2017年宁夏石嘴山三中高二上学期数学期中试卷和解析(文科)

2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．2．（5分）已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则A=（）A．B．C． D．或4．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．5．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c6．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n=（）A．3•2n﹣4B．3•2n﹣3C．3•2n﹣2D．3•2n﹣17．（5分）已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．8．（5分）已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．|a|＞|b|D．2a＞2b9．（5分）不等式≥0的解集是（）A．{x|≤x＜2}B．{x|}C．{x|x＞2或}D．{x|x＜2} 10．（5分）（文）已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A．80 B．40 C．20 D．1011．（5分）设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣312．（5分）函数的值域是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[]D．[]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.13．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=．14．（5分）若0＜α＜＜β＜π，且cos β=﹣，sin（α+β）=，则c os α=．15．（5分）已知x＞3，则函数y=+x的最小值为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则数列{a n}的通项公式为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．18．（12分）若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；②若不等式解集是R，求k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．20．（12分）在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（1）求角A；（2）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．21．（12分）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？22．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1=4a n+2（n=1，2，…），a1=1（1）设b n=a n+1﹣2a n（n=1，2，…），求证{b n}是等比数列；（2）设c n=（n=1，2，…），求证{c n}时等差数列；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式．2016-2017学年宁夏石嘴山三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．【解答】由，故选：C．2．（5分）已知实数m和2n的等差中项是4，实数2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9【解答】解：由题意，m+2n=8，2m+n=10，两式作和得：3m+3n=18，即m+n=6，∴m和n的等差中项是3．故选：B．3．（5分）在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则A=（）A．B．C． D．或【解答】解：∵在△ABC中，a2=b2+bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，则A=，故选：C．4．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．【解答】解：根据正弦定理，，则故选：B．5．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c【解答】解：当c=0时，若a＞b，则ac2=bc2，故A错误；若a＞﹣b，则﹣a＜b，故B错误；若ac＞bc，当c＞0时，则a＞b；当c＜0时，则a＜b，故C错误；若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，故D正确故选：D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项a n=（）A．3•2n﹣4B．3•2n﹣3C．3•2n﹣2D．3•2n﹣1【解答】解：在等比数列{a n}中，由a3=3，a10=384，得，∴q=2．则，∴．故选：B．7．（5分）已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选：D．8．（5分）已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（）A．a2＞b2B．C．|a|＞|b|D．2a＞2b【解答】解：A选项不正确，当a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；C选项不正确，因为a=1，b=﹣2时，不等式就不成立；D选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选：D．9．（5分）不等式≥0的解集是（）A．{x|≤x＜2}B．{x|}C．{x|x＞2或}D．{x|x＜2}【解答】解：不等式≥0，等价为（3x﹣1）（2﹣x）≥0，且2﹣x≠0，解得≤x＜2．即解集为{x|}．故选：B．10．（5分）（文）已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n+1）则a5的值为（）A．80 B．40 C．20 D．10【解答】解：由题意可得：a5=S5﹣S4，因为S n=2n（n+1），所以S5=10（5+1）=60，S4=8（4+1）=40，所以a5=20．故选：C．11．（5分）设x、y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3【解答】解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=截距最大，此时z最小，由得，即A（3，4），代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．12．（5分）函数的值域是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[]D．[]【解答】解：，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.13．（5分）关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|﹣＜x＜}，则a+b=﹣14．【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣}，∴﹣和为方程ax2+bx+2=0的两个实根，且a＜0，由韦达定理可得，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14．故答案为：﹣14．14．（5分）若0＜α＜＜β＜π，且cos β=﹣，sin（α+β）=，则cos α=．【解答】解：0＜α＜＜β＜π，cos β=﹣，可得sinβ===，sin（α+β）=，且＜α+β＜，可得cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，则cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=﹣×（﹣）+×=．故答案为：．15．（5分）已知x＞3，则函数y=+x的最小值为5．【解答】解：x＞3，则函数y=+x=+x﹣3+3≥2+3=2+3=5，当且仅当x=4时取等号，故函数y=+x的最小值为5，故答案为：5．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=3+2n，则数列{a n}的通项公式为．【解答】解：由S n=3+2n，当n=1时，a1=S1=5．当n≥2时，．所以．故答案为．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}的前n项和记为S n．已知a10=30，a20=50．（Ⅰ）求通项a n；（Ⅱ）若S n=242，求n．【解答】解：（Ⅰ）由a n=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得方程组解得a1=12，d=2．所以a n=2n+10．（Ⅱ）由得方程．解得n=11或n=﹣22（舍去）．18．（12分）若不等式：kx2﹣2x+6k＜0（k≠0）①若不等式解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}，试求k的值；②若不等式解集是R，求k的取值范围．【解答】解：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是{x|x＜﹣3或x＞﹣2}∴方程kx2﹣2x+6k=0的两个根为﹣3，﹣2∴=﹣3+（﹣2）=﹣5，∴k=﹣②：①∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集是R∴解得k＜﹣19．（12分）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）20．（12分）在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（1）求角A；（2）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．【解答】解：（1）由A+B+C=π，得sin（A+C）=sinB；所以2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，解得cosA=，又因为A∈（0，π），所以；（2）由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=22，①因为△ABC的面积为S△ABC=，所以AB•AC=4，②由①、②组成方程组，解得AB=BC=2．21．（12分）某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？【解答】解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，利润总额为z千元，则目标函数为：z=2x+3y作出可行域：把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取最大值，解方程得M的坐标为（2，3）．答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润．22．（12分）已知数列{a n}中，S n是它的前n项和，并且S n+1=4a n+2（n=1，2，…），a1=1（1）设b n=a n+1﹣2a n（n=1，2，…），求证{b n}是等比数列；（2）设c n=（n=1，2，…），求证{c n}时等差数列；（3）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式．=4a n+2，【解答】证明：（1）由题意得，S n+1所以当n≥2时，S n=4a n﹣1+2，=4a n﹣4a n﹣1，两式相减得，a n+1又b n=a n+1﹣2a n，所以===2，由a1=1，S2=4a1+2得，a2=5，所以b1=a2﹣2a1=3，则{b n}是公比为2、首项为3的等比数列；（2）由（1）得，，﹣2a n=3•2n﹣1，两边同除以2n+1，得=，所以a n+1又c n=，则c1==，所以{c n}是公差为、首项为的等差数列；解：（3）由（2）得，c n==，因为c n=，所以=（3n﹣1）•2n﹣2，因为S n+1=4a n+2，所以当n≥2时S n=4a n﹣1+2，则S n=（3n﹣4）•2n﹣1+2，当n=1时，S1=1也适合上式，故S n=（3n﹣4）•2n﹣1+2．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。