电子科技大学,电磁场与电磁波。第一章 矢量分析
合集下载
电动力学电磁场与电磁波课件第1章矢量分析
分析和处理电磁场问题的方法 —— 数学处理过程
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析
本课程约定
? 物理量符号上方用“ ? ”或粗斜? 印刷体代表矢量 ，例如电场强度矢量E
? 物理量符号上方用“ ? ”代表单
位矢量，例如e?x,e?y,e?z 分别代表 x，
y，z 方?向的单位矢量， r? 代表位置 矢量 r 的单位矢量
第一章 矢量分析
e??
?
单位圆
x
?e??
??
?
? e?xcos?
? e?ysin?
?
? e?ρ
xy 平面上的投影图
?
矢量表示： A ? e?? A? ? e?? A? ? e?z Az
z
e?z
位置矢
r ? e?? ? ? e??? ? e?z z ???
?
位置矢量 ： r ? e?? ? ? e?zz
? P(?, ?, z) r
场物理量随时间变化。本课程主要讨论随 时间正弦或余弦变化的时变场，称时谐场
标量场（ Scalar Field ）
场物理量是标量，如温度场，电位场等
场矢物量理场量（是矢Ve量c，to如r F电ie场ldE??）r?,t?
2. 三种常用的坐标系
直角坐标系 基本变量： x, y, z
z
? P(x,y,z) r
e?x ? e?x ? e?y ? e?y ? e?z ? e?z ? 0
e?z e?y
e?x ?e?y ? e?y ?e?z ? e?z ?e?x ? 0
e?x
e?x ?e?x ? e?y ?e?y ? e?z ?e?z ? 1
??
? ? e?x e?x e?x
A?B ? AxBx ? AyBy ? Az Bz A ? B ? Ax Ay Az
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
面元矢量与此矢量相合时，极限值为最大值，也就是
该矢量的模。这个矢量称为 的旋度(curl)，记为
或
，故有
其中 是 在面元矢量 (用 表示其方向)上的投影。
第47页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
旋度：若在矢量场 中的一点M 处存在矢量 ， 的方向
是 在该点环流面密度最大的方向，它的模就是这个最大
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
为
或
。
说明：
① 在流体力学中，旋度表示了旋转的强弱即大小；在电磁场中，
不存在旋转强弱的意义；
② 旋度与环流中C 的形状、取向无关，只与场在M 点的量 本身有关；
③ 旋度场： 与矢量场 中的点一一对应得到的新的矢量场
第48页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第23页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.3.2/3 方向导数和梯度 方向导数意义：表示场沿某方向的空间变化率
梯度的意义：描述标量场在某点的最大变化率及其 变化最大的方向
第24页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
定义算符:
←哈密顿算符
数量场u 的梯度是矢量(是空间坐标点的函数) 梯度的大小为该点标量函数u 的最大变化率，即最大方向导数 梯度的方向为该点最大方向导数的方向 梯度场：数量场u 中每点都有一个梯度而形成的矢量场
第25页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 直角坐标梯度: 圆柱坐标梯度: 球 坐 标 梯度:
第26页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
梯度运算公式：
k为常数
第27页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
{例} 考虑一个二维标量场 求此标量场的等值面，求u 的梯度 任取一闭合的积分回路,证明
电磁场与电磁波课件第一章 矢量分析
divA lim SA dS V 0 V
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
第一章 矢量分析
矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子▽与矢量A的标量
积， 即
divA A
A
x
ex
y
ey
z
ez
( Axex
Ayey
Azez )
Ax Ay Az x y z
(A B) A B
(A) A A
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析
图 1-3 法线方向的取法
第一章 矢量分析
将曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面 S的通量，也称为矢量A在曲面S上的面积分：
SdS SA ndS
如果曲面是一个封闭曲面，则
SA dS
第一章 矢量分析
1.3.2 矢量场的散度
lim SA dS
V 0 V
称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为
grad (uv) vgradu ugradv 或 (uv) vu uv
grad
u v
1 v2
(vgradu
ugradv
或
u v
1 v2
(vu
uv)
grad[ f (u)] f ' (u)gradv 或 [ f (u)] f ' (u)u
