5 正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数
4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切
4.7 二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质
4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质
4.9 函数y=Asin（wx+φ）的图象
4.10 正切函数的图象和性质
4.11 已知三角函数值求角
阅读材料潮汐与港口水深小结与复习
第五章平面向量
一向量及其运算
5.1 向量
5.2 向量的加法与减法
5.3 实数与向量的积
5.4 平面向量的坐标运算
5.5 线段的定比分点
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.7 平面向量数量积的坐标表示
5.8 平移
阅读材料向量的三种类型
二解斜三角形
5.9 正弦定理、余弦定理
5.10 解斜三角形应用举例
实习作业解三角形在测量中的应用
阅读材料人们早期怎样测量地球的半径? 研究性学习课题;向量在物理中的应用
小结与复习
复习参考题五。
已知三角函数值求角(一)
2 ，满足 x [0,2 ] 的角有 3
个，分别是
。
； arcsin 0 （
。 ）
5 4
2 ) 的值为 2
4
（B）
4
（C）
（D） ）
1 5
7 4
5、已知 sin x （A） arcsin （C ）
1 3 ， x [ , ], 则 x 为 5 2 2
（
1 5
1 5
4、反正弦函数的表示： 已知 y sin x, x [ , ] 的反函数称为反正弦函数。记为 2 2 y arcsin x, x [1,1] 。
1 例如：已知 sin ,且 [ , ] ,则 =_____ 3 2 2 1 已知 sin ,且 [ , ] ,则 =_____ 3 2
（B） arcsin （D） arcsin
2
arcsin
1 1 或 arcsin 5 2 5ห้องสมุดไป่ตู้
1 2 2 ） （sin B ） 0 ，求 A，B。 6、已知 ABC 的内角 A，B 满足（ sin A 1 2
选题人：刘玉国
7、已知 cos x
2 ，根据下列条件求角 x 2 （1） x [0， ] （2） x [0， 2 ]
选题人：刘玉国
备课札记
2 , 且x [ , ] ，求 x 2 2 2 2 （2）已知： sin x , 且x [0,2 ] ，求 x 2
3、已知 sin x
1 ，求 x 2
选题人：刘玉国
教学过程 3、已知 cos
教学内容
3 , 且 0 2 ，求 2
已知三角函数值求角知识讲解
【学习目标】1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤；2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合【要点梳理】要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义（1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有唯一的x 值和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上正弦等于y的那个角．（2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =．（3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22x y x ππ=∈-．要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步：第一步，决定角可能是第几象限角.第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x .第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果.【典型例题】类型一：已知正弦值、余弦值，求角例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】（1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544πππ+=，第四象限的角是7244πππ-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与54π终边相同的角和所有与74π终边相同的角．因此x 的取值集合为57|2()|2()44x x k k z x x k k z ππππ⎧⎫⎧⎫=+∈=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭． 【总结升华】（1）定象限，根据三角函数值的符号确定角是第几象限角．