数学：13.4《复数的乘法与乘方》教案(1)(沪教版高二下)
高二数学复数的乘法与乘方
z2
z2
例3：设z1 a bi,z2 c di (a,b,c,d R) 求证：z1 z2 z1 z2
ac
c2 bc
c2
bd
d2 ad
d2
a bi ac bd bc ad
i
c di c2 d 2 c2 d 2
由此我们可以看出两个复数的商 仍然是一个复数，其运算的结果就是 分母实数化的结果，请同学们类比实 数集中分数分母有理化的方法，给出 两复数的商的另外一种计算方法.
；
不去自鸣自喧的人，才是雅士；不为名利争吵的人，才是有道德的人；没有时间多嘴多舌、忙于空谈者，才是智人。所以，静是大雅大德大智。 有人貌似闲散无事，但内心却整日里被各种私欲所占有；有人虽很忙碌，但心思单纯，内心幽静。我们推崇和欣赏的是内心宁静淡泊的人，这才 是“静”的高品位。 ? 作文题七 有位高僧欲选一徒，便对二小童进行测试。 他指着两间同样大小的空屋子说：“看谁能在最短的时间内以最节省的办法用东西把它装满。”一小童想到的是柴火，他挑来一担又一担的柴火，累得气喘吁吁，终于把空屋填满了。而轮到另一小童，他却 一点力气都不费，只是在屋内点了一小堆火，用火的光亮装满了整个屋子。 老僧对他笑了，叹道：“世间万物，有实有虚，虚实相生，怎能只知实而不见虚呢？” 请以“实与虚”为话题写一篇不少于 800 字的作文，自定立意，自选文体，自拟文题。 [提示] 在传统文化中，常 用“虚”与“实”这对概念。“虚”与“实”是相对而言的，一般说来，有者为实，无者为虚；有据为实，假托为虚；具体为实，抽象为虚；显者为实，隐者为虚；有行为实，徒言为虚；当前为实，未来为虚；所见为实，所闻为虚；已知为实，未知为虚。正如材料中老僧所说的“虚实相生”，它们 的关系是相辅相成的。 经过上面的思维发散，对文题作了主体透视之后，便可选择一点来谈。比如谈文学作品中的“虚”和“实”，写一篇文学鉴赏的短文。曹操写大海，先写“秋风萧瑟，洪波涌起”，是实笔，再写“日月之行，若出其中，星汉灿烂，若出其里”，是虚笔，由实到虚。“满 园春色关不住，一枝红杏出墙来”，前句是虚写，而后句则为实写，是由虚到实。在《药》中，老栓买“药”是实写，夏瑜被害是虚写。虚实相映，缺一不可，虚写比实写更难，它属于想象。也可写物质与精神的关系，物质为实，精神为虚，没有物质，也就无所谓精神，不能侈谈精神而无视物质的 重要性。但现在的问题是，人们更多的是注重对物质的追求而忽略了精神的东西，这样势必造成物质充裕而精神匮乏的不良倾向，联系社会现实，不难找到这类典型事例。文中老僧所说“怎能只知实而不见虚”可谓是对世人的警示。 ? 作文题八 一行人来到异国小岛旅游，见路旁高悬着的 吊篮里艳异的花束，很是新奇和喜欢，但他们看不出是真花还是假花，如果是假花，就觉得没意思了。有两个人准备跳起来摸一摸。这时一位老者说：“这是真花。”接着他说出了理由：“它的叶子有的已经干枯，花朵边缘也有些凋谢的痕迹，真的东西都是有些瑕疵的。”大家再仔细一看，都很信 服这位老者的睿智。这些花束为他们的旅途洒上了独特的异域芳香。 请以“瑕疵和真实”为话题写一篇不少于 800 字的作文，自定立意，自选文体，自拟文题。 [提示] 材料中的老者所说的“真的东西都是有些瑕疵的”这句话颇可拿来玩味一番，咀嚼出其中丰富的含义。 真实 的东西难免有瑕疵，完美往往只存在于想象和虚拟之中。 虚假的东西往往没有瑕疵，正因为这一点才使人受骗上当。生活的复杂便在于此。 不能容忍瑕疵，刻意追求完美乃是人的心理误区，所以要学会接纳有瑕疵的自我，有瑕疵的朋友，有瑕疵的事物。 路旁吊篮里的花束因为有干 枯的叶子和凋谢的痕迹反而显示了它的生命活力。喜爱瑕疵，是因为它使人感到生命的个性和艰难，而看似完美的东西反而使人感到一种隔膜和距离。 与其掩饰瑕疵，不如真实地活着。 ? 作文题九 请以“敬畏”为话题写一篇 800 字以上的作文，自定立意，自选文体，自拟文题。 [提示] “敬畏”已不是一个陌生的词语，但用它来作文，却非要有自己的体验和感悟不可。我们从小听得较多的是一往无前、勇敢无畏这些充满英雄气概的词句，其实人还是应该有所敬畏的。 西谚说：“上帝要叫谁灭亡，先让他疯狂。”纵观古今，多少曾经辉煌的才俊豪杰，都是因为变 得心中无所敬畏而招致失败、走向没落的。 作为一个民族，如果真的做到了天不怕、地不怕，没有一点敬畏心理，则必会做出许多愚蠢之事。敬畏就是对规律的尊重，就是对自我的约束，就是对理性的崇尚，就是对自由的追求。 有所敬畏是一种很好的心态，它可以使人多一份冷静理智， 多一份从容平和，多一份谦卑审慎，多一份安详宁静。在义无反顾、勇往直前的时候须留一份敬畏。 写作此题，可评史、议事，也可诉说体验、抒写感想。 ? 作文题十 “沉默是金”是句名言，但在很多情况下沉默并不是金。如果沉默总是金，那哑巴就成了世界上最富有的人了。要 用有力的语言驳斥欺骗人、毒害人的言论，也要用有力的语言来鼓励人们前进。 “走自己的路，让别人去说吧”也是句名言，但是如果前面就是死胡同或是悬崖，还一味地拒绝人言，把提醒、建议或批评当做耳旁风，这就危险了。 这种事情在生活中还有很多。请以“名言与真理”为话题 写一篇不少于 800 字的作文，自定立意，自选文体，自拟文题。 [提示] 类似材料中的例子可谓数不胜数。任何名言，皆不能以绝对真理视之，它只有在一定的条件下方能成立。 一句话之所以成为名言被传承，被引用，肯定有其正确的一面，但却不能认为名言即为真理。