高等数学(经管)考试试卷
高等数学(经管类)自测题(一)
工程管理（单）1001班现在的虐待自己，就是未来的善待自己——李尧- 1 -高等数学自测题（一）总分100分，共分四道大题，时间100分钟一、填空题（每小题4分，共32分）1.如果1lim5n n n u u →∞+=，则幂级数()13nn n u x ∞=-∑在开区间_____________内绝对收敛 2.级数352221x x x x +++++⋅⋅⋅的收敛域是____________3.对级数1nn u∞=∑,lim 0n n u →∞=是它收敛的____________条件，不是它收敛的__________条件4.部分和数列{}n S 有界是正项级数1nn u∞=∑收敛的___________条件5.若级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn u∞=∑必定__________；若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1nn u∞=∑必定________6.设()333,,f x y z xy yz zx =++，则(),,z f x y z =___________________________7.设2,x y f y x y x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则(),f x y =___________________________ 8.级数()11123nn nn ∞=⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭∑收敛于___________ 二、选择题（每小题4分，共28分）1.级数()1112n n n a ∞-=-=∑，2115n n a ∞-==∑，则1n n a ∞==∑（ ）（A ）3 （B ）7 （C ）8 （D ）92.级数1nn a∞=∑发散，1nn b∞=∑收敛，则（ ）（A ） ()1n n n a b ∞=+∑发散 （B ）()1n n n a b ∞=+∑可能发散，也可能收敛（C ）1n n n a b ∞=∑发散 （D ）()221n nn a b ∞=+∑发散3.幂级数()111nn n x n∞-=-∑的收敛域为（ ） （A ）[]1,1- （B ）[)1,1- （C ）(]1,1- （D ）()1,1-4.下列各项属于正确的是（ ）（A ）若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛 （B ）若()1lim 0n n n u u +→∞-=，则1n n u ∞=∑收敛（C ）若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞= （D ）若1n n u ∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠5.设级数()15nn n b x ∞=-∑在3x =-处收敛，则此级数在4x =处（ ）（A ）发散 （B ）绝对收敛 （C ）条件收敛 （D ）不能确定敛散性6.如果11lim9n n nu u +→∞=，则幂级数21n n n u x ∞=∑（ ） （A ）当3x <时收敛 （B ）当9x <时收敛（C ）当19x >时发散 （D ）当13x >时发散 7.将()11f x x=+展开成x 的幂级数（ ）（A ）()0!n n x x n ∞=-∞<<+∞∑ （B ）()()10111n n n xx n ∞-=--<≤∑（C）()()111nnnx x ∞=--<<∑ （D ）()()()211121!n n n x xn -∞-=--∞<<+∞-∑三、计算题（每小题4分，共24分） 1.求极限lim x a+→2.求导数arctanln a y x=+工程管理（单）1001班现在的虐待自己，就是未来的善待自己——李尧- 2 -3.求不定积分(ln x dx ⎰4.判断级数()1321!nn n ∞=+∑敛散性5.判断级数()()111ln 1n n n -∞=-+∑是否收敛，如果收敛是绝对收敛还是条件收敛？6.求级数()()11111n n n x n n +∞-=-+∑在收敛域内的和函数四、解答下列各题（每小题8分，共16分）1.将函数()2123f x x x =--展开成()2x +的幂级数2.画出积分Dσ⎰⎰区域，并计算二重积分，其中D是有两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域。
《高等数学》(经管类)期中考试试题
