高中数学沪教版(上海)高一第一学期第三章3.4 最小值与最大值问题 课件
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高中数学沪教版高一上册第3章《3.4 函数的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学沪教版高一上册第3章《3.4 函数的基本性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
掌握函数最大值最小值的概念。
会结合函数图像及单调性求一次函数，反比例函数及二次函数在区间上的最值。
经历函数最值概念的形成和函数最值求法的过程。
理解函数最值的意义并会作简单的运用。
积累求函数最值的经验。
2学情分析
本节内容位于第三章第四小节函数的基本性质之函数的最值。
最值是函数性质中最重要的性质之一，而二次函数是生活中应用最广泛的一种函数，在高中代数中占有重要地位，具有承上启下的作用。
而且从现实意义上来说，函数的最值在生活中可以解决成本最低，产量最高，效益最大等实际问题。
3重点难点
重点：函数最值概念的形成，会结合函数图像及单调性求函数在闭区间上的最值并作简单运用。
难点：理解函数最值的概念
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【活动】函数的最值
1.情境引入
动物园要建造一面靠墙地间面积相等的长方形熊猫居室(如图).如果可供建造围墙的材料长是30米,那么为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大?最大面积是多少平方米?
分组讨论后回答。
高中数学沪教版(上海)高一第一学期-3.4 函数的最大值与最小值教案
函数的最大值与最小值一、教学目标：1. 理解函数最大值和最小值的概念，并会求基本函数的最大值和最小值;2. 感受数学的应用价值、体验数学学习的乐趣二、教学重难点:重点：函数最值的概念及求解难点：求具体函数的最值三、教学过程1. 问题引入动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料长是30米，那么宽x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？解：间熊猫居室的宽为x 米)100(<<x ,熊猫居室的总面积为y 平方米，则2间熊猫居室的总长为)330(x -米.由题意得 )330(x x y -=下面，我们研究x 取什么值时面积y 才能达到最大值。
用配方法把上式化为因为0)5(2≥-x ，所以75≤y ，即当x 取)10,0(内任何实数时，面积y 的值不大于75平方米. 又因为)10,0(5∈，而当5=x 时，y 取得75，所以当熊猫居室的宽为5米时，它的面积最大，最大值为75平方米.2.新课讲解（1）概念引入函数的最大、最小值概念：（引导学生，让学生给出定义）一般地，设函数)(x f y =在0x 处的函数值是)(0x f ，如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≥都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值，记作)(0min x f y =；如果对于定义域内任意x ，不等式)()(0x f x f ≤都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最大值，记作)(0max x f y =。
（2）图像分析（提问的形式，让学生回答）从函数图像来看，如果函数有最大值，那么函数图像中一定有位置最高的点，有的函数只有最大值没有最小值；有的函数只有最小值而没有最大值；有的函数既有最大值又有最小值；而有的函数既无最大值也无最小值。
我们以后可以看到：如果一个函数的图像是条连续的曲线，那么这个函数在它的定义域里的某个闭区间上一定既有最大值又有最小值。
高一数学必修一单调性与最大(小)值课件PPT
要知道,很多教师使用的教学方式正是自己当年作为学生
接受到的方式。这直接取决于当年他的老师水平如何。很多
教师使用的教学方式在现在看来,算不上高效,但有些教师并
不知道其他的教学方法,所以只能沿用自己老师的那套老办法
添加
标题
进行教学。还有一些教师虽然知道有更高效的教学手段,只是
不愿意舍弃自己已经熟悉的教学方法。今天,你要接受新的挑
f (x2 ) f (x1) 0即f (x2 ) f (x1)
作差 化简
判号
所以函数 f (x) 3x 2 在区间上, 是增函数. 定论
例2.思考课本P30页探究
目标升华
1.理解函数的单调性，一定要在限定的定义域内； 2.证明函数的单调性可用作差法或作商法；
当堂诊学
全品作业1.3.1第一课时巩固基础
战,重新思考教学方式,让自己在课堂上变得比之前更加高效。
01 课程：请思考以下几点
请思考以下几点
1.你所教授的课程 对
学生来说有意义吗?
