棒球最佳击球点1

参数 棒长 L 棒重 M 木质密度 木质杨氏模量 E 最大半径 r2 最小半径 r1 重心位置 C 0.855m 0.885kg 649kg/m 7cm 2.5cm 距较小端面 0.564m
3பைடு நூலகம்
数值
1.814 1010 N / m2
球棒为一种旋转体，沿轴线的截面如下：
图 1 球棒沿轴线的截面
其中各部分的长度 x1 、 x2 可由球棒重量及重心位置确定：
关键词：最佳击球点
动力学模型
Hertz 模型
横向振动梁模型
一、问题重述
棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个 典型的例子。请查找资料，建立数学模型，解决以下问题： (1)每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把 打击球的力量最大程度地转移到球上。 基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最 末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。构建模型，解释最佳击球点棒 球棒的最末端的原因。 (2)有一些棒球手相信在最佳击球点填充软木塞可以提高打击效果（在球棒 头部挖一个圆柱状槽，填充软木塞或者橡皮） 。进一步扩展模型确定或否定该结 论。解释为什么棒球联盟否定这种做法。 (3)球棒的撞击效果可能与材质有关系，构建模型以预测木质和金属球棒的 不同打击效果。解释这是否是联盟禁止金属球棒的原因。
' v2 v1
J ' (1 e)[v1 1 x] J ' m1 x 2
求导易得球的最大离开速度及对应的最佳击球点。 最大离开速度改变量：
' v v2 v2
代入软木塞密度下限 sl 260 kg/m3 ， 软木塞密度上限 su 320 kg/m3 可以 得到塞入软木塞的影响效果区间：
三、模型假设与约定
1、球在飞行过程中不自旋。 2、球棒击球时,球的速度方向与球棒轴线正交。 3、球棒形状、尺寸、重量相同。
四、符号说明
符号 含义
恢复系数 重心位置 转动惯量 球棒重量
e
C J M
五、理论力学模型的建立与求解 5.1 球棒外形的抽象描述模型
文献表明，木质棒球球棒的一般规格为： 表 1 棒球球拍的物理参数
J'
x0 L d x0 2 r(2 x ) x dx x0 L x0 L d 2 2 [ (r(2 x ) rs ) s rs ]dx
转动惯量减小量：
J J J '
利用问题（1）所建模型易知，球棒填充软木塞后的最佳击球点及球的最大 离开速度的计算只需修正公式中的转动惯量。即：
C x2
x2
式中 r 为积分变量 x 的函数，有： 由（1） （2）式，带入数据得：
r2 r1 r r1 x2 x1 x x1
x1 0.3459
x2 0.6423
这样，棒球各部分的半径长：
r1 0.025 r2 r1 r ( x) r1 ( x x1 ) 0.025 0.152( x 0.3459) x2 x1 0.070 r 2 球棒外形简化模型的确定，为不同材质、材质不均匀（如填充软木塞）的球 棒转动惯量的求解提供了方便。
由(3)、(4)、(5)、(6)可得击打后的球速表达式为：
v2 v1 J (1 e)[v1 1 ( S H R)] J m1 ( S R H )2
其中转动惯量：
J
x0 L x0 2 r(2 x ) x dx
v2 对 S 求导得:
v2 J (1 e)1 ( J m1 ( S H R)2 ) 2m1 xJ (1 e)(v m1 (S H R)) S ( J m1 ( S H R)2 )2
5.2 最佳击球点的刚体动力学模型
分析击球手的击球动作可知，击球瞬间存在两个转动系统：手臂和球棒以身 体重心轴为轴的转动、球棒以手腕为轴的转动。
以身体重心所在轴 B 为坐标原点，球棒轴线为 x 轴，轴线垂直方向为 y 轴建 立平面直角坐标系。 设球棒质心坐标 C ，身体重心坐标 B ，手持点坐标 W 。击球点坐标 P ，球 棒近身端坐标 x0 。 BW 间距离为 R ， WC 间距离为 H ， CP 间距离为 S 。示意图 如下：
二、问题分析
