上教版高二数学期中测试
2023-2024学年江苏省扬州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．83．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．266．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=18．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√2210．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为412．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 ．15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 ．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 ．四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.） 17．（10分）已知方程x 24+y 2m=1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值； （2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ． （1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程； （2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2． （1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程． 20．（12分）已知双曲线：x 25−m−y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点．（1）求实数k 的取值范围； （2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．2023-2024学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.） 1．经过A(0，√3)、B （﹣1，0）两点的直线的倾斜角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解：设直线AB 的倾斜角为α，则0≤α＜π， 故k =tanα=√3−00−(−1)=√3， 故α=π3． 故选：B ．2．抛物线x 2＝2ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为（ ） A ．﹣8B ．﹣4C ．4D ．8解：由题意可得−a2=2，则a ＝﹣4． 故选：B ．3．已知P （x ，y ）是椭圆x 2144+y 225=1上的点，则x +y 的值可能是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16解：由椭圆x 2144+y 225=1，可设x ＝12cos θ，y ＝5sin θ，其中θ∈[0，2π]，则x +y ＝12cos θ+5sin θ＝13sin （θ+φ），其中tanφ=125， 因为﹣1≤sin （θ+φ）≤1，所以﹣13≤x +y ≤13，即x +y 的取值范围为[﹣13，13]，结合选项，可得A 符合题意． 故选：A ．4．若点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(12，+∞) B ．(−∞，12)C ．(−4，12)D ．(−∞，−4)∪(12，+∞)解：依题意，方程x 2+y 2﹣x +y +a ＝0可以表示圆，则（﹣1）2+12﹣4a ＞0，得a ＜12； 由点（2，1）在圆x 2+y 2﹣x +y +a ＝0的外部可知：22+12﹣2+1+a ＞0，得a ＞﹣4． 故−4＜a ＜12．故选：C ． 5．已知F 1，F 2是椭圆x 225+y 29=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，则△MNF 2的周长为（ ） A ．10B ．16C ．20D ．26解：利用椭圆的定义可知，|F 1M |+|F 2M |＝2a ＝10，|F 1N |+|F 2N |＝2a ＝10， ∴△MNF 2的周长为|F 1M |+|F 2M |+F 1N |+|F 2N |＝10+10＝20． 故选：C ．6．已知抛物线C ：y 2＝16x ，直线l ：x ＝4与C 交于A 、B 两点，M 是射线BA 上异于A 、B 的动点，圆C 1与圆C 2分别是△OMA 和△OMB 的外接圆（O 为坐标原点），则圆C 1与圆C 2面积的比值（ ） A ．小于1 B ．大于1C ．等于1D ．与M 点的位置有关解：由抛物线C ：y 2＝16x ，可得焦点F （4，0），因为直线x ＝4与抛物线交于A ，B 两点，不妨设A 在B 的上方， 所以A （4，8），B （4，﹣8）， A ，B 两点关于x 轴对称， 所以OA ＝OB ， 所以∠OAB ＝∠OBA ，设圆C 1与圆C 2的半径分别为R 1，R 2， 在△OMA 和△OMB 中，由正弦定理可得，2R 1=OMsin∠OAB ，2R 2=OMsin∠OBA ， 所以有2R 1＝2R 2， 即R 1＝R 2， 故两圆的面积相等， 所以面积的比值为1， 故选：C ．7．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2−x 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A ．y 212−x 24=1B ．3y 24−x 24=1C ．x 24−y 24=1D ．y 216−x 24=1解：设双曲线的一个焦点为（0，﹣c ），一条渐近线方程为y =a bx ，即ax ﹣by ＝0， 则焦点到渐近线的距离d =√a 2+b=b =2，∵e =ca =2，c 2＝a 2+b 2，b ＝2， ∴a 2=43，b 2＝4， ∴双曲线方程为：3y 24−x 24=1．故选：B ．8．已知点M （2，4），若过点N （4，0）的直线l 交圆于C ：（x ﹣6）2+y 2＝9于A ，B 两点，则|MA →+MB →|的最大值为（ ） A ．12B ．8√2C ．10D ．6√2解：由已知圆的方程可得：圆心C （6，0），半径为r ＝3， 设AB 的中点为P （x ，y ），则由圆的性质可得：NP ⊥CP ， 即NP →⋅CP →=0，而NP →=（x ﹣4，y ），CP →=（x ﹣6，y ）， 所以（x ﹣4）（x ﹣6）+y 2＝0，即点P 的轨迹方程为（x ﹣5）2+y 2＝1， 设E 为NC 的中点，则E （5，0），半径为1，所以|MP |的最大值为|ME |+1=√(2−5)2+42+1＝5+1＝6， 又|MA →+MB →|＝2|MP →|， 所以|MA →+MB →|的最大值为12， 故选：A ．二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）9．已知直线l ：（a 2+a +1）x ﹣y +1＝0，其中a ∈R ，则（ ） A ．直线l 过定点（0，1）B ．当a ＝﹣1时，直线l 与直线x +y ＝0垂直C ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D ．若直线l 与直线x ﹣y ＝0平行，则这两条平行直线之间的距离为√22解：选项A ，把坐标（0，1）代入直线方程而立，A 正确；选项B ，a ＝﹣1时直线l 方程为x ﹣y +1＝0，斜率是1，直线x +y ＝0斜率是﹣1，两直线垂直，B 正确； 选项C ，a ＝0时直线方程为x ﹣y +1＝0，在x 轴上截距为x ＝﹣1，在y 轴上截距为y ＝1，不相等，C 错；选项D ，a 2+a +1＝1即a ＝0或﹣1时，直线l 方程为x ﹣y +1＝0与直线x ﹣y ＝0平行，距离为d =|1−0|√1+(−1)=√22，D 正确．故选：ABD ． 10．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ） A ．a ＝2，c ＝1B ．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C ．△BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D ．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上 解：根据a 2＝b 2+c 2之间的关系可得选项A 正确； 根据e =c a =12，2b =2，a 2=b 2+c 2即可求解，故选项B 正确； △BF 1F 2是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定a =2c ，e =c a =12，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确； 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆（x ﹣c ）2+y 2＝9上，所以2c ＝4，（0﹣c ）2+b 2＝c 2+b 2＝a 2＝9，即可求出椭圆E 标准方程，故选项D 正确．故选：ABD ．11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线l 1从点M （3，1）射入，经过抛物线上的点P （x 1，y 1）反射后，再经抛物线上另一点Q （x 2，y 2）反射后，沿直线l 2射出，则下列结论中正确的是（ ） A ．k PQ =−34 B ．x 1x 2＝1C ．|PQ|=254D ．l 1与l 2之间的距离为4解：A ．由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过抛物线的焦点F （1，0）， 又MP 是水平的，所以可得P(14，1)，因此k PQ =k PF =1−014−1=−43，即A 错误； B ．易知直线PQ 的方程为y =−43(x −1)，联立直线和抛物线{y =−43(x −1)y 2=4x ，消去y 可得4x 2﹣17x +4＝0，由韦达定理可知x 1+x 2=174，x 1x 2=1，即B 正确； C ．由x 1=14可得x 2＝4，所以点Q 的坐标为Q （4，﹣4），利用抛物线定义可知|PQ|=|PF|+|QF|=x 1+x 2+p =174+2=254，即C 正确； ∵l 1与l 2两直线平行，∴l 1与l 2之间的距离为d ＝|y 1﹣y 2|＝5，即D 错误． 故选：BC ．12．已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N ，则（ ）A ．PF 12−PF 22的最小值为8B ．PF 1•PF 2﹣OP 2为定值C ．若直线l 与双曲线C 相切，则点M ，N 的纵坐标之积为﹣2D ．若直线l 经过F 2，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6 解：依题意得a ＝1，b =√3，c ＝2，F 1（﹣2，0），F 2（2，0），|PF 2|﹣|PF 1|＝2a ＝2， 设P （x 0，y 0），则x 0≥1，x 02−y 023=1，即y 02=3x 02−3，双曲线C 的两条渐近线方程为y =±√3x ，对于A ，PF 12−PF 22=(x 0+2)2+y 02−[(x 0−2)2+y 02]=8x 0≥8，A 正确；对于B ，|PF 1|⋅|PF 2|−|OP|2=√(x 0+2)2+y 02⋅√(x 0−2)2+y 02−(x 02+y 02)=√(x 0+2)2+3x 02−3⋅√(x 0−2)2+3x 02−3−(x 02+3x 02−3) =(2x 0+1)⋅(2x 0−1)−(4x 02−3)=2是定值，B 正确；对于C ，不妨设M(x 1，√3x 1)，N(x 2，−√3x 2)，直线l 的方程为x ＝my +n ， 由{x =my +n x 2−y 23=1，得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， 若直线l 与双曲线C 相切，则Δ＝36m 2n 2﹣12（3m 2﹣1）（n 2﹣1）＝0， 化简整理得n 2＝1﹣3m 2，则点M ，N 的纵坐标之积y 1y 2=−3x 1x 2=−3n 1−√3m n 1+√3m=−3n 21−3m 2=−3，C 错误；对于D ，若Q 在双曲线C 的右支，则通径最短，通径为2b 2a=6，若Q 在双曲线C 的左支，则实轴最短，实轴长为2a ＝2＜6，D 错误． 故选：AB ．三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.） 13．双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为 y ＝±√2x ．解：由题意可得e =ca =√3， 即c =√3a ，b =√c 2−a 2=√2a ， 可得双曲线的渐近线方程y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故答案为：y ＝±√2x ．14．在抛物线y 2＝﹣4x 上求一点P ，使其到焦点F 的距离与到A （﹣2，1）的距离之和最小，则该点的坐标是 （−14，1） ．解：由抛物线方程为y 2＝﹣4x ，可得2p ＝4，p2=1，∴焦点坐标为F （﹣1，0），准线方程为x ＝1．设点P 在准线上的射影为Q ，连结PQ ，则根据抛物线的定义得|PF |＝|PQ |，由平面几何知识，可知当A 、P 、Q 三点共线时，|PQ |+|P A |达到最小值，此时|PF |+|P A |也达到最小值．