数学课件人A必修5第一章小结
人教A版高中数学《必修5第一章解三角形》单元教材教学分析
第一课时：1.1.1正弦定理
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
第二课时：1.1.2余弦定理
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
第三课时：1.2解三角形应用举例（一）
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
第四课时：1.2解三角形应用举例（二）
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
说明
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°
新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.1
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
题型一 题型二
测量两个不可到达的点之间的距离问题 【例 2】 如图,隔河看到两个目标 A,B,但均不能到达,在岸边选取 相距 3 km 的������, ������两点, 并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC= 30°,∠ADB=45°(A,B,C,D 在同一平面内),求两个目标 A,B 之间的距 离.
反思如图,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距 离,步骤是:
(1)取基线CD; (2)测量CD,∠ACB,∠BCD,∠ADC,∠BDA; (3)在△ACD中,解三角形得AC;在△BCD中,解三角形得BC; (4)在△ABC中,利用余弦定理得 AB= ������������2 + ������������2-2������������·������������·cos∠������������������ .
且∠
ADB=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°,如图所示,求蓝方这
两支精锐部队之间的距离.
解法一∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60°,
又∠ACD=60°,∴∠DAC=60°.
∴AD=CD=AC=
3 2
������.
在△BCD 中,∠DBC=180°-30°-105°=45°.
题型一 题型二
目标导航
Z 知识梳理 HISHISHULI
Z 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
D 典例透析 IANLITOUXI
反思如图,设A(可到达),B(不可到达)是地面上两点,要测量A,B两 点之间的距离,步骤是:
(1)取基线AC(尽量长),且使AB,AC不共线;
高中数学 第一章 解三角形章末知识整合 新人教A版必修5
【金版学案】2015-2016学年高中数学第一章解三角形章末知识整合新人教A版必修5一、本章的中心内容——如何解三角形正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章的学习应当达到以下学习目标：1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．2．能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际生活问题．3．本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全等”．4．在此内容之前我们已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．5．勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理是勾股定理的推广．二、学数学的最终目的——应用数学能把实际问题抽象成数学问题，把所学的数学知识应用到实际问题中去，通过观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题，确定解决问题的科学思维方法，学会把数学知识应用于实际．1．正弦定理可建立边角关系，角的正弦越大所对的边就越长．2．由正弦值得出角的大小时特别要注意是一个解还是两个解．一般地，解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．3．利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．4．把a＝k sin A，b＝k sin B代入已知等式可将边角关系全部转化为三角函数关系．5．余弦定理是三角形边角之间的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．6．余弦定理的应用范围是：①已知三边，求三角；②已知两边及一个内角，求第三边．7．解斜三角形应用题的一般步骤．(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．(4)检验：检验上述所求的解是否有实际意义，从而得出实际问题的解．8．平面上两点的距离测量问题一般有如下几类情况：(1)A、B两点都在河的两岸，一点可到达，另一点不可到达．方法是可到达一侧再找一点进行测量．(2)A、B两点都在河的对岸(不可到达)．方法是在可到达一侧找两点进行测量．(3)A、B两点不可到达(如隔着一座山或建筑)．方法是找一点可同时到达A、B两点进行测量．9．利用正弦定理和余弦定理来解高度问题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．10．测量高度的一般方法是选择能观察到测量物体的两点，分别测量仰角或俯角，同时测量出两个观测点的距离，再利用解三角形的方法进行计算．11．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，就可以求出三角形的面积．12．利用正弦定理、余弦定理、面积公式将已知条件转化为方程组是解决复杂问题的常见思路，将方程化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系．题型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．解斜三角形包括四种类型：①已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；②已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；③已知三边(先用余弦定理求角)；④已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．例1 在△ABC 中，c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 长为72，求a.解析：如图，设CD ＝DB ＝x ，在△ACD 中，cos C ＝72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ，在△ACB 中，cos C ＝72＋（2x ）2－422×7×2x， 所以72＋x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫7222×7×x ＝72＋（2x ）2－422×7×2x. 