【原创】江苏省2014—2015学年高一数学必修四随堂练习及答案：14向量的数量积(4)]

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【原创】江苏省2014—2015学年高一数学必修四本章检测及答案：15平面向量]

平面向量的综合测试1．已知A (4,6)，B ⎝⎛⎭⎫－3，32，有下列向量： ①a ＝⎝⎛⎭⎫143，3；②b ＝⎝⎛⎭⎫7，92；③c ＝⎝⎛⎭⎫－143，－3； ④d ＝(－7,9)．其中，与直线AB 平行的向量是2．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝3．在五边形ABCDE 中 (如图) AB ＋BC －DC ＝ 4．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝ke 1＋e 2.若a·b＝0，则实数k 的值为5．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC 2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝6．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为7．已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ＝2CB ，则实数a 等于8．一艘船以5 km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2 km/h ，则船的实际航行速度范围是9．如图，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是（1）．P P 12·P P 13 （2）．P P 12·P P 14 （3）．P P 12·P P 15 （4）．P P 12·P P 16 10．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝11．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角θ为________．12．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB ·AC ＝BA ·BC ＝1，那么c ＝________.13．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 14．如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB ＝m AM ，AC ＝n AN ，则m ＋n 的值为________．15．(本小题满分12分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a |＝1，|b |＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c |的取值范围．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值．17．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.18．(本小题满分14分)如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈R)，|AB |＝|AD |＝2，|CB －CD |＝23，且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形．(1)求λ的值； (2)求CB ·BA 的值．答案：1．解析：∵AB ＝(－7，－92)，∴与AB 平行的向量有①②③. 答案：①②③2．解析：AB ＝OB －OA ＝(13OA ＋23OC )－OA ＝23(OC －OA )，BC ＝OC －OB ＝OC －(13OA ＋23OC )＝13(OC －OA )，∴|AB |∶|BC |＝2∶1.答案：2：13．解析：∵AB ＋BC －DC ＝AC ＋CD ＝AD . 答案：AD4．解析：a·b ＝(e 1－2e 2)·(ke 1＋e 2) ＝ke 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22 ＝k －2＋(1－2k )cos 2π3＝2k －52，∵a·b ＝0，∴2k －52＝0，即k ＝54.答案：k ＝545．解析：∵BC 2＝16，∴|BC |＝4. ∴|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|CB |＝4. ∵M 为BC 中点，∴AM ＝12(AB ＋AC )，∴|AM |＝12|AB ＋AC |＝2.答案：26．解析：由题意知a ＋b ＝(－1，－2)，设a ＋b 与c 夹角为θ，∵(a ＋b )·c ＝52，∴|a ＋b |·|c |cosθ＝52，∴cos θ＝12，∴θ＝60°.又∵a ＋b ＝(－1，－2)＝－a ， ∴a 与c 夹角为120°. 答案：120°7．解析：设C (x ，y )，则AC ＝(x －7，y －1)，CB ＝(1－x,4－y )，∵AC＝2CB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －7＝2(1－x )，y －1＝2(4－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.答案：28．解析：实际航行的速度为静水中的速度与河水流速的合速度，所以||v 静|－|v 水||≤|v |≤|v 静|＋|v 水|，即|5－2|≤|v |≤|2＋5|,3≤|v |≤7. 答案：[3,7]9．解析：由于P P 12⊥P P 15，故其数量积是0，可排除（3）；P P 12与P P 16的夹角是2π3，故其数量积小于零，可排除（4）；设正六边形的边长是a ，则P P 12·P P 13＝|P P 12|·|P P 13|·cos 30°＝32a 2，P P 12·P P 14＝|P P 12|·|P P 14|·cos 60°＝a 2. 答案：（1）10．解析：由已知得BC ＝2，∠BCD ＝135°，所以MA ·MD ＝(MB ＋BA )·(MC ＋CD ) ＝MB ·MC ＋MB ·CD ＋BA ·MC ＋BA ·CD ＝22×22×cos 180°＋22×1×cos 135°＋2×22×cos 45°＋2×1×cos 0°＝2. 答案：211．解析：设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3.答案：π312．解析：由题知AB ·AC ＋BA ·BC ＝2，即AB ·AC －AB ·BC ＝AB ·(AC ＋CB )＝AB 2＝2⇒c ＝|AB |＝ 2.答案： 213．解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0,0)、B (2,0)、E (2，3)、D (1，3)，可得AE ·BD ＝1. 答案：114．解析：AO ＝12(AB ＋AC )＝m 2AM ＋n2AN ， NO ＝AO －AN ＝m 2AM ＋n －22AN ，NM ＝AM －AN .∵M 、O 、N 三点共线，∴m 2＝－n －22，∴m＋n＝2.答案：215．解：|c|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a与b的夹角)．∵0°<θ<120°，∴－12<cos θ<1，∴13<|c|<5，∴|c|的取值范围为(13，5)．16．解：(1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝210，|AB－AC|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－t OC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－t OC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－11 5.17．解：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.(2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)|a－b|＝2.当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴a－b＝(2，－4) ∴|a－b|＝22＋(－4)2＝2 5.18．解：(1)因为BC＝λAD，所以BC∥AD，且|BC|＝λ|AD|.因为|AB|＝|AD|＝2，所以|BC|＝2λ.又|CB－CD|＝23，所以|BD|＝2 3.作AH⊥BD交BD于H，则H为BD的中点．在Rt△AHB中，有cos∠ABH＝BHAB＝32，于是∠ABH＝30°，所以∠ADB＝∠DBC＝30°.而∠BDC＝90°，所以BD＝BC·cos 30°，即23＝2λ·32，解得λ＝2.(2)由(1)知，∠ABC＝60°，|CB|＝4，所以CB与BA的夹角为120°，故CB·BA＝|CB|·|BA|cos 120°＝－4.。