因为角度不 同，就会得出不同的认知，所谓“横看成岭侧成峰”，从另一角度来看问题，就能得出与名言不同的甚至相反的结论。 随着历史的进步，尤其是在社会变革时期，原先被视为真理的名言也往往经不起实践的检验，真理是发展的，于是质疑名言也就顺理成章了。 作为学生，也许铭记一句名 言会促其成长进步，也许实践了一句名言而有了一种认识的飞跃，也许对一句名言的质疑和否定使思想有了一次升华，也许感悟到真理之后也会说出属于自己的“名言”。 作文题十一 我认识一位医生。每到冬天，他就在口袋里放一个小水焐子，使自己的手始终热乎乎的。并不是他格外地 怕冷，而是他要确保每一个到他这里看病的人遇到的都是一双温暖的手。他说，用温暖的手给病人诊断，可以让病人感到安心、信赖，可以激发病人治愈疾病的信心。 我还知道一位擦鞋童。他最喜欢听一位著名的小提琴家的琴声。当这位小提琴家来到擦鞋童所在城市演出时，这位擦鞋童想方 设法凑钱买了张最便宜的票。小提琴家知道了这件事，演出结束后，就找到这位擦鞋童，问他需要什么帮助。擦鞋童回答说：“我只想听听您的琴声。”小提琴家感动之余将心爱的小提琴赠送给了这位小知音。 30 年后，小提琴家再次来到这座城市演出，设法找到了当年的擦鞋童。在贫困的日子里， 有许多人出高价要买他的小提琴，都被他拒绝了。小提琴家再次问他需要什么帮助，他的回答依然和 30 年前一样：我只想听听您的琴声。 医生的诊费是有价的，小提琴是有价的；但医生那双手的温暖是无价的，擦鞋童对琴声的痴爱是无价的！ 请以“有价与无价”为话题写一篇文章，立 意自定，文体自选，题目自拟，不少于 800 字。 [提示］ 在我们的生活中，娱乐是有价的，但幸福是无价的；补品是有价的，但健康是无价的；礼物是有价的，但情谊是无价的；房子是有价的，但家是无价的；财富是有价的，但爱是无价的。只要我们对生活心存一份永远不变的热情，这 世间总有一些东西是无价的。 作文题十二 两支火把，奉火神之命到世界各地去考察。两支火把中有一支没有点燃，另一支是点燃的，发出很亮的光芒。过了不久，两支火把都回来了，而且都向火神提交了它们的考察报告。 第一支火把说，整个世界都陷在浓郁的黑暗中，他觉得眼前 的世界情况很坏，甚至已坏到了极点。 第二支火把的报告却恰恰相反，他说他无论到哪里，总可以找到一点光明，所以，他认为这个世界是十分有希望的。 听了这两个不同的报告，派他们出去考察的火神就对第一支火把说：“也许该好好地问一问自己，有多少黑暗是我们自己造成的？” 请以“点燃与熄灭”为话题写一篇文章，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于 800 字。 [提示］ 我们对世界的看法，说到底是我们自己的形象定位。当我们像那支没点燃的火把，吝啬自己的光明时，我们自然会觉得眼前的世界陷在浓郁的黑暗里，自然看不到希望之所在；当我们像那 支点亮的火把，燃烧着我们自己时，我们眼前自然有不灭的光明。希望就在那光明里升腾。我们始终应该牢记，这个世界是光明还是黑暗，有我们自己的一份责任。 作文题十三 “你怎么对我这么信任呢？认为我一定能尽心尽力把这么重要的一本书翻译好？”问我的是一位北大英语系的研 究生，我让她翻译公司从美国引进的一套书，是公司很重要的一个项目。 “我认真看过你的简历，我认为你的水平肯定是有的。至于责任心和敬业精神嘛，我想你肯定也会有，因为你是一个聪明人。”我回答她。“为什么说聪明人就会有责任心？”她有些不明白。 “因为你是一个很优秀 的北大英语系研究生，你会有很好的前程和未来。但要实现这种预期，你就必须负责任地做今天的每一件事。如果你粗制滥造糊弄我，也许我这个外行看不出来，但它是你的作品啊，将来你以什么样的心态面对它呢？同行看到了又会怎样评价你呢？”这个聪明的女孩会意地笑了，我相信她肯定会把 这套书翻译好。 请以“期望”为话题写一篇文章，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于 800 字。 [提示] 一个人如果对明天还抱有期望，那么最聪明的做法就是把手头的事做好，预期越高，那么对今天的要求也要越高。 作文题十四 一位原籍的中国留学生刚到澳大利亚 时，为了寻找一份能够糊口的工作，他骑着一辆旧自行车沿着环澳公路走了数日，替人放羊、割草、收庄稼、洗碗……只要给一口饭吃，他就会暂且停下疲惫的脚步。 一天，在唐人街一家餐馆打工的他，看见报纸上刊出了澳洲电讯公司的招聘启事。留学生担心自己英语不地道，专业不对口， 他就选择了线路监控员的职位去应聘。过五关斩六将，眼看他就要得到那年薪三万多的职位了，不想招聘主管却出人意料地问他：“你有车吗？你会开车吗？我们这份工作时常外出，没有车寸步难行。” 澳大利亚公民普遍拥有私家车，
高三数学下册(复数的概念及其运算)学案沪教版 学案
江苏省常州市西夏墅中学高三数学下册《复数的概念及其运算》学案沪教版一．学习目标：1．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件； 2．理解复数的代数形式的加、减、乘、除法的运算； 3．能运用运算律进行复数的四则运算． 二．知识梳理：1、复数的定义：形如),(R b a bi a z ∈+=的数叫复数，a 叫复数的 部，b 叫复数的 部。
全体复数所成的集合叫做 ，用字母C 表示。