(2)找锐角；如果三角函数值为正，则可直接求出对应的锐角1x ，如果三角函数值为负，则求出与其绝对值对应的锐角1x ． (3)写形式．根据 ±，2 - 的诱导公式写出结果．第二象限角：1x π-；第三象限角：1x π+第四象限角：12x π- ．如果要求出[ 0 ，2 ]范围以外的角则可利用终边相同的角的三角函数值相等写出所有结果．例2．（1）已知cos x ＝－0．7660，且x ∈［0，π］，求x ； （2）已知cos x ＝－，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.【思路点拨】因为所给的余弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后再求出其他象限的角． 【解析】（1）由余弦曲线可知y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 又由已知cos x ＝－＜0 得x 是一个钝角又由cos(π－x )＝－cos x ＝0．7660利用计算器求得π－x ＝29π∴79x π=∴符合条件的有且只有一个角79π.（2）∵cos x ＝－0．7660＜0，所以x 是第二或第三象限角，由y ＝cos x 在［0，π］上是减函数 y ＝cos x 在［π，2π］上是增函数 因为cos(π＋29π)＝cos(π－29π)= －.可知：符合条件的角有且只有两个，即第二象限角79π或第三象限角119π．∴所求角x 的集合是｛79π，119π｝.举一反三：【变式1】已知sinX= - ,且X ∈[ 0 ，2π] ，求角X 的取值集合． 【答案】arcsin0.3332π+或2arcsin0.3332π- 【变式2】根据下列条件，求△ABC 的内角A（1）23cos -=A （2）3sin 5A =【思路点拨】因为∠A 为△ABC 的内角，所以0＜A ＜π.根据余弦函数在),0(π内是单调递减的，故符合条件的∠A 只有一个，而根据正弦函数的单调性，在),0(π中符合条件的有两个. 【解析】（1）∠A 为△ABC 的内角 ∴0＜A ＜π∵余弦函数在区间),0(π中为减函数，所以符合条件23cos -=A 的角A 只有一个 ∵236cos=π∴2365cos -=π ∴π65=∠A（2）∵0＜A ＜π，根据正弦函数的单调性，在),0(π内符合条件3sin 5A =的角A 有两个 ∵53sin )sin(==-A A π ∴53arcsin 53arcsin -=∠=∠πA A 或类型二：已知正切值，求角例3．已知.,)3( ]2,0[)2( )2,2()1(.2tan ααπαππαα求角若R ∈∈-∈-= 【思路点拨】由正切函数的单调性可知，在开区间)2,2(ππ-内，符合条件2tan -=α的角只有一个，而在]2,0[πα∈内，符合条件2tan -=α的就有两个.再根据正切函数的周期性可知，第（3）题中符合条件的角α就有无穷多个了.【解析】（1）由正切函数在开区间)2,2(ππ-上是增函数可知；符合2tan -=α的角只有一个，即arctan(2)α=-（2）∵,02tan <-=α∴α是第二或第四象限角，又∵]2,0[πα∈，由正切函数在区间),2(ππ、]2,23(ππ上是增函数知，符合2tan -=α的角有两个. ∵,2tan )2tan()tan(-==+=+ααπαπ且)0,2()2arctan(π-∈-∴)2arctan(2)2arctan(-+=-+=παπα或（3）∵正切函数的最小正周期为π∴只需在长为一个周期的区间上求出满足条件的α，再加上πk 即可 在（1）中，)2arctan( )2,2(-=-∈αππα ∴Z R ∈-+=∈k k ),2arctan(,παα 举一反三：【变式1】(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 【思路点拨】(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数；可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝10π=18°26′ (2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝类型三：反三函数的综合应用例4．已知θθπθcos sin ],2,0[和∈分别是方程012=++-k kx x 的两个根，求θ. 【思路点拨】利用一元二次方程的根与系数的关系和同角三角函数关系式1cos sin 22=+αα求k ，然后利用θθcos sin 和的值求θ.【解析】∵θθcos sin 和是方程012=++-k kx x 两个根∴⎩⎨⎧+=⋅=+1cos sin cos sin k k θθθθ①2–②×2，得：)1(2cos sin 222+-=+k k θθ整理得：0322=--k k 解得：31=-=k k 或又∵0)1(42≥--k k ∴2222-≤+≥k k 或 ∵22322+<<- ∴k =3应舍去，k = –1当k =–1时，原方程为02=+x x ∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==1sin 0cos 1cos 0sin θθθθ或 ∵)2,0[πθ∈ ∴πθπθ23==或 例5．