苏教版高中数学必修四学同步训练平面向量一Word含答案(1)

2.5 向量的应用(一)一、填空题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是________．2．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________．3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________．4．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝_______.5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的________．6．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ＝________.7．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是________三角形．8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________.二、解答题9．如图所示，若ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，AE 与BF 相交于点N ，DE 与CF 相交于点M .求证：MN ∥AD .10．求证：△ABC 的三条高线交于一点．11．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC于F ，连结DF .求证：∠ADB ＝∠FDC .三、探究与拓展12. 如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .答案 1.525 2.x ＋3y －7＝0 3.45° 4.－25 5．重心 6.－3 7．等边 8.⎝⎛⎭⎫－105，3105 9．证明 ∵EF ∥AB ，∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN＝μ，AE →＝(μ－1)EN →，同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →，∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →，∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN .10．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高．设BE ，CF 交于H 点，令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ，CH →＝h －c ，BC →＝c －b .∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →，∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线．AD 、BE 、CF 相交于一点H .11．证明如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD →＝(－2,1)，AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0，∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43， ∴F ⎝⎛⎭⎫23，43，DF →＝⎝⎛⎭⎫23，13，DC →＝(0,1)，DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ ＝53cos θ， ∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55，又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55， ∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC .12．证明设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ(23B A →－B C →)＋13B A → ＝13(2λ＋1)B A →－λBC →，又E A →＝B A →－13B C →. ∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC → ＝kBA →－13kBC →. 于是有：⎩⎨⎧ 13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得，λ＝17. ∴P D →＝17C D →. ∴B P →＝B C →＋C P →＝17B C →＋47B A →.C D →＝23B A →－BC →. 从而B P →·CD →＝(17B C →＋47B A →)·(23B A →－BC →) ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0. ∴BP →⊥CD →.∴BP ⊥DC .。