2、对于复数),(R b a bi a z ∈+=，当且仅当 时，复数bi a z +=是实数；当 时，复数bi a z +=是虚数；当 时，复数bi z =叫做纯虚数；当且仅当 时，复数z 就是实数0.3、复数集与其他数集之间的关系：N Z Q R C4、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。
这就是说：如果R d c b a ∈,,,，那么⇔+=+di c bi a5、复数的模：设bi a OZ +=，则向量OZ 的长度叫做复数bi a +的模（或绝对值），记作bi a +。
即||bi a z +==6、复数),(R b a bi a z ∈+=与平面的点 一一对应，与向量 一一对应。
7、共轭复数：如果两个复数的实部 ，而虚部互为 ，则这两个复数互为共轭复数。
8、复数的四则运算：设di c z bi a z +=+=21,(R d c b a ∈,,,),则 ①复数的加法：=+++=+)()(21di c bi a z z ②复数的减法：=+-+=-)()(21di c bi a z z ③复数的乘法：=+⋅+=⋅)()(21di c bi a z z④复数的除法：=++=dic bia z z 21 )0(≠+di c三．基础训练：1．设复数),(R b a bi a z ∈+= ，则0a =是z 为纯虚数的___________条件． 2．若复数z 满足5)21(=+i z ，则复数z 的实部与虚部之差等于 ． 3．已知1)43(=-+i z ，则z = ．4．计算：(1)21i)i -（=______； (2) 4343_____4343i i i i -++=+-；（3）12_______34ii+=-．5.已知i 2321+-=ω，则21ωω++= ． 6．复数432i i i i z +++=的值是 _____________．7.已知x 是实数，y 是纯虚数，且满足(21)(3)x y i y i -+-=-，则x = , y =______.8.设222log (33)log (3)()z m m i m m R =--+-∈，若z 对应的点在直线210x y -+=上，则m 的值是 ． 四．例题分析：例1．（1）给出下列四个命题：①设123,,z z z C ∈，若221223()()0z z z z -+-=，则13z z =； ②两个复数不能比较大小；③若,z C ∈则z z -是纯虚数； ④设12,z z C ∈，则“12z z R +∈”是“1z 与2z 互为共轭复数”的必要不充分条件． 其中，真命题的序号为 ．（2）已知m R ∈，复数2(2)(21)1m m z m m i m +=++--，当m 为 时z R ∈；当m时z 是虚数；当m 为 时z 是纯虚数．（3）已知复数223(56)()z k k k k i k R =-+-+∈ ，且0z <，则k = ． 例2．（1）已知x 为虚数且11x x +=-，求200620061x x+的值； （2）求1995850)(1i i +--的值．例3．（1）在复数范围内解方程：26100x x -+=； （2）求512i -+的平方根．（3）已知1(3)(4)z x y y x i =++-，2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈，设12z z z =- ，且132z i =+，求12,z z五．回顾小结： 六、课堂练习1、若复数z 满足i z i 24)3(+=-，求复数z 。
高二数学下：13.4《复数的乘法与乘方》教案(1)(沪教版)
13.4〔1〕复数的乘法与乘方一、教学内容分析复数的乘法与乘方是在复数加减法之后引入的，基于以上内容及实数的四那么运算及多项式的运算，可以类比引入乘法与乘方的概念及运算律.由复数乘法定义可知复数的乘法可以按多项式的乘法进行，但必须把所得的结果中2i换成－1，并分别整理出积的实部与虚部；复数集对乘法、乘方等运算是“封闭的〞.通过三个例题的学习，巩固对乘法、乘方运算法那么运用，加深对它们的理解.二、教学目标设计掌握复数的乘法法那么，能熟练地进行乘法运算，理解复数的乘法满足的运算律；理解复数乘方的意义，理解复数的正整数幂的运算律，掌握i的乘方的运算结果.三、教学重点及难点复数的乘法、乘方法那么，相应的运算律，以及i的幂.四、教学流程设计五、教学过程设计一、情景引入1、复习和回顾复数的加、减法法那么，同时与多项式加减法法那么类比.2、类比实数乘法与乘方，提出复数是否也有乘法、乘方运算以及怎样进行运算等问题，从而引入课题.二、学习新课复数的加减法，其运算法那么与两多项式相加减的方法一致，那么两个复数的乘法运算是否也可以按照两个多项式相乘的类似方法进行呢？〔1〕复数乘法法那么：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++按多项式乘法法那么2))((bdi adi bci ac di c bi a +++=++bd adi bci ac -++=),,,(,)()(R d c b a i ad bc bd ac ∈++-=可知两复数的乘积，也可以按多项式乘法先展开，再将2i 换成1-，再按i 合并同类项即可.