高中物理 模块九 磁场 考点4.3 带电粒子在磁场中运动之圆形磁场边界问题试题

考点4.3 圆形磁场边界问题考点4.3.1 “粒子沿径向射入圆形磁场”边界问题特点：沿径向射入必沿径向射出，如图所示。

对称性：入射点与出射点关于磁场圆圆心与轨迹圆圆心连线对称，两心连线将轨迹弧平分、弦平分，圆心角平分。

1. 如图所示，一半径为R 的圆内有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B ，CD 是该圆一直径．一质量为m 、电荷量为q 的带电粒子(不计重力)，自A 点沿指向O 点方向垂直射入磁场中，恰好从D 点飞出磁场，A 点到CD 的距离为R2，根据以上内容( C )A. 可判别圆内的匀强磁场的方向垂直纸面向里B. 不可求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径C. 可求得粒子在磁场中的运动时间D. 不可求得粒子进入磁场时的速度2. 如图所示，为一圆形区域的匀强磁场，在O 点处有一放射源，沿半径方向射出速度为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A 点飞出磁场，带电粒子2从B 点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则( A )A. 带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1B. 带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷比值为3∶1C. 带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为2∶1D. 带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间比值为1∶23. 如图所示，半径为R 的绝缘筒中为匀强磁场区域，磁感应强度为B 、磁感线垂直纸面向里一个质量为m 、电荷量为q 的正离子，以速度v 从圆筒上C 孔处沿直径方向射入筒内，如果离子与圆筒碰撞三次(碰撞时不损失能量，且时间不计)，又从C 孔飞出，则离子在磁场中运动的时间为( AC )A ．2πR /vB ．πR /vC ．2πm /qBD ．πm /qB4. 如图所示，一半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m ，电荷量为q 的正电荷(重力忽略不计)以速度v 沿正对着圆心O 的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为( B)A.mv qR tan θ2 B.mv qR cot θ2 C.mv qR sin θ2 D.mv qR cos θ25. 如图所示圆形区域内，有垂直于纸面方向的匀强磁场，一束质量和电荷量都相同的带电粒子，以不同的速率，沿着相同的方向，对准圆心O 射入匀强磁场，又都从该磁场中射出，这些粒子在磁场中的运动时间有的较长，有的较短，若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用，则在磁场中运动时间越长的带电粒子( )A ． 速率一定越小B ． 速率一定越大C ． 在磁场中通过的路程越长D ． 在磁场中的周期一定越大6. 在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图11所示.一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿－x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y 轴的交点C 处沿＋y 方向飞出.(1) 请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷qm；(2) 若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B ′，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度B ′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？【答案】 (1)负电荷 v Br (2)33B 3πr 3v7. 如右图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B ＝0．10 T ，磁场区域半径r ＝233 m ，左侧区圆心为O 1，磁场向里，右侧区圆心为O 2，磁场向外．两区域切点为C ．今有质量m ＝3．2×10－26 kg ．带电荷量q ＝1．6×10－19 C 的某种离子，从左侧区边缘的A 点以速度v ＝106m/s 正对O 1的方向垂直磁场射入，它将穿越C 点后再从右侧区穿出．求：(1) 该离子通过两磁场区域所用的时间．(2) 离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离为多大？（侧移距离指垂直初速度方向上移动的距离）【答案】（1）4.19×10－6s （2）2 m ．8. 如图所示，有一对平行金属板，两板相距为0.05m ．电压为10V ；两板之间有匀强磁场，磁感应强度大小为B 0=0.1T ，方向与金属板面平行并垂直于纸面向里．图中右边有一半径R 为0.1m 、圆心为O 的圆形区域内也存在匀强磁场，磁感应强度大小为3B ，方向垂直于纸面向里．一正离子沿平行于金属板面，从A 点垂直于磁场的方向射入平行金属板之间，沿直线射出平行金属板之间的区域，并沿直径CD 方向射入圆形磁场区域，最后从圆形区域边界上的F 点射出．已知速度的偏向角=3πθ ，不计离子重力．求：(1) 离子速度v 的大小；(2) 离子的比荷q /m ；(3) 离子在圆形磁场区域中运动时间t ．9. 如图所示，在两个水平平行金属极板间存在着向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为E =2×106N/C 和B 1=0.1T ，极板的长度l =3m ，间距足够大．在板的右侧还存在着另一圆形区域的匀强磁场，磁场的方向为垂直于纸面向外，圆形区域的圆心O 位于平行金属极板的中线上，圆形区域的半径R =3m ．有一带正电的粒子以某速度沿极板的中线水平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场区域后速度方向偏转了60°，不计粒子的重力，粒子的比荷q m=2×108C/kg ．求： (1) 粒子的初速度v ；(2) 圆形区域磁场的磁感应强度B 2的大小；(3) 在其它条件都不变的情况下，将极板间的磁场B l 撤去，为使粒子飞出极板后不能进入圆形区域的磁场，求圆形区域的圆心O 离极板右边缘的水平距离d 应满足的条件．【答案】（1）v=2×107m/s ， （2）B 2=0.1T （3）d考点4.3.2 “粒子不沿半径方向射入圆形磁场”边界问题特点：入射点与出射点关于磁场圆圆心与轨迹圆圆心连线对称，两心连线将轨迹弧平分、弦平分，圆心角平分。