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2.5 向量的应用(一)一、填空题1．在△ABC 中，已知A (4,1)、B (7,5)、C (－4,7)，则BC 边的中线AD 的长是________． 2．过点(1,2)且与直线3x －y ＋1＝0垂直的直线的方程是____________．3．已知直线l 1：3x ＋4y －12＝0，l 2：7x ＋y －28＝0，则直线l 1与l 2的夹角是________．4．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5.则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝_______.5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．6．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ＝________.7．已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 的形状是________三角形．8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________. 二、解答题9．如图所示，若ABCD 为平行四边形，EF ∥AB ，AE 与BF 相交于点N ，DE 与CF 相交于点M .求证：MN ∥AD .10．求证：△ABC 的三条高线交于一点．11．三角形ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，延长BE 交AC于F ，连结DF .求证：∠ADB ＝∠FDC . 三、探究与拓展12. 如图所示，正三角形ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A 、点B ，且AE 、CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .答案1.525 2.x ＋3y －7＝0 3.45° 4.－25 5．重心 6.－3 7．等边 8.⎝⎛⎭⎫－105，3105 9．证明 ∵EF ∥AB ，∴△NEF ∽△NAB ，设AB →＝μEF →(μ≠1)，则AN EN＝μ，AE →＝(μ－1)EN →，同理，由EF →∥CD →，可得DE →＝(μ－1)EM →， ∴AD →＝ED →－EA →＝AE →－DE →＝(μ－1)MN →，∵μ≠1，令λ＝μ－1， ∴AD →＝λMN →，∴AD ∥MN .10．证明如图所示，已知AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高．设BE ，CF 交于H 点，令AB →＝b ，AC →＝c ，AH →＝h ，则BH →＝h －b ， CH →＝h －c ，BC →＝c －b . ∵BH →⊥AC →，CH →⊥AB →， ∴(h －b )·c ＝0，(h －c )·b ＝0，即(h －b )·c ＝(h －c )·b整理得h·(c －b )＝0，∴AH →·BC →＝0，∴AH ⊥BC ，∴AH →与AD →共线． AD 、BE 、CF 相交于一点H .11．证明如图所示，建立直角坐标系，设A (2,0)，C (0,2)，则D (0,1)，于是AD → ＝(－2,1)， AC →＝(－2,2)，设F (x ，y )，由BF →⊥AD →，得BF →·AD →＝0，即(x ，y )·(－2,1)＝0， ∴－2x ＋y ＝0.①又F 点在AC 上，则FC →∥AC →，而FC →＝(－x,2－y )，因此2×(－x )－(－2)×(2－y )＝0，即x ＋y ＝2.②由①、②式解得x ＝23，y ＝43，∴F ⎝⎛⎭⎫23，43，DF →＝⎝⎛⎭⎫23，13，DC →＝(0,1)， DF →·DC →＝13，又DF →·DC →＝|DF →||DC →|cos θ＝53cos θ， ∴cos θ＝55，即cos ∠FDC ＝55，又cos ∠ADB ＝|BD →||AD →|＝15＝55，∴cos ∠ADB ＝cos ∠FDC ，故∠ADB ＝∠FDC .12．证明设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ(23B A →－B C →)＋13B A →＝13(2λ＋1)B A →－λB C →，又E A →＝B A →－13B C →. ∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC →＝kBA →－13kBC →.于是有： ⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k .解得，λ＝17.∴P D →＝17C D →.∴B P →＝B C →＋C P →＝17B C →＋47B A →.C D →＝23B A →－BC →.从而B P →·C D →＝(17B C →＋47B A →)·(23B A →－BC →)＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0.∴BP →⊥CD →. ∴BP ⊥DC .。

苏教版高中数学必修四学同步训练平面向量Word含答案(1)

2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法一、填空题1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则a ＋b 表示_______． ①向东南航行 2 km ②向东南航行2 km ③向东北航行 2 km ④向东北航行2 km2．在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＋DA →＝________.3. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝________.①AD → ②DB →③BC → ④CB →4．在四边形中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是________．5. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|＝________.6．如图在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的有________．①AB →＝CD →，BC →＝AD → ②AD →＋CO →＝BO →③AO →＋OD →＝AC →＋CD → ④AB →＋AD →＋BC →＝DA → 7．已知|a |＝3，|b |＝5，则向量a ＋b 模长的最大值是________．8．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________.二、解答题9. 如图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于O 点，P 为平面内任意一点．求证：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.10．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度． 11. 如图所示，在平行四边形ABCD 的对角线BD 的延长线和反向延长线上取点F ，E ，使BE ＝DF .求证：四边形AECF 是平行四边形．三、探究与拓展12．在日本3·11大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．答案1．① 2.0 3.①③ 4.平行四边形 5.2 6．②③ 7．88．09．证明 ∵P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝PO →＋OA →＋PO →＋OB →＋PO →＋OC →＋PO →＋OD →＝4PO →＋(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)＝4PO →＋(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝4PO →＋0＋0＝4PO →.∴P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.10．解如图所示，OA →表示水流速度，OB →表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，OC →表示船实际航行的速度，∠AOC ＝30°，|OB →|＝5.∵四边形OACB 为矩形，∴|OA →|＝|AC →|tan 30°＝53， |OC →|＝|OB →|sin 30°＝10， ∴水流速度大小为5 3 km/h ，船实际速度为10 km/h.11．证明 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →，因为FD ＝BE ，且FD →与BE →的方向相同，所以FD →＝BE →，所以AE →＝FC →，即AE 与FC 平行且相等，所以四边形AECF 是平行四边形．12．解如图所示，设AB →、BC →分别是直升飞机两次位移，则AC →表示两次位移的合位移，即AC →＝AB →＋BC →，在Rt △ABD 中，|DB →|＝20 km ，|AD →|＝20 3 km ，在Rt △ACD 中，|AC →|＝|AD →|2＋|DC →|2＝40 3 km ，∠CAD ＝60°，即此时直升飞机位于A 地北偏东30°，且距离A 地40 3 km 处．。