〔2〕例题选讲例1 计算〔1〕)24)(32(i i +-〔2〕)2)(43)(21(i i i +-++〔3〕))((bi a bi a -+布置： 第一组计算)24)(32(i i +-第二组计算)32)(24(i i -+第三组计算[])2()43)(21(i i i +-++第四组计算[])2)(43()21(i i i +-++，[说明]通过此例巩固乘法法那么，加深对法那么的理解，同时为复数运算律及其22z z z z ==的导出提供感性材料.〔3〕引导学生提出并证明复数乘法满足的运算律：交换律、结合律及分配律. 31213213213211221)()()(z z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅即〔4〕观察例1〔3〕归纳出：22z zz z ==特别地，当1=z 时1=z z〔5〕例题选讲例2 当y x ,为何实数时，复数i 43-与复数yi x +的积为i 21+？[说明]通过此例，加深对实部、虚部系数含有字母的条件下复数乘法的理解，以期多角度达成对复数乘法法那么的掌握，同时进一步深化对复数相等的概念的理解.〔6〕复数乘方①定义：把个n z z z ⋅⋅⋅⋅）（*N n ∈ 称为复数z 的几次幂，类似于实数的乘方，记为nz . 即=nz个n z z z ⋅⋅⋅⋅②类比实数正实数幂的运算法那么导出复数的正整数幂的运算法那么：mn n m n m n m z z z z z ==⋅+)(,nn n z z z z 2121)(⋅=⋅，并规定10=i〔7〕例题选讲例3 计算：4)21(i +[说明]通过此例，实践复数乘方的运算法那么，加深对复数乘方意义的理解，同时为i 的正整数幂的引入埋下伏笔.〔8〕由乘方的法那么及i 的意义，探究并得出i 的幂的结果：i i i i i i n n n n -=-===+++342414411()•∈N n〔9〕例题选讲例4 当*N n ∈时，计算nn i i )(-+所有可能的取值.[说明]通过此例，加深对i 的幂的结果认识，进一步深化对i 幂的周期性的理解. 三、巩固练习P85 练习 13.4〔1〕 1、2、3、4四、课堂小结（1） 复数的乘法及运算律 （2） 复数的乘方及运算律五、作业布置练习册：P51 13.4 A 组 1P52 13.4 A组 2六、教学设计说明复数的乘法和乘方的概念及运算律是本节课的重点。
复数的乘、除运算(教学设计)
复数的乘除运算教学设计教学目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算，培养数学运算的核心素养；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，提升数学运算的核心素养。
教学重难点1.重点：掌握复数的乘法和除法运算；2.难点：复数的除法运算教学过程（一）新知导入1.创设情境，生成问题两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？2.探索交流，解决问题【问题1】设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)类比两个多项式相乘，应如何规定两个复数相乘？[提示]z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.(实部相乘减去虚部相乘的差为实部，实部与另一复数虚部相乘的和为虚部）【问题2】复数的乘法满足交换律和结合律吗？[提示]满足．【问题3】设z＝a＋b i(a，b∈R)，则z z的共轭复数等于什么？z z是一个怎样的数？[提示]z＝a－b i，z z＝a2＋b2是一个实数．（二）复数的乘除运算1.复数的乘法运算复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式、完全平方公式等(1)复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.(2)复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3（3）例题讲解【例1】计算（3−4i）【例2】计算（1−2i）（3+4i）(−2+i)解：（3−4i）（3+4i）解：（1−2i）（3+4i）(−2+i)=3×3+3×4i −4×3i −4i×4i;=(11−2i)(−2+i);=−20+15i.=25.【变式】计算（12−5i）（12+5i）=22512+=213（三）、复数的除法运算猜想：实数的除法是乘法的逆运算，那么该如何定义复数的除法呢？试试自己猜测，复数的除法法则：(1+2i)÷(3+4i)=(1+2i)×4i +31=4i +32i 1+=4i)-4i)(3+(34i)-2i)(3+(1=22434i)-2i)(3+(1=+注：分母是虚数，怎样变成实数呢？类比“分母有理化”，分子分母同时乘以分母的共轭复数。
13.4(1)复数的乘法与共轭复数
知识回顾
1.复数加减法的运算：
z1 z2 (a c) (b d)i
2.复数加减法运算的几何意义： 复数对应向量满足平行四边形法则，三 角形法则
3.两个复数相减的模|z1-z2|的应用：
求复数模的取值范围或最值；讲解新课1.复数的乘法：
中仍适1用 5i
（2）(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
a2 b2 2abi
例2、已知z C,满足(3 i) z 10 求z
解：令z a bi (a,b R)
