2020人教版A数学必修第二册课时分层作业12 正弦定理(1)

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答案--正弦定理---1

绝密★启用前2018-2019学年度???学校10月月考卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明试卷第2页，总7页第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明一、填空题1．在中，内角的对边分别是，且，则 __________．【答案】【解析】分析：直接利用正弦定理求出b 的值. 详解：由题得，∴ . 故填 .点睛：本题主要考查正弦定理的运用，属于基础题. 2．在中，若，则＝ _______．【答案】1 【解析】【分析】先利用正弦定理计算出，利用内角和为得到，最后利用等腰三角形求出．【详解】因，所以，故为锐角. 由正弦定理有，故，故，所以，因此，所以，填1. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.3．在△ABC 中，a=2，b= ，B=，则A=_______．【答案】或．【解析】【分析】直接由正弦定理求解.【详解】在△ABC 中，因为a =2，b = ，B =，所以由正弦定理可得：sin A ==，所以A =或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．已知在ABC ∆中，内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，45B =︒，则角A 为________．【答案】o 30【解析】由正弦定理可得：,a b A ∴30A ∴=︒故答案为30︒5．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c sin C =__________．【解析】 6．在中，设角所对边分别为，若，则角 ________．【答案】【解析】【分析】化简得：，从而求解。

人教版高中数学高二-课时作业正弦定理

第1章 1.1.1(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B ＝( )A ．105°B ．60°C ．15°D ．105°或15°解析：由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝10sin 30°52＝22. ∵a <c ，∴A <C ，∴C ＝45°或C ＝135°.∴B ＝180°－(A ＋C )，∴B ＝105°或15°.故选D.答案： D2．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( )A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝bC ．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；若A >B ，则sin A >sin B 都成立D ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C解析：由正弦定理知A 、C 、D 正确，而sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π，∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故B 错误．答案： B3．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．直角三角形，且有一个角是30°C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形，且有一个角是30°解析：在△ABC 中，由正弦定理：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入sin A a ＝cos B b ＝cos C c得： sin A 2R sin A ＝cos B 2R sin B ＝cos C 2R sin C， ∴sin B cos B ＝sin C cos C＝1. ∴tan B ＝tan C ＝1，∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形．答案： C4．判断下列说法，其中正确的是( )A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°有两解B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°只有一解C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°有两解D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°无解解析： A 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝14×127＝1，所以B ＝90°，故只有一解，A 错误；B 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝25×1230<1，又A 为钝角，故只有一解，B 正确；C 中，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝9×226>1，所以B 不存在，故无解，C 错误；D 中，由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝10×329<1，因为b <c ，B ＝60°，且0°<C <180°，所以C 有两解，D 错误．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC 中，已知a ＝5，B ＝105°，C ＝15°，则此三角形的最大边的长为________．解析：在△ABC 中，大角对大边，故b 为最大边长，A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(105°＋15°)＝60°.据正弦定理b ＝a sin B sin A ＝5sin 105°sin 60°＝152＋566.答案： 152＋566 6．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若△ABC 只有一解，则x 的取值集合为________．解析： sin A ＝a ·sin B b ＝x ·222＝24x ，当x ＝22时，sin A ＝1，△ABC 有一解；又当a ≤b 时，即x ≤2时，A 为锐角，△ABC 只有一解．答案： {x |0<x ≤2或x ＝22}三、解答题(每小题10分，共20分)7．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，求边b 的值．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A ＝4sin 60°sin 45°＝2 6.8．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，试判断三角形的形状．解析：由正弦定理知cos A cos B ＝sin B sin A ＝43， ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2. 又∵b a>1，∴B >A ，∴△ABC 为直角三角形．尖子生题库☆☆☆9．(10分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解析： ∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°，∴0°<A <120°，0°<C <120°且A ＝120°－C .∵a ＋2b ＝2c ，由正弦定理得sin A ＋2sin B ＝2sin C ，∴sin(120°－C )＋62＝2sin C ，即32cos C ＋12sin C ＋62＝2sin C ， ∴32sin C －32cos C ＝62，∴sin(C －30°)＝22. ∵－30°<C －30°<90°，∴C －30°＝45°，∴C ＝75°， sin C ＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝6＋24.。