解得x ＝92. 所以a ＝2x ＝2×92＝9. 例2 如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．解析：由余弦定理得BD 2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，∴BD ＝2 3.∵BC ＝CD ＝2，C ＝120°，∴∠CBD ＝30°，∴∠ABD ＝90°，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝12×4×23sin 90°＋12×2×2×sin 120°＝5 3. 答案：5 3题型2 利用正、余弦定理判定三角形的形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，再利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断，此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A ＝sin B ⇔A ＝B ，sin (A －B)＝0⇔A ＝B ，sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A ＝a 2R ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 例3 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．解析：方法一 由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ，∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2sin 60°＝sin (120°－C)＋sin C ， 展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1， ∴sin (C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°.∴C ＝60°，故A ＝60°，∴△ABC 是正三角形．方法二 由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°. ∴(a －c)2＝0，∴a ＝c ，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为正三角形．题型3 三角形解的个数的确定(1)利用正弦定理讨论：若已知a ，b ，A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a .若sin B ＞1，则无解；若sin B ＝1，则有一解；若sin B ＜1，则可能有两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a ，b ，A ，由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cosA)c ＋b 2－a 2＝0.若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．例4 在△ABC 中，若a ＝23，A ＝30°，则b 为何值时，三角形有一解，两解，无解？解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B得： ①当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，此时23＜b ＜43；②当a≥b 时或B 为90°(b 为斜边)时，有一解，此时b≤23或b ＝43；③当a ＜b sin A 时无解，此时b ＞4 3.题型4 正、余弦定理在实际问题中的应用例5 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解析：如下图，作DM∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝（BE －FC ）2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得：cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理(2)课件新人教a必修5
梳理
一个了三角形的边与对角的正弦之间的联系.所以正弦定理主要功能就是把 边化为对角的正弦或者反过来.简称边角互化.
思考2
什么时候适合用正弦定理进行边角互化？ 答案
尽管正弦定理给出了三角形的边与对角的正弦之间的联系， 但毕竟不是边等于对角正弦，这里还涉及到外接圆半径.故使 用时要么能消掉外接圆半径(如思考1)，要么已知外接圆半径.
由正弦定理，得sin2
A＝sin
660°，∴sin
A＝
2 2.
∵BC＝2< 6＝AC，∴A 为锐角，
∴A＝45°，∴C＝75°.
123
2.在△ABC中，若
a cos
A＝cobs
B＝cocs
C， 则△ABC是
答案
解析
A.直角三角形
B.等边三√角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形
由正弦定理，知csoins AA＝csoins BB＝csoins CC， ∴tan A＝tan B＝tan C， 又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形.
知识点三 正弦定理在解决较为复杂的三角形问题中的作用
思考1
在△ABC中，已知acos B＝bcos A.你能把其中的边a，b化为 用角表示吗(打算怎么用上述条件)? 答案
可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acos B＝2Rsin Bcos A， 移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acos B－cos Asin B＝0.
1.sin A∶sin B∶sin C＝ a∶；b∶c
a 2.sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝
2R
2020秋新版高中数学人教A版必修5课件：第一章解三角形 1.2.4 .pptx
在三角形中,当涉及两边的和、两边的积或两边的平方和或三角
形的面积时,常用余弦定理解答.
-11-
第4课时 几何计算问题
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典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且
(1)若△ABC 的面积等于 3, 求������, ������的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC的面积. 分析(1)利用余弦定理和面积公式列关于a,b的方程组求解; (2)先利用正弦定理得a与b的关系,再利用余弦定理得a与b的另一 个关系,列方程组求解a,b,进而求面积.
第4课时 几何计算问题 题型一 题型二 题型三 题型四
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典例透析
IANLITOUXI
反思1.有关长度问题,要有方程意识.设未知数,列方程求解是经常 用到的方法.列方程时,要注意一些隐含关系的应用.