(3 i)(a bi) 10
3a b (a 3b)i 10
规律：当n N
(1) in 是周期为 4 的数列；
i4n (i4 )n 1
(2) i4n i4n1 i4n2 i4n3 0
i4n1 i(i4 )n i
(3) i2n i2n2 =0, i2n1 i2n1 0 即相邻的奇数项(或偶数项)的和为零.
(a bi)(c di) ac adi bci bdi2
（ac bd) (bc ad)i
说明:(1▲) 与两两个个复数多的项积式仍相然乘是类一个似复数；
(2▲) 结把果i 2要换化成简－成1，a然+b后i形实、式虚部分别合并.
(3) 对于任何z1 , z2 ,z3 ∈C,有
z z z z 40
已知复数 z 满足(z z) 2 3z zi 4 6i ，求 z
2、下列命题中正确的是
（1）如果z1
z 2是实数，则z1 ,
z
2019-2020年高二数学下 13.1《复数的概念》教案(1) 沪教版
2019-2020年高二数学下 13.1《复数的概念》教案（1）沪教版一、教材分析复数是在研究三次方程的求根公式时引进的，通过一段时间的发展和完善，经数学家的证明，终于被人们接受，并在电学、空气动力学、通讯技术等方面有着广泛的应用.复数的概念是复数的第一节课，是本章的基础.通过本节课的学习不仅可以了解复数引入的必要性、数系的发展与分类，掌握复数的相关概念，也为今后“复数的坐标表示”、“复数的向量表示”、“复数的四则运算”、“复数平方根与立方根”和“实系数一元二次方程”的学习作好必要准备.另外，复数相等的学习进一步向学生渗透了转化的思想；特别地，通过复数概念引入的学习，既可提高学生自主探索问题的能力，也增强了学生的创新意识.二、教学目标（1）掌握复数的有关概念，如虚数单位i、虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的代数形式、两复数相等的概念.（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；（3）通过复数相等的学习，培养学生化虚为实的转化思想；（４）通过虚数的引入，形成科学的探索精神和创新能力．三、教学重点及难点重点：复数的概念、复数相等的充要条件及其应用.难点：虚数单位i的引入，对虚数不能比较大小的认识与理解.四、教学用具多媒体、实物投影仪五、教学流程六、教学过程 一、情景引入1.展示两张图片：磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼.同学们，你们能想象到吗？这优美的磁悬浮列车的流线型车头和飞机的机翼，是根据空气动力学原理，并借助于复数来分析完成设计的.那么什么叫复数呢？复数又是如何引入的呢？这就是我们本节课将研究的问题.问题1：请问无理数是如何引入的？一方面，在有理数范围内2没有平方根，另一方面，单位正方形的对角线无法用有理数表示，为解决这个问题从而引入了无理数.设计意图：通过类比引出问题2.问题2：已知三次方程x 3+px+q=0的求根公式是：33233227422742pq q p q q x +--+++-=.易知三次方程x 3－7x+6=0有1、2、-3三个实数根，但是用上述求根公式则涉及负数开平方根的运算.那么在实数范围内，负数有平方根吗？若要使负数也有平方根，关键是只要约定哪个负数有平方根呢？设计意图：通过这一认知冲突激发学生的探索兴趣，并得出只要约定-1的平方根，其它负数的平方根便可迎刃而解.由此引入新课.二、学习新课1．规定：（1）,其中i 是一个新数．，叫做虚数单位；（2），i 能与实数进行四则运算，如，等.问题3：-1的平方根是什么？-4的平方根呢？-5的平方根呢？-a （a>0）的平方根呢？ ，，，.设计意图：强化复数引入的必要性，提高学生求平方根的能力，为“实系数一元二次方程”的学习奠定基础.问题4：象上述几个数都是含有虚数单位的数，你还能举出一些含有虚数单位的数吗？ 如：，，等.问题5：实数能表示出含有虚数单位的数吗？请举例说明. 能，如：，等.问题6：上述各数能否统一用一种含有虚数单位的代数式表示吗？设计意图：通过问题3～６引导学生自主归纳出复数的代数形式，培养自主探究意识与能力.2．复数的概念一般地，形如的数叫做复数，常用一个小写字母z 表示，即，其中叫做复数的代数形式，实数．．分别叫做复数z 的实部与虚部，分别记作Rez 和Imz.复数的全体组成的集合叫做复数集，一般用大写字母C 表示.在上述复数中，如，，，，，，这样的数称之为虚数，如，，，的数称为纯虚数. 问题7： 复数为虚数、纯虚数和实数的充要条件分别是什么？ 复数为虚数的充要条件是； 复数为纯虚数的充要条件是； 复数为实数的充要条件是. 3．复数的分类⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎩⎨⎧=∈+时为纯虚数）（虚数无理数有理数实数复数0)0()0(),(a b b R b a bi a 4.例题选讲例1 指出下列数哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？哪些是复数？它们的实部和虚部分别是什么？巩固练习：练习13.1（1）第2题例2 m 是什么实数时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别（1）是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数，（４）0.