沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 教案
《两条直线的位置关系》教学设计
《两条直线的位置关系》教学设计教学目标：1.知识目标：学生理解两条直线的位置关系，包括平行、相交和垂直。
2.能力目标：学生能够根据给定的两条直线，判断它们的位置关系，并能够正确画出这些直线。
3.情感目标：培养学生对几何概念的兴趣，提高其观察能力和逻辑推理能力。
教学重点和难点：重点：介绍和讲解直线的位置关系，包括平行、相交和垂直。
难点：辅助学生学会如何判断两条直线的位置关系，并正确表达这些关系。
教学准备：教具准备：黑板、粉笔、白板、彩色笔、直尺、圆规等。
教学材料：包括展示两条直线的图片和实例，以及相关的练习题和作业。
教学过程：一、导入教师可利用幻灯片或实物展示图片，让学生观察并思考两条直线的位置关系，引发学生对今天课程主题的兴趣和好奇。
二、讲授1.平行直线-介绍：如果两条直线上的任意一点都不能同时在另一条直线上，这两条直线就是平行的。
-展示：在白板或黑板上画出两条平行直线，并使用彩色笔标记出它们的特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些平行直线。
2.相交直线-介绍：如果两条直线上的一点都在另一条直线上，这两条直线就是相交的。
-展示：在白板或黑板上画出两条相交直线，并标记出它们的相交点和特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些相交直线。
3.垂直直线-介绍：如果两条直线相交时，它们的交角为90度，则这两条直线是垂直的。
-展示：在白板或黑板上画出两条垂直直线，并标记出它们的交角和特点。
-示范：给出一些实例，让学生判断和画出这些垂直直线。
三、练习教师出示一些练习题，让学生根据所学知识判断和画出给定直线的位置关系，以巩固和加深学生对这些概念的理解。
四、拓展教师可以出示一些拓展题目，让学生运用所学知识解决更复杂的问题，激发其思维和探索能力。
五、总结通过让学生总结本节课所学知识，巩固他们的学习成果，确保他们能够正确理解和运用直线的位置关系概念。
六、作业布置相关作业，让学生在家里进一步练习和巩固所学知识，加深对直线位置关系的理解和掌握。
沪教版(上海)数学高二下册-11.3两条直线的位置关系
l2 l1
21
O
21
x
2 1 (1)
1 2
1 2
(2)
2 1
说明: 若两条直线中有一条直线的斜率不存在, 如图示,那么l1 与l2的夹角可直接求得. 例：直线 l1：x 2 l2：x 3 y 4 0, 则 l1 与l2 的 夹角是 _________ . y
l1到 l2的角— 把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角
1
l1
2
l2
l2到l1的角
注意 : 在概念中l1, l2是有顺序的. l1到l2的角0,
（2） 两直线夹角 l1与 l2夹角— 两直线相交时其中所成的锐角（或直角） 规定： 如果两条直线平行或重合时，它们的夹角为0
l1与l2的夹角
则 l1与l2 的法向量分别为 n1 k1 , 1 n2 k2 , 1
cos n1 n2
k1k2 1
n1 n2
k12 1 k22 1
tan k1 k2
1 k1k2
tan k2 k1
y l2
1 k1 k2
l1
l1
l2
21
O
12
x
y
l2
l1
tan k1 k2
d d d d 存在点到直线的最短距离
12
12
cos cos 设两条直线l1与l2的方程分别为：
d1 n1
d d d d 存在点到直线的最短距离
结论：直线l1与 l2的交点个数与方程组（*1）解的个2数相同，即直1线l1与
即直线l1与 l2相交于一点，其交点坐标是
l22的交点情况等价于方程d组2（*）解的情况n. 2
解：设直线l : 4x 3 y c 0
高中数学沪教版高二下册：11.3《两条直线的位置关系》课件
x
1. 在解等腰三角形的有关问题时，常用到两直线 的夹角公式。
2. 利用夹角公式时要注意根据图像选择符合要求 的直线。
1. 必做题：练习册11.3A组/5,6,12, B组/4 2. 思考题：在利用夹角公式解等腰三角形的相
关问题时，如何判断解的个数？ 3. 选做题：设平行四边形ABCD的三顶点A、B、
C的坐标分别为(5，12)，(0，0)，(3，4)直 线l与直线BA、BC分别交于E、F，△BEF是 以EF为底边的等腰三角形，如果直线l平分
平行四边形ABCD的面积，试求直线l的方程。
2| 2
|ab| 2 a2 b2 l2
y
l3
2a2 5ab 2b2 0 a 2b或2a b.