∴|PF |+|P A |取最小值，点P 的纵坐标为1，将P （x ，1）代入抛物线方程，得12＝﹣4x ，解得x =−14，∴使P 到A 、F 距离之和最小的点P 坐标为（−14，1）．故答案为：（−14，1）15．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3，0），过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为（2，﹣1），则该椭圆的面积为 9√2π ．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），记AB 的中点为M ，即M （2，﹣1），因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得{x 1+x 2=4y 1+y 2=−2， 因为直线AB 过椭圆焦点F （3，0），所以直线AB 斜率为k =y 1−y 2x 1−x 2=0−13−2=1， 又因为A ，B 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上， 所以{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b 2=0， 整理得y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 2y 1+y 2⋅b 2a 2，代值化简得2b 2＝a 2， 因为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点为F （3，0），所以a 2﹣b 2＝9，得a =3√2，b ＝3，由题意可知，椭圆的面积为abπ=9√2π．故答案为：9√2π．16．已知圆C 1和圆C 2均与x 轴及直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2），已知两圆半径的乘积为134，则实数k 的值为 43 ．解：∵圆C 1和圆C 2与x 轴和直线y ＝kx （k ＞0）相切，两圆交于P ，Q 两点，其中P 点坐标为（3，2）， ∴C 1和C 2在第一象限，设a ，b 为圆C 1和圆C 2的半径，则C 1（ma ，a ），C 2（mb ，b ）（m ＞0），∵点P 在圆C 1和圆C 2，∴{(ma −3)2+(a −2)2=a 2(mb −3)2+(b −2)2=b 2， 又∵圆C 1和圆C 2与x 轴相切，∴a ，b 是m 2r 2﹣（6m +4）r +13＝0的两个根，又∵ab =134，∴13m 2=134，解得m ＝2或m ＝﹣2（舍去）， ∴k C 1C 2=12，∵直线C 1C 2的倾斜角是直线y ＝kx （k ＞0）的一半，∴k =2k C 1C 21−k C 1C 22=43． 故答案为：43． 四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17．（10分）已知方程x 24+y 2m =1（m ∈R 且m ≠0）．（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标．解：（1）因为方程为焦点在y 轴上，所以a 2＝m ，b 2＝4，则离心率e =c a =√m−4√m =12，解得m =163， 故m =163．（2）由题意得 m ＝﹣4，c =√a 2+b 2=√4+4=2√2，故焦点坐标为(±2√2，0)．18．（12分）已知直线l 经过直线l 1：3x +4y ﹣11＝0，l 2：2x +3y ﹣8＝0的交点M ．（1）若直线l 经过点P （3，1），求直线l 的方程；（2）若直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，求直线l 的方程．解：（1）由{3x +4y −11=02x +3y −8=0得{x =1y =2， 即直线l 1和l 2的交点为M （1，2）．∵直线l 还经过点P （3，1），∴l 的方程为y−21−2=x−13−1，即x +2y ﹣5＝0；（2）由直线l 与直线3x +2y +5＝0垂直，可设它的方程为2x ﹣3y +n ＝0．再把点M （1，2）的坐标代入，可得2﹣6+n ＝0，解得n ＝4，故直线l 的方程为2x ﹣3y +4＝0．19．（12分）已知圆C 经过A （1，4），B （5，0）两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线x ﹣y +1＝0对称，求过点（3，0）且与圆M 相切的直线方程．解：（1）设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0（D 2+E 2﹣4F ＞0），令y ＝0，可得x 2+Dx +F ＝0，则x 1+x 2＝﹣D ＝2，将A （1，4），B （5，0）代入可得，{1+16+D +4E +F =025+5D +F =0， 解得{D =−2E =0F =−15，所以圆C 方程为x 2+y 2﹣2x ﹣15＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝16．（2）圆C 的圆心C （1，0），圆M 的圆心与C （1，0）关于x ﹣y +1＝0对称，∴设圆M 的圆心为M （a ，b ）则{a+12−b 2+1=0b a−1×1=−1，解得{a =−1b =2， 圆M 的标准方程为：（x +1）2+（y ﹣2）2＝16，若过点（3，0）的直线斜率不存在，则方程为x ＝3，此时圆心C （﹣1，2）到直线x ＝3的距离为3+1＝4＝r ，满足题意；若过点（3，0）且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0，则圆心到直线kx ﹣y ﹣3k ＝0的距离为√k 2=4，解得k =34， 所以切线方程为34x −y −94=0，即3x ﹣4y ﹣9＝0，综上，过点（3，0）且与圆C 相切的直线方程为x ＝3或3x ﹣4y ﹣9＝0．20．（12分）已知双曲线：x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)的一个焦点与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：x ＝ty +8交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O ． 解：（1）由双曲线方程x 25−m −y 2m−1=1(1＜m ＜5)，可得其焦点在x 轴上且焦点坐标为F 1（﹣2，0），F 2（2，0），又F 2（2，0）为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，所以p 2=2⇒p =4， 即可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ；（2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =ty +8y 2=8x⇒y 2−8ty −64=0，Δ＝64t 2+4×64＞0， 由韦达定理得y 1+y 2＝8t ，y 1y 2＝﹣64，所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=(ty 1+8)(ty 2+8)+y 1y 2＝（t 2+1）y 1y 2+8t （y 1+y 2）+64＝（t 2+1）（﹣64）+8t （8t ）+64＝0，所以OA →⊥OB →，即以AB 为直径的圆经过原点O ．21．（12分）已知直线l ：y =kx +√2(k ∈R)，与双曲线C ：x 23−y 2=1的左支交于A ，B 两点． （1）求实数k 的取值范围；（2）若△OAB 的面积为6√25（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值．解：（1）不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{y =kx +√2x 23−y 2=1，消去y 并整理得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0，因为直线l 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，所以1﹣3k 2≠0且Δ＞0，由韦达定理得x 1x 2=−91−3k 2＞0，x 1+x 2=6√2k 1−3k 2＜0，① 所以k ＞0，13＜k 2＜1，解得√33＜k ＜1， 则实数k 的取值范围为(√33，1)；（2）易知点O 到直线l 的距离d =√2√k +1， 若△OAB 的面积为6√25， 此时12|AB|⋅d =12√1+k 2|x 1−x 2|⋅√2√k 2+1=√22|x 1−x 2|=6√25，② 联立①②，解得6√1−k 2|3k 2−1|=125，即36k 4+k 2﹣21＝0，因为√33＜k ＜1， 所以k =√32， 故直线l 的斜率k 的值为√32． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)，且离心率为√22． （1）求椭圆C 方程；（2）点A ，B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点P （0，4）且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，探究直线BM ，AN 的交点是否在一条定直线l 0上，若存在，求出该直线l 0的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为椭圆的离心率为√22， 可得e =c a =√1−b 2a 2=√22， 即a 2＝2b 2，① 又因为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)过点(2，√2)， 所以42b 2+2b 2=1，②联立①②，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 方程为x 28+y 24=1：（2）易知A （0，2），B （0，﹣2），不妨设直线MN 的方程为y ＝kx +4，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 28+y 24=1y =kx +4，消去y 并整理得（1+2k 2）x 2+16kx +24＝0， 此时Δ＝（16k ）2﹣4×24•（1+2k 2）＝64k 2﹣96＞0， 解得k 2＞32，由韦达定理得x 1+x 2=−16k1+2k 2，x 1⋅x 2=241+2k 2，直线AN 的方程为y −2=y 2−2x 2x ，直线BM 的方程为y +2=y 1+2x 1x ， 联立{y −2=y 2−x x 2x y +2=y 1+2x 1x ，可得y−2y+2=(y 2−2)x 1(y 1+2)x 2=kx 1x 2+2x 1kx 1x 2+6x 2， 因为x 1=−16k 1+2k 2−x 2， 所以y−2y+2=24k 1+2k 2+2(−16k 1+2k 2−x 2)24k 1+2k 2+6x 2=−8k−(2+4k 2)x 224k+(6+12k 2)x 2=−13，解得y ＝1，故直线BM ，AN 的交点在定直线y ＝1上．。
2023-2024学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝03．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ） A ．{AB →，12AC →，AS →} B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →} D ．{AS →，AB →，√55BC →}4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√327．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A （1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．2x ﹣y ＝0D ．x ﹣y ﹣1＝010．已知点P 在圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0上，直线AB ：y ＝x +2，则（ ） A ．直线AB 与圆C 相交 B ．直线AB 与圆C 相离C ．点P 到直线AB 距离最大值为2√2+2D ．点P 到直线AB 距离最小值为2√2−111．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为√312．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2 B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是 ．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝ ．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 ． 16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 米．（注意：√10≈3.162)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1．