“击球”是一个典型的碰撞问题。题目要求构建模型解释“最佳击球点”为 何不在球棒最末端，在最佳击球点填充软木塞是否可以提高打击效果，不同材质 的球棒是否会产生不同的打击效果。首先需要明确的是“最佳击球点”的含义。 题目中称“可以把打击球的力量最大程度地转移到球上”的击球点为“最佳击球 点” 。力量的转移不容易量化，但球的离开速度可以作为其外在表现加以测量。 这样，寻找“最佳击球点”就是寻找能使球的击出速度最大的击球点。在最佳击 球点添充软木塞会产生如下变化：改变球棒质心、改变球棒重量、改变转动惯量 进而影响击球效果。不同材质球棒的区别主要有：密度不同、质量不同导致的转 动惯量不同；材料不同导致的恢复系数不同、弹性系数不同进而影响击球效果。 将球、棒视为刚体，可以建立“球-棒”系统为研究对象建立经典动力学模 型进行分析。已有研究表明 [3] ，在撞击瞬间手对棒施加的力对球棒的影响不大， 可以近似为球棒是“自由端” 。利用“动量守恒定理” 、 “角动量守恒定理”以及 “恢复系数”等研究撞击位置与球离开速度的关系，从而找到“最佳击球点”并 分析填充软木塞、改变材料对击球效果的影响。 经典动力学模型用恢复系数来表示碰撞瞬间动能的突变， 这样得到的结果是 粗糙的。 考虑球、 棒碰撞时发生的形变， 使用接触力学的理论， 改进动力学模型， 可以得到更精确的结果。 球棒在击球过程中可看做一个一端固定一端自由的振动梁， 因此可利用振动 力学的知识列出球棒在击球过程中满足的微分方程，进而求解该微分方程，得出 球棒的振动方程。 通过不同材质的相关参数的不同得到木质球棒与铝制球棒之间 的振动差异，进而定性的解释木棒与铝棒在击球过程中体现出的不同特点。
1 1 球棒重量： M V [ r12 x1 r22 H r12 h r22 ( L x2 )] ………….(1) 3 3
h h x2 x1 , H h x2 x1 r1 r2
依据质心的定义，质心两侧球棒所受重力对重心力矩平衡：
图 2 击球过程抽象图
碰撞瞬间，球、棒间的作用力远大于球、棒的重力、手的支持力，因此，以 球-棒系统为研究对象， y 轴方向上有动量守恒：
m1v1 m2u1 m1v2 m1u2 …………………………………………………...….(3)
其中 m1 为球的质量， m2 为球棒质量，v1 为球的初速度，v2 为球的离开速度，
C' Ld L

0
' g r(2 x ) (C x)dx
C'
' g r(2 x ) ( x C )dx
Ld
2 2 [ g (r(2 x ) rs ) s g rs ]dx
由此式可计算填充后质心坐标为 C ' 。 球员击球时，以身体重心轴为转轴挥棒的转动惯量：
表 3 球棒填充物影响结果
密 度
项目 项
目
素 M
40 g
C
J
v
su 320 kg/m3
0.01cm
0.02kg m2
1.1m / s
sl 260 kg/m3
46 g
0.01cm
0.03kg m2
1.6m / s
图 4 不同转动惯量下球的离开速度随击球点的变化
表 4 不同转动惯量下球的最大离开速度
v2 0 得最佳击球点位置。 S 统计文献表明，棒球击球瞬间的运动学参数如下：
令
表 2 击球瞬间的运动学参数
运动学参数
数值 27.7m/s 17.288rad/s
v1
1
计算得最佳击球点位置为距棒手柄端点 70cm 处。 改变击球点位置，得到棒球撞击后的离开速度曲线如下图：
图 3 击球点位置与球离开速度的关系
u1 为击球前棒的质心速度， u2 为击球后棒的质心速度。
设球棒击球前后的角速度分别为 1 、 2 ，则：
u1 1 ( R H ) ， u2 2 ( R H ) ……………………………………………(4)
恢复系数 e 为碰撞接触点碰撞前相对接近速度除以碰撞后相对远离速度， 即：
Team # 13148
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棒球最佳击球点研究
摘要
本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，并在此基础上分析了在球棒中添 加软木填充物、不同球棒材质相对于普通木质球棒的击打效果。 针对问题（1） ，首先对球棒外形进行几何简化抽象描述，得到球棒的几何描 述方程。然后以球-棒碰撞系统为研究对象，利用动量守恒定理、角动量守恒定 理以及恢复系数建立了刚体动力学模型，进而提出最佳击球点的计算方法，得出 普通木质球棒的“最佳击球点”在距离球棒柄段 66 厘米处。 针对问题（2） ，本文从添加填充物引起的球棒质量、质心、转动惯量变化出 发，分析了添加软木填充物对击球效果的影响，得到“填充软木塞降低棒球的速 度”的结论。 问题（3）中，根据不同材质导致转动惯量和恢复系数不同，研究了不同材 质对击球效果的影响， 得到 “铝质” 球棒能显著提高击球效果， 并会导致体育 “装 备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。 鉴于球棒击球时存在机械振动这一客观事实， 本文最后提出了利用接触力学 和波动力学理论分别对碰撞模型的改进模型。通过建立接触力学的 Hertz 模型和 振动力学的横向振动梁模型， 分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面 定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析， 得出铝制球棒更有利于击出 高速球的结论。
M gl M gr …………………………………………………………………….(2)