l1
2
当2a=b时，l3与l1平行， 故舍去。
2
1
O
x
直线l3方程为2xy+4=0.
2. 如图，正方形ABCD的对角线AC在直线 x+2y1=0上，且顶点A(5,3)，B(m,0)(m>5)， 求顶点B，C，D的坐标。 解：设AB直线方程为a(x+5)+b(y3)=0,
•C(5,5)
A arccos 16 17 . 85
A(•2,1)
O
B(•6,2)
x
例2 已知等腰直角三角形的直角顶点是C(4,1)， 斜边所在直线方程是3xy=0，求两直角边所 在直线方程。
分析：两腰所在直线与斜边所在直线夹角为450。
解：设两腰所在直线方程为a(x4)+b(y+1)=0. ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴腰所在直线与底边所在直线夹角为450.
1. 等腰三角形的一腰所在直线l1方程为x2y1=0，底 边所在直线方程是l2:x+y1=0，点(2,0)在另一腰上， 求这条腰所在直线l3的方程。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系 课件 (共14张PPT)
(1) 平行 垂直
(2) 平行 垂直
首 页
(3) 平行 垂直 不平行也不垂直
上
页 第2题：求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
下 (1)平行于直线2x+y－5=0；
页 (2)垂直于直线x－y－2=0；
小 结
答案：（1）2x+y－7=0
结
（2）x+y－5=0
束
四、本节小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
11.3 两条直线的位置关系
首 页
上 页
下 页
小 结
结 束
一、引入 平面内两直线的位置关系如何？
平行
相交
重合
动
画
首
y l1 l2
l2 y
l1
y l1 l2
页
o
o
o
上
x
x
x
页
下 页
小
两直线平行的充要条件是什么？
结
结 束
垂直呢？
二、新课教授
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：
2.两条直线垂直的情形
若l1 l2的斜率存在且分别是k1，k2， 则l1的方向向量 a =(1,k1)
l2的方向向量是 b =(1,k2)
X1x2+y1y2=0
∴l1⊥l2
a ·b =0
首
1×1＋k1k2=0
页
上
k1k2=－1
页
下 页
故如果两条直线的斜率为k1k2，那么，这两条直线垂直
小 结
的充要条件是k1k2=－1
下 页
可设所求直线方程为2x+3y+m=0
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 教案
11.3（2）两条直线的夹角教学目标理解直线夹角公式的推导过程，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法.通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导过程，会求两条直线的夹角教学过程一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；（3）0524:1=+-y x l ， 032:2=--y x l ．问题1：（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？二、学习新课1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π.问题2：现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？2、夹角公式的推导引导学生画图分析，寻找夹角、方向向量之间的关系.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d +⋅++=⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）023:1=++y x l ， 032:2=--y x l ；（2）015:1=-x l ， 032:2=--y x l ；课堂练习：求下列各组直线的夹角θ（1）1:31l y x =-，2:340l y x +-=（2）1:10l y x -+=，2:4l y =（3）2:10l x y ++=，2:2l x =例2：已知直线0942=++y x 和直线08=++ay x 的夹角是14π ，求实数a 的值.例3：已知直线l 过点)3,2(-P ，且与直线023:0=+-y x l 的夹角为3π，求直线l 的方程.课堂练习：已知直线l 经过原点，且与直线1y =+的夹角为6π，求直线l 的方程。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
谢谢大家！