（1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）． （1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行，则{a 2−1=0a +1≠0⇒a =1； 若a ＝1，则直线x +y ﹣1＝0与直线x +y +1＝0平行，∴直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行是a ＝1的充分必要条件． 故选：B ．2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝0解：根据题意，{x +y =22x −y =1，解可得{x =1y =1，即两直线的交点为（1，1），设A （1，1），设直线上任意一点为M ，其坐标为（x ，y ）， 直线的一个方向向量v →=(−6，4)，则MA →∥v →，则有4（x ﹣1）＝﹣6（y ﹣1），即4x +6y ﹣10＝0，变形可得2x +3y ﹣5＝0， 故要求直线的方程为2x +3y ﹣5＝0． 故选：D ．3．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）A ．{AB →，12AC →，AS →}B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →}D ．{AS →，AB →，√55BC →}解：由于SA ⊥平面ABC ， 所以：SA ⊥AB ，SA ⊥AC ， 由于AB ⊥AC ，AB ＝1，BC =√5， 所以AC ＝2．所以空间的一个单位正交基底可以为{AB →，12AC →，AS →}．故选：A ．4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同解：椭圆x 216+y 24=1中a 2＝16，b 2＝4，故c 2＝16﹣4＝12，x 236+y 224=1中a 2＝36，b 2＝24，故c 2＝36﹣24＝12，故两个椭圆的a ，b 都不相等，而c 相等，故焦距相等． 故选：C ．5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a 2（a ＞0）， 则圆心为（0，a ），半径R ＝a ， 圆心到直线x +y ＝0的距离d =a2， ∵圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2， ∴2√R 2−d 2=2√a 2−a 22=2√a22=2√2，即√a 22=√2，即a 2＝4，a ＝2，则圆心为M （0，2），半径R ＝2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为N （1，1），半径r ＝1，则MN =√12+12=√2， ∵R +r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R ﹣r ＜MN ＜R +r ，即两个圆相交． 故选：B ．6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√32解：建立空间直角坐标系如图，则A （1，1，0），C （0，2，0），G （0，0，2），Q （1，0，2）， GQ →=(1，0，0)，GC →=(0，2，−2)，CA →=(1，−1，0)， 设平面QGC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅GQ →=x =0n →⋅GC →=2y −2z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)， ∴点A 到平面QGC 的距离是|n →⋅CA →||n →|=√2=√22． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=1解：F （﹣2，0），C （2，0），点F 关于折痕l 的对称点A 在圆周上，折痕l 为线段AF 的垂直平分线，折痕l 与AC 相交于点P ，如图所示：则有|P A |＝|PF |，可知|PF |+|PC |＝|P A |+|PC |＝|AC |＝8＞|FC |＝4，所以点P 的轨迹是以F ，C 为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a ＝8，焦距2c ＝4， 所以点P 的轨迹方程为x 216+y 212=1，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为x 216+y 212=1．故选：A ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1P A 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0解：当直线经过原点时，斜率为k=2−01−0=2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；综上知，所求的直线方程为2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．故选：ABC．10．已知点P在圆C：x2+y2﹣4x＝0上，直线AB：y＝x+2，则（）A．直线AB与圆C相交B．直线AB与圆C相离C．点P到直线AB距离最大值为2√2+2D．点P到直线AB距离最小值为2√2−1解：圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心为C（2，0），半径r＝2，则圆心C到直线AB的距离d=|2+2−0|√1+(−1)2=2√2＞r，所以直线AB与圆C相离，又点P在圆C上，所以点P到直线AB距离最大值为2√2+2，点P到直线AB距离最小值为2√2−2，故正确的有B、C．故选：BC．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六边形D．截面面积最大值为√3解：如图所示，当截面为B 1CD 1时，截面为正三角形，选项A 正确；当截面过棱A 1B 1，B 1B ，BC ，CD ，DD 1，D 1A 1的中点时，截面为正六边形，选项C 正确； 当截面为正六边形时，面积最大，因为MN =√2，GH =√22，OE =√(12)2+(√24)2=√64， 所以S ＝2×12×（√22+√2）×√64=3√34，选项D 错误； 与AC 1垂直的截面不可能是正方形，选项B 错误． 故选：AC ．12．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9解：由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝3，所以c ＝4，由题意可得A （﹣5，0），B （5，0），F 1（﹣4，0），F 2（4，0），设上顶点为D （0，3），A 中，DF 1→•DF 2→=（﹣4，﹣3）•（4，﹣3）＝﹣16+9＝﹣7＜0，所以∠F 1PF 2的最大角为钝角， 所以存在P 使得∠F 1PF 2为直角，所以A 正确；B 中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可得m +n ＝2a ＝10，cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn =(m+n)2−2mn−642mn =36−2mn 2mn =18mn−1， 因为mn ≤（m+n 2）2＝25，当且仅当m ＝n 时取等号，所以cos ∠F 1PF 2≥1825−1=−725，即cos ∠F 1PF 2的最小值为−725，所以B 不正确； C 中，设P （x 0，y 0），则x 0225+y 029=1，所以y 02=9（1−x 0225），可得k P A •k PB =y 0x 0+5•y 0x 0−5=y 02x 02−25=9(1−x 0225)x 02−25=−925，所以C 不正确；D 中，PF 1⊥PF 2，由B 选项及由勾股定理可得：m 2+n 2＝（2c ）2＝64，即（m +n ）2﹣2mn ＝64， 即2mn ＝100﹣64＝36，所以mn ＝18，所以S △F 1PF 2=12mn ＝9，所以D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是： （x ﹣1）2+（y +2）2＝9 ． 解：圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 则圆心C （1，﹣2）， ∵圆过点A （1，1）， ∴半径R ＝|AC |＝3，则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝9． 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝9．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝23．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系， A （0，0，0），因为P A ＝AB ＝2，C （2，2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），O （1，1，0），因为E ，F 分别是PD ，PB 中点，设G （0，0，b ），设平面EFC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 因为OG ∥平面EFC ，所以OG →•n →=0，OG →=（﹣1，﹣1，b ）， 所以E （0，1，1），F （1，0，1），则EF →=（1，﹣1，0）， CE →=（﹣2，﹣1，1），则{n →⋅EF →=0n →⋅CE →=0，即{x −y =0−2x −y +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n →=（1，1，3）， 所以OG →•n →=−1﹣1+3b ＝0，解得b =23， 所以AG ＝b =23． 故答案为：23．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 √10 ． 解：直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）， 整理得：λ（x +y ﹣1）+（2x ﹣2）＝0， 故{x +y −1=02x −2=0，解得{x =1y =0，故直线l 恒过点Q （1，0），故点P （﹣2，﹣1）到直线l 的最大距离d =√(−2−1)2+(−1−0)2=√10． 故答案为：√10．16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 6.48 米．（注意：√10≈3.162)解：以O 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标（0，a ），P （0，10），A （﹣50，0）， 则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2，所以{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， 所以圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， 因为y ＞0，所以y ＝40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48， 所以MN 的高度是6.48米． 故答案为：6.48．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．（1）证明：由直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0，得m （x ﹣1）﹣y +1＝0，由{x −1=0−y +1=0，得{x =1y =1，∴直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0过定点p （1，1），代入圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5，得12+（1﹣1）2＝1＜5，∴点p （1，1）在圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5内部， ∴对任意的m ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）解：直线l 的斜率存在，由|AB|=√17，圆的半径为√5，得圆心到直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0的距离为√5−174=√32． 则√m 2+1=√32，解得：m =±√3．∴直线l 为y =√3x +1−√3或y =−√3x +1−√3．直线l 的倾斜角为60°或120°．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1． （1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．解：（1）∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，又∠BAD ＝90°， ∴AB ⊥AD ，∵为PB 与底面所成的角为45°， ∴∠PBA ＝45°，故AB ＝P A ＝1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，1），C （1，1，0）， 则PC →=（1，1，﹣1），PB →=（1，0，﹣1），PD →=（0，2，﹣1）， 设平面PBD 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PB →=0m →⋅PD →=0，即{x −z =02y −z =0，取z ＝2，则x ＝2，y ＝1，此时m →=（2，1，2）， 设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜m →，PC →＞|＝|m →⋅PC→|PC →||m →|||√3×3|√39． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为√39． （2）平面P AB 的一个法向量j →=（0，1，0） 设平面PCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅PC →=0n →⋅PD →=0，即{x +y −z =02y −z =0， 取y ＝l ，则z ＝2，x ＝l ，此时n →=（1，1，2）， cos ＜n →，j →＞=n →⋅j→|n →||j →|=6×1=√66， 所以平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为√66．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |．解：（1）圆C 1方程可化为（x ﹣2）2+（y ﹣3）＝4，则圆心C 1（2，3），半径为2， 由 （3﹣2）2+（5﹣3）2＞4，可知点P 在圆外， 设l 的方程为y ﹣5＝k （x ﹣3），即kx ﹣y +5﹣3k ＝0， 则圆心C 1到直线l 的距离为√1+k 2=2，解得k ＝0或k =−43，∴l 的方程为4x +3y ﹣27＝0或y ＝5．（2）把两圆的方程相减可得直线AB 的方程为6x +2y ﹣13＝0， 则圆心C 到直线AB 的距离d =|6×2+2×3−13|√36+4=√104＜2，直线与圆相交，所以|AB |＝2√4−1016=3√62． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）．（1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 解：（1）由离心率e =c a =√22，则a =√2c ， 又上顶点A （0，1），知b ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝1，可知c ＝1，a =√2， ∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线l ：y =kx +√3，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则{y =kx +√3x 22+y 2=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4√3kx +4=0，Δ=(4√3k)2−4×4×(1+2k 2)＞0，即k 2＞1， ∴x 1+x 2=−4√3k 1+2k2，x 1x 2=41+2k2，∴|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√(1+k 2)(k 2−1)1+2k2=8√27， 即17k 4﹣32k 2﹣57＝0，解得：k 2＝3或−1917（舍去）， ∴k =±√3．21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为OO 1⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DA ，OF →，OO 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO 1所成的角为45°，则B （2，2，0），D 1(−1，−1，√2)，C 1(−1，1，√2)，F （0，2，0），E （﹣2，0，0），A 1(1，−1，√2)，所以BD 1→=(−3，−3，√2)，CE 1→=(−1，−1，√2)，EF →=(2，2，0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=x +y =0n →⋅C 1E →=x +y +√2z =0，令x ＝1，则n →=（1，﹣1，0）， 因为BD 1→=（﹣3，﹣3，√2），所以n →•BD 1→=0，所以n →⊥BD 1→， 又因为BD 1⊂平面C 1EF ，所以BD 1∥平面 C 1EF ；（2）假设边BC 上存在点M （x ，2，0）满足条件，x ∈[﹣2，2]， 则A 1M →=（x ﹣1，3，−√2），设直线A 1M 与平面C 1EFF 所成角为θ，由题意可得sin θ＝|cos ＜A 1M →，n →＞|=|A 1M →⋅n →||A 1M →|⋅|n →|=|x−4|√2⋅√x 2−2x+12=3√2222， 化简得x 2﹣35x +34＝0，则x ＝1或x ＝34（舍去），即存在点M 符合题意，此时BM ＝1． 22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．解：（1）由题意可得a =2，b =c =√2，所以Γ：x 24+y 22=1，A(0，−√2)，因为AM 的中点在x 轴上， 所以点M 的纵坐标为√2， 将y =√2代入x +y −4√2=0中， 解得x ＝3√2， 则M(3√2，√2)； （2）易知d =|acosθ+bsinθ−42|2=6−2a ，因为椭圆在直线的左下方， 所以acosθ+bsinθ−422=6−2a ，即4√2−√a 2+b 2sin(θ+φ)=6√2−2√2a ， 又a 2＝b 2+2，可得√2a 2−2sin(θ+φ)=2√2a −2√2， 此时√a 2−1sin(θ+φ)=2a −2，|sin(θ+φ)|=√a 2−1≤1，整理得（a ﹣1）（3a ﹣5）≤0， 即1≤a ≤53，所以d =6−2a ≥6−2×53=83． 故d 的最小值为83．。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。
5．难度系数：0.72。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
2023-2024学年广东省深圳中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．82．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．43．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．34．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=15．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．276．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1 B ．√32C ．√22D ．127．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(0，35] B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝1010．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ）A ．点（4，0）在圆M 内B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√512．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ ．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ ． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 ． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 ． 四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程． 18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O 1：（x +2）2+y 2＝1，圆O 2：（x ﹣2）2+y 2＝1，点H （1，0），一动圆M 与圆O 1内切、与圆O 2外切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程E ；（2）是否存在一条过定点的动直线l ，与E 交于A 、B 两点，并且满足HA ⊥HB ？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ；（2）令c n =an b n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立；（3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．2023-2024学年广东省深圳中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题只有一个答案符合题意，共8小题，每小题5分，共40分） 1．在等差数列{a n }中，a 4+a 8＝20，a 7＝12，则a 4＝（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8解：由等差数列的性质可知a 4+a 8＝a 5+a 7＝20， 又a 7＝12，故a 5＝8，设等差数列的公差为d ，则d =a 7−a57−5=12−82=2， 所以a 4＝a 5﹣d ＝8﹣2＝6． 故选：C ．2．在等比数列{a n }中，若a 5＝2，a 3a 8＝a 7，则{a n }的公比q ＝（ ） A ．√2B ．2C ．2√2D ．4解：依题意，由a 3a 8＝a 7， 可得a 1q 2•a 1q 7＝a 1q 6，化简整理，得a 1q 3＝1，即a 4＝1， ∴公比q =a5a 4=21=2．故选：B ．3．已知两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则a ＝（ ） A ．13B ．−13C ．﹣3D ．3解：根据题意，直线l 1：3x +y ﹣5＝0，其斜率k 1＝﹣3，直线l 2：x ﹣ay ＝0，其斜率k 2=1a， 若两条直线l 1：3x +y ﹣5＝0和l 2：x ﹣ay ＝0相互垂直，则有（﹣3）×1a=−1，解可得a ＝3， 故选：D ．4．已知椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．x 22+y 23=1 B ．x 24+y 23=1C ．x 23+y 22=1D ．x 23+y 24=1解：∵椭圆C 的一个焦点为（1，0），且过点(0，√3)， ∴c ＝1，b =√3，∴a 2＝b 2+c 2＝4， ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．故选：B ．5．在等比数列{a n }中，3a 2a 4＝4a 3，且a 6＝2a 5，则{a n }的前6项和为（ ） A ．22B ．24C ．21D ．27解：由等比数列的性质可知，a 2a 4=a 32， ∴3a 32=4a 3， 又∵a 3≠0，∴a 3=43， ∵a 6＝2a 5，∴公比q =a6a 5=2，∴a 1=a 3q2=434=13， ∴{a n }的前6项和S n =a 1(1−q 6)1−q =13(1−26)1−2=21．故选：C ．6．已知F 是双曲线C ：x 23−y 2=1的一个焦点，点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，则△OPF 的面积为（ ） A ．1B ．√32C ．√22D ．12解：如图，不妨设F 为双曲线C ：x 23−y 2=1的右焦点，P 为第一象限点．由双曲线方程可得，a 2＝3，b 2＝1，则c ＝2， 点P 在C 的渐近线上，O 是坐标原点，|OF |＝2|PF |，∠POF =π6，|PF |＝1，PF sin∠POF =OF sin∠OPF，sin ∠OPF =2×121=1，所以OP ⊥PF ，OP =√3， ∴S △OPF =12×√3×1=√32． 故选：B ．7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若椭圆C 上存在一点M 使得△MF 1F 2的内切圆半径为c2，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．(0，35]B ．(0，45]C ．[35，1)D ．[45，1)解：△MF 1F 2的面积为12|F 1F 2|⋅|y M |，因为△MF 1F 2的内切圆半径为c2，所以△MF 1F 2的面积可表示为12（2a +2c ）×c2，所以12×2c ×|y M |=12（2a +2c ）×c 2，所以|y M |=a+c2，因为|y M |≤b ，所以a+c 2≤b ，两边平方得：（a+c 2）2≤b 2，而b 2＝a 2﹣c 2，所以（a+c 2）2≤a 2﹣c 2，整理得：5c 2+2ac ﹣3a 2≤0，因为离心率e =ca，所以5e 2+2e ﹣3≤0，解得：0＜e ≤35． 故选：A ． 8．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)，点B 的坐标为（0，b ），若C 上的任意一点P 都满足|PB |≥b ，则C 的离心率取值范围是（ ） A ．(1，√5+12] B ．[√5+12，+∞) C ．(1，√2] D ．