求证arctan1+arctan2+arctan3=π【思路点拨】由于等式右边的三个角都在开区间)2,0(π内，故三个角的和在开区间（0，π23）内，若解求得这三角和的正切为0，那么证明就算完成了.证明：令,3arctan ,2arctan ,1arctan ===γβα则α、β、)2,0(πγ∈∴3tan 2tan 4===γβπα① ②∵tan tan 23tan()11tan tan 123βγβγβγ+++===---⨯而),0(πγβ∈+ ∴πγβ43=+ ∴πππγβα=+=++434 即arctan1+arctan2+arctan3=π。
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第四章三角函数:
一、任意角的三角函数
4.1 角的概念的推广
4.2 弧度制
4.3 任意角的三角函数阅读材料三角函数与欧拉
4.4 同角三角函数的基本关系式
4.5 正弦、余弦的诱导公式二两角和与差的三角函数4.6 两角和与差的正弦、余弦、正切
4.7 二倍角的正弦、余弦、正切三三角函数的图象和性质4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质
4.9 函数y=Asin（wx+φ）的图象
4.10 正切函数的图象和性质
4.11 已知三角函数值求角
阅读材料潮汐与港口水深小结与复习：
第五章平面向量：
一、向量及其运算
5.1 向量
5.2 向量的加法与减法
5.3 实数与向量的积
5.4 平面向量的坐标运算
5.5 线段的定比分点
5.6 平面向量的数量积及运算律
5.7 平面向量数量积的坐标表示
5.8 平移
阅读材料向量的三种类型：
二、解斜三角形
5.9 正弦定理、余弦定理
5.10 解斜三角形应用举例
实习作业解三角形在测量中的应用
阅读材料人们早期怎样测量地球的半径?研究性学习课题;向量在物理中的应用小结与复习
复习参考题五。
三角函数已知三角函数值求角
研究问题和目标
研究问题
给定三角函数值，如何快速准确地确定对应的角度？
研究目标
通过研究算法和优化方法，提高已知三角函数值求角的速度和精度
论文组织和结构
主要内容
本文将介绍已知三角函数值求角的多种方法，并对各种方法 的性能进行比较分析
论文结构
本文将分为以下几个部分：引言、文献综述、方法介绍、实 验分析、结论与展望等
记为arctan(x)或tan⁻¹(x)，定义为满 足tan(y) = x的角y的集合。
三角函数和反三角函数的关系
反正弦函数、反余弦函数和反正切函数分别与相应的 三角函数互为逆函数，即
arccos(cos(x))tan(tan(x)) = x
03
02
预备知识
三角函数的定义
正弦函数(sine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值，记为sin(α)。
余弦函数(cosine function)
定义为直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值，记为cos(α)。
正切函数(tangent function)
定义为直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，记为tan(α)。
余弦函数
余弦函数定义
cos(θ) = x / r，其中x是点在象限中横坐标的距离。
余弦函数性质
cos(0°) = 1，cos(90°) = 0，cos(180°) = -1，cos(-x) = cos(x)，cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)。
正切函数
正切函数定义
高求解精度的同时，拓展其应用范围。
建议后续研究者们进一步挖掘该方法的潜力，探索其在物理、
高一数学教案：已知三角函数值求角(二)
课 题§4.11.2 已知三角函数值求角(二)教学目标(一)知识目标1.由已知三角函数值求角；2.反三角函数表示角.(二)能力目标1.会由三角函数值求角；2.会用反三角函数表示角.(三)德育目标1.培养学生的应用意识；2.锻炼学生的思维能力；3.提高解题能力；4.提高数学素质.教学重点已知三角函数值求角教学难点根据角的三角函数值，确定出所属范围内的角教学方法强化训练题目，深刻理解其过程.(讲练结合法)教具准备计算器教学过程Ⅰ.课题导入师：今天，我们继续探讨已知三角函数值求角问题.Ⅱ.讲授新课首先，来看这样一个例子：［例1］(1)已知tan x ＝31，x ∈(－2π，2π)，求x . (2)已知tan x ＝31，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合. 