4 、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了 不在生活面前屈服。--奥斯特洛夫斯基 14 、人不能有丝毫的自满心理。因为学无止境，活到老学到老，浅尝辄止或半途而废，就学不到高深的技艺。 1 、成功就是凭着勇气和努力，不断地超越自己，做最好的自己。 9 、眼泪不是我们的答案，拼搏才是我们的选择。 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 13 、不断进取，勇于面对一切困难，努力克服它，战胜它，这是生存的法则。相反，逃避是懦夫的作为，最终只能带来更多的危机。 7 、一个获得成功的人，从他的同胞那里所取得的，总是无可比拟地超过他对他们所做的贡献。 7 、居善地，心善渊，与善仁，言善信，政善治，事善能，动善时。夫唯不争，故无尤。 7 、有时不合逻辑的举动却恰恰有助于应付变化多端的事态，而正常的逻辑有时却只能将自己带进一个死胡同。这就需要我们有逆反思维。 14 、男人最大的武器是眼神，女人最大的武器是眼泪。 2 、所谓的成功并不需要你比所有的人都强，你只需要强过自己的对手或同行，就足够能显示你的价值。 17 、您得相信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走 下去，才必须勉为其难地去达到它。
19 、做任何事都要经受得挫折，要有恒心和毅力，满怀信心坚持到底。 7 、顶天立地的铮铮男儿，有着坚韧不拔的气质，忠诚和保卫国家，忠于和保护人民，吃苦在前，享乐在后，把祖国和人民的利益放在第一位 ;无条件的服从命令，听从指挥，跟着党走，一心一意;始终保持自信的战斗力，坚决果断，有第一就争，有红旗就要抗在自己的肩上;无怨无悔 ，自强不息，为国分忧，为民尽力，“一日为兵，终日为兵”。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-直线中的对称问题 教案
点 P (−2,2) ，则易求得 P 关于直线 l2： 2 x − y + 1 = 0 的对称点 P (2,0) ，将 P 的坐标代
简单点评 小结，直接 请学生回 答出所求 直线方程
二、 轴对称（轴（直线）是对称点连线段的中垂线） 1、 点线对称
例 3 求点 P (−2,2) 关于直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 对称的点的坐标。
给予充 足时间， 让学生 能够消 化并内 化
解：设 P (−2,2) 关于直线 l 的对称点为 P(a, b)
根据题意得 PP ⊥ l ，且 PP 的中点 ( a − 2 , b + 2) 在直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 上 22
2/5
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
此方法 学生容 易想到， 重点指 出垂直、 平分两 个信息
解：设 P 关于直线 l 的对称点为 P 根据题意得 PP ⊥ l ，则 PP 所在直线方程是 x + 2y + c = 0 ，又点 P (−2,2) 在直线上， 所以 c = −2 ，即 PP 所在直线方程是 x + 2y − 2 = 0 ，与已知直线 l ： 2 x − y + 1 = 0 的 交点坐标是 (0,1) ，由中点公式可得 P 的坐标是 (2,0) ，即所求对称点坐标是 (2,0)
明天我们就运用对称的性质来解决相关的距离最值等问题；还有就是今后我们还要学到“轨 迹”，也可以用求轨迹的方法来解决其中的点线对称求点坐标，线线对称求直线的问题。再 有就是点点对称、点线对称是最基本的对称，以后学习曲线关于点对称或者曲线关于直线对 称，都可以转化为点点对称和点线对称，因为任何曲线都是由点构成的。
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
小结
本节课学习了哪些内容？
5、仰望天空时，什么都比你高，你会自卑；俯视大地时，什么都比你低，你会自负；只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，才能在苍穹泛 土之间找到你真正的位置。无须自卑，不要自负，坚持自信。
7、有志者自有千方百计，无志者只感千难万难。 3、开启中考成功之门，钥匙有三。其一：勤奋的精神；其二：科学的方法；其三：良好的心态。 6、信心来自于实力，实力来自于勤奋。 4. 即使赚得了全世界，却失去了自己，又有什么意义呢？ 6、莫愁前路无知己，天下谁人不识君。 5.未曾失败的人恐怕也未曾成功过— 3、雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星。 19.烈火试真金，逆境试强者。 10、愈是自己有罪的人愈不肯宽恕别人，这是个规律。---博马舍 13.人不能创造时机，但是它可以抓住那些已经出现的时机。 1、不安于小成，然后足以成大器；不诱于小利，然后可以立远功。——方孝孺 15、如果你想得到，你就会得到，你所需要付出的只是行动。 15.一个人幸运的前提，其实是他有能力改变自己。 3. 生活比电影狠多了，从来不给弱者安排大逆转的情节。 28.没有目的，就做不成任何事情;目的渺小，就做不成任何大事 11.乐观的人在每个危机里看到机会，悲观的人在每个机会里看见危机。 13、春天不播种，夏天就不生长，秋天就不能收割，冬天就不能品尝。 4.因害怕失败而不敢放手一搏，永两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