北京化工大学2014-2015学年第二学期《高等数学》（经管类）期中考试试题一、 填空题（3分×27=81分）1、=+∫−dt t t dx d x)1ln(2233_____________________________; 2、=+++⋅∫−dx x x x x x 1122423)1sin (____________________; 3、=⋅∫dx x x e1ln _________________; 4、=−∫−dx x x 223cos cos ππ__________________; 5、=+∫+∞dx x x 03)1(_____________________; 6、求双曲线x y 1=与直线x y =及2=x 所围平面图形的面积__________________; 7、xOy 面上的双曲线63222=−y x 绕x 轴旋转而成的旋转曲面方程为________________________________;8、曲线−+−=−−=2222)1()1(2y x z y x z 在xOy 面上的投影曲线方程为_______________________; 9、以点)1,2,2(−O 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________________________________;10、函数)ln(122xy y x z +−+=的定义域是____________________________________; 11、=+−→xy xy y x 11lim)0,0(),(________________________; 12、求曲线=+=2)1(y xy z y，在点)9,2,1(处的切线对于x 轴的斜率为________________; 13、设)sin()ln(),(y x xy y x f z +⋅==，则=∂∂x z _________________________________; 14、设二元函数xy z arctan =，则=)1,1(dz ____________________________________; 15、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点连续的____________________________条件。
大学期末经管数学试卷答案
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各项中，属于绝对值非负数的选项是：A. -5B. 0C. 5D. -3答案：B2. 下列函数中，属于一次函数的是：A. y = 2x^2 + 3B. y = 4x - 5C. y = 5x + 7xD. y = 3x^3 + 2答案：B3. 下列各数中，属于无理数的是：A. √4B. √9C. √16D. √25答案：D4. 在直角坐标系中，点A（3，-2）关于y轴的对称点是：A.（-3，2）B.（-3，-2）C.（3，2）D.（3，-2）答案：A5. 下列等式中，正确的是：A. 2a + 3b = 5a + 6bB. 2a - 3b = 5a - 6bC. 2a + 3b = 5a - 6bD. 2a - 3b = 5a + 6b答案：B6. 若等差数列的前三项分别为a，b，c，且b = 4，a + c = 10，则该数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B7. 在下列函数中，y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）为二次函数的是：A. a = 0, b ≠ 0, c ≠ 0B. a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0C. a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0D. a = 0, b = 0, c = 0答案：B8. 下列事件中，一定发生的事件是：A. 抛掷一枚硬币，出现正面B. 抛掷一枚骰子，出现1点C. 从一副扑克牌中抽取一张，得到红桃D. 从0到9中随机选取一个数字，得到偶数答案：D9. 若log2x + log2x + log2x = 3，则x的值为：A. 2B. 4C. 8D. 16答案：C10. 下列不等式中，正确的是：A. 3x + 2 > 2x + 3B. 3x + 2 < 2x + 3C. 3x + 2 = 2x + 3D. 3x + 2 ≠ 2x + 3答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 1 + 2 + 3 + ... + 100 = ____答案：50502. （-5）^3 × （-2）^2 = ____答案：-503. 5x - 3 = 2x + 7，解得x = ____答案：24. 等差数列1，4，7，...的第10项是____答案：285. （a + b）^2 = a^2 + 2ab + b^2，则（a - b）^2 = ____答案：a^2 - 2ab + b^26. 2sinθ + 3cosθ = 5，sinθ = ____答案：2/57. 0.25的平方根是____答案：±0.58. 下列数中，属于有理数的是____答案：-3/49. 抛掷一枚硬币两次，至少出现一次正面的概率是____答案：7/810. log2(8) = ____答案：3三、解答题（每题10分，共30分）1. 解方程：2x^2 - 5x - 3 = 0答案：x = 3 或 x = -1/22. 求等差数列1，4，7，...的前10项和答案：553. 求函数y = x^2 - 4x + 3的顶点坐标答案：（2，-1）4. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项答案：2，6，18，54，162四、论述题（20分）1. 简述概率论在经管领域中的应用答案：概率论在经管领域中有着广泛的应用，如风险管理、决策分析、市场预测等。
工技大大一高数（经管类）历年试卷期末高等数学（一）经管类..
