福建省三明市永安县高二数学下学期第一次联考试卷 文(含解析)

福建省三明市永安县2016-2017学年高二数学下学期第一次联考试卷文一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．22．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣1≤0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1≤0C．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞03．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）A．没有一个内角是钝角B．有两个内角是钝角C．有三个内角是钝角 D．至少有两个内角是钝角5．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（ i=1，2，…，8），其回归直线方程是=x+a且x1+x2+…+x8=3，y1+y2+…+y8=5，则实数a是（）A．B．C．D．6．下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（）①因为对数函数y=log a x（a＞1）是增函数；②所以y=log2x是增函数；③而y=log2x是对数函数．A．①B．②C．①② D．③7．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定8．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的虚轴长为（）A ．3B ．6 C． D．9．若函数f （x ）=kx ﹣lnx在区间单调递增，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．（﹣∞，﹣1]C ．，部分对应值如表，f （x ）的导函数f′（x ）的图象如图所示．下列关于函数f （x ）的命题： ①函数f （x ）的极大值点有2个； ②函数f （x ）在上是减函数；③若x ∈时，f （x ）的最大值是2，则t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点． 其中是真命题的是 ．（填写序号）三、解答题（共6题，满分60分）解答应写演算步骤．17．某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？附：．18．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x﹣3（Ⅰ）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与直线x﹣9y+1=0垂直，求切线l的方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．已知圆C：x2+y2=r2具有如下性质：若M，N是圆C上关于原点对称的两个点，点P是圆C 上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k PM，k PN，则k PM与k PN之积是一个与点P的位置无关的定值．利用类比思想，试对椭圆写出具有类似特征的性质，并加以证明．20．已知椭圆的离心率为，短轴顶点在圆x2+y2=4上．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，3），若斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试探究以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=e x，g（x）=lnx﹣2．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对所有的x≥0，都有，求实数a的取值范围．（本小题满分10分）请考生在第（1）（2）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和曲线C的位置关系．23．已知不等式|2x﹣a|≤3的解集为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若|x﹣m|＜a，求证：|x|＜|m|+1．2016-2017学年福建省三明市永安一中高二（下）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z===i（1﹣i）=i+1，则|z|=．故选：B．2．命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣1≤0 B．∃x∈R，x2+2x﹣1≤0C．∃x∈R，x2+2x﹣1＜0 D．∃x∈R，x2+2x﹣1＞0【考点】2J：命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，x2+2x﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2+2x﹣1≤0．故选：B．3．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“p或q为假命题”p和q都是假命题，而非P是真命题表示P是一个假命题，前者可以推出后者，后者不一定能推出前者．【解答】解：“p或q为假命题”表示p和q都是假命题，而非P是真命题表示P是一个假命题，前者可以推出后者，后者不一定能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件，故选A．4．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（）A．没有一个内角是钝角B．有两个内角是钝角C．有三个内角是钝角 D．至少有两个内角是钝角【考点】2J：命题的否定．【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选D．5．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（ i=1，2，…，8），其回归直线方程是=x+a且x1+x2+…+x8=3，y1+y2+…+y8=5，则实数a是（）A．B．C．D．【考点】BH：两个变量的线性相关．【分析】由题意求得样本中心点，代入回归直线方程即可求得a的值．【解答】解：由x1+x2+x3+…+x8=3，y1+y2+…+y8=5，∴=（x1+x2+x3+…+x8）=， =（y1+y2+y3+…+y8）=，∵回归直线方程是=x+a，∴=+a，∴a=，故选A．6．下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（）①因为对数函数y=log a x（a＞1）是增函数；②所以y=log2x是增函数；③而y=log2x是对数函数．A．①B．②C．①② D．③【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】把三段话写成三段论，即可得到小前提．【解答】解：三段话写成三段论是：大前提：因为对数函数y=log a x（a＞1）是增函数，小前提：y=log2x是对数函数，结论：所以y=log2x是增函数．故选D．7．若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．由a的取值确定【考点】F9：分析法和综合法．【分析】平方作差即可比较出大小关系．【解答】解：∵P=+，Q=+（a≥0），∴P2=2a+5+2=2a+5+，Q2=2a+5+2=2a+5+2，∵a2+5a＜a2+5a+6，∴＜，∴P2＜Q2，∴P＜Q，故选：C8．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的虚轴长为（）A．3 B．6 C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标到直线的距离，得到方程，求出b 即可． 【解答】解：双曲线C：﹣=1（b ＞0）的一个焦点（，0），一条渐近线方程为：bx+2y=0， 双曲线C：﹣=1（b ＞0）的焦点到渐近线的距离为3，可得：，可得b=3，则双曲线C 的虚轴长为：6． 故选：B ．9．若函数f （x ）=kx ﹣lnx在区间单调递增，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣2]B ．（﹣∞，﹣1]C ．，部分对应值如表，f （x ）的导函数f′（x ）的图象如图所示．下列关于函数f （x ）的命题： ①函数f （x ）的极大值点有2个； ②函数f （x ）在上是减函数；③若x ∈时，f （x ）的最大值是2，则t 的最大值为4； ④当1＜a ＜2时，函数y=f （x ）﹣a 有4个零点． 其中是真命题的是 ①② ．