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课题 两条直线的位置关系
1.掌握两条直线平行与垂直的条件 教学目 2. 根据直线方程判定两条直线的位置关系
标 3. 掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式
教学重 两条直线平行与垂直的判定 点
教学难 点
教学方 法
教具准 备
点到直线的距离公式 讲练结合 教材
教学过 程
【基础练习】
1.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为-8 2.过点（－1，3）且垂直于直线 x－2y+3=0 的直线方程为 2x+y－ 1=0
3.若三条直线 2x 3y 8 0, x y 1 0和 x ky k 1 0 相交于 2
一点，则 k 的值等于 1 2
4.已知点 P1 (1，1)、P 2 (5，4)到直线 l 的距离都等于 2．直 线 l 的方程
为 3x-4y+11=0 或 3x-4y-9=0 或 7x+24y-81=0 或 x3=0.
5.已知 A（7，8），B（10,4）,C（2,-4）,求ABC 的面积.
简解：答案为 28 3
【范例导析】
【例 1】已知两条直线 l1 :x+m2y+6=0, l2 :(m-2)x+3my+2m=0，当 m 为何值时, l1 与 l2
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？ 分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当ｍ＝0 时， l1 ：x＋６＝０， l2 ：x＝０，∴ l1 ∥ l2 ，
当ｍ＝2 时， l1 ：x＋４y＋６＝０， l2 ：３y＋２＝０
∴ l1 与 l2 相交；
当 m≠０且 m≠２时，由 1 m2 得 m＝－１或 m＝３，由 m 2 3m
1 6 得 m＝3 m 2 2m
故（１）当 m≠－１且 m≠３且 m≠０时 l1 与 l2 相交。
（２）m＝－１或 m＝０时 l1 ∥ l2 ，
（３）当 m＝３时 l1 与 l2 重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜 率是否存在.
例 2.已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线 l1 ： x+y+1=0 和 l2 ：x+y+6=0 截得的线段之长为 5。
求直线 l 的方程。
分析：可以求出直线 l 与两平行线的交点坐标，运用两点距离 公式求出直线斜率
解法一：:若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3，此 时与 l1 、 l2 的交点分别是 A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段 AB 的长|AB|=|-4+9|=5，符合题 意。
若直线 l 的斜率存在，则设 l 的方程为 y=k（x-3）+1，
解方程组
x
y
y k
1 0
x 3
得 1
A（
3k k
2 1
,
－
4k 1 k 1
）
解方程组
x
y
y k
60
x 3
得 1
B（
3k k
7 1
，－
9k 1 k 1
）
由|AB|=5 得
3k k
2 1
3k k
7 1
2
+
4k 1 k 1
9k 1 k 1
2
=25，
解之，得 k=0，即所求的直线方程为 y=1。
综上可知，所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
解法二.设直线 l 与 l1 、 l2 分别相交于 A（x1，y1）、B（x2， y2），则 x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。
两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5
①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立①
②，可得
x1 y1
x2 y2
5 0
或
x1 y1
x2 y2
0 5
由上可知，直线 l 的倾斜角为 0°或 90°，又由直线 l 过点 P （3，1），故所求 l 的方程为 x=3 或 y=1。
点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情 况的讨论.
