2018北京市各城区二模数学(文科)分类汇编之立体几何含答案

2018北京市各城区二模数学（文科）分类汇编之立体几何含答案【丰台二模】 （17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点， 1A D ⊥平面ABC ，=AB BC ，平面1BB D 与棱11A C 交于点E ．（Ⅰ）求证：1AC A B ⊥；（Ⅱ）求证：平面1BB D ⊥平面11AAC C ； （Ⅲ）求证：1B B DE ∥．（17）（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为 1A D ⊥平面ABC ，所以 1A D ⊥AC ． …………………1分 因为△ABC 中，=AB BC ，D 是AC 的中点，所以 BD AC ⊥． …………………2分 因为 1A DBD D =， …………………3分所以 AC ⊥平面1A BD ． …………………4分 所以 1AC A B ⊥． …………………5分 （Ⅱ） 因为 1A D ⊥平面ABC ，因为 BD ⊂平面ABC ，所以 1A D BD ⊥． …………………6分 由（Ⅰ）知 BD AC ⊥． 因为 1ACA D D =， …………………7分所以 BD ⊥平面11A ACC ． …………………8分 因为 BD ⊂平面1BB D ，所以 平面1BB D ⊥平面11AAC C ． …………………9分 （Ⅲ）因为在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ABB 为平行四边形，EABCB 1C 1A 1D所以 11B B A A ∥． …………………10分因为 1B B ⊄平面11A ACC ，1A A ⊂平面11A ACC ， …………………11分 所以 1B B ∥平面11A ACC ． …………………12分 因为 1B B ⊂平面1BB D ，且平面1BB D平面11A ACC DE =，………13分所以 1B B DE ∥． …………………14分【朝阳二模】18.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P ABCD -中,PBC 是等腰三角形,且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形,//AB DC ,AD DC ⊥,5AB =,4AD =,3DC =. （Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时,求四棱锥P ABCD -的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点,使得这两点所在的直线与直线BC 垂直,并给出证明．．. 解析:（Ⅰ）因为//AB CD ,CD ⊂平面PDC ,AB ⊄平面PDC 所以//AB 平面PDC（Ⅱ）在梯形ABCD 中,过点C 作CF AB ⊥于F ,取CD 中点E ,连接PE , 因为PC PB =所以在PCB 中,PE BC ⊥,因为面PBC ⊥面ABCD ,面PBC 面=ABCD BC 所以PE ⊥面ABCD因为//CD AB ，AD CD ⊥,CF AB ⊥,5,4,3AB AD DC === 所以4,2CF BF ==在CFB 中,BC ==2PE ==因为()162ABCD AB DC S +==梯形 所以13233P ABCD ABCD V S PE -==梯形取BC 的中点E ,连接PE因为PB PC =,所以PB BC ⊥,则2PE == 因为平面PBC ⊥平面ABCD ,平面PBC 平面ABCD BC =,PB BC ⊥所以PB ⊥平面ABCD则四棱锥P ABCD -的体积为:1(35)4322323S +⨯=⨯⨯=（Ⅲ）点P 和点A ,连接AC 和AE则5AC AB ===,AE 平分BC ,所以AE BC ⊥EBFCAB 1C 1A 1又PE BC ⊥,PE ⊂平面PAE ,AE ⊂平面PAE ,AE PE E =所以BC ⊥平面PAE ,PA ⊂平面PAE ,所以BC PA ⊥ 即证点P 和点A 所在的直线PA 与直线BC 垂直.【东城二模】（18）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AC BC ⊥，1AC BC CC ==，E ，F 分别为11A B ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：1AC C F ⊥；（Ⅱ）求证：BE ∥平面11AC F ； （Ⅲ）在棱1CC 上是否存在一点G ，使得平面1B EG ⊥平面11AC F ？说明理由．（18）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABC A B C -中， 因为侧棱垂直于底面，所以1CC ⊥平面ABC ． 