新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业11 余弦定理

课时分层作业(十一) 余弦定理(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° B [由题意知，(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A ．－15 B ．－16 C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C.3<a < 5D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ， ∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 4 [因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b . 由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.] 三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . [解] 在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19. ∴b ＝19.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[等级过关练]1．在△ABC 中，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0＜B ＜π，∴角B 的值为π3或2π3.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π A [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A.] 3．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________． 7 [由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.]4．△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是________. (1，7)∪(5,7) [①若x >4，则x 所对的角为钝角， ∴32＋42－x 22×3×4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7. ②若x <4，则4对的角为钝角， ∴32＋x 2－422×3×x <0且3＋x >4，∴1<x <7.∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7)．]5．在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求三边长． [解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＋4，c ＝b －4.∴a ＞b ＞c ，∴A ＝120°， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 120°，即(b ＋4)2＝b 2＋(b －4)2－2b (b －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2－10b ＝0，解得b ＝0(舍去)或b ＝10. 当b ＝10时，a ＝14，c ＝6.。

人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件第6章平面向量及其应用第2课时正弦定理——分层作业

∴△ABC 面积的最大值为
π
24
=R2(sin Acos A+sin2A)
2+1 2
R
.
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知(2sin A- 3sin B)2=
4sin2C-sin2B.
4.[探究点二]在△ABC 中,若 3asin B=c-bcos A,则 B=( A )
π
A. 6
π
B. 3
π
2π
C. 或
3
3
π
5π
D. 或
6
6
解析因为 3asin B=c-bcos A,由正弦定理得 3sin Asin B=sin C-sin Bcos A.
因为 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以 3sin Asin B=sin Acos B.
以A=B或A+B=90°,即△ABC是等腰三角形或直角三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
17.已知△ABC的外接圆半径为R,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足
2R(sin2A-sin2C)=( 2 a-b)·sin B,求△ABC面积的最大值.
14.在△ABC
AC=
π
中,B=4 ,BC
5
解析如图,由
又
边上的高 AD
,sin∠BAC=
π
AD=1,B= ,知
4
3 10