苏教版高中数学必修四向量的线性运算同步练习(2)

高一向量同步练习（向量加、减法）一、选择题 1、命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ” （） A.总成立 B.当a ≠0时成立 C.当b ≠0时成立 D.当c ≠0时成立2、下列四式不能化简为AD 的是（）A.（AB +CD ）+BCB.（AD +MB ）+（BC +CM ）C. MB +-AD BMD. OC OA -+CD3、p ：a 与b 方向相反； q ：a 与b 互为相反向量； r ：|a |=|b |. 则（）A.p 是q 的必要条件，q 是r 的必要条件B.p 是q 的充分条件，q 是r 的充分条件C.p 是q 的必要条件，q 是r 的充分条件D.p 是q 的充分条件，q 是r 的必要条件4、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是（）A.AM +MB +BCB.3AM +ACC. AB +BC +ACD.AM + BM +CM5、在平行四边形ABCD 中，BC +DC +BA 等于（）A.BCB.DAC.ABD.AC6、在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则AF —DB = （）A.FDB.FEC.FCD.BE二、填空题1、已知OA =a ，OB =b ，且|a |=|b |=4，∠AOB=600，则|a +b |= ，|a b -|= ； a +b 与a 的夹角是；a b -与a 的夹角是；△AOB 的面积是。

2、不共线向量a ，b 满足时，使得a +b 平分a ，b 间的夹角。

3、已知向量|a |=2,|b |=8,则|a +b |的最大值是，|a b -|的最小值是。

4、如图5—5，在ABCD 中，已知a AB =，b DB =，则=AD _______，=AC _______。

5、已知为与的和向量，且=，则=______，=________。

6、已知a 、b 是非零向量，若||||||b a b a +=-，则a 、b 应满足条件________。

(完整word版)高中数学必修四向量练习题(附解析)

向量专项练习参考答案一、选择题1．(文)(2014·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] A[解析] 设a ＝λb (λ<0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ<0，∴m ＝－1. [点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 1，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，同时还要注意a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2不等价． 2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线．要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D ．12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(2014·山东青岛期中)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b[答案] A[解析] 由题意得a |a |＝－b |b |，而a |a |表示与a 同向的单位向量，－b|b |表示与b 反向的单位向量，则a 与b 反向．而当a ＝－13b 时，a 与b 反向，可推出题中条件．易知B ，C ，D 都不正确，故选A.[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a|a |，要知道它的模长为1，方向同a 的方向；(2)对于任意非零向量a 来说，都有两个单位向量，一个与a 同向，另一个与a 反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)[答案] B[解析] 由条件知，PC →＝2PQ →－P A →＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →＝(－4,14)， ∴BC →＝BP →＋PC →＝(－6,21)．4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 [答案] C[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．5．(文)(2014·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2[答案] B[解析] 如图，设AB →＝λAC →，则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．(理)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy ⇒xy ＝1，故选B.6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG → C.EO → D ．FO →[答案] D[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.二、填空题7．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －33[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[答案] 12[分析] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )·AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(理)(2014·河北二调)在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π3，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝________.[答案]1049[解析] 由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，②由①②联立解得⎩⎨⎧λ＝27μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.9．(文)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，则1α＋1β＝______.[答案] 3[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.三、解答题10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)．若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝13；若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；若点P 在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)．若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OP AB 为平行四边形．(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝(a ＋t b )2＝5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝(t ＋322)2＋12， ∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.。