【例 3】设已知三条直线
l1 : mx y m 0, l2 : x my mm 1 0, l3 : m 1 x y m 1 0
它们围成ABC,（1）求证：不论 m 为何值，ABC 有一个顶点为 定点.（2）当 m 为何值时，ABC 面积有最大值和最小值，并求此 最大值与最小值.
分析:本题问题（2）考察直线过定点的问题,问题（3）可以建立面
积的表达式,转化为求函数最值问题.
解：（1）证明：因为直线 l1 : mx y m 0 恒过定点（-1，0），直
线 l3 : m 1 x y m 1 0 也恒过定点（-1，0），所以直线 l1 与 l2
的交点为定点（-1，0），即ABC 有一个顶点为定点，不妨设为 C （-1，0）.
（2） 因为 m1 m1 0, 所以 l1 l2 ，即 AB⊥AC,又 l3 与 l2 的
交点为 B（0，m+1），由点到直线距离公式得 B 到直线
AC
的 距 离 dB
1 ，点 m2 1
C
到
AB
的距离
m2 m 1 dc m2 1
. 所 以 ABC
的面积
S= 1 2
m2 m 1 = 1 1 1 m2 1 2 m 1
.当
m＞0
时， m 1 2 ， m
m
等号在 m 1时成立，S 有最大值 3 .当 m0 时， 4
m 1 2 ，等号在 m 1时成立，S 有最小值 1 .
m
4
点拨:解几中的最值问题通常可以转化为函数最值问题.
反馈练习：
1.已知直线 l 在 x 轴上的截距为 1，且垂直于直线 y 1 x ，则 l 的方
2
程是 y 2x 2
2.若直线 ax (1 a)y 3 与 (a 1)x (2a 3)y 5 互相垂直，则 a -3 或
1
3.若直线 l1：ax+2y+6=0 与直线 l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0 平 行，则 a 的值是___-1___.
4.已知 0 ，且点 (1, cos ) 到直线 xsin y cos 1的距离等于
2
1 ，则 等于
4
6
5.设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长，则直 线 sinA·x+ay+c=0 与 bx－sinB·y+sinC=0 的位置关系是垂直
6.已知点 P1(x1, y1) 、 P2 x2 , y2 ，分别是直线 l 上和直线 l 外一点，若直 线 l 的方程是 f x, y 0 ，则方程 f x, y f x1, y1 f x2 , y2 0 表示的图
形是 过P2且与l平行的直线
7.点 (2,3) 关于直线 x y 1的对称点的坐标是 （-2， -1）
8. 经过直线 2x 3y 7 0 与 7x 15y 1 0 的交点，且平行于直线 x 2y 3 0 的直线方程是 3x+6y-2=0
9.两条直线 ax 2ay 1 0, 和 a 1 x a 1 y 1 0互相垂直，则
垂足的坐标为
2 15
，7 30
10.线 l1 过点 A(5,0) ， l2 过点 B(0,1) ， l1 ∥ l2 ，且 l1 与 l2 之间的距离等 于 5，求 l1 与 l2 的方程。
解： l1 与 l2 的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0 或 x=5,x=0
11.条直线 x y 1 0, 2x y 8 0和 ax 3y 5 0 共有三个不同 的交点，求 a 的范围。
解: a 3且 a 6 且 a 1 3
12. 已 知 ABC 的 三 边 方 程 分 别 为 AB: 4x 3y 10 0 ，
BC: y 2 0 ，CA: 3x 4y 5 0 .
求：（1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC 的内角平分线所
在直线的方程.
解 ：（ 1 ） AB 边 上 的 高 斜 率 为 3 且 过 点 C ， 解 方 程 组 4
y 2 0 3x 4y 5
0
得
点
C （ 13 ， 2 ） 所 以 3
AB
边上的高方程为
3x 4y 21 0 .
（ 2 ） 设 P x, y 为 ∠ BAC 的 内 角 平 分 线 上 任 意 一 点 ， 则
4x 3y 10 3x 4 y 5 解得 7x 7 y 5 0 或 x y 15 0 ，由图
42 32 32 42
形知 7x 7 y 5 0 即为所求.
作业布置 教后反思：
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