新教材2020-2021学年高中第二册同步练习：6.4.3.2 正弦定理

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课时素养评价十二正弦定理(15分钟30分)1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A=105°,B=45°,b=2,则c= ( )A. B.1 C. D.2【解析】选D.由三角形内角和定理得:C=180°-(A+B)=180°-(105°+45°)=30°.由正弦定理得c===2.【补偿训练】在△ABC中,a=4,A=45°,B=60°,则边b的值为 ( )A.+1B.2+1C.2D.2+2【解析】选 C.由已知及正弦定理,得=,所以b===2.2.在△ABC中,AB=2,AC=3,B=60°,则cos C= ()A. B. C. D.【解析】选B.由正弦定理,得=,即=,解得sin C=.因为AB<AC,所以C<B,所以cos C==.3.在△ABC中,若a=2bsin A,则B为 ( )A. B.C.或D.或【解析】选C.由正弦定理得sin A=2sin Bsin A,所以sin A(2sin B-)=0.因为0<A<π,0<B<π,所以sin A≠0,sin B=,所以B=或B=.4.已知在△ABC中,b=4,c=2,C=30°,那么解此三角形可得 ( )A.一解B.两解C.无解D.解的个数不确定【解析】选C.由正弦定理得sin B=·sin C=×=>1,故三角形无解.5.在△ABC中,AB=,AC=1,B=30°,则△ABC的面积等于. 【解析】由正弦定理得sin C===,又因为0°<C<180°, 所以C=60°或120°,所以A=90°或30°,所以S△ABC=AB·AC·sin A=或.答案:或6.在△ABC中,A=30°,C=45°,c=,求a,b及cos B.【解析】因为A=30°,C=45°,c=,所以由正弦定理,得a===1.又B=180°-(30°+45°)=105°,所以cos B=cos 105°=cos(45°+60°)=,b===2sin 105°=2sin(45°+60°)=.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是( )A.1∶2∶3B.1∶∶2C.2∶∶1D.∶1∶2【解析】选B.设三角形内角A、B、C分别为x,2x,3x,则x+2x+3x=180°,所以x=30°.由正弦定理==,可知a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,所以a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=∶∶1=1∶∶2.2.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a=4,b=3,C=60°,则△ABC的面积为 ( )A.3B.3C.6D.6【解析】选B.S=absin C=×4×3×=3.3.在△ABC中,若3b=2asin B,cos A=cos C,则△ABC的形状为(A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.由正弦定理知b=2R·sin B,a=2R·sin A,则3b=2a·sin B可化为:3sin B=2sin A·sin B.因为0°<B<180°,所以sin B≠0,所以sin A=,所以A=60°或120°,又cos A=cos C,所以A=C,所以A=60°,所以△ABC为等边三角形.4.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cosA,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小为 ( )A.,B.,C.,D.,【解析】选C.因为m⊥n,所以cos A-sin A=0,所以tan A=,则A=.由正弦定理得:sin Acos B+sin Bcos A=sin 2C,所以sin(A+B)=sin 2C,所以sin C=sin 2C.因为0<C<π,sin C≠0,所以sin C=1,所以C=,所以B=.【误区警示】注意两个向量垂直时的条件,不要与两向量平行混淆.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在△ABC中,已知b=6,c=6,C=30°,则a= ( )A.6B.6C.12D.12【解析】选AC.由正弦定理得sin B==,因为b>c,所以B>C.又因为0°<B<180°,所以B=60°或120°.当B=60°时,A=90°,a==12;当B=120°时,A=30°=C,a=c=6.所以a=6或12.6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是 ( )A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍D.若c=6,则△ABC外接圆半径为【解析】选ACD.(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,t>0,解得a=4t,b=5t,c=6t,可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确;由c为最大边,可得cos C===>0,即C为锐角,故B错误;由cos A===,由cos 2A=2cos2A-1=2×-1==cos C,由2A,C∈(0,π),可得2A=C,故C正确;若c=6,可得2R===,△ABC外接圆半径为,故D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= .【解析】因为sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=0,所以sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,整理得sin C(sin A+cos A)=0.因为sin C≠0,所以sin A+cos A=0,所以tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=,由正弦定理得sin C===,又0<C<,所以C=.答案:【补偿训练】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A= .【解题指南】利用正弦定理求出sin B的值,根据三角形大边对大角求出角B的值,再求角C即可.【解析】由正弦定理:=,得sin B===,因为b<c可得B=45°,则A=180°-B-C=75°.答案:75°8.在△ABC中,若b=5,B=,tan A=2,则sin A=,a=. 【解析】由tan A=2,得sin A=2cos A,由sin 2A+cos 2A=1,得sin A=,因为b=5,B=,由正弦定理=,得a==2.答案:2四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.(1)求角A的大小;(2)若a=1,b=,求c的值.【解析】(1)由acos C+c=b,得sin Acos C+sin C=sin B.因为sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin C=cos Asin C.因为sin C≠0,所以cos A=.因为0<A<π,所以A=.(2)由正弦定理,得sin B==.因为0<B<π,所以B=或.①当B=时,由A=,得C=,所以c=2;②当B=时,由A=,得C=,所以c=a=1.综上可得c=1或2.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,m=(sin A,sinB),n=(cos B,cos A),m·n=-sin 2C.(1)求C的大小;(2)若c=2,A=,求△ABC的面积.【解析】(1)由题意,m·n=sin Acos B+sin Bcos A=-sin 2C,即sin(A+B)= -sin 2C,sin C=-2sin Ccos C.由0<C<π得sin C>0,所以cos C=-.C=.(2)由C=,A=,得B=π-A-C=.由正弦定理=得=,解得b=2.所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×2×sin =.1.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为( )A.60°B.75°C.90°D.115°【解析】选B.不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有==,即=,整理,得(3-)sin A=(3+)cos A.所以tan A=2+,所以A=75°.【补偿训练】已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,若△ABC的周长为4(+1),且sin B+sin C=sin A,则a= ( )A. B.2 C.4 D.2【解析】选C.根据正弦定理,sin B+sin C=sin A可化为b+c= a.因为△ABC的周长为4(+1),所以解得a=4.2.在△ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos C=1-cos 2C.(1)试确定△ABC的形状;(2)求的取值范围.【解析】(1)在△ABC中,设其外接圆半径为R,根据正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=,代入=,得=,所以b2-a2=ab.①因为cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,所以cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,所以sin Asin B=sin2C.。