巩固练习：练习13.1（1）第3、4题 5.复数相等问题8：类比实数相等，可得：如果两个复数和的实部与虚部分别相等，即，那么这两个复数相等，记作. 例3 已知，其中，求x,y 的值. 巩固练习：练习13.1（2）第3、4题小结：本题体现了化虚为实的转化思想，也是处理复数问题的基本思想与方法. 问题9：两个复数能比较大小吗？组织学生讨论得出：只有当两个复数都是实数时，才能比较大小；当两个复数不都是实数时，只有相等与不相等两种关系，不能比较大小.例 4 若复数i m m m m )2410(1222+-+--大于0，则方程的解的个数是 .设计意图：加深学生对复数大小的理解和应用，并适当地培养学生的综合运用能力（供学有余力的学生选做）.三、巩固练习练习13.1（1）第1题、（2）第1、2题 四、课堂小结1.本节课学习了复数的哪些概念？2.复数的虚部是b 吗？3.两个复数的关系如何？４.复数相等渗透了什么数学思想？eiR a ai i i i i ),(3,32,0,5sin 5cos ,42,2∈---+-π五、作业布置习题13.1A组第3、4、5和B组第2、3、４题.七、教学设计说明高中数学课程标准对本节课的教学要求达到“理解”的层次，即对有关概念有理性的认识，能用自己的语言进行叙述和解释，并了解它们的应用及与其他知识的联系.本节课复数的概念较多，且比较抽象，因此，教学中我作了分散处理，并用问题驱动课堂教学，引导学生自主探索、归纳、总结出相关概念，实行权力下放，充分发挥主体作用，进而提高学生提出的能力，增强学生的创新意识.具体地说，就是通过对数的发展历史的回顾，在引进了新数i后，完成了数的概念的扩展.坚持用启发式教学，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，掌握数学基本知识和基本能力，培养积极探索和团结协助的科学精神.同时，在学习运用复数相等过程中，把复数问题转化为实数问题，从而对转化思想有了进一步理性的思考.2019-2020年高二数学下 13.2《复数的坐标表示》教案（1）沪教版一、教学目标设计掌握复平面的概念、复数集与复平面上的点的集合之间的一一对应关系，进一步运用类比思想.二、教学重点及难点复平面上的点集和复数集之间的一一对应关系.复数与复平面的向量的一一对应关系的理解三、教学用具准备多媒体设备四、教学流程设计五、教学过程设计一、复习引入1.复习直角坐标系及一对有序的实数（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）间的一一对应关系.2.讨论复数z＝a+bi与有序数对（a，b）的关系及直角坐标平面内的点z（a，b）之间的关系，从而引入复平面及其相关概念.[说明]通过复习直角坐标系类比学习复平面，学生可以类比学习知识，这是数学中很常用的思想方法.而且通过类比思想得到的知识，即便是新知，但也可以和以前的知识联系起来.这里可以设计这样的问题“已知有序实数对（a，b）与直角坐标平面内的点z（a，b）一一对应，那么复数z＝a+bi与有序数对（a，b）是否也是一一对应呢？”学生很容易理解复数z＝a+bi 和平面上的点一一对应，从而引入复平面及相关概念，这样平面和数的理解就变成简单的回忆.二．学习新课1.建立复平面，并规定实轴，虚轴，讨论实数，虚数，纯虚数与复平面上的点的对应关系，特别要指出虚轴上原点所表示的数不是纯虚数，而是实数零.2.概念辨析：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.在复平面内，对应于虚数的点都在虚轴上.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数. 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.[说明]最后一个命题是错误的，其他命题都是正确的，用以考察学生对前面复平面概念的理解. 3.例题分析例1． 已知集合A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，设复数z ＝a+bi ，a ，b 可以取集合A中的任意一个整数，问1）复数z ＝a+bi 共有多少个？ 2）复数z ＝a+bi 中有多少个实数？ 3）复数z ＝a+bi 中有多少个纯虚数？ 课堂小练习：课本p77 T1，2在复平面内，若i i m i m z 6)4()1(2-+-+=所对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 答案：(3,4) 4.复数的向量表示研究复数z ＝a+bi ，复平面上对应点Z （a ，b ），向量三者之间的关系，这里主要研究向量和前两者的关系.在复平面内以原点为起点，点Z （a ，b ）为终点的向量，由点Z （a ，b ）唯一确定．因此复平面内的点集与复数集C 之间存在一一对应关系，而复平面内的点集与以原点为起点的向量一一对应，常把复数z=a+bi 用点Z （a ，b ）或向量表示，并规定相等向量表示同一复数． 5.例题分析例2. 在复平面上作出表示下列复数的向量 z 1＝2+2i ，z 2＝-3-2i ，z 3＝2i ，z 4＝-4，z 5＝2-2i 三、巩固练习 课本p77 T3 四、课堂小结1. 复平面的基本概念.2. 复数向量的表示. 五、作业布置：课本p77 T4 练习册 p47 T4 p48 T2 补充作业：已知：复数i m m m m m m m z 62232222-+++---=在复平面上对应的点在第二象限，求实数m 的取值范围. 答案：（-0.5，0） 六、教学设计说明这节课主要是把复数从数到形的一个形态转换，由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．因此在例题和练习的选择上以基本概念练习为主，加强概念的理解.同时在练习上也以及时练习为主，在每个例题后面都配了相关的练习，为的也是能够及时巩固知识.。