（填写序号）【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】先由导函数的图象和原函数的关系画出原函数的大致图象，再借助与图象和导函数的图象，对四个命题，一一进行验证，对于假命题采用举反例的方法进行排除即可得到答案．【解答】解：由导函数的图象和原函数的关系得，原函数的大致图象如图：由图得：∵f（x）的极大值点有2个，故①为真命题；②为真命题．因为在上导函数为负，故原函数递减；由已知中y=f′（x）的图象，及表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，若x∈时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；④由于f（3）未知，故当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点，不正确．故答案为①②．三、解答题（共6题，满分60分）解答应写演算步骤．17．某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图（如图）．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；（Ⅱ）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？附：．【考点】BL：独立性检验．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图，求出甲、乙两班成绩优秀、不优秀的人数，填表即可；（Ⅱ）能判定，根据列联表计算K2，对照数表得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12，38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4，46，填表如下；…（Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，计算K2的观测值为；由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关．…18．已知函数f（x）=x3+3x2﹣9x﹣3（Ⅰ）若函数f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与直线x﹣9y+1=0垂直，求切线l的方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率，利用直线的垂直关系求解切线方程即可．（Ⅱ）求出导函数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6x﹣9根据题意得；∴x0=0或﹣2；∴①当x0=0时，f（x0）=﹣3；∴切线方程为y=﹣9x﹣3；②当x0=﹣2时，f（x0）=19；切线方程为y=﹣9x+1；综上切线l方程为9x+y+3=0或 9x+y﹣1=0…（Ⅱ）f'（x）=3（x+3）（x﹣1）；令f'（x）＞0，则x＞1或x＜﹣3，令f'（x）＜0，则﹣3＜x＜1∴f（x）的极大值为f（﹣3）=24，f（x）的极小值为f（1）=﹣8．…19．已知圆C：x2+y2=r2具有如下性质：若M，N是圆C上关于原点对称的两个点，点P是圆C 上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k PM，k PN，则k PM与k PN之积是一个与点P的位置无关的定值．利用类比思想，试对椭圆写出具有类似特征的性质，并加以证明．【考点】F3：类比推理．【分析】先类比得出结论，再进行证明即可．【解答】解：性质如下：若M，N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在时，记为k PM，k PN，则k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．…证明：M（m，n），N（﹣m，﹣n），P（x0，y0）．则，由点均在椭圆上，，化简得．…20．已知椭圆的离心率为，短轴顶点在圆x2+y2=4上．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）已知点P（﹣2，3），若斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试探究以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）方法一：设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=2，根据椭圆的离心率公式即可求得a的值，由此能求出椭圆G的方程．方法二：设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，由此能求出椭圆G 的方程．（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程中，3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆C的焦点在x轴上，右焦点F（c，0），由题意可得：b=2，椭圆的离心率e===，得，所以，椭圆C的方程为；…方法二：设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，故a2=b2+c2=8，所以，椭圆C的方程为；（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下：设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，，化简得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，①…因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，则△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，解得﹣2＜m＜2，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则；③于是AB的中点M（x0，y0）满足；…已知点P（﹣2，3），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，则k PM=﹣1，即，④，将M（﹣，）代入④式，得满足②…此时直线l的方程为y=m﹣3．…21．设函数f（x）=e x，g（x）=lnx﹣2．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若对所有的x≥0，都有，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）令，求出函数的导数，根据函数的单调性求出F（x）的最小值，证出结论即可；（Ⅱ）记h（x）=f（x）﹣﹣ax=e x﹣﹣ax，求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）证明：令，∴F′（x）=﹣=，由F′（x）＞0，解得：x＞e，∴F（x）在（0，e]递减，在22．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，设直线l的参数方程是（t 为参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l和曲线C的位置关系．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，将曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）圆心C到直线l的距离，即可判断直线l和曲线C的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为：ρ2=2ρsinθ，又，∴曲线C的直角坐标方程为：x2﹣y2﹣2y=0，将直线l的参数方程化为直角坐标方程得：4x+3y﹣8=0；（Ⅱ）曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1），半径r=1，则圆心C到直线l的距离，∴直线l与圆C相切．23．已知不等式|2x﹣a|≤3的解集为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若|x﹣m|＜a，求证：|x|＜|m|+1．【考点】R6：不等式的证明；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，求出解集，然后列出方程组求解即可．（Ⅱ）利用第一问的结论，转化证明不等式即可．【解答】（Ⅰ）解：由不等式|2x﹣a|≤3可化为﹣3≤2x﹣a≤3，所以，不等式|2x﹣a|≤3的解集为．∴．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得|x﹣m|＜1，|x|=|x﹣m+m|≤|x﹣m|+|m|＜|m|+1．所以：|x|＜|m|+1．。