《高 等 数 学 (一)》试卷 经管类（本卷考试时间90分钟）大 题 一 二 三四 五 六 附加题 总 分小 题1 2 3 4 1 2 应得分 20 20 8 8 8 8 12 8 8 8 8 100+16 得 分一、填空题（每小题4分，共5×4=20分） 1. 设nn nx n x f )(lim )1(+=-¥® ，则=)(x f .2．已知函数xey x1arctan21+=+，则dy = . 3．设函数ïîïíì=¹=0,30,sin )(x x xkx x f 在点0=x 处连续，则常数=k . 4. 设某商品的需求函数为210475)(P P P D --=,则当5=P 时的需求价格弹性为 . 5.已知曲线方程为43ln 2x y y =+，则该曲线在点(1,1)处的切线方程为 ．x1 1-sin+xx五、应用题五、应用题[8[8分]设某产品的需求函数为x P 1.080-=（P 为价格，x 为需求量），成本函数为，成本函数为x C 205000+=（元）. (1) 试求边际利润函数)(x L ¢，并分别求出150=x 和400=x 时的边际利润. (2) 求需求量x 为多少时，其利润最大？最大利润为多少？六、证明题六、证明题[8[8分]设函数)(x f 在[]3,0上连续，在()3,0内可导，且3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f ， 试证：必存在()3,0Îx ，使0)(=¢x f . 21+bx+ax。
《高等数学》经管类期末考试
令 ，得驻点，
对，。知时，利润最大。
。
13.，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。
14.计算，其中为：。（要求画草图。提示：在极坐标下计算）
15.计算由，，，及所围成立体的体积（第一卦限）．
16.判断级数的敛散性；
17.求幂级数的收敛区间与和函数。
18.求解微分方程。
19.求微分方程满足的特解。
四、应用题（本大题共1题，共10分。解答须有主要解题步骤，说明必要的理由）
20.设生产某产品z个单位时，需投入甲原料x个单位，乙原料y个单位，且它们的关系是：，又设甲原料、乙原料的单价分别为2与1，而产品的售价为5，试求x、y取何值时，利润最大？
试卷A解答及评分标准
一、填空题
1.
2.
3.
4.
5.
二、选择题
6.C
7.A
8.B
9.C
10.A
三、计算题
11.解：,,,
，。
12.解：设
令，得驻点为，
极小值是：
13.解：得出曲线的交点，1分
原式=
积分区域图形正确，加1分
14.解：令 ，则
原式
15.解：
16.解：
因为收敛，所以收敛。
17.解：幂级数的收敛半径为
所以，幂级数的收敛区间为。
设幂级数的和函数为，。
，
18.解：把方程写为，两边求不定来自分，得或者写为通解的形式
19.解：，
，
四、应用题
《高等数学》经管类期末考试
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高等数学经管类
高等数学经管类(共6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一. 单项选择题（共45分，每题3分）请务必将选择题答案填入下面的答题卡1． 数列{}n x 有界是数列{}n x 收敛的（ ） A. 充分条件 B. 充要条件 C. 必要条件 D. 非充分又非必要条件 2．设极限0(1)(12)(13)alim6x x x x x →++++=，则a =（ ）A. 1B. 2C. 3D. -13．当1x →时，函数12111x x e x ---的极限是（ ） A. 2 B. 不存在也不是∞ C. ∞ D. 04．如果函数()y f x =在点0x x =处取得极大值，则（ ） A. 0()0f x '=B. 0()0f x ''<C. 0()0f x '=且0()0f x ''<D. 0()0f x '=或0()f x '不存在5．若两曲线2y x ax b =++与321y xy =-+在点(1,1)-处相切，则,a b 的值为（ ）A. 0,2a b ==-B. 1,3a b ==-C. 3,1a b =-=D. 1,1a b =-=- 6．某商品的价格P 和需求量Q 的关系为100.01P Q =-，则4P =时的边际收益为（ ） A. 300B. 200C. 100D.7．设函数()f x 可导，且0lim ()1x f x →'=，则(0)f （ ）A. 是()f x 的极大值B. 是()f x 的极小值C. 不是()f x 的极值D. 不一定是()f x 的极值8．设()f x 是连续函数，则下列计算正确的是（ ） A. 11221()2()f x dx f x dx -=⎰⎰B. 131()0f x dx -=⎰C.0+∞-∞=⎰D.112210()2()f x dx f x dx -=⎰⎰9．设2sin ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x （ ）A. 为正常数B. 为负常数C. 恒为零D. 不为常数 10．设直线1158:121x y z L --+==-，20:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则12,L L 的夹角为（ ） A.6πB.4πC. 3π D.2π 11．