江苏省—高一数学必修四随堂练习及答案：04向量的数乘1

随堂练习：向量的数乘（1）1．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－25e2，b＝e1－110e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为3．已知四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，若AB＝a，AD＝b，则BE＝4．已知a＝e1＋2e2，b＝3e1－2e2，则3a－b＝________.5．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.6．如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示向量OM.答案：1.答案：①②③2.解析：由原式可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3. 所以x －y ＝3.答案：33.解析：BE ＝CE －CB ＝12BA ＋BC ＝答案：b －12a .4.解析：3a －b ＝3(e 1＋2e 2)－(3e 1－2e 2)＝3e 1＋6e 2－3e 1＋2e 2＝8e 2.答案：8e 25.解析：∵向量ka ＋2b 与8a ＋kb 的方向相反，∴ka ＋2b ＝λ(8a ＋kb )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(舍正根，∵方向相反时λ<0⇒k <0)．答案：－46解：如右图，连接AM 并延长交BC 于点D .∵M 是△ABC 的重心，∴D 是BC 的中点，且AM ＝23AD . ∴AM ＝23AD ＝23(AB ＋BD ) ＝23AB ＋23BD ＝23AB ＋23⎝⎛⎭⎫12 BC ＝23AB ＋13BC ＝23(OB －OA )＋13(OC －OB )＝23(b －a )＋13(c －b ) ＝－23a ＋13b ＋13c . ∴OM ＝OA ＋AM ＝a ＋⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ＋13c ＝13(a ＋b ＋c )．。

苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：平面向量的基本定理(2).docx

平面向量的基本定理（2）1．等腰直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，则AB u u u r 与BC u u u r 的夹角是________．2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD u u u r ＝a ，BE u u u r ＝b ，则BC u u u r ＝3．如图，在矩形ABCD 中，若BC u u u r ＝5e 1，DC u u u r ＝3e 2，则OC u u u r ＝（用e 1,e 2 来表示）4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR u u u r 等于（用a,b 来表示）5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．°6．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB u u u r ，AC u u u r 表示AD u u u r ，则AD u u u r ＝________________.7．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC u u u r ＝a ，CA u u r ＝b ，给出下列结论：①AD u u u r ＝－12a －b ；②BF u u u r ＝a ＋12b ； ③CF u u u r ＝－12a ＋12b ；④EF u u u r ＝12a . 其中正确结论的序号为________．8．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD u u u r ＝a ，AB u u u r ＝b ，试用a ，b 表示DC u u u r ，EF u u u r ，FC u u u r .9．如图，平行四边形ABCD 中，AD u u u r ＝b ，AB u u u r ＝a ，M 为AB 中点，N 为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．答案：1.解析：作线段AB 的延长线AD ，则∠DBC 是AB u u u r 与BC u u u r 的夹角．又∠DBC ＝180°－∠ABC＝180°－45°＝135°.答案：135°2.解析：设AD 与BE 交点为F ，则AF u u u r ＝23a ，BF u u u r ＝23b . 由AB u u u r ＋BF u u u r ＋FA u u u r ＝0，得AB u u u r ＝23(a －b )，所以BC u u u r ＝2BD u u u r ＝2(AD u u u r －AB u u u r )＝23a ＋43b .答案：23a ＋43b 3.解析：OC u u u r ＝12AC u u u r ＝12(AB u u u r ＋BC u u u r )＝12(DC u u u r ＋BC u u u r ) ＝12(5e 1＋3e 2)．答案：12(5e 1＋3e 2) 4.解析：如图，a ＝12(OR u u u r ＋OQ uuu r )，b ＝12(OQ uuu r →＋OR u u u r )，相减得b －a ＝12(OR u u u r －OP u u u r )． ∴PR u u u r ＝2(b －a )．答案：2(b －a )5.解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.答案：906.解析：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD u u u r ＝14BC u u u r ＝14(AC u u u r －AB u u u r ) ∴AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r ＝AB u u u r ＋14(AC u u u r －AB u u u r ) ＝34AB u u u r ＋14AC u u u r . 答案：34AB u u u r ＋14AC u u u r 7.解析：如图，AD u u u r ＝AC u u u r ＋CD u u u r＝－b ＋12CB u u u r ＝－b －12a ，①正确； BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝a ＋12b ，②正确； AB u u u r ＝AC u u u r ＋CB u u u r ＝－b －a ，CF u u u r ＝CA u u r ＋12AB uu u r ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确；④EF u u u r ＝12CB uu u r ＝－12a ，④不正确．答案：①②③8.解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点， ∴FC u u u r ＝AD u u u r ＝a ，DC u u u r ＝AF u u u r ＝12AB u u u r ＝12b .EF u u u r ＝ED u u u r ＋DA u u u r ＋AF u u u r＝－12DC u u u r －AD u u u r ＋12AB u u u r＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .9.证明：在△ABD 中，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ，因为AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，所以BD u u u r ＝b －a .∵N 点是BD 的三等分点，∴BN u u u r ＝13BD u u u r ＝13(b －a )．∵BC u u u r ＝b ，∴CN u u u r ＝BN u u u r －BC u u u r ＝13(b －a )－b＝－13a －23b . ① ∵M 为AB 中点，∴MB u u u r ＝12a ，∴CM u u u r ＝－MC u u u r ＝－(MB u u u r ＋BC u u u r )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b＝－12a －b . ② 由①②可得CM u u u r ＝32CN u u u r.由共线向量定理知CM u u u r ∥CN u u u r ，又∵CM u u u r 与CN u u u r 有公共点C ，∴C 、M 、N 三点共线．。