2.你自己本人喜欢学 习那些对自己毫无意
义的东西吗?
3.比如说,你开始教学还不 满一年,某天得知在放学后 有一个有关教师退休政策的 会议,你会想参加吗?不想?
添加标题
第一课时
目标引领
1.理解单调函数的定义；（重点） 2.理解增函数、减函数的定义；（重点） 3.会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性，求函数的单调区间.
（难点）
独立自学
1.增、减函数的定义是什么？如何理解？ 2.什么是单调区间？ 3.如何用代数的方法证明函数的单调性？
引导探究一
我们通过几个函数的图象观察函数值随自 变量而变化的规律.
如何用函数的解析 式和数学语言进行
沪教版(上海)数学高一上册-3.4 二次函数的最值问题 课件
2 2 2n且 m2 2m 1 2m取m 1, n 1符合题意
5
4
fx = -x2+2x+1 3
xM = -1.00
xN = 1.00
2N
2
1
M
N
-6
Байду номын сангаас
-4
-2
o
12
4
6
8
-1
-2
2M
-3
-4
-5
4当n 1时,函数在[m, n]上单调递增.
m2 2m 1 2m且 n2 2n 1 2nm 1, n 1矛盾. 综上所述, 存在m 1, n 1满足题意.
0
1 22
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
fx = -x2+2x+1
3
x1 = 1.00
2 隐藏 函数图像
1
-4
-2
6
8
10
O 1 22
34
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6
8
10
6
8
1.开口方向一定的二次函数在闭区间上的最 值与对称轴相对于闭区间的位置有关.
2.闭区间上二次函数的最值只可能在区间的 两个端点及图象的顶点处取得.
或 2mm2 2m1 2n2
m1 n1
符合题意.
或 矛盾. 2mn2 2n1
m1
2n2
n1
综上所述, 存在m 1, n 1符合题意.
解法三：y x2 2x 1 x 12 2 2
2n 2，n 1函数在[m, n]上单调递增, 2m m2 2m 1且2n n2 2n 1 m 1, n 1满足题意.
5
4
fx = -x2+2x+1 3
xM = -1.00
xN = 1.00
2N
2
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M
N
-6
Байду номын сангаас
-4
-2
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4
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2M
-3
-4
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4当n 1时,函数在[m, n]上单调递增.
m2 2m 1 2m且 n2 2n 1 2nm 1, n 1矛盾. 综上所述, 存在m 1, n 1满足题意.
0
1 22
4
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fx = -x2+2x+1
3
x1 = 1.00
2 隐藏 函数图像
1
-4
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6
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O 1 22
34
-1
-2
-3
-4
-5
-6
6
8
10
6
8
1.开口方向一定的二次函数在闭区间上的最 值与对称轴相对于闭区间的位置有关.
2.闭区间上二次函数的最值只可能在区间的 两个端点及图象的顶点处取得.
或 2mm2 2m1 2n2
m1 n1
符合题意.
或 矛盾. 2mn2 2n1
m1
2n2
n1
综上所述, 存在m 1, n 1符合题意.
解法三：y x2 2x 1 x 12 2 2
2n 2，n 1函数在[m, n]上单调递增, 2m m2 2m 1且2n n2 2n 1 m 1, n 1满足题意.
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第三章3.4函数的单调性(1)课件
y
-8
-4
O2 5
9x
例2. 画出函数 y=|x| 的图像，并求出函数的单 调区间（不需要证明）.
例3. 判断函数 y=1 的单调性.
例4.求证：函数 f(x)=2x2+8x+7在区间(-∞,-2] 上是减函数.
例5.判定函数
f (x)
3 x2
在区间(-∞，0)上的单
调性，并加以证明.