第一章 矢量分析
例1-4 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模，
(x y)2 z 0
或
z (x y)2
第一章 矢量分析
例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx xy 2
电磁场与电磁波讲义(电子科大第三版)
第一章 矢量分析仅具有大小特征的量为标量，标量的空间分布构成标量场，标量场可用一个标量函数),(t r u来描述；不仅具有大小而且具有方向特征的量称为矢量，矢量的空间分布构成矢量场，矢量场可用一个矢量函数),(t r F来描述。
矢量分析是研究场在空间的分布和变化规律的基本数学工具：标量场在空间的变化规律由其梯度来描述，矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述，因此本章的重点是标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规律。
1.1 矢量代数1.矢量的表示矢量A 可用一条有方向的线段表示，线段的长度表示矢量A的大小，称为矢量的模；箭头的指向表示矢量A 的方向。
用A e表示与矢量A 同方向的单位矢量，则A e A A=； AA e A=2.矢量的加法 矢量的加法遵循平行四边形法则，加法运算符合结合律和交换律。
交换律：A B B A+=+；结合律：)()(C B A C B A++=++两个矢量的相减可以归结为相加运算。
3.矢量的乘法(1)标量与矢量相乘矢量A 与标量k 的乘积A k 为矢量，大小为A k 。
若0>k ，A k 与A同向；若0<k ，Ak 与A反向。
(2)矢量的标积或点积 θcos AB B A =⋅标积的运算符合交换律和分配律：A B B A⋅=⋅；C A B A C B A ⋅+⋅=+⋅)((3)矢量的矢积或叉积大小：θsin AB ；即等于矢量A 和B构成的平行四边形的面积。
方向：与矢量A 和B垂直，其指向由右手螺旋决定。
矢量积不服从交换律，但服从分配律：A B B A⨯-=⨯；C A B A C B A ⨯+⨯=+⨯)( (4)标量三重积（三矢量的混合积）形式：)(C B A⨯⋅几何意义：等于矢量C B A,,构成的平行六面体的体积性质：a.把三个矢量按循环次序轮换，其积不变。
)()()(B A C A C B C B A⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅b.只把两矢量对调，其积差一负号。
矢量分析【电磁场与波+电子科技大学】
只要 以 面体,故
即可。
z
点为顶点作一个平行六 x
经过左右两面的通量为：
(x,y,z +△z)
y △z
M●(x,y,z) △y
△x
(x+△x,y,z)
(x,y+△y,z)
用偏微分代替偏增量，得:
第36页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 同理，前后、上下面的通量分别为:
故从该平行六面体穿出的通量为:
； 没有 分量，则
，所以
第42页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
微分面积：
e
单位长度( z=1 )圆柱面的通量:
e e
第43页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
第五节 矢量的环流与旋度
（Circulation and Rotation of Vector Field） 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类 不同于通量源的源,它所激发的矢量场的力线是闭合的， 它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中 闭合路径的积分不为零。
例如:流速场
、电场
是矢量场
第6页
电磁场பைடு நூலகம்电磁波 第一章__矢量分析
3、场的表示
矢量
，
矢量场
一个矢量场对应着三个标量场
第7页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析 1.1.2 矢量的加法和减法
B
A＋B
A
矢量的加法
B
A
-B A－B
矢量的减法
B
第8页
电磁场与电磁波 第一章__矢量分析
1.1.3 矢量的乘法 矢量的点积(标积):
的环流面密度。矢量 称为矢量场 在点M 的旋度，记
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电磁场与电磁波—矢量分析
两个矢量的点积：写成
A B
其值为： A B AB cos
A
点积的性质：
θ
交换律 分配律 按乘数比例
A B C A B A C k A B kA B A kB
A B B A
若该物理量为矢量，则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z)； F(x,y,z,t) f(x,y,z,t)
若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
第一章
矢量分析
笛卡尔坐标系
我们的标量函数（标量场）通常用笛卡 尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以 用笛卡尔坐标系来表示 根据矢量的运算规则，多个矢量可以进 行矢量相加，反过来，一个矢量以可以 分解为多个矢量的和
B
第一章
矢量分析
两个矢量的叉积：写成 r F M 其值为： r F rF sin e n
M
r
F
第一章