新教材2020学年人教A版数学必修第二册课时分层作业14余弦定理、正弦定理的应用举例

课时分层作业(十四)余弦定理、正弦定理的应用举例(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC 的长度为 4 m ，∠A ＝30°，则其跨度AB 的长为()A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 mD [由题意知，∠A ＝∠B ＝30°，所以∠C ＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.]2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为()A.1762n mile/h B ．34 6 n mile/h C.1722n mile/h D ．34 2 n mile/h A [如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MN sin 120°，∴MN＝68×32＝346，∴v＝MN4＝1762n mile/h.]3．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且A，B距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/时B．14海里/时C．142海里/时D．20海里/时B[如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20 海里，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．]4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 mC[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业12：6.4.3第四课时正、余弦定理在几何中的应用(1)

第四课时正、余弦定理在几何中的应用新知探究一位父亲给两个儿子分一块地，地的形状如图所示，父亲将CE 连接起来，左边分给弟弟，右边分给哥哥，哥哥觉得自己的三角形地块比弟弟矩形地块面积小，埋怨父亲偏心眼，兄弟二人打得不可开交，这时，他们的舅舅正好路过，兄弟二人让舅舅评理，舅舅说给他们算一下各自地块的面积，他拿来皮尺和一个测角仪，测出∠CED 的大小，量出CE ，DE 的长度及BC 的长度，经过计算发现这两块地面积一样大，平息了这场争吵.问题舅舅是怎样计算三角形地块的面积的呢？提示由ED 的长度，∠CED 的大小可计算出边CE 上的高为DE sin ∠CED ，从而得出△EDC 的面积12CE ·DE ·sin ∠CED .1.有关三角形的隐含条件“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.(2)由三角形的几何性质可得a cos C ＋c cos A ＝b ，b cos C ＋c cos B ＝a ， a cos B ＋b cos A ＝c .(3)由大边对大角可得sin A >sin B ⇔A >B .(4)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A >cos B . 2.余弦定理可解决的两类问题(1)已知三角形的两边和它们的夹角解三角形； (2)已知三角形的三边解三角形. 3.正弦定理可解决的两类问题 (1)已知两角和一边解三角形；(2)已知两边和其中一边的对角解三角形.三角形的面积公式有多种形式，要根据已知条件选择最合适的面积公式解题 4.三角形的面积公式(1)S ＝12ab sin C ＝12bc sin__A ＝12ca sin__B ；(2)S ＝12a ·h a ＝12b ·h b ＝12c ·h c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高).拓展深化『微判断』1.公式S ＝12ab sin C 适合求任意三角形的面积.(√)2.三角形中已知三边无法求其面积.(×)3.在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.(√)提示 2.已知三角形的三边可以利用余弦定理求角，再利用三角形的面积公式求出面积. 『微训练』1.在△ABC 中，已知C ＝60°，b ＝43，则BC 边上的高等于( ) A. 3 B.2 3 C.4 3D.6『解析』 BC 边上的高等于b sin C ＝43×32＝6. 『答案』 D2.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝______.『解析』由余弦定理得b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.『答案』 43.在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，B ＝120°，则△ABC 的面积为________. 『解析』由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即c 2＋5c －24＝0，解得c ＝3，c ＝－8(舍去). 所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×5×3sin 120°＝1534.『答案』 1534『微思考』已知三角形ABC 的三边a ，b ，c ，怎样计算该三角形的面积？提示可以用余弦定理的推论计算cos C ，再得出sin C ，利用S ＝12ab sin C 可求.题型一利用正弦、余弦定理转化边角关系『例1』在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值. 解由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理，得sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23， ∴由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ＝23，即3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66，故sin B ＝306.『迁移1』对于本例中的条件c ·cos B ＝b ·cos C ，能否使用余弦定理？解由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab . 化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .『迁移2』本例中的条件c ·cos B ＝b ·cos C 的几何意义是什么？解如图，作AD ⊥BC ，垂足为D .则c ·cos B ＝BD ，b ·cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等. 规律方法 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段. (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式. 『训练1』设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C . (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长. 解 (1)法一由题设知， 2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3. 