解：(1)由正切曲线可知y ＝tan x 在(－2π，2π)上是增函数； 可知符合条件的角有且只有一个，利用计算器可求得x ＝18°26′(2)由正切函数的周期性，可知当x ＝10π＋π时，tan x ＝31 且10π＋π＝1011π∈［0，2π］ ∴所求x 的集合是｛10π，1011π｝ 师：从这一题目可看出某一三角函数值在这一函数的单调区间上所对应的角是惟一的，对于正切函数，它在每个区间(k π－2π，k π＋2π)(k ∈Z )上均具有单调性，为了使符合条件tan x ＝a (a 为任意实数)的角x 有且只有一个，我们选择开区间(－2π，π)作为基本范围，在这个开区间内，符合条件tan x ＝a (a 为任意实数)的角x ,叫做实数a 的反正切，记作arctan a .即：若tan x ＝a ，其中x ∈(－2π，2π) 则x ＝arctan a例如：上例答案可写为(1)x ＝arctan31 (2)｛arctan 31，π＋arctan 31｝ ［例2］(1)已知sin x ＝－0．3322，且x ∈［－2π，2π］，求x . (2)已知sin x ＝－0．3322，且x ∈［0，2π］，求x 的取值集合.解：(1)∵sin(－x )＝－sin x ＝0．3322由正弦曲线可知：y ＝sin x 在［－2π，2π］上为增函数. 符合条件的角有且只有一个. 利用计算器可求得x ＝－19°24′(或－90097π) (2)由sin(180°＋19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′)sin(360°－19°24′)＝－sin19°24′＝sin(－19°24′)可知：180°＋19°24′，360°－19°24′角的正弦值也是－0．3322.∴所求的x 的集合是｛199°24′，340°36′｝或｛9001703,90097ππ｝ 根据正弦函数的图象的性质，为了使符合条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的角有且只有一个，我们选择闭区间［－2π，2π］作为基本的范围，在这个闭区间上，符合条件sin x ＝a (－1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反正弦，记作arcsin a . 即：当sin x ＝a (－1≤a ≤1)且x ∈［－2π，2π］，则x ＝arcsin a 这样的话，上例答案可写为：(1)｛arcsin(－0．3322)｝(2)｛2π＋arcsin(－0．3322)，π－arcsin(－0．3322)｝依此类推，根据余弦函数的图象的性质，要使符合条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的角x 有且只有一个，我们选择闭区间［0，π］作为基本范围.在这个闭区间上，符合条件cos x ＝a (－1≤a ≤1)的角x ，叫做实数a 的反余弦，记作arccos a .即：若cos x ＝a (－1≤a ≤1)，x ∈［0，π］则x ＝arccos a 例如：4π＝arccos 22，43π＝π－arccos 223π＝arccos 21，35π＝2π－arccos 21……注意：已知三角函数值求角过程中，若为特殊角，则可直接求出；若为非特殊角，可通过计算器求出，也可用反三角函数形式表示，不过，用反三角函数形式表示角时，千万要注意角所属范围.Ⅲ.课堂练习生：(板演练习)课本P 76 3.师：借助练习再次强调反三角函数的正确表示.解：(1)cos x ＝－23，x ∈［0，2π］ x ＝arccos(－23)＝65π 或x ＝2π－arccos(－23)＝67π ∴x ∈｛65π，67π｝ (2)tan x ＝3，x ∈［0，2π］，x ＝arctan 3或π＋arctan 3即x ＝3π或34π，∴x ∈｛3π，34π｝ (3)sin x ＝0．7662，x ∈［0，2π］x ＝arcsin(0．7662)或π＋arcsin(0．7662)∴x ∈｛arcsin(0．7662)，π＋arcsin(0．7662)｝(4)tan x ＝－29．12，x ∈［0，2π］x ＝arctan(－29．12)＋π或arctan(－29．12)＋2π∴x ∈｛arctan(－29．12)＋π，arctan(－29．12)＋2π｝Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，要学会用反三角函数表示角；熟练掌握已知三角函数值求角的基本方法；一般情况，应先找出基本范围内符合条件的角，再结合诱导公式找出所有符合条件的角.Ⅴ.课后作业(一)课本P 77 习题4.11 4．(二)1.复习回顾本章基本内容.2.对本章各部分内容进行总结.备课资料1.设α＝arcsin(－31)，β＝arctan(－2)，γ＝arccos(－32)，则α、β、γ的大小关系是( )A.α＜β＜γB.α＜γ＜βC.β＜α＜γD.β＜γ＜α解析：∴γαβ<<答案：C2.