沪教版高中数学高二下册第十三章13.4 复数的乘法和除法-一类复数问题的探索(简案)
猜想、回想一类复数问题的探索(简案)教学目的：1． 以复数为载体，让学生感受分析巧合、提出猜想、优化论证、回顾反思、联系应用的过程；2． 培养学生严密思考、言必有据、实事求是、不轻率盲从的科学态度；3． 在探索问题的教程中体会类比联想、数形结合、等价转化等数学思想方法；4． 使学生在自主归纳、总结数学知识的时候多一点提出一般性问题意识．教学重点：发现并提出问题．教学难点：相关知识和方法的综合．教学过程：一、几个运算 计算：212i i +-；25104i i +-；6312i i-+ 二、由结果都是纯虚数，类比联想，猜得命题 已知：1112221122,,(,,,)z x y i z x y i x y x y R =+=+∈，且 ；则12z z 为纯虚数． 三、证明并优化猜得命题已知：非零．．1112221122,,(,,,)z x y i z x y i x y x y R =+=+∈，则12zz 为纯虚数的充要条件是12120x x y y +=． 四、回顾条件，数形结合，几何解释命题“12120x x y y +=”能联想起什么？向量垂直．重说结论：两个非零复数的商为纯虚数的充要条件是这两个复数对应向量垂直．五、联系练习，理解习题《数学练习》第56页第8题：已知复数z 满足1z =，且z i ≠±，求证：z i z i +-是纯虚数． 提出新习题：已知复数z 满足1z =，且1z ≠±，求证：11z z +-是纯虚数． 六、进一步一般化提出新命题，并严格证明：已知复数,z ω满足z ω=，且z ω≠±，求证：z z ωω+-是纯虚数． 七、回顾反思，转化应用菱形 备用习题：已知复数z 满足1z i -=，且0,2z z i ≠≠，又复数w 使得22w z i w i z-⋅-为实数．问复数w 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由．(以(0,1)为圆心、1为半径的圆，除去点(0,2)) 八、小结：康托尔说过：在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要．问题是数学的心脏，类比联想是提出新问题和做出新发现的一个重要源泉．特殊与一般的类比联想是高中生提出新问题的重要方法．课后作业：。
复数的乘法
课题：复数的乘法（教学设计）教学目标知识与技能目标1． 理解并掌握复数乘法的运算法则，能够熟练地进行乘法运算。
2． 理解并掌握“两个共轭复数的乘积等于这个复数模的平方”这一重要结论。
3． 理解并掌握虚数单位i 的方幂运算，理解其周期性。
4． 理解并掌握()1ni ±的计算方法。
过程与方法目标1. 遵循从简单到复杂的认识问题的规律，逐步发展学生的运算能力。
2. 联系多项式乘法的法则及实数范围内乘法的运算率、公式，类比的学习复数的乘法，体会类比这种思维方式在数学学习中的作用。
3. 灵活运用“两个共轭复数的乘积等于这个复数模的平方”这一重要结论解决问题，养成从多角度、多方面认识一个新事物的良好认知习惯。
情感与态度目标通过自主探究式预习，培养学生主动思考的习惯；通过学生与学生之间的讨论交流，培养学生团结合作的意识；通过练习，提高学生数学运算的准确性；通过学习新理念，体会数学的文化价值，提高学生的数学素养。
教学重点、难点依据对学情的分析，设定的教学目标，以及高考的考试要求，明确本节课的重点、难点如下： 重点是复数的乘法的运算法则以及有关运算率，ni 的运算，乘法运算是核心内容；难点是复数中有关()()221,1i i +-的正整数指数幂的运算。
评价设计本节课以计算题为主，在学生活动中，采用学生之间相互评价与老师评价相结合的方式，调动学生主动、积极地思考，提高运算能力。
教学方法以自主探究式的学习为主，鼓励学生大胆发现问题，鼓励学生之间的交流合作，制作多媒体课件辅助教学。
教学过程本节课将从引、探、导、学、练、延等几个方面，以问题为载体，以学生活动为主线，设计本节课的教学过程。
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13.4（1）复数的乘法与乘方
上海市第六十中学梅晓明一、教学内容分析
复数的乘法与乘方是在复数加减法之后引入的，基于以上内容及实数的四则运算及多项式的运算，可以类比引入乘法与乘方的概念及运算律.由复数乘法定义可知复数的乘法可以按多项式的乘法进行，但必须把所得的结果中2i换成－1，并分别整理出积的实部与虚部；复数集对乘法、乘方等运算是“封闭的”.通过三个例题的学习，巩固对乘法、乘方运算法则运用，加深对它们的理解.