矢量分析
叉积的性质：
不服从交换律 但服从分配 按乘数比例
A B C A B A C kA B k A B A kB
0
第一章
矢量分析
△z
z
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可 微， cosα 、 cosβ 、 cosγ 为 l 方向的方向余弦， 则函数 φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存 在，且为
γ M0 α
△x
ρ
β
M
电子科技大学电磁场与电磁波课件第一章+矢量分析1
思考：计算圆柱、球的表面积、体积？
球坐标系中的线元、面元和体积元
14
线元矢量 d l e d r e r d e r sin d r
面元矢量 2 d S e d l d l e r d d r r rsin
d S e d l d l e r d r d r
A B Ax Bx ex ey Ay By ez Az Bz
A A 矢量 与B 的叉积
叉积仅服从分配律。
9
混合运算： —— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B ) A ( B C ) ( A C ) B ( A B ) C —— 矢量三重积
( A B ) C A C B C —— 分配律 ( A B ) C A C B C —— 分配律
10
1.2 三种常用的正交坐标系
三维空间点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 正交曲线坐标系：三条正交曲线组成的确定三维空间任意点 位置的体系；
e
ey
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
sin cos 0
ex
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
0 0 1
ey
z
ez
er
e
直角坐标与 球坐标系
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
eA = ex cosα + ey cos β + ez cosγ
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
A = ex Ax + ey Ay + ez Az
矢量的加法和减法
B = ex Bx + ey By + ez Bz
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明:圆柱坐标系下矢量运算方法: 说明:圆柱坐标系下矢量运算方法:
A = eρ Aρ + eφ Aφ + ez Az B = eρ Bρ + eφ Bφ + ez Bz
加减: 加减: ± B = eρ ( Aρ ± Bρ ) + eφ ( Aφ ± Bφ ) + ez ( Az ± Bz ) A 标积: i B = (eρ Aρ + eφ Aφ + ez Az )i(eρ Bρ + eφ Bφ + ez Bz ) 标积: A
r = ex x + ey y + ez z
dl = exdx + eydy + ezdz
x
x = x0 (平面) 平面)
直角坐标系
z
dS z = ez dxdy
dS y = e y dxdz
dSx = exdlydlz = exdydz
dz
dSy = eydlxdlz = eydxdz
dSz = ezdlxdly = ezdxdy
y
1.2.4 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 直角坐标与 圆柱坐标系
eρ
eφ
ey
eφ ez
er
cosφ sin φ 0
ex
sin φ cosφ 0
eφ
ey
ez 0 0 1
eρ
φ
ex
φ
单位圆
o
圆柱坐标与 圆柱坐标与 球坐标系
eθ eφ
sin θ cosθ 0
ex
eρ
0 0 1
ey
ez cosθ sin θ 0
r = eρ ρ + ez z
dr = eρdρ + eφ ρdφ + ezdz
dSρ = eρdlφdlz = eρ ρdφdz dSφ = eφdlρdlz = eφdρdz dSz = ezdlρdlφ = ez ρdρdφ
圆柱坐标系
体积元
dV = ρdρdφdz
圆柱坐标系中的线元, 圆柱坐标系中的线元,面元和体积元
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三种坐标系有不同适用范围: 三种坐标系有不同适用范围:
1,直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解,如无限大 直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解, 面对称分布的问题求解 面电荷分布产生电场分布. 面电荷分布产生电场分布. 2,柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解,如无限长 柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解, 轴对称分布的问题求解 线电流产生磁场分布. 线电流产生磁场分布. 3,球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解,如点电荷 球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解, 点对称分布的问题求解 产生电场分布. 产生电场分布.