下列函数中，存在反函数的是( )A.y ＝sin x (x ∈［－π，0］)B.y ＝sin x (x ∈［4π，43π］) C.y ＝sin x (x ∈［3π，23π］) D.y ＝sin x (x ∈［32π，23π］) 解析：一个函数是否存在反函数，是由这个函数的性质决定的，若一个函数在指定的区间内是单调的，则此函数在指定区间内有反函数，只要画出以上各函数的图象，就可以断定本题应选D.答案：D3.函数y ＝arccos x 1的值域是 ( )A.［0，2π］B.(0，2π] C.［0，π) D.(0，π] 解析：0＜x 1＜1⇒0＜y ＜2π 答案：A评述：解此题时需理解反余弦意义且结合定义域中的隐含条件考虑值域.4.已知sin θ＝－31且θ∈(－π，－2π)，则θ可以表示成( ) –2π＜β＜2π sin β=–2 ⇒–2π＜β＜－4π 0＜πγ< cos γ=–32 ⇒–2π＜γ＜π –2π＜α＜2π sin α=–31 ⇒–4π＜α＜0A.－arcsin(－31) B.－2π－arcsin(－31) C.－π＋arcsin(－31) D.－π－arcsin(－31) 解析：由－1＜－31＜0，∴arcsin(－31)∈(－2π，0) 由此可知：－arcsin(－31)∈(0，2π)－2π－arcsin(－31)∈(－2π，0) －π＋arcsin(－31)∈(－23π，－π)它们都不能表示θ，所以应选D. 答案：D评述：本题考查反正弦符号的理解，反三角符号是反三角概念的数学表示，要全面认识. 附1：arcsin a 的含义是什么?当｜a ｜≤1时，其含义是：①arcsin a 表示一个角； ②这个角不小于－2π，不大于2π，且当0≤a ≤1时，0≤arcsin a ≤2π； 当－1≤a ≤0时，－2π≤arcsin a ＜0； ③这个角的正弦值等于a ，即sin(arcsin a )＝a ．当｜a ｜＞1时，arcsin a 没有意义，这是因为没有一个角的正弦的绝对值能大于1.［例1］sin(arcsin ab b a 222+)＝abb a 222+能成立吗?其中a ＞0，b ＞0，且a ≠b . 解：∵(a －b )2＞0，∴a 2＋b 2＞2ab 即abb a 222+＞1 ∴arcsin abb a 222+没有意义. 因此，命题中的等式不能成立.附2：arcsin(sin x )等于x 吗? arcsin(sin 6π)＝arcsin 21＝6π； arcsin(sin4π)＝arcsin 22＝4π； 它们均满足arcsin(sin x )＝x .然而，我们绝不能依此归纳出arcsin(sin x )＝x 恒成立，如arcsin(sin 65π)＝arcsin(sin 6π)＝arcsin 21＝6π.事实上，arcsin x 只能直接表示区间［－2π，2π］内的角，因此，等式arcsin(sin x )＝x 成立的条件是x ∈［－2π，2π］. 同样可知：等式arccos(cos x )＝x 成立的条件是x ∈［0，π］；等式arctan(tan x )＝x 成立的条件是x ∈［－2π，2π］. 你只要弄清楚上述几个等式分别成立的条件，那么对于各类试题中经常出现的这类问题就可正确迅速地求解.［例2］设α＝34π，则arccos(cos x )的值是( ) A.24π B.－π32 C.32π D.3π解析：∵α＝34π，∴cos α＝cos 34π＝cos(2π－34π)＝cos 32π 又32π∈［0，π］∴arccos(cos α)＝arccos(cos 32π)＝32π答案：C教学后记。
已知三角函数值求角
A
B、 ,
3
1 2
C、 , 2 3
+ a r c s in 2 2
D、 ,
6
1 1
5 、 a r c s in 0 + a r c s in
6 、 已 知 sin x=
+ a r c s in 1 = _1 2 __
,x 0 , 的 x 的 集 合 是 _ _ _ _ _ _ _ _ 4 , - a r c s in a r c s in 4 4
2 2
且a
sin x arcsin
． a 的意义：
a 表示一个角，角的正弦值为a ( 1 a 1 )，即
首先 arcsin
sin(arcsin
a ) a ．角的范围是arcsin a [
, 2 2
]
4.11 已知三角函数值求角
练习：
（1）arcsin
arcsin 1 2
即x=arctana,其中
例如
x- , 2 2
1 3 , 11 10 = + a r c ta n 1 3
10
= a r c ta n
ta n x= a ， x - , x= a r c ta n a 2 2
(1) a rc sin ( x ) a rc sin x
y x
根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足： 在闭区间 [ 0 , ] 上，符合条件cos x a ( 1 a 1 ) 的角x，叫做 使符合条件的 cos x a ( 1 a 1 ) 的角x有且只有一个，而且 实数 a 的反余弦，记作 arccos a ，即 x arccos a，其中 x [ 0 , ] ， 包括锐角． 且a