[√2，+∞)解：设P （x ，y ），|PB|≥b ⇒√x 2+(y −b)2≥b ⇒x 2+y 2−2by ≥0(∗)， 由x 2a 2−y 2b 2=1⇒x 2=a 2(1+y 2b 2)，代入不等式*中，整理得c 2b 2y 2−2by +a 2≥0恒成立，则Δ=4b 2−4a 2c 2b2≤0⇒b 4≤a 2c 2⇒b 2≤ac ⇒c 2−a 2≤ac ⇒e 2−e −1≤0，解得1−√52≤e ≤1+√52，又e ＞1，则1＜e ≤1+√52； 故选：A ．二、多项选择题（共4小题，每小题均有多个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝1，则（ ） A ．a 2+a 8＝2B ．a 3a 7＝1C ．S 9＝9D ．S 10＝10解：设数列{a n }的公差为d ，由a 2+a 8＝2a 5＝2，知选项A 正确；a 3a 7＝（a 5﹣2d ）（a 5+2d ）=a 52−4d 2＝1﹣4d 2，由于d 不确定，所以B 错误；由S 9=(a 1+a 9)⋅92=9a 5＝9，知选项C 正确； S 10＝S 9+a 10＝9+a 5+5d ＝10+5d ，由于d 不确定，所以D 错误． 故选：AC ．10．已知圆M ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，则下列说法正确的是（ ） A ．点（4，0）在圆M 内 B ．圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称C ．半径为√3D ．直线x −√3y =0与圆M 相切解：x 2+y 2﹣4x +3＝0整理得：（x ﹣2）2+y 2＝1，∵x ＝4，y ＝0时x 2+y 2﹣4x +3＝3＞0，∴点（4，0）在圆M 外，A 错；∵圆心M （2，0）在直线x +3y ﹣2＝0上，∴圆M 关于x +3y ﹣2＝0对称，B 对； ∵圆M 半径为1，故C 错；∵圆心M （2，0）到直线x −√3y =0的距离为d =|2|√1+3=1，与半径相等，∴直线x −√3y =0与圆M 相切，D 对． 故选：BD ． 11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若|AB|≥√2|DF|，则双曲线的离心率的值可能是（ ） A ．23B ．√2C ．√52D ．√5解：不妨设双曲线的右焦点为F （c ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 此时直线l 的方程为y ＝k （x ﹣c ），联立{x 2a 2−y 2b 2=1y =k(x −c)，消去y 并整理得（b 2﹣a 2k 2）x 2+2a 2k 2cx ﹣a 2（k 2c 2+b 2）＝0，此时b 2﹣a 2k 2≠0且Δ＞0， 由韦达定理得x 1+x 2=−2a 2k 2c b 2−a 2k2，x 1x 2=−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2，所以|AB|=√1+k 2√(−2a 2k 2c b 2−a 2k2)2−4[−a 2(k 2c 2+b 2)b 2−a 2k2]=2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，不妨设线段AB 的中点M （x 0，y 0），此时x 0=x 1+x 22=−a 2k 2c b 2−a 2k 2，y 0=k(x 0−c)=k(−a 2k 2c b 2−a 2k 2−c)=−b 2kcb 2−a 2k2，即M(−a 2k 2c b2−a 2k2，−b 2kc b2−a 2k2)，因为k ≠0，线段AB 的中垂线的斜率为−1k ，则线段AB 的中垂线所在直线方程为y +b 2kcb 2−a 2k 2=−1k (x +a 2k 2cb 2−a 2k2)， 令y ＝0，解得x =−k 2c 2b2−a 2k2，即D(−k 2c 3b 2−a 2k2，0)， 所以|DF|=|−k 2c 3b 2−a 2k2−c|=b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，因为|AB|≥√2|DF|，所以2ab 2(1+k 2)|b 2−a 2k 2|≥√2b 2c(1+k 2)|b 2−a 2k 2|，整理得2a ≥√2c ， 则e =c a ≤22=√2， 又双曲线的离心率e ＞1，则双曲线的离心率取值范围为(1，√2]． 故选：BC ．12．若数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3），则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为90°的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以a n 为边长的正方形中的扇形面积为b n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则（ ）A ．a 8＝21B ．a 2023是奇数C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023D ．S 2023a 2023⋅a 2024=π4解：对于A ，由a 1＝1，a 2＝1，且a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，可得斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，则a 8＝21，故A 正确； 对于B ，由斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且2023＝3×674+1，所以a 2023是奇数，故B 正确； 对于C ，因为a 2＝a 3﹣a 1，a 4＝a 5﹣a 3，⋯，a 2022＝a 2023﹣a 2021，相加可得：a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023﹣1，故C 错误；对于D ，因为斐波那契数列总满足a n =a n−1+a n−2(n ≥3，n ∈N ∗)，且a 1＝a 2＝1，所以a 12=a 2a 1，a 22=a 2a 2=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3a 3=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 3a 2， 类似的有，a n 2=a n a n =a n (a n+1−a n−1)=a n a n+1−a n a n−1，其中n ≥2， 累加得a 12+a 22+a 32+⋯+a n 2=a n ⋅a n+1，则S n =π4(a 12+a 22+⋯+a n 2)=π4a n a n+1，故S 2023a 2023⋅a 2024=π4，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题（共4小题，每空5分，共20分） 13．数列{a n }的通项公式a n =1√n+1+√n，若S n ＝9，则n ＝ 99 ．解：∵a n =1√n+1+√n=√n +1−√n ，∴S n ＝（√2−1）+（√3−√2）+⋯+√n +1−√n =√n +1−1， ∵S n ＝9， ∴√n +1−1＝9， n +1＝100， 解得n ＝99． 故答案为：99．14．已知直线l ：y ＝x 被圆C ：（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2（r ＞0）截得的弦长为2，则r ＝ √3 ． 解：由圆的方程（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝r 2，则其圆心为（3，1）， 圆心到直线的距离d =|3−1|√1+1=√2，弦长的一半为1，r =√(√2)2+12=√3．故答案为：√3． 15．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右两焦点分别是F 1、F 2，其中|F 1F 2|＝2c ．椭圆C 上存在一点A ，满足AF 1→⋅AF 2→=4c 2，则椭圆的离心率的取值范围是 [√66，√55] ．解：设A （x 1，y 1），则由AF 1→⋅AF 2→=4c 2可得：(−c −x 1，−y 1)⋅(c −x 1，−y 1)=x 12−c 2+y 12=4c 2，可得x 12+y 12=5c 2，即A 点在以（0，0）为圆心，半径为√5c 的圆上；又A点在椭圆上，即可得圆x 12+y 12=5c 2与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1有交点，根据对称性可知b ≤√5c ≤a ，即5c 2≤a 2≤6c 2，所以可得离心率e ∈[√66，√55]． 故答案为：[√66，√55]． 16．已知A ，B 分别是椭圆E ：x 24+y 23=1的左、右顶点，C ，D 是椭圆上异于A ，B 的两点，若直线AC ，BD 的斜率k 1，k 2满足k 1＝2k 2，则直线CD 过定点，定点坐标为 (−23，0) ． 解：∵椭圆方程：x 24+y 23=1，∴A （﹣2，0），B （2，0），又k 1＝2k 2，设l AC ：y ＝k 1（x +2），l BD ：y ＝k 2（x ﹣2）．设C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）． 联立{y =k 1(x +2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 12)x 2+16k 12x +(−12+16k 12)=0，∴x A +x C =−16k 123+4k 12，∴x C =−16k 123+4k 12−x A =−16k 123+4k 12−(−2)=6−8k 123+4k 12，因为k 1＝2k 2， ∴x C =6−8k 123+4k 12=6−32k 223+16k 22，∴C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，联立{y =k 2(x −2)x 24+y 23=1，可得(3+4k 22)x 2−16k 22x +(−12+16k 22)=0，得x B +x D =16k 223+4k 22，∴x D =16k 223+4k 22−x B =16k 223+4k 22−2=−6+8k 223+4k 22，∴D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)，由C(6−32k 223+16k 22，24k 23+16k 22)，D(−6+8k 223+4k 22，−12k 23+4k 22)得，l CD ：9k 2x+(8k 22−3)y +6k 2=0，即8k 22y +(9x +6)k 2−3y =0过定点(−23，0)．故答案为：(−23，0)．四、解答题（共6小题，17题10分，18-22题12分）17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：（x +1）2+y 2＝4与圆C 2：x 2+（y ﹣3）2＝10相交于P ，Q 两点．（1）求线段PQ 的长；（2）记圆C 1与x 轴正半轴交于点M ，点N 在圆C 2上滑动，求△MNC 2面积最大时的直线MN 的方程．解：（1）由圆C 1：（x +1）2+y 2＝4，可得圆C 1的圆心为C 1（﹣1，0），半径为r 1＝2， 圆C 1与圆C 2的方程相减，可得公共弦所在直线的方程为：x +3y ﹣1＝0， 圆心C 1到x +3y ﹣1＝0的距离为d 1=√105，所以PQ =2√r 12−d 12=6√105； （2）M （1，0），C 2（0，3），当△MNC 2的面积最大时，NC 2⊥MC 2， 又k MC 2=3−00−1=−3，所以k NC 2=13，所以直线NC 2的直线方程为y =13x +3， 由{x 2+(y −3)2=10y =13x +3，解得{x =−3y =2或{x =3y =4， 所以N （﹣3，2）或N （3，4），所以MN 方程：x +2y ﹣1＝0或2x ﹣y ﹣2＝0．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，{b n }为等比数列．且b 1＝1，b n ＞0，b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2，n ∈N *，（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式． （2）求数列{a n •b n }的前n 项和T n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q （q ＞0）， 由b 2+S 2＝10，S 5＝5b 3+3a 2 可得： {b 1q +2a 1+d =105a 1+10d =5b 1q 2+3(a 1+d)⇒{q =2d =2， ∴数列{a n }的通项公式是a n ＝2n +1， 数列{b n } 的通项公式是b n =2n−1．（2）∵a n b n =(2n +1)×2n−1，数列{a n •b n }的前n 项和T n ， ∴T n =3+5×2+7×22+⋯+（2n +1）×2n ﹣1，2T n =3×2+5×22+⋯+（2n ﹣1）×2n ﹣1+（2n +1）×2n ，∴﹣T n ＝3+2×（2+22+2n ﹣1）﹣（2n +1）×2n=3+2×2(2n−1−1)2−1−（2n +1）×2n ＝2n +1﹣1﹣（2n +1）×2n ，∴T n =(2n −1)×2n +1．19．（12分）已知半径为3的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ﹣3y +7＝0相切． （1）求圆的方程；（2）设直线ax ﹣y +4﹣2a ＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点P （3，﹣1）？