例6. 求函数
课堂练习： 课本，P 69 ,练习3.4（2），1～6 .
4 函数的单调性(1)
(2)若 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就说
函数的单调区间是其定义域的子集；
这一区间I叫做f(x)的单调区间.
讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.
观察下列函数图像，随着自变量x逐渐 增大，函数值y的变化情况：
y
y
O
x
O
x
1.函数的单调性:
在研究函数时，当x在某个区间I上逐渐 增大时，函数值y逐渐增加或逐渐减小，函 数的这两种性质，都叫做函数的单调性。
2.一般地，对于给定区间I上的函数y=f(x)，
如果对于区间I内任意的x1、x2 ，
(1)若x1<x2 ，都有f(x1)<f(x2)，那么就说
画出函数 y=|x| 的图像，并求出函数的单调区间（不需要证明）.
一般地，对于给定区间I上的函数y=f(x)，
(2)若 x <x 都有f(x )>f(x )，那么就说 求函数
的单调区间，并说明理由.
1 2， 1 2 讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.
-8
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O2 5
9x
例2. 画出函数 y=|x| 的图像，并求出函数的单 调区间（不需要证明）.
例3. 判断函数 y=1 的单调性.
例4.求证：函数 f(x)=2x2+8x+7在区间(-∞,-2] 上是减函数.
例5.判定函数
f (x)
3 x2
在区间(-∞，0)上的单
调性，并加以证明.
例6. 求函数
课堂练习： 课本，P 69 ,练习3.4（2），1～6 .
4 函数的单调性(1)
(2)若 x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就说
函数的单调区间是其定义域的子集；
这一区间I叫做f(x)的单调区间.
讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.
观察下列函数图像，随着自变量x逐渐 增大，函数值y的变化情况：
y
y
O
x
O
x
1.函数的单调性:
在研究函数时，当x在某个区间I上逐渐 增大时，函数值y逐渐增加或逐渐减小，函 数的这两种性质，都叫做函数的单调性。
2.一般地，对于给定区间I上的函数y=f(x)，
如果对于区间I内任意的x1、x2 ，
(1)若x1<x2 ，都有f(x1)<f(x2)，那么就说
画出函数 y=|x| 的图像，并求出函数的单调区间（不需要证明）.
一般地，对于给定区间I上的函数y=f(x)，
(2)若 x <x 都有f(x )>f(x )，那么就说 求函数
的单调区间，并说明理由.
1 2， 1 2 讨论函数的单调性必须在定义域内进行，即函数的单调区间是其定义域的子集，因此讨论函数的单调性，必须先确定函数的定义域.
高中数学高一上册沪教版 3.4《函数的基本性质》3最值与值域 课件
作业：练习册P33~34/9,10, P35/5,6,8,9
自学例9
10
思考三：
1、求函数y x 2 x 3的最大值
2
或最小值.
2、求y 2x x 1 的最值
求分式型函数的最值
11
教学重点：
利用二次函数的图像解决求二次
函数最值问题中带有字母参数问题。
12
图像法求二次函数的最值
当x=t+1时 ymin=t2+2
x
15
t 1 ( 2) 当 即0 t 1时 t 1 1
图像法求二次函数的最值
y
0 t t+1
1 [t , t 1] 当x 1时 ymin 2
例1：求函数 y
x ax 3 (a R) 在区间 [1 , 1]
2
上的最大值与最小值
y 解：
x
2
对称轴为 x
a 2 a ax 3 ( x 2 ) 3 4 a
动轴定区间 2
x a 2
y x ax 3在[1， 1]上单调递增
a (1) 当 1 即a 2时 2 2
3.4函数的基本性质—— 最值
教学重点： 1、掌握函数的最大值、最小值的概念； 2、会求二次函数在某指定区间上的最值； 3、重视数形结合的思想方法；
生产生活实际中会经常遇到 最大效益、最少投入等，这 里的最大、最少都归结为函 数最值问题。
1
实例 动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形 熊猫居室. 如果可供建造围墙的材料长是30米， 那么宽x为多少米时才能使所建造的熊猫居室面 积y最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
2
沪教版(上海)数学高一上册-3.4函数的单调性课件
解：其中 y f (在x) 区间 [5 2上)，是[1,减3)函数，在区间 上是增函[数2,1．),[3, 5]
函数 y f的(x单) 调区间有
[5 2)，[2,1),[1,3),[3,5]
例题分析 例1．根据函数图象指出函数的单调增区间和单 调减区间.