【例题】如图所示是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径为R的绝缘圆柱形筒内有磁感应强度为B的匀强磁场，方向平行于轴线向外．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔M、N，现有一束速率不同、比荷均为k的正、负离子，从M孔以α角入射，一些具有特定速度的离子未与筒壁碰撞而直接从N孔射出(不考虑离子间的作用力和重力)．则从N孔射出的离子( )A．是正离子，速率为kBRcosαB．是正离子，速率为kBRsinαC．是负离子，速率为kBRsinαD．是负离子，速率为kBRcosα【解析】带负电的粒子向上偏转，必与筒壁碰撞，若带正电，根据左手定则，离子向下偏，才有可能未与筒壁碰撞而直接从N孔射出，从N孔射出的运动轨迹如图所示，MO′与入射速度垂直，OO ′为MN 的垂直平分线，MO ′与OO ′的交点为圆周运动的圆心O ′，由几何关系，可知r ＝R sin α，由qBv ＝m v 2r ，可得v ＝kBR sin α，B 项正确，其他选项错误． 【答案】B10. 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab 是圆的一条直径．一带正电的粒子从a 点射入磁场，速度大小为2v ，方向与ab 成30°时恰好从b 点飞出磁场，粒子在磁场中运动的时间为t .若仅将速度大小改为v ，则粒子在磁场中运动的时间为(不计带电粒子所受重力)( D )A ．3t B.32t C.12t D ．2t 11. 如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab 是圆的直径。

一不计重力的带电粒子从a 点射入磁场，速度大小为v ，当速度方向与ab 成30°角时，粒子从b 点射出，在磁场中运动时间为t ；若相同的带电粒子从a 点沿ab 方向射入磁场，也经时间t 飞出磁场，则其速度大小为（ A ）A ．v 23B ．v 21C ．v 32 D ．v 63 12. (2016·全国卷Ⅱ，18)一圆筒处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。