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）设圆心为M（x0，0），且x0是整数．则点（x0，0）到直线4x﹣3y+7＝0的距离为3．得022=3，所以x0＝2．轨迹方程：（x﹣2）2+y2＝9；（2）联立轨迹方程与直线方程，（x﹣2）2+y2＝9与ax﹣y+4﹣2a＝0，因为直线与圆有两个交点，所以Δ＞0，得a∈(−∞，−√73)∪(√73，+∞)，（3）存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．理由如下：设l的方程为y=−1a(x−3)−1，由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M（2，0）必在l上，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使得弦AB的垂直平分线l过点P（3，﹣1）．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆O1：（x+2）2+y2＝1，圆O2：（x﹣2）2+y2＝1，点H（1，0），一动圆M与圆O1内切、与圆O2外切．（1）求动圆圆心M的轨迹方程E；（2）是否存在一条过定点的动直线l，与E交于A、B两点，并且满足HA⊥HB？若存在，请找出定点；若不存在，请说明理由．解：（1）由圆O1方程知：圆心O1（﹣2，0），半径r1＝1；由圆O2方程知：圆心O2（2，0），半径r2＝1，设动圆M的半径为r，∵动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，∴|MO1|＝r﹣1，|MO2|＝r+1，∴|MO2|﹣|MO1|＝2，且2＜|O1O2|＝4，∴动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，∴a＝1，c＝2，b2＝4﹣1＝3，∴动圆圆心M 的轨迹方程E 为：x 2−y 23=1(x ≤−1)；（2）设直线l 为x ＝my +n ， 把x ＝my +n 代入x 2−y 23=1，并整理得（3m 2﹣1）y 2+6mny +3n 2﹣3＝0， ∴Δ＝36m 2n 2﹣4（3m 2﹣1）（3n 2﹣3）＞0，即3m 2+n 2﹣1＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则y 1+y 2=−6mn 3m 2−1，y 1y 2=3n 2−33m 2−1， ∴x 1x 2=(my 1+n)(my 2+n)=m 2y 1y 2+mn(y 1+y 2)+n 2=m 2×3n 2−33m 2−1+mn ×−6mn3m 2−1+n 2=−3m 2−n 23m 2−1＞0，∴3m 2﹣1＜0，又∵x 1+x 2＝（my 1+n ）+（my 2+n ）＝m （y 1+y 2）+2n =m ×−6mn 3m 2−1+2n =−2n3m 2−1＜0，∴n ＜0，∵HA ⊥HB ，∴HA →⋅HB →=0，∴（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2＝0，∴x 1x 2﹣（x 1+x 2）+y 1y 2+1＝0， ∴−3m 2−n 23m 2−1−−2n 3m 2−1+3n 2−33m 2−1+1=0，即n 2+n ﹣2＝0，解得n ＝﹣2或n ＝1，当n ＝1时，直线l 为x ＝my +1，过H （1，0），不合题意，舍去； 当n ＝﹣2时，直线l 为x ＝my ﹣2，过定点（﹣2，0）．21．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4＝4，数列{b n }的前n 项之积为T n ，b 1=13，且S n =log √3(T n )． （1）求T n ； （2）令c n =a nb n，求正整数n ，使得“c n ﹣1＝c n +c n +1”与“c n 是c n ﹣1，c n +1的等差中项”同时成立； （3）设d n ＝2a n +7，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1，求数列{e n }的前2n 项和Y 2n ． 解：（1）由S n =log √3(T n )，令n ＝1得，a 1=S 1=log 312(T 1)=2log 3(b 1)=2log 313=−2，设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 4＝a 1+3d ＝4，解得d ＝2，∴a n ＝﹣2+2（n ﹣1）＝2n ﹣4，S n =n(a 1+a n )2=n(−2+2n−4)2=n 2−3n ， 即log √3(T n )=n 2−3n ，可得T n =(√3)n 2−3n．（2）存在，理由如下： 由（1）可得：T n =(√3)n2−3n，当n ≥2时，则T n−1=(√3)(n−1)2−3(n−1)=(√3)n2−5n+4，可得b n =T nT n−1=(√3)2n−4=3n−2； 当n ＝1时，b 1=13也满足上式，所以b n =3n−2(n ∈N ∗)． 故c n =a nb n =2n−43n−2， 要使c n ﹣1＝c n +c n +1成立，即2n−63n−3=2n−43n−2+2n−23n−1，解得n ＝4，此时c 3=23，c 4=49，c 5=29，满足：2c 4＝c 3+c 5， 即c 4为c 3，c 5的等差中项， ∴存在n ＝4符合题意．（3）d n ＝2a n +7＝2（2n ﹣4）+7＝4n ﹣1，e n =(−1)n(d n +2)d n d n+1=(−1)n(4n+1)(4n−1)(4n+3)=(−1)n2(14n−1+14n+3)， Y 2n =12[−(13+17)+(17+111)−(111+115)+⋯+(18n−1+18n+3)]=12(−13+18n+3)=−4n24n+9． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2√3，P 为椭圆C 上异于长轴端点的一个动点，O 为坐标原点，直线PF 1，PO ，PF 2分别与椭圆C 交于另外三点M ，Q ，N ，当P 为椭圆上顶点时，有PF 1→=2F 1M →． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN的最大值．解：（1）由题意可知P （0，b ），F 1（﹣c ，0），设M （x ，y ）， 因为PF 1→=2F 1M →，可得（﹣c ，﹣b ）＝2（x +c ，y ），所以x =−32c ，y =−b2，而M 在椭圆上，所以94c 2a2+b 24b 2=1，即9c 24a 2+14=1，而2c ＝2√3，则c =√3，解得a 2＝9，b 2＝6，所以椭圆C 的标准方程为：x 29+y 26=1；（2）设P （x 0，y 0），PM →=λPF 1→，PN →=μPF 2→，则M （（1﹣λ）x 0，−√3λ，（1﹣λ）y 0）， 代入椭圆的方程：[(1−λ)x 0−√3λ]29+(1−λ)2y 026=1，即（1﹣λ）2（x 029+y 026）−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1， 因为P 在椭圆上，所以x 029+y 026=1，所以（1﹣λ）2−2√3λ(1−λ)x 09+13λ2＝1，可得λ=x 0+3√3x 0+23， 同理可得μ=0√3x 0−23，所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN=|PF 1|⋅|PQ||PM|⋅|PQ|+|PF 2|⋅|PQ||PN|⋅|PQ|=12λ+12μ=12（0√3x 0+3√3+0√3x 0−3√3）＝1+9x 02−27，因为x 02∈[0，9），所以S △POF 1S △PQM+S △POF 2S △PQN∈（12，23]，且当x 0＝0时，即P 为短轴的顶点时，取到最大值23．。
上海高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．“点A 在直线上”用符号语言可以表示为_____________.l 【答案】∈A l 【分析】根据立体几何中，符号语言的表示规则直接写出答案.【详解】A 在直线上，即l ∈A l 故答案为：∈A l 2．直线与直线为两条异面直线，已知直线，那么直线与直线的位置关系为________．a b //l a l b 【答案】异面或相交【分析】根据空间中直线与直线的位置关系即可得出结果.【详解】由题意可知，与直线为两条异面直线，若，a b //l a 由平行直线的传递性可知，直线与直线不可能平行，l b 故直线与直线的位置关系为异面或相交.l b 故答案为：异面或相交3．圆台的轴截面上､下底边长分别为2和4，母线长为2，则圆台的体积是___________.【分析】根据圆台的轴截面的长度关系，可得到2,1,22DC AB R r h AE ======体积公式，即得解 【详解】如图所示，不妨设圆台的轴截面为，过分别作于ABCD ,A B ,AE CD BF CD ^^,E F 由于圆台的轴截面为等腰梯形，因此 4212DE CF -===AE ∴==由圆台的体积公式， 221()3V h R r R r π=++⋅其中，2,1,22DC AB R r h AE ======221(2121)3V π∴=++⋅=4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．1111ABCD A B C D -E 11A B E 11ABC D【分析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.E 11ABC D 1B 11ABC D 【详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面11//A B AB 11//A B 11ABC D E 11ABC D 1B 的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所11ABC D 11,BC B C O 111,B O BC B O AB ⊥⊥1B O ⊥11ABC D以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知1B O 111122B O B C ==⨯【点睛】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.5．正三角形的边长为，如图，为其水平放置的直观图，则的面积为ABC 2cm A B C '''∆A B C '''∆__________.【分析】根据平面图形的直观图画法，求出，再由斜二测的特点求出高，即可求解''O C h【详解】根据斜二测画法基本原理，应将高长度变为原来的一半，再向右倾斜45°得到右图，横长不OC AB发生变化，则， ''2A B =1''2O C OC ==则，则的面积为'''sin 45h O C =⋅︒==A B C '''∆122S =⨯=【点睛】本题考查平面图形斜二测的基本画法及对应边长的求法，属于基础题6．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的底面积是________ R 【答案】 214R π【分析】根据展开后半圆的弧长等于原圆锥底面的周长求解即可.【详解】由题,展开图半圆的弧长为.设圆锥的底面半径为则,故. R πr 2r R ππ=12r R =故底面积为. 221124R R ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为： 214R π【点睛】本题主要考查了圆锥侧面展开图中的运算,注意展开后半扇形的弧长等于原圆锥底面的周长计算.属于基础题.7．若两个平行平面距离为1，其中一个平面截半径为5的球得到的截面面积为，则另一平面O 16π截球得到的截面面积为_________O 【答案】或9π21π【分析】将题中问题具体化，然后抓住以下两点求解：①用平面去截一个球，截面必为圆；②球心的半径，截面圆圆心的半径以及球心与截面圆圆心的连线构成一直角三角形.【详解】用平面去截一个球，截面必为圆，作出过球心，截面圆圆心的截面.设平面截半径为5的球得到的截面为圆，且圆面积为，αO 1O 1O 16π则圆的半径为，1O 14r =3=设平面平行平面，且两平面的距离为1，βα记平面截半径为5的球得到的截面为圆，半径为，βO 2O 2r当有，解得或.211OO OO -=22OO =24OO =当时，的面积为；22OO =2r ==2O 21π当时，，圆的面积为.24OO =23r ==2O 9π综上可知，所求截面面积为或.9π21π故答案为：或.9π21π8．刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”如图为一个刍瓷的五面体，其中四边形为矩形，和都是等ABCD ADE V BCF △腰三角形，，，若，且，则异面直线AE ED BF CF ====//EF AB 3AB EF =2AD EF =AE 与所成角的大小为______.CF【答案】π3##60°【分析】作平行四边形，得到，异面直线与所成角为，求出AGFE //AE GF AE CF GFC ∠GFC 的边长求角即可.【详解】设，在上取点满足，如图，1EF =AB G 1AG EF ==故且，故四边形是平行四边形，故//AG EF AG EF =AGFE //AE GF异面直线与所成角为或其补角 ，AE CF GFC ∠GF CF ==CG ===故为等边三角形GFC 故 3GFC π∠=故答案为：3π9．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为（）．用它们拼成2a 345a a a ，，0a >一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是a _______．