法二由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 由于0<A <π，故A ＝π3.(2)法一因为AD →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AC →22＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4＋2×1×2×cos π3＝74，所以|AD→|＝72，从而AD ＝72. 法二因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.所以BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72. 题型二有关三角形面积的计算角度1 求三角形面积『例2』在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝4，cos ∠CAD ＝3132且AD ＝BD ，求△ABC 的面积.解设CD ＝x ，则AD ＝BD＝5－x ，在△CAD 中，由余弦定理的推论可知：cos ∠CAD ＝（5－x ）2＋42－x 22×4×（5－x ）＝3132.解得x ＝1.在△CAD 中，由正弦定理可知：ADsin C ＝CDsin ∠CAD，∴sin C ＝ADCD ·1－cos 2∠CAD ＝41－⎝ ⎛⎭⎪⎫31322＝378， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×4×5×378＝1574. ∴△ABC 的面积为1574.角度2 涉及三角形面积的条件转化『例3』在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为a 2sin B ，则cos B ＝________.『解析』由sin B ＝2sin A ，得b ＝2a ，由△ABC 的面积为a 2sin B ，得12ac sin B ＝a 2sin B ，由sin B ≠0，知c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 24a 2＝14. 『答案』 14规律方法求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用.『训练2』如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，求该四边形ABCD 的面积.解连接BD(图略)，在△BCD中，BC＝CD＝2，C＝120°，则∠DBC＝30°，所以BD＝23，∠ABD＝90°，所以S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD＝12×2×2×32＋12×4×23＝5 3.题型三正、余弦定理在几何图形中的应用『例4』如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，AB⊥AD，AC⊥CD.(1)若sin∠BAC＝1 4，求sin∠BCA；(2)若AD＝3AC，求AC.解(1)在△ABC中，由正弦定理得，ABsin∠BCA ＝BCsin∠BAC，即2 sin∠BCA ＝314，解得sin∠BCA＝612.(2)设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中，CD＝AD2－AC2＝22x，sin∠CAD＝CDAD＝223.在△ABC中，由余弦定理的推论得，cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝x2－122x.又∠BAC＋∠CAD＝π2，所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即x2－122x＝223.整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－13(舍去)，即AC＝3.规律方法正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.『训练3』如图，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝1 7.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.一、素养落地1.通过推导三角形面积公式的过程，培养逻辑推理素养.通过运用余弦、正弦定理及三角形面积公式解三角形，提升数学运算素养.2.正弦、余弦定理与三角恒等变换在高考中经常出现.一般先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值.3.求三角形面积，要充分挖掘题中的条件，转化为求两边之积及其夹角正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用.另外也常与均值不等式结合来求最值. 二、素养训练1.在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A ＝________.『解析』在△ABC 中，利用正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin B ≠0，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.『答案』 π32.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →＝________.『解析』由余弦定理的推论得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32.∴BA →·AC →＝－AB →·AC→＝－32. 『答案』－323.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，又知a ＝1，A ＝60°，c ＝33，则△ABC 的面积为________.『解析』由正弦定理得c sin C ＝a sin A ，即33sin C ＝132，解得sin C ＝12.又c <a ，所以C <A ，且0°<C <180°，所以C ＝30°，故B ＝90°，所以S ＝12ac ＝12×1×33＝36.『答案』 364.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B 的值为________.『解析』由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12，又a >b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.高中数学人教A 版(新教材)第二册(必修2)11 『答案』 π65.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a ＜b ＜c ，b ＝2a sin B .(1)求A 的大小；(2)若a ＝2，b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)∵b ＝2a sin B ，∴由正弦定理化简得sin B ＝2sin A sin B .∵sin B ≠0，∴sin A ＝12.∵a ＜b ＜c ，∴A 为锐角，则A ＝π6.(2)∵a ＝2，b ＝23，cos A ＝32，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝12＋c 2－2×23×c ×32，整理得c 2－6c ＋8＝0，计算得出c ＝2(舍去)或c ＝4，则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×4×12＝2 3.。

