【考点59】坐标系与参数方程
坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程知识点在数学中，坐标系与参数方程是两个重要且密切相关的概念。
坐标系是我们描述点的位置和相互关系的工具，而参数方程则是一种表示曲线或曲面的常用方法。
让我们来深入了解这两个知识点，它们的应用领域和一些实际问题的解决方法。
一、坐标系在平面几何学和空间几何学中，坐标系用于表示点的位置。
常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系之一，由两条相互垂直的直线组成。
通常，水平直线被称为x轴，垂直直线被称为y轴。
任何点P都可以通过其与这两条轴的交点来表示，用一个有序数对(x, y)表示。
其中，x 称为横坐标，y称为纵坐标。
这种表示方法可以简化许多几何问题的求解，如计算两点之间的距离、判断点是否在某一区域内等。
2. 极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，用于描述平面上的点。
与直角坐标系不同，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角则表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系下，点的坐标用一个有序数对(r, θ)表示。
这种坐标系在描述圆形运动、天文学等领域具有重要应用。
二、参数方程参数方程是一种常用的表示曲线或曲面的方法，它使用一个或多个参数来描述点的位置。
通常，参数方程将x和y（或x、y、z）用一个或多个参数t表示。
1. 二维参数方程对于二维参数方程，曲线上的点可以用参数t与x、y的关系表示。
例如，对于抛物线y = x^2，我们可以使用参数方程x = t和y = t^2来表示。
通过改变参数t的值，我们可以得到这条曲线上的各个点。
参数方程的优势在于它可以描述一些传统的直角坐标系难以表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
此外，参数方程还可以用于描述运动轨迹、弹道轨迹等。
2. 三维参数方程三维参数方程与二维参数方程类似，不同之处在于曲面上的点需要用参数t与x、y、z的关系表示。
例如，对于球体的参数方程x = r *sinθ * cosφ，y = r * sinθ * sinφ，z = r * cosθ，其中r、θ和φ是参数，描述了点与球心的关系。
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学
坐标系与参数方程高考知识点 2024数学2024年的高考数学考试中，坐标系与参数方程是一个重要的知识点。
本文将对坐标系和参数方程的概念、性质以及应用进行详细的论述。
一、坐标系的概念与性质坐标系是一种用来确定平面或空间中点位置的方法。
在平面上，常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系；在空间中，常用的坐标系有直角坐标系和球坐标系。
1. 直角坐标系：直角坐标系是平面上最常用的一种坐标系，使用两个数值来确定平面上的点的位置。
我们用横坐标x和纵坐标y来表示一个点的位置，记作P(x, y)。
直角坐标系具有以下性质：- 原点：坐标系的交叉点称为原点，表示为O(0, 0)。
- 坐标轴：直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，分别称为x轴和y轴。
- 单位长度：直角坐标系中x轴和y轴的单位长度相等。
2. 极坐标系：极坐标系是另一种表示点位置的方法，它使用距离和角度来确定点的位置。
对于平面上的点P，极坐标系表示为(r, θ)，其中r为点P到原点的距离，θ为点P与正半轴的夹角。
极坐标系具有以下性质：- 极轴：极坐标系有一条特殊的直线称为极轴，通常与x轴重合。
- 极角：极坐标系中，与极轴正向的夹角称为极角，通常用θ表示。
- 极径：点P到原点的距离称为极径，用r表示。
二、参数方程的概念与性质参数方程是用参数的变化规律来确定点的位置的方法。
它通常由一组含有参数的方程组成，通过给参数赋值，可以确定出点的坐标。
在坐标系中，参数方程可以用来表示一条曲线或曲面。
常见的参数方程有平面曲线的参数方程和空间曲线的参数方程。
1. 平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常用两个参数t、u来表示。
例如，曲线C可以由参数方程表示为：x = f(t)y = g(t)其中t的取值范围确定了曲线上点的位置。
平面曲线的参数方程具有以下性质：- 曲线上的点的坐标是参数t的函数，参数t的值域决定了曲线的范围。
- 在参数方程中，可以通过改变参数的取值来绘制不同部分的曲线。
(完整版)坐标系与参数方程知识点