【答案】0a <<【分析】由题意拼成一个三棱柱,分3种情况求出表面积；拼成一个四棱柱,3种情况分别求出表面积,然后求出a 的范围.【详解】①拼成一个三棱柱时,有三种情况：将上下底面对接,其全面积为：； ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+三棱柱表面积3a 边可以合在一起时, ； ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积4a 边合在一起时， . ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+三棱柱表面积②拼成一个四棱柱,有三种情况：就是分别让边长为3a ,4a ,5a 所在的侧面重合,其上下底面积之和都是，但侧面积分别为:, ,212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=()224536a a a +⨯=()223532a a a +⨯=， ()223428a a a+⨯=显然，三个是四棱柱中全面积最小的值为：. ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+四棱柱表面积由题意得：，解得：2224281248a a +<+0a <<故答案为 ：0a <<【点睛】（1）求解以由多个几何体构成组合体的体积的关键是确定组合体的形状以及组合体图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．10．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图象上，则此矩形绕轴旋转而x 2(0)1x y x x =>+x 成的几何体的体积的最大值为___________. 【答案】4π【分析】设矩形在上的两个项点坐标为，利用是关于的方程21x y x =+()()12,,,x y x y 12,x x x 21x y x =+的两根，求得，然后同体积公式得，结合二次函数知识得最大值．12x x -212V y x x π=-【详解】设矩形在上的两个项点坐标为， 21x y x =+()()12,,,x y x y 由，知是方程的两个根. ()2201x y yx x y x*=⇒-+=+12,x x ()*，，， 121x x y +=121=x x 2212121221()()44x x x x x x y -=+-=-212V y x x y ππ∴=-==当且仅当时，. 218y =max 4V π=故答案为：． 4π二、单选题11．设，为空间的两条直线，，为空间的两个平面，下列命题中真命题的个数为（ ） m n αβ（1）若，，则；（2）若，，则；//m α//m β//αβm α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则；（4）若，，则．//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用立体几何中直线与平面的平行与垂直关系进行判断即可.【详解】（1）若，，则与相交或平行，故（1）不正确；//m α//m βαβ（2）若，，则，故（2）正确；m α⊥m β⊥//αβ（3）若，，则与平交、平行或异面，故（3）不正确；//m α//n αm n （4）若，，则，故（4）正确；m α⊥n α⊥//m n 综上：（2）（4）正确，（1）（3）不正确，故真命题的个数为2.故选：B ．12．对关于的一元二次方程，通过掷骰子确定其中的系数，第一次出现的数作为x 20x bx c ++=b ，第二次出现的数作为（一颗骰子有6个面，分别刻有1、2，3、4、5、6六个数，每次扰掷，c 各数出现的可能性相同），那么，这个方程有解的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4912193659【答案】C【分析】记事件 “方程有实根”．由，得：，利用列举法得到A =20x bx c ++=240b c ∆=-…24b c …事件包含的基本事件的个数，又总的基本事件共个，由古典概型概率公式求出方程有解A 6636⨯=的概率．【详解】记事件 “方程有实根”．A =20x bx c ++=由，得：240b c ∆=-…24b c …又基本事件共个，6636⨯=其中事件包含19个基本事件，列举如下：A ，，，，，，,,，，，，(2,1)(3,1)(3,2)(4,1)(4,2)(4,3)(44),(51)(5,2)(5,3)(5,4)，，，，，，，(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)所以， 19()36P A =故选：C. 13．平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是1111ABCD A B C D -1A 11AB D 11AB D 的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ）1A 1BC D 1BC DA ．外心、重心B ．内心、垂心C ．外心、垂心D ．内心、重心【答案】C【解析】将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证111A AB D -11A BC D -明的射影点分别是和的哪一种心.1A 11AB D 1BC D 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，111A AB D -1A 11AB D O 11,,AO B O D O因为，又平面，11111AA A D A B ==1A O ⊥11AB D所以 11111AA A D A B ===所以，所以为的外心；11AO OB OD ==O 11AB D 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接，11A BC D -1A 1BC D 1O 1111,,BO C O DO因为，且四边形是菱形，所以，所以，11//BC AD 11ADD A 11AD A D ⊥11BC A D ⊥又因为平面，所以，11A O ⊥1BC D 1111111,A O BC A O A D A ⊥= 所以平面，又因为平面，所以，1BC ⊥11AO D 1DO ⊂11AO D 11DO BC ⊥同理可知：，所以为的垂心，1111,BO DC C O DB ⊥⊥1O 1BC D 故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关1A 系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题.三、解答题14．在一只袋子中装有若干个红玻璃球和绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为，取得两个绿玻璃球的概率为. 715115(1)求取得两个同颜色的玻璃球的概率；(2)求至少取得一个红玻璃球的概率.【答案】(1) 815(2)1415【分析】（1）利用互斥事件的概率公式求解即可；（2）利用间接法及对立事件的概率公式即可得解.【详解】（1）设“取得两个红玻璃球”为事件，“取得两个绿玻璃球”为事件，A B 则，，即事件互斥， ()()71,1515P A P B ==()0P AB =,A B 所以取得两个同颜色的玻璃球的概率为. ()()()718151515P A B P A P B ⋃=+=+=（2）至少取得一个红玻璃球的的对立事件为事件，B 所以其概率为. ()114111515P B -=-=15．如图，在长方体中，，；1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =（1）求证：平面平面；11//AB D 1BDC （2）求与平面所成的角．11A B 11AB C D 【答案】（1）证明见详解；（2） 3arctan 4【分析】（1）根据面面平行的判定定理，直接证明，即可得出结论成立；（2）过点作于点，证明平面，得到为与平面所1A 1A O ⊥1AB O 1A O ⊥11AB C D 11∠A B A 11A B 11AB C D 成的角，再由题中数据，即可求出结果.【详解】（1）因为在长方体中，易知：且，且1111ABCD A B C D -11//BB DD 11BB DD =11//AB C D ，11AB C D =所以四边形为平行四边形，四边形也是平行四边形；11BB D D 11ABC D 因此，；11//BD B D 11//AD BC 又平面，平面；平面，平面；BD ⊂1C BD 11B D ⊄1C BD 1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 所以平面；平面；11//B D 1C BD 1//AD 1C BD 又平面，平面，，11B D ⊂11AB D 1AD ⊂11AB D 1111AD B D D ⋂=所以平面平面；11//AB D 1BDC （2）过点作于点，1A 1A O ⊥1AB O 因为在长方体中，易知：平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11B BAA 所以，又平面，平面，1⊥AD A O 1AB ⊂11AB C D AD ⊂11AB C D 所以平面，1A O ⊥11AB C D 因此，为与平面所成的角；11∠A B A 11A B 11AB C D 又在长方体中，，，1111ABCD A B C D -13BB BC ==4AB =因此， 111113tan 4∠==A A A B A A B 所以； 113arctan 4∠=A B A 即与平面所成的角为. 11AB 11ABCD 3arctan 4【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记面面垂直的判定定理，以及直线与平面所成角的几何求法即可，属于常考题型.16．一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个12cm 四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义V x 域；(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．（i ）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积； x S （ii ）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．V '【答案】(1) ()321301282V x x x =-+<<(2)（i ），；（ii ） 6x =2S =3cm V '=【分析】（1）利用表示出三棱柱的高和底面三角形面积，根据棱柱体积公式可得函数关系式； x （2）（i ）利用减掉的三个四边形面积之和等于棱柱底面三角形面积可构造方程求得，进而根据棱x 柱侧面积求法可求得；S （ii ）根据底面三角形内切圆半径和棱柱的高可确定当球的直径与棱柱高相等时，球的体积最大，由此可得所求球的半径，利用球的体积公式可求得结果.【详解】（1）如图所示，，又，， 12622x x DF -==-π6EDF ∠=πtan 662x EF DF ⎫∴=⋅=-⎪⎭即三棱柱的高，又棱柱底面积， 62x h ⎫=-⎪⎭221πsin 23S x x =⋅=三棱柱容器的体积， ∴232136282x V Sh x x ⎫==-=-+⎪⎭即所求函数关系式为. ()321301282V x x x =-+<<（2）（i ）减掉的三个四边形材料面积之和为， 2213266222x x ⎫⎫⨯⨯-=-⎪⎪⎭⎭，解得：， 2262x ⎫-=⎪⎭()6cm x =三棱柱容器的侧面积； ∴)2363cm S =⨯=（ii ）正三棱柱容器底面三角形内切圆半径为， )16cm 3⨯=若球的体积最大，则直径应与三棱柱的高相等，球的半径， ∴∴R =球体的最大体积. ∴()334πcm 3V R '==17．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，OA 、OB 是底面半径，且PO =，M 为线段AB 的中点，如图所示.0OA OB ⋅=（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）12π【分析】（1）根据题意，求得圆锥底面圆的半径，根据圆锥表面积公式代入数值求解即可；（2）取中点，联结、，与所成角即为所求，求得各边的长，可得该OA E PE EM EM PM PEM ∆三角形为直角三角形，与所成的角即tan PE PME EM ∠===PM OBPME ∠=【详解】（1）圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，，，PO =2OA ∴==.242412S r rl πππππ=+=+⨯=表面积（2）取OA 中点E ，连接PE 、EM ，E 为OA 的中点，M 为AB 的中点，，与所成角为所求，//EM OB ∴EM ∴PM ，，0OA OB ⋅= OA OB ∴⊥ 为线段的中点，M AB， ，2OA OB ==OM ∴=在中，Rt POM PM =， ==在中，Rt POE △PE ===， 121EM OB ==，， 2221+= PE EM ∴⊥tan PE PME EM ∠===PME ∴∠=答：异面直线PM 与OB 所成的角的大小为【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，以及异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．18．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，， AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以， BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴， B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，， (2,0,3)AE =-AG = (2,0,3)CG = 设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量． 222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60。