人教A版新教材高中数学第二册课时作业2：6.4.3第2课时正弦定理

6.4.3 第2课时正弦定理A 级基础达标一、选择题1．从A 处望B 处的俯角为α，从B 处望A 处的仰角为β，则α，β的关系为( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 2．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km ，参考数据：3≈1.732)( )A ．11.4 kmB ．6.6 kmC ．6.5 kmD ．5.6 km3．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为( )A.π4B.π3C.π6D.512π 4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )A ．1002米B ．400米C ．2003米D ．500米5．如图所示，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )A．30°B．45°C．60°D．75°二、填空题6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.7．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)．8．如图所示，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M位于北偏东α，前进m海里后在B处测得该岛位于北偏东β，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件__________时，该船没有触礁危险．三、解答题9．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．10．如下图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)．B级能力提升1．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200 m B．300 m C．400 m D．100 3 m2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？——★ 参*考*答*案 ★——A 级基础达标一、选择题1．『『解析』』由仰角和俯角的概念得α＝β.『『答案』』B2．『『解析』』因为AB ＝1 000×160＝503，C ＝75°－30°＝45°，所以BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝5032. 所以航线离山顶h ＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)≈11.4. 所以山高为18－11.4＝6.6(km)．『『答案』』B3．『『解析』』设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＝π6.『『答案』』C4．『『解析』』由题可得下图，其中AS 为塔高，设为h ，甲、乙分别在B 、C 处．则∠ABS ＝45°，∠ACS ＝30°，BC ＝500，∠ABC ＝120°，所以在△ABS 中，AB ＝AS ＝h ，在△ACS 中，AC ＝3h ，在△ABC 中，AB ＝h ，AC ＝3h ，BC ＝500，∠ABC ＝120°.由余弦定理(3h )2＝5002＋h 2－2·500·h ·cos 120°，所以h ＝500(米)．『『答案』』D5．『『解析』』依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.『『答案』』B二、填空题 6．『『解析』』根据图示，AC ＝100 2.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3. 在Rt △AMN 中，MN AM＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150 (m)．『『答案』』1507．『『解析』』由题意，AB ＝200 m ，AC ＝100 2 m ，由余弦定理可得BC ＝40 000＋20 000－2×200×1002×⎝⎛⎭⎫－22≈316.23 m ，所以这辆汽车的速度为316.23÷14≈22.6 m/s.『『答案』』22.68．『『解析』』在△ABM 中，由正弦定理得BM sin （90°－α）＝m sin （α－β），故BM ＝m cos αsin （α－β），要使该船没有触礁危险需满足BM sin(90°－β)＝m cos αcos βsin （α－β）>n . 所以当α与β满足m cos αcos β>n sin(α－β)时，该船没有触礁危险．『『答案』』m cos αcos β>n sin(α－β)三、解答题9．解：在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°，∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15.根据正弦定理，15sin 2.8°＝AT cos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°. 塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．10．解：在△ABC 中，∠A ＝15°，∠C ＝25°－15°＝10°，根据正弦定理，BC sin A ＝AB sin C ，BC ＝AB sin A sin C ＝5sin 15°sin 10°≈7.452 4(km)． CD ＝BC ·tan ∠DBC ≈BC ·tan 8°≈1 047(m)．B 级能力提升1．『『解析』』如下图所示，△BED ，△BDC 为等腰三角形，BD ＝ED ＝600，BC ＝DC ＝200 3.在△BCD 中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋（2003）2－（2003）22×600×2003＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·sin 4θ＝2003×32＝300(m)．『『答案』』B2．『『解析』』由题可知PM ＝68，∠MPN ＝120°，N ＝45°，由正弦定理MP sin 45°＝MN sin 120°得MN ＝68×32×2＝34 6. 所以速度v ＝3464＝1726(海里/时)．『『答案』』1726 3.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，因为∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB＝5（3＋3）·sin 45°sin 105° ＝5（3＋3）·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，所以需要的时间t ＝3030＝1(小时)．。