y=f(x)在区间 上，对于任意的 x1，x2 ， 当x1< x2时，都有__________，所以y=f(x) 在区间_______上为单调______函数 .______称为函数y=f(x)的单调______区间. y=f(x)的单调增区间有___________y=f(x) 的单调减区间有_______,_______.
练习2 已知奇函数 f (x) 是定义在(2,2) 上的减函
数，若 f (m 1) f (2m 1) 0 ，求实数 m 的取
值范围
练习3 定义在 2,2上的偶函数 f (x) 在 0,2 上单
调递减，且 f (1 m) f (m) ，求实数 m 的取值范
围
课堂小结及作业
1、函数单调性的的定义
又由x1<x2 ，得 x2- x1 ＞0
则f(x1)-f(x2) ＞0，即 f(x1) ＞ f(x2)
所以，函数f (x) 1 在（0， ）上是减函数。 x
例题：证明函数 y x 1 在区间 (1,)
上是增函数
x
归纳总结
y
f (x2)
f (x1)
如果对于属于定义域D内的 某个区间I (I 上D的) 任意两个 自变量值x1 , x2
x1 < x2
f (x1) < f (x2)
O
x1
x2
x 那么就说f(x)在这个区间上 是增函数,给定的区间称为
沪教版(上海)高中数学高一上册第三章3.4函数的基本性质课件
（2）定义法 判（断2）下相列应函的数两的个奇函偶数性值：对应表是如何体现这些特征的？
（f(-x4)）=-非f(x奇) ,非偶函数 （5）非奇非偶函数 （21）相你应学的到两了个哪函些数知值 识对？应表是如何体现这些特征的？ （f(x1)=）x2你学x∈到[-了1哪, 3些] 知识？ （21）相这应两的个两函个数函图数象值 有对什应么表共是同如特何征体吗现？这些特征的？
x
12 3
1 1/ 2 1/3
奇函数定义: 定义域关于原点对称 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数.
奇函数的性质：
奇函数图象关于原点对称.
（思1考）：奇如函何数判断（一2）个偶函函数数的奇（偶3性）呢偶？函数 奇必函做数 题图：象课关本于第原36点页对练称习；第1-2题。
根据下列函数图象,判断函数奇偶性. 一﹑判断下列函数的奇偶性 （1）你学到了哪些知识？ 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 （1）你学到了哪些知识？ 例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。
(2) f(x)=2x4+3x2 f(x)=x2 x∈[- 1 , 3] 判断函数奇偶性常用的方法有：
x 判断定义域 否
因解 解为： ：((12对))对对定于于义函函域数数内ff(的(xx)每 )一xx4个 ,其1x定 ,,都其义有定域义为域(为,x是x 否). 0对是.称
因f (为x对) 定(义x域 )4 内 x的4 每f一(x个), x, 都有
所f (以x，) 函数x f (x1) x4为x 偶 1函数 。f (x), f(-x)与f(x) x x
所以，函数f (x) x 为奇函数。 f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
（f(-x4)）=-非f(x奇) ,非偶函数 （5）非奇非偶函数 （21）相你应学的到两了个哪函些数知值 识对？应表是如何体现这些特征的？ （f(x1)=）x2你学x∈到[-了1哪, 3些] 知识？ （21）相这应两的个两函个数函图数象值 有对什应么表共是同如特何征体吗现？这些特征的？
x
12 3
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奇函数定义: 定义域关于原点对称 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) , 那么函数f(x)就叫奇函数.