设()f x,y 在点()a,b 处偏导数存在，则极限()()n f a x,b f a x,b lim x→+∞+--=（ ） A. ()x f a,bB. ()2x f a,bC. ()2x f a,bD.()12x f a,b 12．设函数()f x 连续，则220()dt x d tf x t dx-=⎰（ ） A. ()2xf xB. ()2xf x -C. ()22xf xD. ()22xf x -13．设二次积分2sin 0d (cos ,sin )d I f r r r r πθθθθ=⎰⎰，则I 可写成（ ）A.22d (,)d x f x y y -⎰B. 220d (,)d y f x y x -⎰C.20d (,)d x f x y y ⎰D. 2d (,)d y f x y x ⎰14．点(0,0)是函数z xy =的（ ） A. 极大值点B. 极小值点C. 驻点D. 非驻点15．设1()y x 是微分方程1()()()y P x y Q x y f x '''++=的解，2()y x 是微分方程2()()()y P x y Q x y f x '''++=的解，则微分方程12()()()2()y P x y Q x y f x f x '''++=+的解的是（ ）A. 12()2()y x y x +B. 122()()y x y x +C. 12()2()2y x y x +D. 122()()2y x y x +二．填空题（共45分，每题3分）请务必将填空题答案填入下表中16. 极限2212lim(1)nn n n→∞--=___________.17. 设函数()f x 有任意阶导数，且2()()f x f x '=，则()()n f x =___________. 18. 设lim ()x f x k →∞'=(常数)，则极限lim[()()]x f x a f x →∞+-=___________.19. 设1cos 0()00x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是_________.20. 曲线3(1)1y x =--的拐点是___________. 21．2221tan d 4xx x -+=+⎰___________.22．设1331()x f t dt x +=⎰，则(1)f =___________.23．设()f x 在0x =处连续且0()limx f x A x→=，则(0)f '=___________. 24．已知2()1xf x dx c x=+-⎰，则sin (cos )xf x dx =⎰_______________.25．lim x →+∞=___________.26．设(,)z z x y =是方程xyz +=(1,0,1)-处，z 的全微分dz =___________.27．设3Dσπ=，其中222:(0)D x y a a +≤>，则a =___________.28.设2(,)arctan xy f x y e y x =+，则(1,1)xy f =___________.29．211lim (1)x yxyx y x +→+∞→+∞+=__________.30．一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段被切点平分，此曲线方程为_______.三. 综合计算与证明（共60分，每题10分） 31．设可微函数(,)z f x y =满足方程0f f x y x y∂∂+=∂∂.证明：(,)f x y 在极坐标中只是θ的函数.32．设2()arctan(1),(0)0f x x f '=-=,计算10()f x dx ⎰.33．设a 与b 是常数，讨论2122()lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+在(,)-∞+∞上连续的充要条件.34．某生产商的柯布-道格拉斯生产函数为3144(,)100f x y x y =，其中x 表示劳动力的数量，y 表示资本的数量，已知每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元与250元，该生产商的总预算是50000元，问他该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力及投入资本，以使生产量最高.35．某水池呈圆形，半径为5米，以中心为坐标原点，距中心距离r 米处的水深为251r +米，试求该水池的蓄水量.36．设()f x 为连续函数，证明：0()()d [()d ]d xxtf t x t t f u u t -=⎰⎰⎰.。
经济与管理学院《高等数学(一)》第一学期期末考试试题测试卷及参考答案
x ⎩⎰《高等数学（一）》第一学期期末考试试卷本期末试卷满分为80分，占课程总成绩的80,平时成绩占课程总成绩的20。
答题要求：1.请将所有答案统一写在答题纸上，不按要求答题的，责任考生自负。
2.答题纸与试卷一同交回，否则酌情扣分。
试题符号说明：y (n )表示y 的n 阶导数,α~β表示α与β是等价无穷小量。