图中直径MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动。

在该截面内，一带电粒子从小孔M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成30°角。

当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N 飞出圆筒。

不计重力。

若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( A )A.ω3BB.ω2BC.ωBD.2ωB13. （多选）如图所示，在半径为R 的圆形区域内有一磁感应强度方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m 且带正电的粒子(重力不计)以初速度v 0从圆形边界上的A 点正对圆心射入该磁场区域，若该带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为3R ，则下列说法中正确的是( AC )A ． 该带电粒子在磁场中将向右偏转B ． 若增大磁场的磁感应强度，则该带电粒子在磁场中运动的轨迹半径将变大C ． 该带电粒子在磁场中的偏转距离为32R D ． 该带电粒子在磁场中运动的时间为3πR v 014. 如图，半径为R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q (q >0)、质量为m 的粒子沿平行于直径ab 的方向射入磁场区域，射入点与ab 的距离为R2，已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)( B )A.qBR 2mB.qBR mC.3qBR 2mD.2qBR m15. 离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图(a)，截面半径为R 的圆柱腔分为两个工作区，Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L ，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度v M 从右侧喷出．Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，在离轴线R /2处的C 点持续射出一定速度范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图(b)所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O 点和C 点的连线成α角(0<α<90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速度为v 0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M ；电子质量为m ，电量为e .(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)．(1) 求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；(2) 为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图(b)说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；(3) α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v 的范围；(4) 要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率v M 与α的关系．【答案】(1)Mv 2M 2e v 2M 2L (2)磁场垂直纸面向外 (3)0≤v <3BeR 4m (4)v max ＝3BeR 4m 2－sin α考点4.3.3 “磁聚焦”与“磁发散”1．带电粒子的汇聚如图所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即R ＝r ，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出． 平行四边形OAO ′B 为菱形，可得BO ′为轨迹圆的半径，可知从A 点发出的带电粒子必然经过B 点．2．带电粒子的发散如图所示，有界圆形磁场磁感应强度为B ，圆心O ，从P 点有大量质量为m ，电量为q 正离子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正离子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有的运动轨迹的圆心与有界圆圆心O 、入射点、出射点的连线为菱形，即出射速度方向相同．【例题】如图所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上．在xOy 平面内有与y 轴平行的匀强电场，在半径为R 的圆内还有与xOy 平面垂直的匀强磁场．在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x 轴正方向发射出一束具有相同质量m 、电荷量q (q >0)和初速度v 的带电微粒．发射时，这束带电微粒分布在0<y <2R 的区间内．已知重力加速度大小为g .(1)从A 点射出的带电微粒平行于x 轴从C 点进入有磁场区域，并从坐标原点O 沿y 轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向．(2)请指出这束带电微粒与x 轴相交的区域，并说明理由．(3)若这束带电微粒初速度变为2v ，那么它们与x 轴相交的区域又在哪里？并说明理由．【解析】 (1)带电粒子平行于x 轴从C 点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡．设电场强度大小为E ，由mg ＝qE ，可得E ＝mg q，方向沿y 轴正方向．带电微粒进入磁场后，将做圆周运动．且r ＝R ，如图所示，设磁感应强度大小为B .由qvB ＝mv 2R ，得B ＝mv qR，方向垂直于纸面向外．(2)这束带电微粒都通过坐标原点．方法一：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q 点，如图所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点．方法二：从任一点P 水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R 的匀速圆周运动．如图所示，P 点与O ′点的连线与y 轴的夹角为θ，其圆心Q 的坐标为(－R sin θ，R cos θ)，圆周运动轨迹方程为(x ＋R sin θ)2＋(y －R cos θ)2＝R 2，得x ＝0，y ＝0；或x ＝－R sin θ，y ＝R (1＋cos θ)．(3)这束带电微粒与x 轴相交的区域是x >0.带电微粒在磁场中经过一段半径为r ′的圆弧运动后，将在y 轴的右方(x >0)的区域离开磁场并做匀速直线运动，如图所示．靠近M 点发射出来的带电微粒在穿出磁场后会射向x 轴正方向的无穷远处，靠近N 点发射出来的带电微粒会在靠近原点之处穿出磁场．所以，这束带电微粒与x 轴相交的区域范围是x >0.【答案】 (1)E ＝mg q 方向沿y 轴正方向，mv qR 方向垂直于纸面向外 (2)见解析(3)与x 轴相交的区域范围是x >016. 如图所示，在半径为R ＝mv 0Bq的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P 有一速度为v 0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m ，电荷量为q ，粒子重力不计．(1) 若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；(2) 若粒子对准圆心射入，且速率为3v 0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；(3) 若粒子以速度v 0从P 点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上．【答案】 (1)πm 2Bq (2)32v 017.如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场。