所以1CC AC ⊥． 因为AC BC ⊥，1CC BC C =，所以AC ⊥平面11BCC B ． 因为1C F ⊂平面11BCC B ，所以1AC C F ⊥． ………5分HEBFCAB 1C 1A 1B1A （Ⅱ）取11A C 中点H ，连结EH ，FH ．则EH ∥11B C ，且1112EH B C =，又因为BF ∥11B C ，且1112BF B C =， 所以EH ∥BF ，且EH BF =． 所以四边形BEHF 为平行四边形． 所以BE ∥FH ．又BE ⊄平面11AC F ，FH ⊂平面11AC F ，所以BE ∥平面11AC F ． ………10分 （Ⅲ）在棱1CC 上存在点G ，且G 为1CC 的中点． 连接1,EG GB ．在正方形11BB C C 中， 因为F 为BC 中点，所以△11B C G ≌△1C CF ． 所以11190C CF B GC ∠+∠=︒．所以11B G C F ⊥．由（Ⅰ）可得AC ⊥平面11BB C C ， 因为AC //11A C ，所以11A C ⊥平面11BB C C ． 因为1B G ⊂平面11BB C C ，所以111AC B G ⊥．因为1111AC C F C =，所以1B G ⊥平面11AC F ．因为1B G ⊂平面1B EG ，所以平面1B EG ⊥平面11AC F ． ………14分【西城二模】（18．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，////AB CD EF ，AB AD ⊥，G 为AB 的中点．2CD DA AF FE ====，4AB =．（Ⅰ）求证：//DF 平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCF ⊥平面GCE ； （Ⅲ）求多面体AFEBCD 的体积．18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//CD EF ，且CD EF =，所以 四边形CDFE 为平行四边形，所以//DF CE ．…… 2分因为DF ⊄平面BCE ，…… 3分所以//DF 平面BCE ．…… 4分 （Ⅱ）连接FG ．因为 平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD AB ⊥， 所以 AD ⊥平面ABEF ，所以 BF AD ⊥．………………6分 因为G 为AB 的中点，所以//AG CD ，且AG CD =；//EF BG ，且EF BG =， 所以四边形AGCD 和四边形BEFG 均为平行四边形． 所以 //AD CG ， 所以 BF CG ⊥．……………… 7分 因为EF EB =，所以 四边形BEFG 为菱形， 所以 BF EG ⊥．……………… 8分 所以 BF ⊥平面GCE ．……………… 9分所以 平面BCF ⊥平面GCE ．………………10分 （Ⅲ）设BFGE O =．由（Ⅰ）得//DF CE ，所以//DF 平面GCE ， 由（Ⅱ）得//AD CG ，所以//AD 平面GCE ， 所以平面//AD F 平面GCE ，所以几何体AD F GCE -是三棱柱．………………11分 由（Ⅱ）得BF ⊥平面GCE ．所以多面体AFEBCD 的体积ADF GCE B GCE V V V --=+………………12分13GCE GCE S FO S BO ∆∆=⋅+⋅43GCE S FO ∆=⋅=14分【海淀二模】（17）（本小题14分）如图，已知菱形AECD 的对角线,AC DE 交于点F ，点E 为的AB 中点.将三角形ADE 沿线段DE 折起到PDE 的位置，如图2所示.（Ⅰ）求证：DE ⊥平面PCF ；；（Ⅱ）证明： 平面PBC ⊥平面PCF ；（Ⅲ）在线段,PD BC 上是否分别存在点,M N ，使得平面//CFM 平面PEN ？若存在，请指出点,M N 的位置，并证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题14分）（Ⅰ）证明：折叠前，因为四边形AECD 为菱形，所以AC DE ⊥； 所以折叠后，,DE PF DE CF ⊥⊥, 又,,PFCF F PF CF =⊂平面PCF ，所以DE ⊥平面PCF …………………4分 （Ⅱ）因为四边形AECD 为菱形， 所以//,DC AE DC AE =. 又点E 为AB 的中点， 所以//,DC EB DC EB =. 所以四边形DEBC 为平行四边形.所以//CB DE . 又由（Ⅰ）得，DE ⊥平面PCF ,所以CB ⊥平面PCF . 因为CB ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCF . …………………9分（Ⅲ）存在满足条件的点,M N ,且,M N 分别是PD 和BC 的中点. 如图，分别取PD 和BC 的中点,M N . 