奇函数的性质：
奇函数图象关于原点对称.
（思1考）：奇如函何数判断（一2）个偶函函数数的奇（偶3性）呢偶？函数 奇必函做数 题图：象课关本于第原36点页对练称习；第1-2题。
根据下列函数图象,判断函数奇偶性. 一﹑判断下列函数的奇偶性 （1）你学到了哪些知识？ 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 （1）你学到了哪些知识？ 例2 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。
(2) f(x)=2x4+3x2 f(x)=x2 x∈[- 1 , 3] 判断函数奇偶性常用的方法有：
x 判断定义域 否
因解 解为： ：((12对))对对定于于义函函域数数内ff(的(xx)每 )一xx4个 ,其1x定 ,,都其义有定域义为域(为,x是x 否). 0对是.称
因f (为x对) 定(义x域 )4 内 x的4 每f一(x个), x, 都有
所f (以x，) 函数x f (x1) x4为x 偶 1函数 。f (x), f(-x)与f(x) x x
所以，函数f (x) x 为奇函数。 f(x)=x2 x∈[- 1 , 3]
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高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
变式1.
求函数y x2 2ax 1在x 2，4上的最小值.
y x a2 1 a2, x [2,4]
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
含参数的二次函数的最大最小值问题： ※一类是定区间动轴 ※一类是定轴动区间 关键是讨论函数图像的对称轴和区间 的位置关系,正确的分类讨论,然后根据 函数的性质求出函数的最值.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
y x 12 4, x t,
当x 1时，
ymin 4.
若t 1时，
当x t时，
t
ymin t 2 2t 3.
例题.已知函数y x2 2x 3，
求2 在x [t, t 2]上的最小值.
y x 12 4, x [t, t 2]
t t2
t t2
若t 2 1即t 1时， 当x t 2时，ymin t 2 2t 3.
若t 1时， 当x t时,ymin t 2 2t 3.
t t2
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
例题.已知函数y x2 2x 3，
求3 在x [t, t 2]上的最大值.
0
2
4
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
xa
若2 a 4时， 当x a时，ymin 1 a2;
x
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
y
y x2 2ax 1, x [2, 4]
若a 4时， 当x 4时，ymin 17 8a;
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
t t2
若t 1 t 2即 1 t 1时， 当x 1时，ymin 4.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课数的 最小值与最大值问题
回顾:已知函数y x2 2x 3在[0, 3]上的最值.
配方：y x 12 4
当x 1时，ymin 4； 当x 3时，ymax 0.
例题：求函数y x2 2x 3
(1)在x t, 上的最小值.
若t 1时，
y x2 2ax 1, x [2, 4]
y
若a 2时， 当x 2时，ymin 5 4a;
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
02
xa
4x
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
y
y x2 2ax 1, x [2, 4]
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
变式3.已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0,1上有最大
值2，求实数a的值.
-1或2
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
作业： 练习册3.4 B组P35-5、6 复习题B组P39-1、2、3、4
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
2 当k 0时，f x k x 12 1 k，
f x f 2 8k 1 4 k 3
max
8
3 当k 0时，f x k x 12 1 k，
f x f 1 1 k 4 k 3 max
综上所述，k 3 或k 3 8
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
若t 1 1即t 0时， 当x t时，ymax t 2 2t 3.
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
t t 1 t 2
t
t2
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
若t 1 1即t 0时， 当x t 2时，ymax t 2 2t 3.
y x 12 4, x [t, t 2]
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
t t2
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
t
t2
t t 1 t 2
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
0
2
4
xa
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
x
高中数学沪教版（上海）高一第一学 期第三 章3.4 最小值与最大值问题 课件
变式2.已知函数f x kx2 2kx 1在x 3，2上有最大
值4，求实数k的值.
1当k 0时，f x 1，不符合题意舍