一.填空题:(满分14分,共7小题,2分/题)1.若f (t )=lim t ⎛1+1⎫2tx⎪,则f '(t )=;x →∞⎝x ⎭2.d ⎰d ⎰f (x )dx =;3.limx →0⎰sin tdt x 2= ；4.设函数y =12x +3,则y (n )(0)=；⎧⎪x =5.设f (t )-π其中f 可导,且f '(0)≠0,则dy=;⎨⎪y =f (x )f (e 3t -1)sin x dx πxf '(x )dx t =06.设有一个原函数，则⎰π＝；27.+∞x 4e -x dx =;二.单项选择题:(满分16分,共8小题,2分/题)1.极限lim x →011的结果是（）2+3x(A)不存在(B)1/2(C)1/5(D)01=⎛1⎫2.当x →∞时,若ax 2+bx +c o ⎪,则a,b,c 之值一定为()x +1⎝⎭x1-x 2⎨0ππcos xdx <2cos xdx =2(A)(C)a =0,b =1,c =1;(B)a ≠0,b,c 为任意常数;(D)⎧f (x )a =0,b =1,c 为任意常数;a,b,c 均为任意常数;3.设函数F (x )=⎪⎪⎩xf (0)x ≠0其中f (x )在x =0处可导,x =0f '(x )≠0,f (0)=0,则x=0是F (x )的（）（A）连续点（B）第一类间断点（C）第二类间断点（D）连续点或间断点不能由此确定4.曲线y =1xex2（）（A）仅有水平渐近线;（B）仅有铅直渐近线;（C）既有铅直又有水平渐近线;（D）既有铅直又有斜渐近线;5.设函数f (x )在(-∞,+∞)内连续,其导函数的图形如图所示:则f (x )有()(A)一个极小值点和两个极大值点;(B)两个极小值点和一个极大值点;(C)两个极小值点和两个极大值点;(D)三个极小值点和一个极大值点;6.根据定积分的几何意义,下列各式中正确的是()π⎰-⎰π3⎰-π⎰π222（C）⎰sin xdx =0（D）⎰sin xdx =07.设⎰f (x )dx =sin x +C ，则⎰f (arcsin x )dx ＝（）（A）arcsin x +C （C）1(arcsin x )2+C2（B）sin +C（D）x +C1-x2π2π（A）2cos xdx（B）cos xdx⎰⎰2⎨8.当()时,广义积分e -kx dx 收敛-∞(A)k >0(B)k ≥0(C)k <0(D)k ≤0三.计算题(满分24分,共4小题,6分/题)1.设y =arctane x-ln,求x =1⎛1cos 2x ⎫2.求lim 2-2⎪3.求x →0⎝sin x x ⎭2x +5dxx +2x -34.设f (x )=1+1+x 2⎰1f (x )dx ,求⎰1f (x )dx四.(满分11分)⎧x n sin 1x ≠0n 在什么条件下函数f (x )=⎪⎪⎩x,x =0（1）在x =0处连续;（2）在x =0处可微;（3）在x =0处导函数连续;五.（满分10分）设曲线为y =e -x(x ≥0)（1）把曲线y =e -x 、x 轴、y 轴和直线x =ξ(ξ>0)所围成平面图形绕x 轴旋转一周得一旋转体,求此旋转体的体积V (ξ),并求a 满足V (a )=1lim V (ξ)2ξ→+∞（2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积e 2x e 2x +1dydx1-x 2六.证明题(满分5分)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,又b>a>0,证明,在(a,b)内存在ξ,η使得f'(ξ)=2ηf'(η) +b a22007-2008学年第一学期《高等数学（一）》（309010034）期末考试试题（A 卷）参考答案及评分标准考试对象：2007级经济学工商管理类专业及其他专业本期末试卷满分为80分，占课程总成绩的80,平时成绩占课程总成绩的20。
经管类数学真题及答案解析
经管类数学真题及答案解析作为经管类学生，数学是一个必修的科目，除了课堂上的学习，不少同学也会参加一些经管类数学竞赛，或是研究一些与经管类学科相关的数学问题。
在此，我将为大家提供一些，帮助大家更好地理解和掌握这些数学知识。
（一）线性代数1. 题目：设A为n阶方阵，满足A-3I的秩为1，其中I为n阶单位矩阵，求A的秩。
解析：题目中已经给出了A-3I的秩为1，根据秩的性质，我们可以知道rank(A-3I)≤rank(A)+rank(-3I)，即rank(A-3I)≤rank(A)+rank(I)。
因为秩的性质还可以得到rank(A-3I)≥rank(A)+rank(I)-n。
又因为rank(I)=n，所以rank(A-3I)≥rank(A)-n。
而本题中rank(A-3I)=1，所以1≥rank(A)-n，从而可以得到rank(A)≥n-1。
因此，A的秩至少为n-1。
2. 题目：设A是一个n行k列的矩阵，其中n>k，证明存在一个非零n维向量x，使得Ax=0。
解析：题目中给出了n行k列的矩阵A，其中n>k，我们可以知道A的列向量个数小于A的行数。
根据向量数量关系的基本知识，我们可以得到一个结论：A的列向量不可能张成整个n维空间。
而根据线性代数的基本理论，我们知道一个n维空间中存在一个非零向量x，使得Ax=0。
因此，根据题目条件，可以得出存在一个非零n维向量x，使得Ax=0。
（二）微积分1. 题目：求函数f(x)=x^3在区间[1,2]上的凸凹性和拐点。
解析：首先，我们求f''(x)=6x，然后我们可以得到f''(x)≥0，即函数f(x)=x^3在区间[1,2]上是凹的。
其次，我们求f'''(x)=6>0，函数f(x)=x^3没有拐点。