坐标系与参数方程 知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩g g 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点, 自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:(i)极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;(ii)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ; 以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ. 有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数.特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴 作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角 坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与 直角坐标的互化公式如下:极坐标(,)ρθ 直角坐标(,)x y : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直角坐标(,)x y 极坐标(,)ρθ:222tan (0)x y yx xρθ=+=≠ 在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r=2sin (0)r ρθθπ≤<的圆圆心为(),r π,半径为r的圆32cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π-,半径为r 的圆=2sin (2)r ρθπθπ-≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或(2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.5.极坐标方程与直角坐标方程之间的互化（1）直角坐标方程 极坐标方程 : cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）极坐标方程 直角坐标方程：222cos sin tan x y x y y x ρθρθρθ→⎧⎪→⎪⎪→+⎨⎪⎪→⎪⎩二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学坐标系与参数方程
高中数学坐标系与参数方程数学中的坐标系与参数方程是高中数学中的重要概念和工具。
坐标系是一种用于描述和定位点的系统，而参数方程是一种利用参数来描述曲线和图形的方程。
本文将详细介绍坐标系和参数方程的概念、性质以及在解决实际问题中的应用。
一、坐标系坐标系是一种用于描述和定位点的系统。
常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和空间坐标系等。
其中，直角坐标系是最常用的一种坐标系。
1. 直角坐标系直角坐标系又称笛卡尔坐标系，由两个相互垂直的数轴组成，分别为x轴和y轴。
通过给每个点分配一个唯一的有序数对(x, y)，可以精确定位平面上的任意一点。
2. 极坐标系极坐标系以原点O和极轴作为基准，通过极径r和极角θ来描述平面上的点。
其中，极径r表示原点O到点P的距离，极角θ表示OP 与极轴的正向夹角。
3. 空间坐标系空间坐标系用于描述三维空间中的点。
最常用的空间坐标系是直角坐标系，由三条相互垂直的坐标轴x、y和z组成。
二、参数方程参数方程是一种利用参数来描述曲线、图形或曲面的方程。
通过引入参数，可以更方便地描述和分析不同类型的曲线和图形。
1. 平面曲线的参数方程对于平面曲线，一般使用参数t来描述。
平面曲线的参数方程可以表示为x=f(t)，y=g(t)，其中f(t)和g(t)分别是x和y关于参数t的函数。
2. 三维空间曲线的参数方程对于三维空间曲线，常用的参数方程形式为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)。
通过给定的参数值t，可以确定空间曲线上的每个点的坐标。
3. 曲面的参数方程曲面的参数方程可以表示为x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中u 和v是两个参数。
通过给定不同的参数值，可以得到曲面上的各个点的坐标。
三、坐标系和参数方程的应用坐标系和参数方程在数学中有广泛的应用，特别是在几何和解析几何中的问题求解过程中起到关键作用。
以下是坐标系和参数方程在实际问题中的应用示例。
1. 几何图形分析通过在直角坐标系或极坐标系中表示几何图形的方程，可以对其进行分析和研究。
坐标系与参数方程知识点归纳
坐标系与参数方程知识点一、极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化:),(θρP 与直角坐标),(y x P222y x +=ρ θρcos =x θρsin =y xy =θtan 二、参数方程1.经过点),(000y x M 倾斜角为α的直线)(tan :00x x y y l -=-α的参数方程为(直线参数方程标准型:定点和倾斜角)t t y y t x x (,sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα为参数) 特别注意: ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .2.圆222)()(:r b y a x C =-+-(圆心为),(b a C 半径为r )的参数方程为ααα(,sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数) 3.椭圆1:2222=+by a x C 的参数方程为ϕϕϕ(,sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为参数) 4.