2022-2022学年高二数学上学期期中质量检测试卷试题—附答案
2022-2022学年高二数学上学期期中质量检测试卷试题—附答案2022-2022学年第一学期高二数学期中质量检测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（5某12=60分）1．把二进制数化为十进制数为（）A.B.C.D.2．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A.3B.4C.5D.63．设为实数，命题：，.则命题的否定是（）A.：，B.：，C.：，D.：，4．为了从甲乙两人中选一人参加校篮球队，教练将二人最近6次篮球比赛的得分数进行统计，甲乙两人的平均得分分别是、，则下列说法正确的是（）A.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲稳定，应选乙参加比赛5．如图是根据变量，的观测数据（1,2,3…，10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量，具有相关关系的图是（）①②③④A.①②B.②③C.①④D.③④6．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样可能是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样：③该抽样一定不是分层抽样；④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．其中说法正确的为（）A.①②③B.②③C.②③④D.③④7．已知变量某与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=1.5，=5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A.B.C.D.8．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（）A.B.C.D.9．2022年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（）A.B.C.D.10．一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，下图是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为，则阴影部分图形的“周积率”为（）A.2B.3C.4D.511．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．12．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形二、填空题（5某4=20分）13．某班级有名学生，现采取系统抽样的方法在这名学生中抽取名，将这名学生随机編号号，并分组，第一组，第二组，，第十组，若在第三组中抽得的号码为号的学生，在第八组中抽得的号码为_____的学生.14．在区间上随机选取一个实数某，则事件“”发生的概率为_____.15．若椭圆上的点到两焦点距离之和为，则该椭圆的短轴长为______.16．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．两人能会面的概率为________．三、解答题17（10分）．某大学高等数学这学期分别用两种不同的数学方式试验甲、乙两个大一新班（人数均为人，入学数学平均分和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）.现随机抽取甲、乙两班各名的高等数学期末考试成绩，得到茎叶图：（1）学校规定：成绩不得低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误率的概率不超过0.025的前提下认为成绩优异与教学方式有关？”（参考方式：，其中）（2）现从甲班高等数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率.18（12）．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并理由.19（12）．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．（1）求图中某的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．20．已知，设命题：实数满足，命题：实数满足．（1）若，为真命题，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．21（12分）．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长是10，离心率是；（2）在某轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．22（12分）．点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）直线被椭圆截得的弦长为，求的值参考答案1．A2C3D4B5D6A7A8B9B10B11A12B13．4414．15．16．17．（1）见解析；（2）.试题解析：（1）甲班乙班合计优秀不优秀合计，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为成绩优秀与数学方式有关.（2）甲班不低于80分有6人，随机抽取两人，用列举法列出15种情况，至少有1名86分的情况有9种，18．(1)男、女同学的人数分别为3人，1人；(2)；(3)第二位同学的实验更稳定，（1）设有名男同学，则，∴，∴男、女同学的人数分别为3人，1人（2）把3名男同学和1名女同学记为，则选取两名同学的基本事件有，，，，，，，，，，，共12种，其中恰有一名女同学的有6种，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为（3），，因，所以第二位同学的实验更稳定.19．（1）0.02（2）平均数77，中位数（3）（1）由，解得．（2）这组数据的平均数为．中位数设为，则，解得（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人．记为记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件A通过列举知总基本事件个数为10个，A包含的基本事件个数为3个，利用古典概型概率公式可知.20．（1）（2）由，得，（1）若，则：，若为真，则，同时为真，即，解得，∴实数的取值范围.（2）由，得，解得.即：.若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，则必有，此时：，.则有，即，解得.21．（1）+=1或+=1；（2）+=1解：（1）设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b＞0），由已知得：2a=10，a=5，e==，故c=4，故b2=a2-c2=25-16=9，故椭圆的方程是：+=1或+=1；（2）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∵在某轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为+=1．22．（1）；（2）（1）由点是椭圆一点，为椭圆的一个焦点，的最小值为，最大值为．可得，解得，进而，所以椭圆方程为：.（2）设直线与曲线的交点分别为联立得,,即又，，化简，整理得，∴，符合题意.综上，.。
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2015学年第一学期高二数学期中测试
1、试写出前几项的值为：1,1,1,1,1---的一个数列通项：n a = *()n N ∈
2、若数列{}n a 满足：111,2,n n a a a +==+则n a = ___ *()n N ∈
3、已知{}n a 为等差数列，若1593a a a π++=，则5a =
4、若正项等比数列{}n a 满足351a a =，343
2
a a +=
，则公比q = 5、已知数列{}n a 的前n 项和S n ＝n 2
＋3n ＋1，则通项a n ＝ 6、等比数列{}n a 中，12,2,a q ==则数列{}lg n a 的前8项和等于 7、1111lim(
233445(1)
n n n →∞
⋅⋅⋅+L + ++ )=_____________ 8、设n S 是无穷等比数列{}n a 的前n 项和，若1
lim 2
n n S →∞
=，则首项1a 的取值范围是___________
9、用数学归纳法证明：22
3
21
*11(1,)1n n a a a a a a n N a
--+++++=≠∈-L ，在验证n=1成立时，左边的代数式为_________
10、已知数列{}n a 中，112,21n n a a a -==-，则通项n a = ．
11、设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是____________（只填序号）．①0d <；②70a =；③95S S >；④6S 与7S 均为n S 的最大值 12、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗(BenoitBMandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照
的分形规律可得到如图所示的一个树形图，则当3n ≥时，第*
()n n N ∈行空．
∙
∙∙
心．圆点个数n a 与第1n -行及第2n -行空心．．圆点个数12n n a a --，的关系式为 ；第12行的实心．．
圆点的个数是 ．
二、选择题（本大题共4小题，每题3分，共12分） 13、若数列{}a n 满足a 112=
，a a n n =--111
（n ≥2且a N ∈），则2015a 等于（ ） A ．－1 B ．
2
1
C ．1
D ．2 14、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m=（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
15、设数列{}n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则4321a a a a b b b b +++=（ ）
A ．15
B ．72
C ．63
D ．60
16、数列{}n a 的通项公式是()()121--=n a n
n ，则该数列的前100项之和为（ ）
A ．200-
B ．100-
C ．200
D ．100
三、解答题：（本大题满分52分）
17、（本题共10分）数列{}n a 的前n 项和24n n S a =-，求{}n a 的通项公式
18、（本题共10分）用数学归纳法证明：
1
122334(1)(1)(2)3
n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++ *()n N ∈
19、（本题共10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分.
假设某市2009年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2009年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
20、（本题满分10分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题4分．
在数列}{n a 中，51=a ，2431+-=+n a a n n ，其中*
N ∈n ． （1）设n a b n n 2-=，求证数列}{n b 是等比数列，并求其通项公式；
（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与n n 2011
2
+的大小． 21、（本题共12分，第一小题4分，第二小题8分）
若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,....n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+= （i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234,,,b b b b 成等差数列，142,11b b ==，试写出{}n b 的每一项
（2）对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211,2,2 (2)
m -成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S。