沪教版(上海)高二数学第二学期-12.2 圆的方程-教案

圆的方程
【教学目标】
在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

进一步提高用解析法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想和待定系数法的理解；增强用数学的意识。

【教学重难点】
圆的标准方程的推导；圆的一般方程及其代数特征。

【教学过程】
（一）圆的标准方程
问题1：已知一定圆C 的半径为r ，求此圆的方程。

分析：设M 是圆上任意一点，根据圆的定义，可知点M 到圆心C 的距离等于r ，所以圆C 就是集合P={M||MC|=r}
如左图，以圆心C 原点建立平面直角坐标系，
设圆上任意一点),(y x M ， 因为r MC =，所以
r y x =+22 整理得： 222r y x =+ （1）
这里边我们要注意点M 的坐标与方程（1）的关系：
由方程（1）的推导过程可知，若点M 在圆上，则M 的坐标满足方程（1）；
反之，若点M 的坐标是方程（1）的解，即222r y x =+，则有
r y x =+22，即r MC =，可知点M 在圆上。

综上可知，圆C 的方程是222r y x =+。

说明：求圆的方程应需考察以下两个方面：首先应建立一个合适的平面直角坐标系（若没有给出直角坐标系）；其次，所得方程是否为轨迹（圆）方程，可由曲线方程的定义验证。

问题2：若设一定圆C 的圆心在),(b a 半径为r ，求此圆的方程。

设圆上任意一点),(y x M ，因为r MC =，
所以r b y a x =-+-22)()(， 整理后得：222)()(r b y a x =-+-。

同问题1，可以验证方程222)()(r b y a x =-+-是圆心在),(b a 半径为r 的圆的方程。

可以看到只要知道了圆心坐标和半径，就可以得出其相应的圆方程。

我们称方程
222)()(r b y a x =-+- 是圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程。

说明：这种对应关系把圆和方程联系起来，我们把圆的定义从文字语言转化为数学语言，把圆的几何性质代数化，从而体现了解析几何的特点。

例1．根据圆的方程写出圆心和半径
（1）
5)3()2(22=-+-y x ； （2）222)(a y a x =++，0≠a ；
（3）
04222=-++y y x x 。

说明：本题要求学生熟练掌握配方法来求圆的几何量：圆心及半径。

例2．写出下列各圆的方程：
（1）圆心在)4,3(C ，半径为5；
（2）经过点)1,5(P ，圆心)3,8(-C 。

（3）直径的两个端点为A （3，-2）和B （-1，6）。

（4）求以C （-1，2）为圆心，并且和直线2x-3y-5=0相切的圆的方程。

说明：本例体现了求圆方程的方法之一：找出圆心和半径。

例3．过点)32,2(且与圆
422=+y x 相切的圆的方程。

说明利用圆相切的几何性质来解决该问题。

（二）圆的一般方程
1．问题1：将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-展开后都可化到：
022=++++F Ey Dx y x 这一形式。

反之对于任意的R F E D ∈、、，方程022=++++F Ey Dx y x （*）是否就一定可以表示
为圆的方程呢？
将方程（*）配方：44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++
（1）当0422>-+F E D 时，方程（*）表示的轨迹为圆心)2,2(E D --，半径
F E D r 422-+=的圆；
（2）当0422=-+F E D 时，方程（*）表示一个点)2,2(E D --；
（3）当0422<-+F E D 时，方程（*）无解，无轨迹图形。

由此可知，当且仅当0422>-+F E D 时，方程
022=++++F Ey Dx y x 是圆的方程。

我们把方程022=++++F Ey Dx y x （
0422>-+F E D ）称为圆的一般方程。

2．例4．根据下列条件，求圆的方程：
（1）经过三点（2，2）、（1，0）、（3，0）；
（2）过原点)0,0(O 和点()1,3-A ，且在y 轴上截得的弦长为2；
（3）过点A （5，2）和B （3，2），且圆心在直线032=--y x 上。

说明：本题既可以通过几何的方法求出圆心、半径后写出圆的标准方程；也可通过设出圆的一般方程后，用待定系数法来求出圆的方程。

可让学生在解题中体会下两种方程的各自特点。

小结：圆一般方程的代数特点：
A ．2x 、2
y 项的系数相同、没有xy 项 ； B ．F E D 、、是3个参量，因此只需3个独立的条件就可以列出一个三元一次方程组，解出未知数F E D 、、，得到圆的一般方程，这与圆的标准方程中的3个参量r b a 、、意义上不同，但在代数方程中本质上完全相同。

3．例5．过圆O ：1622=+y x 外一点M （2，-6）作直线交圆O 于A 、B 两点，求弦AB
的中点C 的轨迹。

说明：例5要求学生进一步熟练掌握用圆的几何性质解决直线与圆相交位置关系下的各类问题。

（三）课堂小结
1．圆的标准方程及圆方程下的圆心半径的求法；
2．圆的一般方程的代数特征；
3．在求圆方程的问题中，两类方程形式各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然。

（2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程理论的运用。

【作业布置】
书上习题
【教学反思】
（1）圆是最基本的曲线。

教材将其安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备。

学生在运用方程来描绘出圆的轨迹的过程中，使学生建立起方程和轨迹的一种对应，这对以后圆锥曲线的学习非常重要。

同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法。

因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法。

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结。

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和以前所学过的解析几何的基本知识，因此在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识。