抛物线)0(2:2>=p px y C 的参数方程为t pt y pt x (,222⎩⎨⎧==为参数)三、直线l 与曲线C 相交于两点),(),,(2211y x B y x A 问题 ①将直线l 化为参数方程的标准型(过定点0M 和倾斜角);②曲线C 使用普通方程;③将直线l 的参数方程带入曲线C 的普通方程,得到关于t 的一元二次方程02=++c bt at ;④设),(),,(2211y x B y x A 对应的参数分别为21,t t ,由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+a c t t ab t t 2121 (021>⋅t t ,21,t t 同号,021<⋅t t ,21,t t 异号,再根据21t t +的正负性来判断) (1)若求||||00BM AM +,则求出21,t t ,则||||||||2100t t BM AM +=+ (根据21,t t 的正负性去掉绝对值即可)(2)若求||||00BM AM ⋅,则||||||2100t t BM AM ⋅=⋅ (3)若求弦长||AB ,则21221214)(||||t t t t t t AB ⋅-+=-=(4)若0M 为线段AB 的中点,求直线l 方程令021=+t t ,即可求出直线l 的斜率,带入直线l 的点斜式方程)(tan 00x x y y -=-α,化简记得直线l 方程.四、有关距离问题1.常规方法(化为普通方程,利用两点的距离公式或者弦长公式求解):212212)()(||y y x x AB -+-=, )4)(1||212212x x x x k AB -++=2.极径思想:当直线通过原点时,直线的倾斜角即为极角,带入极坐标方程即可求出极径.3.直线参数方法思想(要注意直线参数方程必须是通过倾斜角和定点所得): ||t 表示直线上任意一点),(y x M 到0M 的距离,即||||0MM t =,当M 在0M 上方时,0>t ,当M 在0M 下方时,0<t .。
坐标系与参数方程_知识点总结
坐标系与参数方程_知识点总结一、坐标系1.直角坐标系直角坐标系是最常见的坐标系，在平面上由两个垂直的坐标轴组成，分别为x轴和y轴。
一个点在直角坐标系中的位置可以用坐标(x,y)来表示，其中x为横坐标，y为纵坐标。
2.极坐标系3.球坐标系球坐标系是一种用于描述空间点位置的坐标系统，它由径向距离、极角和方位角组成。
一个点的位置可以用有序数组(r,θ,φ)来表示，其中r为点到原点的距离，θ为点与一些固定轴的夹角，φ为点的方位角。
二、参数方程1.一维参数方程一维参数方程是指由一个参数确定的直线或曲线的方程。
例如，一个点在直线上的一维参数方程可以表示为x=f(t)，其中x为点在直线上的位置，t为参数，f(t)为关于参数t的函数。
2.二维参数方程二维参数方程是指由两个参数确定的平面曲线的方程。
一个点在平面上的位置可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)分别为关于参数t的函数。
二维参数方程常用于描述曲线、圆、椭圆等几何图形。
3.三维参数方程三维参数方程是指由三个参数确定的空间曲线的方程。
一个点在空间中的位置可以表示为(x(t),y(t),z(t))，其中x(t)、y(t)和z(t)分别为关于参数t的函数。
三维参数方程常用于描述空间曲线、曲面等几何图形。
三、坐标系与参数方程的关系坐标系和参数方程之间存在着密切的关系。
在直角坐标系中，一个函数的参数方程可以通过将x和y用参数表示来得到，即将x=f(t)和y=g(t)的参数方程转化为直角坐标系中的函数y=f(x)的形式。
反之，一个函数的直角坐标系方程也可以通过将x和y用参数表示来得到参数方程。
参数方程在极坐标系和球坐标系中也可以通过类似的方式转化。
总结：坐标系是描述点的位置的系统，常见的坐标系有直角坐标系、极坐标系和球坐标系。
参数方程是用参数表示的函数方程，常用于描述直线、曲线、曲面等几何图形。
坐标系和参数方程之间存在密切的关系，可以通过转化将一个方程从坐标系表示转化为参数方程，反之亦然。
完整版坐标系与参数方程知识点
完整版坐标系与参数方程知识点一、坐标系的概念坐标系是为了方便描述平面或空间中点的位置而引入的一种系统。
常见的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和参数方程坐标系。
二、直角坐标系直角坐标系是最常见的一种坐标系。
在二维空间中，直角坐标系由两个相互垂直的坐标轴构成，分别是x轴和y轴。
点在直角坐标系中的位置可以用有序数对(x,y)表示，分别代表点在x轴和y轴上的距离。
三、极坐标系极坐标系是一种以原点为中心，以角度和半径表示点的位置的坐标系。
在极坐标系中，点的位置由有序数对(r,θ)表示，其中r代表点到原点的距离，θ代表与正x轴的夹角。
四、参数方程与轨迹参数方程是一种用参数来表示曲线上的点的坐标的方法。
一般形式的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中t是参数，f(t)和g(t)是定义在参数域上的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以获得曲线上的一系列点，从而绘制出整条曲线。
五、参数方程与直角坐标系的转换将直角坐标系的点(x,y)转换为参数方程的形式，可以使用以下步骤：1.将x和y分别表示为t的函数：x=f(t)，y=g(t)。
2.给定t的取值范围，求出对应的x和y的取值。
将参数方程的点(x,y)转换为直角坐标系的形式，可以使用以下步骤：1.通过解参数方程的两个方程，消去t，得到一个方程只包含x和y。
2.求解得到与x和y的关系式。
六、参数方程的性质参数方程可以表示各种各样的曲线，具有以下性质：1.参数方程可以用来表示直线、圆、椭圆、双曲线等曲线。