2. 题目：函数f(x)在区间[1,3]上连续，且在该区间内f'(x)>0，那么在该区间内f(x)是递增函数还是递减函数？解析：根据题目已知条件，可以得到f'(x)>0，即函数在区间[1,3]上的导数大于0，也就是说函数的斜率大于0。
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华南农业大学珠江学院期末考试试卷(卷02)2009—2010学年 下 学期 考试科目：高等数学（经管类本科）考试年级：2009级 考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟 学号 姓名 年级专业1.2 d 1cos x x ππ-=+⎰（ A ）(A) 0 ； (B)π ； (C)2π； (D) 1 . 2. 设二元函数),(y x f z =有二阶连续偏导数，且d (,)d (,)d z P x y x Q x y y =+，则Q Px y∂∂-∂∂=（ B ） (A) 1-； (B) 0； (C) 1 ； (D) 2 .3. 设可微函数),(y x f 在点),(00y x 取得极小值，则(,)f x y 则下列结论成立的是( A )（A ）0(,)f x y 在0y y =处导数为0 ；（B ）0(,)f x y 在0y y =处导数大于0； （C ）0(,)f x y 在0y y =处导数小于0；（D ）0(,)f x y 在0y y =处导数不存在. 4. 设(,)f x y 是连续函数，则交换累次积分21 0 d (,)d xxx f x y y ⎰⎰后,得到（ B ）(A) 2 110 d (,)d yy f x y x ⎰⎰；(B).1d (,)d yy f x y x ⎰⎰；(C)1d (,)d yy f x y x ⎰；(D)1d (,)d y f x y x ⎰⎰.5. 下列级数中，绝对收敛的是（ B ）（A ）11(1)nn n ∞=-∑；（B ）11(1)(1)nn n n ∞=-+∑；（C ）111(1)21n n n -∞=-+∑； （D）11(1)n n -∞=-∑. 6. 若级数1nn u∞=∑收敛，则下列结论正确的是（ D ）(A) 级数1nn u∞=∑收敛； (B) 级数1(1)nnn u∞=-∑收敛；(C) 级数21n n u ∞=∑收敛； (D) 若级数112n n n u u ∞+=+∑收敛. 7. 下列是可分离变量的微分方程的是（ A ） (A) 2d dy=y d dy x xy x y ++；(B)dy d x y x x y-=+； (C)dy tan d y yx x x=+； (D) cos xy y x '+=.8. 下列等式中，是三阶差分方程的是（ B ） (A) 22t t t y a y ∆=-；(B) 3537t t y y ++=； (C) 2120t t t y y y +---+=；(D) 31537t t y y +++=.二、 填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
9.22cos d limx x t t x →⎰=_____1______.10. 若3(,,)cos(2)z f x y z x y e =++, 则(0,1,2)x f =____0________.11. 设235432z x xy x y =+-+则2zx y∂∂∂=_______122y ______.12. 设{(,)|03,02}D x y x y =≤≤≤≤,则2()d Dx y σ+⎰⎰=____24________. 13. 设22{(,)|14}D x y x y =≤+≤,则Dσ=______143π______. 14. 判断级数1!2nn n ∞=∑的敛散性，得到该级数______发散______.(注：填收敛或发散)15. 级数15(2)n nn x ∞=-∑的收敛域为___911(,)55________. 16. 微分方程2sin y x x ''=-的通解是 3121sin 3y x x C x C =+++ . 三、 计算题（本大题共5小题，每小题6分共30分）17. 求定积分120d x xe x -⎰解：原积分=1201d 2xx e --⎰------------------1分= 11220 01(d )2x x xe e x ----⎰---------------------3分=122011()22xe e---+-------------------------5分 =23144e --+----------------------------6分18. 计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的闭区域. 解：由已知{}2(,)01,D x y x x y x =≤≤≤≤ -------------1分d Dxy σ⎰⎰221x12x01d d y ()d 2xx x x y x y x ==⎰⎰⎰---------------3分1351()d 2x x x =-⎰146111()246x x =- --------------------5分124= ------------------------6分19. 将函数1()()2x xf x e e -=-展开成x 的幂级数，并指出其收敛域. 