加减: ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eφ ( Aφ ± Bφ ) 加减: A 标积: 标积: i B = (er Ar + eθ Aθ + eφ Aφ )i(er Br + eθ Bθ + eφ Bφ ) A
= Ar Br + Aθ Bθ + Aφ Bφ
Ai B = A B cos θ AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz
说明: 说明: 1,矢量的点积符合交换律和分配律: 矢量的点积符合交换律和分配律:
B
θ AB
A
Ai B = Bi A
Ai( B + C ) = Ai B + AiC
2,两个矢量的点积为标量
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量 标量:只有大小,没有方向的物理量 电压U 电荷量Q 能量W 的物理量( 标量:只有大小,没有方向的物理量(电压U,电荷量Q,能量W等) 的物理量( 磁场强度) 矢量:既有大小,又有方向的物理量 作用力, 矢量:既有大小,又有方向的物理量(作用力,电,磁场强度) 矢量的代数表示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.3 球面坐标系
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
r,θ,φ
er , eθ , eφ
r = er r
dr = er dr + eθ rdθ + eφ rsinθdφ
球坐标系
dSr = erdlθ dlφ = er r2sinθdθdφ dSθ = eθ dlrdlφ = ez rsinθdrdφ dSφ = eφdlrdlθ = eφ rdrdθ
= Aρ Bρ + Aφ Bφ + Az Bz
eρ
矢积: 矢积: × B = Aρ A
eφ Aφ Bφ
ez Az = eρ ( Aφ Bz Az Bφ ) + eφ ( Az Bρ Aρ Bz ) Bz
+ ez ( Aρ Bφ Aφ Bρ )
Bρ
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
H B D A 矢量可表示为: 矢量可表示为: = eA A 其中 e A = A A A 为模值,表征矢量的大小; 模值,表征矢量的大小 大小; eA为单位矢量,表征矢量的方向; 单位矢量,表征矢量的方向 方向;
矢量的几何表示: 矢量的几何表示:用一条有方向的线段来表示
F
E
A
矢量的几何表示
说明:矢量书写时,印刷体为场量符号加粗,如 D .教材 说明:矢量书写时,印刷体为场量符号加粗, 为场量符号加粗 上的矢量符号即采用印刷体. 上的矢量符号即采用印刷体.
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
x
z
ez
θ θ
er
eρ
直角坐标与 直角坐标与 球坐标系
ez er sin θ cosφ sin θ sin φ cosθ eθ cosθ sin φ cosθ sin φ sin θ eφ cosφ sin φ 0
θ
单位圆
eθ
r
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
A ± B = ex ( Ax ± Bx ) + ey ( Ay ± By ) + ez ( Az ± Bz )
说明: 说明: 1,矢量的加法符合交换律和结合律: 矢量的加法符合交换律和结合律: 交换律
A+ B = B + A
( A + B) + C = A + ( B + C )
2,矢量相加和相减可用平行四边形法则求解: 矢量相加和相减可用平行四边形法则求解: 平行四边形法则求解
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应, 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应,称在该区 域上定义了一个场 域上定义了一个场. 如果物理量是标量,称该场为标量场. 如果物理量是标量,称该场为标量场. 标量场 例如:温度场,电位场,高度场等. 例如:温度场,电位场,高度场等. 如果物理量是矢量,称该场为矢量场. 如果物理量是矢量,称该场为矢量场. 矢量场 例如:流速场,重力场,电场,磁场等. 例如:流速场,重力场,电场,磁场等. 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场 时变场. 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场. 静态场 从数学上看,场是定义在空间区域上的函数: 从数学上看,场是定义在空间区域上的函数: 静态标量场和矢量场可分别表示为: 静态标量场和矢量场可分别表示为: 时变标量场和矢量场可分别表示为: 时变标量场和矢量场可分别表示为:
