第十讲 棋盘中的数学

第十讲棋盘中的数学（一）
——什么是棋盘中的数学
所谓棋盘，常见的有中国象棋棋盘（下图（1）），围棋盘（下图（2）），还有国际象棋棋盘（下图（3））．以这些棋盘为背景而提出的问题统称为棋盘问题．这里面与数学推理、计算相关的棋盘问题，就叫做棋盘中的数学问题．解决棋盘中的数学问题所使用的数学知识，统称棋盘中的数学．
作为开篇我们先解几道竞赛中的棋盘问题．
例1 这是一个中国象棋盘，（下图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长）．黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12，13，14中的两个位置．
问：这三个棋子（一个黑“象”和两个红“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？
解：我们设每个小方格的边长为1单位．则小方格正方形面积为1
平方单位．
由于三个顶点都在长方形边上的三角形面积至多为这个长方形面积
的一半．所以要比较三角形面积的大小，只要比较三角形的三个顶点所在边的外接长方形面积的大小就可见端倪．
直观可见，只须比较（3，10，12）或（2，10，12）与（3，10，13）或（2，12，14）这两类三角形面积就可以了．
顶点为（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面积等于：
所以顶点在（2，10，12）或（3，10，12）时三角形面积最大．
答：黑“象”在2或3的位置，两个红“相”分别在10，12的位置时，以这三个棋子为顶点的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面积最大，如下图所示．
说明：本题是以棋盘格点为基础组成图形计算面积．其实，这类问题所在多有，我们把m×n的方格阵称为广义棋盘，则可以设计出许多这类的问题．
例2 下图是一个围棋盘，另有一堆围棋子，将这堆棋子往棋盘上放，当按格点摆成某个正方阵时，尚多余12枚棋子，如果要将这个正方阵改摆成每边各加一枚棋子的正方阵，则差9枚棋子才能摆满．
问：这堆棋子原有多少枚？
解：第一次排方阵剩余12枚，加上第二次排方阵所不足的9枚，恰是原正方阵扩大后“贴边”的部分（如下图所示），共21枚，它恰是原正方阵每边棋子数与“扩阵”每边棋子数之和．恰是两个相邻自然数之和，所以原正方阵每边10枚棋子，新正方阵每边11枚棋子．这堆棋子总数是
102＋12＝112枚．
答：这堆棋子原有112枚．
说明：本题也可以列方程求解．
设原正方阵每边m枚棋子，由题意得：
（m＋1）2－9＝m2＋12．
即2m＋1＝21，
解得m＝10．
所以棋子总数为102＋12＝112枚．
本题与围棋盘并无本质联系，问题可改述为“一堆棋子若摆成一个实心方阵，剩余12粒棋子，若改摆每边各加一枚的方阵，则差9枚棋子，问这堆棋子原有多少枚？”应用围棋盘显得更加直观、具体．
例3 如下左图是一个国际象棋棋盘，A处有只蚂蚁，蚂蚁只能由黑格进入白格再由白格进入黑格这样黑白交替地行走，已经走过的格子不能
第二次进入．请问，蚂蚁能否从A出发，经过每个格子最后返回到A处？若能，请你设计一种路线，若不能，请你说明理由．
解：这种爬行路线是存在的．具体的设计一条，如右图所示．
例4 在8×8的方格棋盘中，如下图所示，填上了一些数字1，2，3，4．试将这个棋盘分成大小和形状都相同的四块，并且每块中都恰有1、2、3、4四个数字．
分析注意这个正方形的面积是8×8＝64个平方单位，因此切分后的每一块的面积为16个平方单位，即由16个小方格组成．
解：①将两个并列在一起的“4”分开，先画出这段划分线，并将它分别绕中心旋转90°，180°和270°，得到另外三段划分线，如下图（1）所示．
②仿照上述方法，画出所有这样的划分线，如上图（2）所示．
③从最里层开始，沿着画出的划分线作设想分块，如上图（3），这个分块中要含1，2，3，4各一个，且恰为16块小方格．
④将上面的阴影部分绕中心旋转180°，可以得到符合条件的另一块，空白部分的两块也符合条件，所求的划分如上页图（4）所示．
例5 国际象棋的棋盘有64个方格，有一种威力很大的棋子叫“皇后”，当它放在某格上时，它能吃掉此格所在的斜线和直线上对方的棋子，如下左图上虚线所示．如果有五个“皇后”放在棋盘上，就能把整个棋盘都“管”住，不论对方棋子放在哪一格，都会被吃掉．
请你想一想，这五个“皇后”应该放在哪几格上才能控制整个棋盘？
解：本题是构造性的题目．用五个子管住六十四格，如上右图所示就是一种放置皇后的方案．
例6 如下图是半张棋盘，请你用两个车、两个马、两个炮、一个相和一个兵这八个子放在这半个棋盘上，使得其余未被占据的点都在这八个点的控制之下（要符合象棋规则，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同样“兵”也只能放在“兵”所能到的位置．马走“日”字，“车”走直线，“炮”隔子控制等）．
解：这仍是一个占位问题，只需要把指出的几个子排布成所要求的阵势即可，如下图所示．
本节我们初步看到了一些棋盘问题，它们的特点是：
①以棋盘为背景提出各种问题，无论围棋盘、中国象棋盘或是国际象棋盘．更为一般的提法是m×n方格上的数学问题．
②这些问题有面积计算，图形分割，棋子计数，棋子布局等各种类型，这些问题一般属于智巧类的问题或更深一步的组合数学问题．
习题十
1．在4×4的棋盘中每一格分别填入字母A、B、C、D．要求每行、每列、两条斜线的四个格都恰有A、B、C、D各一个．
2．把A、B、C、D四个棋子放在4×4的棋盘的方格里，使每行每列只能出现一个棋子．问共有多少种不同的放法？
3．下页第一图是16×16棋盘，每个小正方格面积都是1，求图中这只狗所占的图形的面积．
4．中国象棋规定马走“日”字．定义：在中国象棋盘上从点A到B 马走的最少步数称为A与B的马步距离，记作｜AB｜m．如下图在3×3的棋盘格中，标出了A、B、C、D、E五个点，则在｜AB｜m，｜AC｜m，｜AD｜m，｜AE｜m中最大者是多少？最小者是多少？
5．在6×6的棋盘中至少要放入多少个棋子，（每个小方格内至多放一个），才能使得随意划掉3行3列上的棋子后，在剩下的方格中至少要留有一枚棋子？
习题十解答
1．如下图填入即可．答案可能不唯一．
2．不妨先考虑棋子A的情况，共有16种不同的放法，不妨设A就放在左上角．然后考虑棋子B的放法，由于A所在的行及所在列不能再放棋子，所以棋子B只能有9种不同放法，不妨设
棋子B在右图中位置．类似地C只有4种不同放法，D只有一种
放法，总计共有16×9×4×1＝576种不同放法．
3．面积是71.5（平方单位）．
4．观察下面4个图．知最大的是｜AE｜m＝4，最小的是｜AC｜m＝2．
5．至少放十枚棋子．十枚棋子如下图放置，划去任意三行、三列后，剩下的格子中至少还有一枚棋子．
如果放入9枚棋子，则总能划去某三行、某三列，把这9枚棋子都划去（想一想，为什么？）．。