连接,,,EN PN MF CM .因为四边形DEBC 为平行四边形， 所以1//,2EF CN EF BC CN ==. 所以四边形ENCF 为平行四边形.所以//FC EN . 在PDE ∆中，,M F 分别为,PD DE 中点，所以//MF PE . 又,EN PE ⊂平面,PEN PEEN E =,,MF CF ⊂平面CFM ,所以平面//CFM 平面PEN . …………………14分【昌平二模】 18.（本小题14分）如图，四边形ABCD 是正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，//,AF BE ,2,1AB BE AB BE AF ⊥===．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证： //AC 平面DEF ； （III ）求三棱锥D -FEB 的体积. 18.（共14分）证明：（I ）因为正方形ABCD ,所以AC BD ⊥. 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD , 平面ABEF平面ABCD=AB ,,AB BE ⊥ BE ⊂平面ABEF ,所以BE ⊥平面ABCD. 又因为AC ⊂平面ABCD.FEBOADC故BE ⊥AC. 又因为BE BD B =，所以 AC ⊥平面BDE . --------------------5分（II ）取DE 的中点G ，连结OG ,FG ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 的中点． 则OG //BE ，且12OG BE =． 由已知AF //BE ，且12AF BE =，则//AF OG 且AF OG =， 所以四边形AOGF 为平行四边形，所以AO //FG ， 即AC //FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC //平面DEF ． --------------------10分（III ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是正方形，平面ABEF平面ABCD=AB ,所以//,AD BC AD AB ⊥.由（I ）知，BE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD 所以BE AD ⊥ 所以 AD ⊥平面BEF .所以11143323D BEFBEF V S AD BE AB AD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. --------------------14分【顺义二模】18. （本小题满分13分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为1,1,2AB AC BC ===,D 是BC 的中点.. （Ⅰ）求证:AD ⊥平面11B BCC ; （Ⅱ）求证:1//A B 平面1ADC ;GFEBOADC（Ⅲ）求三棱锥11B ADC -的体积.【房山二模】（18）（本小题14分）如图1，正六边形ABCDEF 的边长为2，O 为中心，G 为AB 的中点.现将四边形DEFC 沿CF 折起到四边形11D E FC 的位置，使得平面ABCF ⊥平面11D E FC ，如图2.（Ⅰ）证明：1D F ⊥平面1E OG ； （Ⅱ）求几何体1E -OFAG 的体积；（Ⅲ）在直线AB 上是否存在点H ，使得1//D H 平面1E OG ？如果存在，求出AH 的长；如果不存在，请说明理由.DE F.O（Ⅰ）证明:图（1）中OG CF ⊥ （18）中，OG CF ⊥∴图（2）11CD E F ABCF⊥面，又面11CD E FABCF=CF 面面11OG CD E F ∴⊥面111D F CD E F ⊂面1OG D F ∴⊥O 又为CF 的中点11OF//D E =∴，又111E D E F =∴四边形11E D OF 为菱形11D F OE ∴⊥1OG OE =O 11D F E OG ∴⊥面 …………5分（Ⅱ）图二中，过1E 作1E M FO ⊥，垂足为M111111OG CD E F E M CD E F E M OG ⊥⊂∴⊥面，面OG FO O =11E M AGOF E M ∴⊥∴面为1E -OFAG 的高，12sin60E M=︒=12OFAG S 四1332V Sh == …………10分（Ⅲ）过C 作,CH AB ⊥交AB 的延长线于点H//CH OG ∴=又111//,OE CD CD CH C =11D CH//E OG ∴面面1E BC1DAFOG1E BC1DA FOGMH1111D H D CH D H//E OG ⊂∴面面四边形OGHC 为矩形23GH=CO=AH=∴∴ …………14分。