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课时分层作业(十二) 正弦定理(1)
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6
D ．2＋2 3
C [由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b sin 60°， ∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3
2
22
＝2 6.]
2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135°
C ．45°
D ．以上答案都不对
C [∵sin B ＝b sin A a ＝42×3
2
43＝2
2，
∴B ＝45°或135°.
但当B ＝135°时，不符合题意， ∴B ＝45°，故选C.]
3．在△ABC 中，A >B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A ．sin A >sin B B ．cos A <cos B C ．sin 2A >sin 2B
D ．cos 2A <cos 2B
C [A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，A 正确．由于在(0，π)上，y ＝cos x 单调递减， ∴cos A <cos B ，B 正确． cos 2α＝1－2sin 2α.
∵sin A >sin B >0，∴sin 2 A >sin 2 B ， ∴cos 2A <cos 2B ，D 正确．]
4．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于( )
A ．4∶1∶1
B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1
D.3∶1∶1
D [∵A ＋B ＋C ＝180°，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1， ∴A ＝120°，B ＝30°，C ＝30°.
由正弦定理的变形公式得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝32∶12∶12＝3∶1∶1.]
5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
B [∵a ＝b sin A ，∴a b ＝sin A ＝sin A
sin B ，∴sin B ＝1，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π
2，即△ABC 为直角三角形．] 二、填空题
6．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长等于________. 6
3
[由三角形内角和定理知：A ＝75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B ＝c sin C 得b ＝c sin B sin C ＝1×22
32
＝6
3.]
7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝1
2，C ＝π
6，则b ＝________.
1 [在△ABC 中，∵sin B ＝12，0<B <π，∴B ＝π6或B ＝5
6π.
又∵B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π
6， ∴A ＝π－π6－π6＝2
3π.
∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B
sin A ＝1.]
8．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.
2 [由正弦定理可知AB sin[180°－(75°＋45°)]＝AC sin 45°，即6sin 60°＝AC
sin 45°，解
得AC ＝2.]
三、解答题
9．在△ABC 中，已知a cos A ＝b cos B ＝c
cos C ，试判断△ABC 的形状． [解] 令a
sin A ＝k ，
由正弦定理得a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C . 代入已知条件，得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C
cos C ，即tan A ＝tan B ＝tan C . 又A ，B ，C ∈(0，π)，
∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．
10．在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝1
2，a ＝3，求三角形中其它边与角的大小. [解] 由正弦定理得a sin A ＝b
sin B ，即b ＝a ·sin B
sin A ＝3×12
sin 60°＝ 3. 由于A ＝60°，则B <120°，即B ＝30°，则C ＝90°， ∴c ＝a 2＋b 2＝9＋3＝2 3.
综上，b ＝3，c ＝23，B ＝30°，C ＝90°.
[等级过关练]
1．在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋1
2，则三角形的
最大角为( )
A ．60°
B ．75°
C ．90°
D ．115°
B [不妨设a 为最大边，c 为最小边，
由题意有a c ＝sin A
sin C ＝3＋12，即sin A
sin (120°－A )
＝3＋12. 整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，
又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B.]
2．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5
2，5cos(B ＋C )＋3＝0，则B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.56π A [由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝3
5， ∵A ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，
由正弦定理得445＝5
2sin B ，∴sin B ＝1
2.
又∵a >b ，∴A >B ，且A ∈
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴B 必为锐角，∴B ＝π
6.]
3．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝
________.
2 [∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1sin 30°＝2， ∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∴
a －2
b ＋c
sin A －2sin B ＋sin C
＝2.]
4．在△ABC 中， A ＝π
3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝________.
π
4 [由正弦定理，得sin C ＝sin A ·AB BC ＝2
2. 因为BC >AB ，所以A >C ，则0<C <π3，故C ＝π
4.]
5．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，A ，B 为a ，b 的对角，试判断△ABC 的形状.
[解] 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .
由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π， ∴A －B ＝0即A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．。