解：因为11!n xn x e n ∞==+∑，11(1)!n x n n x e n ∞-==+-∑，x -∞<<+∞ ---------------2分 所以1()()2x x f x e e -=-111((1))2!!n nn n n x x n n ∞∞===--∑∑ ---------------4分 211(21)!n n x n -∞==-∑ 其收敛域为(,)-∞+∞ --------------------6分20. 求微分方程4(2)2(2)x y y x '+=++的通解及满足初始条件(0)1y =的特解. 解：这是一个一阶线性非齐次微分方程，先求对应的齐次线性方程(2)2x y y '+=的通解，分离变量得d 2dx 2y y x =+，两边积分得1ln 2ln 2ln y x C =++， 故齐次方程的通解为：21(2)y C x =+， ------------------2分用常数变易法，令21()(2)y C x x =+，则211()(2)2()(2)y C x x C x x ''=+++，代入非齐次线性方程中，得1()2C x x '=+，所以211()22C x x x C =++， 所以原非齐次线性方程的通解为：2221(2)(2)(2)2y x x x C x =++++ -------------------5分将(0)1y =代入得：14C =， 所以特解为22211(2)(2)(2)24y x x x x =++++ --------6分 21. 求微分方程 2233y y y x '''-+=的一个特解．解：因为23x 是x 的二次多项式，且y 的系数30q =≠，故设特解为*2y Ax Bx C =++ ---------------------2分则*()2y Ax B '=+，*()2y A ''=，代入原方程，得223(34)(223)3Ax B A x A B C x +-+-+= --------------------4分使两端系数相等，得333402230A B A A B C =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩解得：421,,39A B C === 故所求特解为*24239y x x =++ ----------------------6分四、 综合应用题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 22．求由曲线y =y x =所围图形的面积，并求所围图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．解：面积23 222 00182)d ()23233S x x x x ==-=-=⎰ -------------------4分旋转体的体积 2222 0d d V x x x ππ=-⎰⎰ ----------------------6分22230013x x ππ=-43π=--------------------------------8分23．某企业为销售产品作两种形式的广告宣传，当广告宣传费用分别为x 、y (单位:万元)时，销售量是10(5)5(10)Q x x y y =+++，若销售产品所得的利润是销量的15减去广告费，现要使用15万元的广告费，应如何分配使广告产生的利润最大，最大利润是多少？解：利润1(,)5L x y Q x y =--2(5)(10)x x y y x y =+++-- 22299x x y y =+++ ------------------------2分问题是求在约束条件15(0,0)x y x y +=>>下利润函数的最大值，令(,,)L x y λ=22299x x y y +++(15)x y λ++- --------------------4分解方程组492915x y L x L y L x y λλλ=++⎧⎪=++⎨⎪=+-⎩ 得5,10x y ==，----------------------------6分这是唯一的驻点，此时(5,10)285L =因此当广告宣传费分别为5万元、10万元时利润最大，最大利润为285万元。
----8分五、 证明题（6分） 24．求证：1(,)(1)y f x y yx x e -=-<，01,0x y <<<<+∞.证明：f 在区域01,0x y <<<<+∞的边界上恒为0，在区域内部恒大于0，因此f 的最大值只能在区域内部达到。
211(,)(1)()y yy x f x y y x x y xy x y x y x--=--=--=0 (,)(1)(1)l ny yy f x y x x yx x x =-+-(1)(1l n y x x y x =-+=0 ------------------2分 在01,0x y <<<<+∞内求驻点，得()0y xy x --=，即(1)y x x -=，以及1ln 0y x +=，即1yx e -=这表明(,)f x y 在01,0x y <<<<+∞内的最大值点应满足(1)y x x -=和1y x e -= --------------4分然而在由(1)y x x -=和1yx e -=确定的点上11(,)(1)y f x y yx x xe e --=-=<， 所以当01,0x y <<<<+∞时，1(,)(1)y f x y yx x e -=-< ------------6分。