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向量的数量积（4）
1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝
2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB ⊥a ，则实数k 的值为
3．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的
坐标是
4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则AD ·BD 等于
5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________．
6．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB ·n |的最大值为________．
7．向量BA ＝(4，－3)，向量BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．
8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4
得到向量b ，则向量b 的坐标为________． 9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .
(1)求证：AB ⊥AC ；
(2)求向量AD ；
(3)求证：AD 2＝BD ·CD .
10．平面内有向量OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，OP ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点．
(1)当MA ·MB 取最小值时，求OM 的坐标； (2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．
答案
1.解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.
答案：1
2.解析：AB ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1. 答案-1
3．解析：设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)， BP ＝(x －4，－1)，
∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2
＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，
故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时P (3,0)．
答案：P (3,0)
4.。

解析：如图，AD ＝BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
BD ＝AD －AB ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，
则AD ·BD ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8. 答案：8
5.解析：∵向量a ＋xb 与－b 垂直，
∴(a ＋xb )·(－b )＝－a·b －xb 2＝－2－5x ＝0，
∴x ＝－25
. 答案：－25
6.解析：AB ＝(2,2)，|AB |＝22，|AB ·n |≤|AB ||n |＝4，当且仅当AB 与n 共线且同向时取等号．
答案：4
7.解析：AC ＝BC －BA ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC ·BC ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC ⊥BC ，
又|AC |≠|BC |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．
答案：直角三角形
解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件得
|a |＝|b |，a·b ＝|a ||b |cos 45°.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×5×22，解得⎩⎨⎧ x ＝22，
y ＝322，或⎩⎨⎧ x ＝322，y ＝－22.
∵向量a 按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，∴b ＝⎝⎛⎭⎫22
，322. 答案：⎝⎛⎭⎫22，322 9.解：(1)∵AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)， AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，
AB ·AC ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴AB ⊥AC .
(2) BC ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．
设BD ＝λBC ＝(5λ，5λ)
则AD ＝AB ＋BD
＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)
＝(5λ－3,5λ－6)，
由AD ⊥BC 得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝
910， ∴AD ＝(32，－32
)． (3)证明：AD 2＝94＋94＝92
， |BD |＝50λ2＝922
， |BC |＝52，|CD |＝|BC |－|BD |＝22. ∴|AD |2＝|BD |·|CD |，即AD 2＝BD ·CD .
解：(1)设OM ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上， ∴向量OM 与OP 共线，又OP ＝(2,1)．
∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .
∴OM ＝(2y ，y )．又MA ＝OA －OM ，OA ＝(1,7)， ∴MA ＝(1－2y,7－y )．
同理MB＝OB－OM＝(5－2y,1－y)．
于是MA·MB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.
可知当y＝20
2×5
＝2时，MA·MB有最小值－8，此时OM＝(4,2)．(2)当OM＝(4,2)，即y＝2时，
有MA＝(－3,5)，MB＝(1，－1)，
|MA|＝34，|MB|＝2，
MA·MB＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.
cos∠AMB＝
MA·MB
|MA||MB|
＝
－8
34×2
＝－
417
17.。