高中数学必修4平面向量课件 向量的数乘

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(1).设 ( B ). A. a与 − λ a的方向相反
r a 是非零向量, λ 是非零实数,下列结论正确的是
C. λ
a ≥ a
a与 λ 2 a的方向相同 B. D. λ a = λ a (2). 下列四个说法正确的个数有( C ).
b，恒有 m （a − b）= m a − m b ; 1 对于实数 m 和向量 a、
a
b o a
作法:在平面中任取 在平面中任取 一点o, 一点o, 过O作OA= a 作 过A作AB= b 作 则OB= a+b.
2
A
b
B
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向量共线时的加法 向量共线时的加法 共线时
r r r a +b b
r a
r r a+ a +b
r b
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三角形法则) 向量的加法(三角形法则)
如图, 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.
分析: 解题的关键是建立 解：因为A是BC的中点，所以
OC , OD与a， b
bD
E A
的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。
a
C
O
2 2 5 DC = OC − OD = OC − OB = 2a − b − b = 2a − b 3 3 3
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1 OA = (OB + OC ), 即OC = 2OA − OB = 2 a − b. 2
向量的加、 数乘运算统称为向量的线性运算。 向量的加、减、r 数乘运算统称为向量的线性运算。 线性运算 r λ、 µ1、 µ 2， a 、 b,
r r r r λ(µ1a ± µ2 b)=λµ1a ± λµ2 b
对于任意的向量
以及任意实数
恒有
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基础知识反馈
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Ｂ
Ｄ
Ｃ
= AB + 2 AC + CA
= AB + AC = 2 AD = 右边
所以， 所以，所证等式成立
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Ａ
Ｂ Ｄ
解2: 过点B作BE,使 BE = AC 连接CE 则四边形ABCD是平行四边形,D是BC中 点，则D也是AE中点. Ｃ 由向量加法平行四边形法则有
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高中数学4 高中数学4
§2.1.4 向量数乘
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v a v r r v 3a = a + a + a
A B C D
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r r 2(a + b)
r 2b
r 2a
一般地: 一般地
r r r r λ(a + b) = λa + λb
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r a
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r 5a r 3a
r r r (2 + 3)a = 2a + 3a
r 2a
一般地： 一般地：
r r r (λ + µ)a = λa + µa
3 2 1 3 ①-③得 n = 11 a − 11 b, ∴ m = 11 a + 11 b
练习: 已知a与b,且2x-y=a,x+2y=b,求x,y
例题分析
例4
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如图所示，已知 OA
'
'
= 3 OA , A B = 3 AB ,说明
r = λa − λ b + µ a − µ b − λ a − λ b + µ a + µ b
r = 2 µa − 2λ b
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反馈演练
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计算下列各式
r r (1)( − 3 ) × 4 a = −12a r r r r r r ( 2 ) 3( a + b ) − 2 ( a − b ) − a = 5 b r r r r r r (3)(2a + 3b − c ) − (3a − 2b + cr r r )
a≠0 (2) λ>0时 的方向与a方向相同； 当λ>0时,λa的方向与a方向相同； λ<0时 的方向与a方向相反； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地， λ=0 特别地，当λ=0 或a=0时, λa=0 =0时
λa中实数的λ,叫做向量a 的系数 中实数的λ 叫做向量a
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λa
数乘向量的几何意义就是把向量 方向放大或缩短.若 a
≠0 ,当
0 向放大了 λ 倍.当 〈 λ 〈1时， 沿 1 当λ < −1时,沿 的反方向放大了 λ 倍.当 −〈λ〈0时，
a沿 a 的方向或反 λ > 1时， a 沿 的方 a的方向缩短了 λ 倍.
a
沿 a 的反方向缩短了
2 对于实数 m 、 n 和向量 a，恒有 ( m − n ) a = m a − n a ; 3 若 m a = m b ( m ∈ R ), 则有 a = b ; 4 若 m a = n a ( m 、 n ∈ R ), a ≠ 0 , 则有 m = n ;
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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例题分析
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分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解 方程组获得 解：记
3m + 2n = a①，m − 3n = b ②
2 1 x = a + b, 5 5 y = 2 b − 1 a 5 5
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3②得 3 m − 9 n = 3b ③
λ 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
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复习回顾: 复习回顾: 实数乘法的运算律 实数乘法的运算律 1、交换律：ab = ba 交换律： 2、结合律：a(bc)= (ab)c= b(ac） 结合律： 3、分配律：a(b+c）= ab+ac 分配律：
v (- v ) v r - 3a ＝(- a ) + (- a ) + a
A B C D
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r a
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相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化 相同向量相加后 和的长度与方向有什么变化 和的长度
?
a a
A
a -a
N M
a
B C
-a
-3a
r (2) 2 ( a + b ) − 3 ( a − b ) = 2 a + 2 b − 3 a + 3b = ( 2 a − 3 a ) + ( 2 b + 3b ) = − a + 5 b
(3) 原式 = λ （ a − b） µ ( a − b ) − λ ( a + b ) + µ ( a + b ) +
E
AB + AC = AE = 2 AD
1 ∴ AD = ( AB + AC ) 2
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例题分析
例４:如图，在
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∆OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
1 OB 点D,使BD= 3 OB.DC与OA交于E,设 OA = a， = b， 请用 B a，表示向量 OC， . b DC
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设a,b为任意向量，λ,µ为任意实数，则有： 为任意向量，λ,µ为任意实数，则有： 为任意实数
①λ(µa) = (λµ) a (结合律) (λµ) 结合律) 第一分配律) ②(λ+µ) a =λa +µa (第一分配律) ③λ(a+b) =λa+λb (第二分配律) =λ 第二分配律)
x-
)= b0
解: 原式可变形为
a +3 x-3 b= 0
5 3 x = − a+ b 8 8
反馈演练: 教材95页练习A 第3 题 4 r 1 1 2r 3r 答案: (1) − a(2) (3) 21 a − 7 b + 7 c a +b 4 3
8 x = − 5 a + 3b
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例题分析 例３:若3m+2n=a,m-n=b,其中 ab是已 中 , 知向量,求m,n
B
过O作OA= 过O作OB= 则BA=
a
b
a-b
5
A
引入新课
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位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、 质量等都是数量，这些向量与数量的关系，常常 在物理公式中出现，如力与加速度的关系F=ma， 位移与速度的关系s=vt，这些公式都是实数与 向量间的关系、实数与实数可以进行加法、减法、 求积等运算，实数与向量能否进行加法、减法、求 积运算呢？若能进行运算，运算的规则又如何呢？
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r a
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r 2a
r 3(2a)
r 6a