二、教学目标设计
掌握复数的乘法法则，能熟练地进行乘法运算，理解复数的乘法满足的运算律；理解复数乘方的意义，理解复数的正整数幂的运算律，掌握i的乘方的运算结果.
三、教学重点及难点
复数的乘法、乘方法则，相应的运算律，以及i的幂.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、情景引入
1、复习和回顾复数的加、减法法则，同时与多项式加减法法则类比.
2、类比实数乘法与乘方，提出复数是否也有乘法、乘方运算以及怎样进行运算等问题，从而引入课题.
二、学习新课
复数的加减法，其运算法则与两多项式相加减的方法一致，那么两个复数的乘法运算是否也可以按照两个多项式相乘的类似方法进行呢？
（1）复数乘法法则：i ad bc bd ac di c bi a )()())((++-=++
按多项式乘法法则2
))((bdi adi bci ac di c bi a +++=++
bd adi bci ac -++=
),,,(,)()(R d c b a i ad bc bd ac ∈++-=
可知两复数的乘积，也可以按多项式乘法先展开，再将2
i 换成1-，再按i 合并同类项即可.
（2）例题选讲
例1 计算
（1）)24)(32(i i +-
（2）)2)(43)(21(i i i +-++
（3）))((bi a bi a -+
布置： 第一组计算)24)(32(i i +-
第二组计算)32)(24(i i -+
第三组计算[])2()43)(21(i i i +-++
第四组计算[])2)(43()21(i i i +-++，
[说明]通过此例巩固乘法法则，加深对法则的理解，同时为复数运算律及其
2
2
z z z z ==的导出提供感性材料.
（3）引导学生提出并证明复数乘法满足的运算律：交换律、结合律及分配律. 3
1213213213211
221)()
()(z z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅+⋅=+⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅即
（4）观察例1（3）归纳出：2
2
z z
z z ==
特别地，当1=z 时1=z z
（5）例题选讲
例2 当y x ,为何实数时，复数i 43-与复数yi x +的积为i 21+？
[说明]通过此例，加深对实部、虚部系数含有字母的条件下复数乘法的理解，以期多角度达成对复数乘法法则的掌握，同时进一步深化对复数相等的概念的理解.
（6）复数乘方
①定义：把4
3421个
n z z z ⋅⋅⋅⋅ ）（*N n ∈ 称为复数z 的几次幂，类似于实数的乘方，记为n
z . 即=n
z 4
3421个
n z z z ⋅⋅⋅⋅
②类比实数正实数幂的运算法则导出复数的正整数幂的运算法则：
mn n m n m n m z z z z z ==⋅+)(,
n
n n z z z z 2121)(⋅=⋅，并规定10=i
（7）例题选讲
例3 计算：4
)21(i +
[说明]通过此例，实践复数乘方的运算法则，加深对复数乘方意义的理解，同时为i 的正整数幂的引入埋下伏笔.
（8）由乘方的法则及i 的意义，探究并得出i 的幂的结果：
i i i i i i n n n n -=-===+++342414411 ()
•∈N n
（9）例题选讲
例4 当*
N n ∈时，计算n
n i i )(-+所有可能的取值.
[说明]通过此例，加深对i 的幂的结果认识，进一步深化对i 幂的周期性的理解. 三、巩固练习
P85 练习 13.4（1） 1、2、3、4
四、课堂小结
（1） 复数的乘法及运算律 （2） 复数的乘方及运算律
五、作业布置
练习册：P51 13.4 A 组 1
P52 13.4 A组 2
六、教学设计说明
复数的乘法和乘方的概念及运算律是本节课的重点。
通过对复数乘法法则与多项式乘法法则的类比，加强对复数乘法的掌握.类比实数的乘方引入复数的乘方概念及运算律。
通过例题选讲做到既巩固法则，又为知识的深化作好铺垫.。