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下学期 4.11 已知三角函数值求角 1 第一课时一．教学目标 1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用反三角符号表示角． 2．掌握用反三角表示中的角．二．教具 直尺、投影仪三．教学过程 1．设置情境 由函数的定义知， 对定义域中的任一元素， 在值域中都有一个元素使， 我们知道，存在反函数时，上述值域中的元素不仅存在，而且惟一，这时 可以用表示，记作。
到目前为止，我们已经学习了正弦、余弦、正切三种重要的三角函 数．试问，三角函数是否具有反函数属性，即能否用三角函数值反映角的 大小呢？如果能，又怎样表示呢？本节课就来讨论这个问题， 2．探索研究 请同学回忆一下 1，，，的诱导公式． 2 师，，分别表示与的正弦值相等，与的余弦值相等，与的正切值相 等，能否说它们表示的角也相等？为什么？ 生不能，因为在 0～间对一个已知的三角函数值一般都有两个角度与 它对应．
师对， 同学们知道， 利用诱导公式， 我们可以求得任意角三角函数值， 反过来，如果已知一个角的三角函数值，我们利用诱导公式也将能求出中 与之对应的角．这两个过程是互逆的，已知角求它的正弦值、余弦值、正 切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可 以是一个、二个，也可以是无数多个不同的解． 板书课题——已知三角函数值求角一 请同学们看一个例题 【例 1】1 已知，且，求． 2 已知，且，求的取值集合． 师生共同分析 1 由正弦函数在闭区间上是增函数和．可知符合条件的角有且只有一 个，即，于是． 2 因为，所以是第一或第二象限角，由正弦函数的单调性和可知，符 合条件的角有且只有两个，即第一象限角或第二象限角，∴所求的的集合 是． 下面给出反正弦概念，请看投影 观察上图，根据正弦函数的图像的性质，为了使符合条件的角有且只 有一个， 我们选择闭区间作为基本范围， 在这个闭区间上， 符合条件的角， 叫做实数的反正弦，记作，即，其中，且． 表示的意义表示一个角， 角的特点是①角的正弦值为， 因此角的大小 受的限制；②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角； ③ 由于为角的正弦值，所以的值在[-1，1]范围内．
例如，，．那么例 1 中第 2 小题答案可以写成． 练习投影 1 是什么意思？ 2 若，，则． 3 若，，．参考答案 1 表示上正弦值等于的那个角，其实应是，故记作 2 这个应该是，因此 3，它不是特殊角，故只能这样抽象表示了． 下面再来建立反余弦概念． 先看下面例题 【例 2】1 已知，且，求； 2 已知，且，求的取值集合． 师生共同分析 解 1 由余弦函数在闭区间上是减函数和，可知符合条件的角有且只有 一个，这个角为钝角，利用计算器并由，可得，所以． 2 因为，所以是第二或第三象限角，由余弦函数的单调性和． 可知符合条件的角有且只有两个，即第二象限角或第三象限角，于是 所求的的集合是． 下面我们来给出反余弦定义，先看投影 观察上图，根据余弦函数图像的性质，为了使符合条件的角有且只有 一个， 我们选择闭区间作为基本的范围， 在这个闭区间上， 符合条件的角， 叫做实数的反余弦，作，即，其中，且．
由学生根据反正弦的意义说明反余弦的意义 表示的意义表示一个角， 角的特点是①角的余弦值为， 因此角的大小 受的限制；②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角； ③ 由于为角的余弦值，所以的值在[-1，1]范围内． 例如 那么，例 2 的第 2 题的答案可以写成． 练习投影 1，，求； 2 已知，，求； 3 已知，，求．参考答案 1，当时，；当时，，∴或． 2∵，∴或 3，或． 最后，我们来尝试用反三角表示角，请看投影． 【例 3】1 已知，且，求用弧度表示； 2 已知，且，求的取值集合． 解 1 利用计算器并由 可得，所以或也可写成 2 由正弦函数的单调性和 可知角，角的正弦值也是，所以所求的的集合是或 注本例第 2 小题的结果实际上就是 3．演练反馈投影
1 若，，则的值为 ． ． ． ． 2 若，集合，且，则的值为___________． 3．参考答案 1．说明应为钝角，故只有． 2，说明，只有，故 3∵ ∴4．总结提炼 1 反三角函数的概念是中学数学较难理解的概念之一，它之所以难以 理解是由于三角函数在其整个定义域内并不存在反函数，只有在某一特定 区间才存在反函数因此，反三角函数的值域也就被限制在某一区间内，这 个区间常称为反三角函数的主值区间，如，分别为反正弦、反余弦主值区 间．解题出错，往往是主值区间概念不清． 2 由反正弦、反余弦定义，不难得 ， ， ， ， 3 用反三角表示中角已知函数值范围值及位置在轴正半轴或或或或或
或四．板书设计课题例 1 反正弦概念例 2 反余弦概念例 3 用反三角函数表 示角演练反馈总结提炼
。