2.参数方程可以描述曲线的形状、方向、起点和终点等信息。
3.参数方程可以通过调整参数的取值范围来绘制出曲线的其中一部分或整条曲线。
七、应用场景参数方程在数学和物理学中有广泛的应用，例如：1.研究物体的运动轨迹，包括抛体运动、行星运动等。
2.描述动态系统的变化过程，如混沌系统、非线性振动等。
3.研究曲线的特殊性质，如曲率、曲线的长度等。
八、参数方程的解析与图像通过解析参数方程，可以得到曲线的方程，从而进一步研究曲线的性质。
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【考点59】坐标系与参数方程
1．（2008，广东，13）（坐标系参数方程选做题）
已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为
)2
0,0(cos 4,3cos π
θρθρθρ<
≤≥==，
则曲线C 1与C 2交点的极坐标为 。
2．（2008福建，14）若直线043=++m y x 与圆
θθ
θ
(sin 2cos 1⎩⎨
⎧+-=+=y x 为参数）没有公共 点，则实数m 的取值范围是 。
3．（2007，广东13）（坐标系参数方程选做题）在
平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎩⎨
⎧-=+=t
y t x 33
（参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩
⎨
⎧+==2sin 2,
cos 2θθy x （参数]2,0[πθ∈）则圆C 的坐标为 ，圆心到直线l 的距离为 。
4．（2008，江苏，21C ，10分）（选修4—4：坐标
与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，设P
（x,y ）是椭圆1322
=+y x 上的一个动点，求y x S +=的最大值。
5．（2008宁夏、海南，23，10分）（选修4—4：坐
标与参数方程）已知曲线θθ
θ(sin ,
cos :1⎩⎨⎧==y x C 为
参数）
曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=t y t x C 22,222
:2（t 为参数） （1）指出C 1、C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；
（2）若把C 1、C 2上各点的纵坐标都压缩为原
来的一半，分别得到曲线C 1、C 2，写出C ′1、C ′2的参数方程。
C ′1与C ′2公共点的个数和C ′1与C ′2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
6．（2007，海南、宁夏，22B ，10分）（选修4—4：
坐标系与参数方程）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方
程分别为.sin 4,cos 4θρθρ-==
（1）⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方
程；
（2）求经过⊙O 1和⊙O 2交点的直线的直角坐标
方程。
7.(2009安徽理12)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，
并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为)(4
R ∈=
ρπ
θ，它与曲线
⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin 22cos 21y x （α为参数）相交于两点A 和B ，则
=||AB .
8.（2009广东13）若直线)
(,32,
21:为参数t t y t x l ⎩
⎨
⎧+=-=与直线⎩⎨
⎧-==.
21,
:2s y s x l （s 为参数）垂直，则
=k .
9.（2009海南宁夏23）
已知曲线，t t y t x C )(,sin 3,
cos 4:1为参数⎩⎨⎧+=+-=
)(sin 3cos 82为参数θθ
θ
⎩⎨⎧==y x ：C
（I ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们
分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为t=
2
π
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线
)(2,233为参数t t
y t x ：C ⎩⎨⎧+-=+=距离的最小值。
10．（2009辽宁23）在直角坐标系xOy 中，以O
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲
线C 的极坐标方程为
y x C N M ,,,1)3
cos(轴与分别为=-π
θρ轴
的交点。
（I ）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极
坐标；
（II ）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标
方程。
11.（2009天津13）设直线1l 的参数方程为
)(311为参数t t
y t
x ⎩⎨
⎧+=+=，直线2l 的方程为21,43l l x y 与则+=距离为______。