体积元
dV = r2sinθdrdθdφ
球坐标系中的线元, 球坐标系中的线元,面元和体积元
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明:球面坐标系下矢量运算: 说明:球面坐标系下矢量运算:
A = er Ar + eθ Aθ + eφ Aφ
B = er Br + eθ Bθ + eφ Bφ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容. 础内容. 矢量代数 常用正交坐标系 标量场的梯度 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的散度 矢量场的旋度 矢量场的旋度 拉普拉斯运算 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A× B
矢量的矢积(叉积) 矢量的矢积(叉积)
ex A × B = en AB sin θ AB = Ax Bx
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1.2 矢量的运算
A = ex Ax + ey Ay + ez Az
矢量的加法和减法
B = ex Bx + ey By + ez Bz
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明:圆柱坐标系下矢量运算方法: 说明:圆柱坐标系下矢量运算方法:
A = eρ Aρ + eφ Aφ + ez Az B = eρ Bρ + eφ Bφ + ez Bz
加减: 加减: ± B = eρ ( Aρ ± Bρ ) + eφ ( Aφ ± Bφ ) + ez ( Az ± Bz ) A 标积: i B = (eρ Aρ + eφ Aφ + ez Az )i(eρ Bρ + eφ Bφ + ez Bz ) 标积: A
r = ex x + ey y + ez z
dl = exdx + eydy + ezdz
x
x = x0 (平面) 平面)
直角坐标系
z
dS z = ez dxdy
dS y = e y dxdz
dSx = exdlydlz = exdydz
dz
dSy = eydlxdlz = eydxdz
dSz = ezdlxdly = ezdxdy
y
1.2.4 坐标单位矢量之间的关系
直角坐标与 直角坐标与 圆柱坐标系
eρ
eφ
ey
eφ ez
er
cosφ sin φ 0
ex
sin φ cosφ 0
eφ
ey
ez 0 0 1
eρ
φ
ex
φ
单位圆
o
圆柱坐标与 圆柱坐标与 球坐标系
eθ eφ
sin θ cosθ 0
ex
eρ
0 0 1
ey
ez cosθ sin θ 0
r = eρ ρ + ez z
dr = eρdρ + eφ ρdφ + ezdz
dSρ = eρdlφdlz = eρ ρdφdz dSφ = eφdlρdlz = eφdρdz dSz = ezdlρdlφ = ez ρdρdφ
圆柱坐标系
体积元
dV = ρdρdφdz
圆柱坐标系中的线元, 圆柱坐标系中的线元,面元和体积元
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三种坐标系有不同适用范围: 三种坐标系有不同适用范围:
1,直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解,如无限大 直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解, 面对称分布的问题求解 面电荷分布产生电场分布. 面电荷分布产生电场分布. 2,柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解,如无限长 柱面坐标系适用于场呈轴对称分布的问题求解, 轴对称分布的问题求解 线电流产生磁场分布. 线电流产生磁场分布. 3,球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解,如点电荷 球面坐标系适用于场呈点对称分布的问题求解, 点对称分布的问题求解 产生电场分布. 产生电场分布.
加减: ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eφ ( Aφ ± Bφ ) 加减: A 标积: 标积: i B = (er Ar + eθ Aθ + eφ Aφ )i(er Br + eθ Bθ + eφ Bφ ) A
= Ar Br + Aθ Bθ + Aφ Bφ
Ai B = A B cos θ AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz
说明: 说明: 1,矢量的点积符合交换律和分配律: 矢量的点积符合交换律和分配律:
B
θ AB
A
Ai B = Bi A
Ai( B + C ) = Ai B + AiC
2,两个矢量的点积为标量
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
标量与矢量 标量:只有大小,没有方向的物理量 电压U 电荷量Q 能量W 的物理量( 标量:只有大小,没有方向的物理量(电压U,电荷量Q,能量W等) 的物理量( 磁场强度) 矢量:既有大小,又有方向的物理量 作用力, 矢量:既有大小,又有方向的物理量(作用力,电,磁场强度) 矢量的代数表示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.2.3 球面坐标系
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
r,θ,φ
er , eθ , eφ
r = er r
dr = er dr + eθ rdθ + eφ rsinθdφ
球坐标系
dSr = erdlθ dlφ = er r2sinθdθdφ dSθ = eθ dlrdlφ = ez rsinθdrdφ dSφ = eφdlrdlθ = eφ rdrdθ
= Aρ Bρ + Aφ Bφ + Az Bz
eρ
矢积: 矢积: × B = Aρ A
eφ Aφ Bφ
ez Az = eρ ( Aφ Bz Az Bφ ) + eφ ( Az Bρ Aρ Bz ) Bz
+ ez ( Aρ Bφ Aφ Bρ )
Bρ
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
H B D A 矢量可表示为: 矢量可表示为: = eA A 其中 e A = A A A 为模值,表征矢量的大小; 模值,表征矢量的大小 大小; eA为单位矢量,表征矢量的方向; 单位矢量,表征矢量的方向 方向;
矢量的几何表示: 矢量的几何表示:用一条有方向的线段来表示
F
E
A
矢量的几何表示
说明:矢量书写时,印刷体为场量符号加粗,如 D .教材 说明:矢量书写时,印刷体为场量符号加粗, 为场量符号加粗 上的矢量符号即采用印刷体. 上的矢量符号即采用印刷体.
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
x
z
ez
θ θ
er
eρ
直角坐标与 直角坐标与 球坐标系
ez er sin θ cosφ sin θ sin φ cosθ eθ cosθ sin φ cosθ sin φ sin θ eφ cosφ sin φ 0
θ
单位圆
eθ
r
o
柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系
A ± B = ex ( Ax ± Bx ) + ey ( Ay ± By ) + ez ( Az ± Bz )
说明: 说明: 1,矢量的加法符合交换律和结合律: 矢量的加法符合交换律和结合律: 交换律
A+ B = B + A
( A + B) + C = A + ( B + C )
2,矢量相加和相减可用平行四边形法则求解: 矢量相加和相减可用平行四边形法则求解: 平行四边形法则求解
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应, 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应,称在该区 域上定义了一个场 域上定义了一个场. 如果物理量是标量,称该场为标量场. 如果物理量是标量,称该场为标量场. 标量场 例如:温度场,电位场,高度场等. 例如:温度场,电位场,高度场等. 如果物理量是矢量,称该场为矢量场. 如果物理量是矢量,称该场为矢量场. 矢量场 例如:流速场,重力场,电场,磁场等. 例如:流速场,重力场,电场,磁场等. 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场 时变场. 如果场与时间无关,称为静态场,反之为时变场. 静态场 从数学上看,场是定义在空间区域上的函数: 从数学上看,场是定义在空间区域上的函数: 静态标量场和矢量场可分别表示为: 静态标量场和矢量场可分别表示为: 时变标量场和矢量场可分别表示为: 时变标量场和矢量场可分别表示为:
体积元
dV = r2sinθdrdθdφ
球坐标系中的线元, 球坐标系中的线元,面元和体积元
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
说明:球面坐标系下矢量运算: 说明:球面坐标系下矢量运算:
A = er Ar + eθ Aθ + eφ Aφ
B = er Br + eθ Bθ + eφ Bφ
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第一章 矢量分析
电子科技大学电磁场与电磁波课程组 电子科技大学电磁场与电磁波课程组
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
本章内容
本章重点介绍与矢量场分析有关的数学基 础内容. 础内容. 矢量代数 常用正交坐标系 标量场的梯度 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的散度 矢量场的旋度 矢量场的旋度 拉普拉斯运算 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A× B
矢量的矢积(叉积) 矢量的矢积(叉积)
ex A × B = en AB sin θ AB = Ax Bx