2.要灵活运用正、余弦定理及三角形面积公式.
-18-
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典例透析
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解(1)由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4.
又因为△ABC 的面积等于 3,
所以
1 2
������������sin
人教A版高中数学必修五课件第1章1.2.1
(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的 夹角平分线(如图2所示)．
课堂互动讲练
考点突破 测量距离问题
测量不可到达的两点间的距离时，若是其中一点 可以到达，利用一个三角形即可解决，一般用正 弦定理；若是两点均不可到达，则需要用两个三 角形才能解决，一般正、余弦定理都要用到．
例1 如图，某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏 东 75°，距离为 12 6 n mile，在 A 处看灯塔 C 在 货轮的北偏西 30°，距离为 8 3 n mile，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在北偏东 120°，求 A 与 D 间的距离．
【思路点拨】 根据示意图，明确货船和护航舰 大体方向，用时间t把AB、CB表示出来，利用余 弦定理求t.
【解】 设所需时间为 t 小时， 则 AB＝10 3t，CB＝10t， 在△ABC 中，根据余弦定理，则有 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°， 整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)． 即护航舰需 1 小时靠近货船．
解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影 响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台 风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20、 AC＝20.
由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2，
BC＝( 3＋1)·10 2.在△ADC 中，∵DC2＝AD2＋
AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
【思路点拨】 要求 AD 的长，在△ABD 中，AB ＝12 6，B＝45°，可由正弦定理求解．
【解】 在△ABD 中，
∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
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6.在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果 (a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
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[妙解]
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[借题发挥] (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股 定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往 往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系． (2)要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些 基本关系式：sin(B＋C)＝sin A， cos(B＋C)＝－cos A， B ＋C A tan(B＋C)＝－tan A， 等，进行三角变换 sin ＝cos 2 2 的运算．
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1.在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，a＝ 6 ，b＝2，a，b两边 其中一边的对角为45°，求sin C.
bsin A 3 解：当 A ＝45 °时，由正弦定理得 sin B ＝ ＝ . a 3 6 ∵a>b，∴B 为锐角，cos B ＝ . 3 2 3＋ 6 2 sin C＝sin(A ＋ B )＝ (cos B ＋sin B )＝ . 2 6 asin B 3 当 B ＝45 °时，由正弦定理得 sin A ＝ ＝ . b 2 ∵45°<A <135°，∴ A ＝60 °或 A ＝120°. 2＋ 6 1 若 A ＝ 60°，cos A ＝ ，sin C＝ sin(45°＋60°)＝ . 2 4 6－ 2 1 若 A ＝ 120°，cos A ＝－ ，sin C＝ sin(45°＋120°)＝ . 2 4
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3。在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，当a2＋b2<c2时， △ABC的形状是 ( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
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4.△A BC 的三边分别为 a，b，c，且 a＝1，B ＝45°， S △A BC＝ 2， 则△ A BC 的外接圆的直径为 ( ) A．4 3 B．5 C ．5 2 D ．6 2
1.(湖南高考 )在锐角△ A BC 中，角 A ，B 所对的边长分别为 a，b. 若 2asin B ＝ 3b，则角 A 等于 ( ) π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3
6(π)
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2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B ＝ac，则角B的值为
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2.余弦定理 余弦定理主要解决以下两类解三角形问题： ①已知三角形的两边和它们的夹角由余弦定理求出第三边进而求出其余 两角． ②已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其它角．另 外，在应用余弦定理解决问题时，要特别注意定理的变式，做到灵活应 用．
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[借题发挥]
此类相遇问题，一般以出发点、相遇点构成一个三角形，利 用正、余弦定理解此三角形，抓住它们到相遇点在同一时刻， 设出未知数沟通三角形中各元素间的关系，通过两个定理列 出方程(组)，解方程(组)即可．
1 3 解：∵ S ＝ ab sin C，∴sin C＝ ，∴C＝60°或 C＝ 120 °. 2 2 当 C＝ 60°时， c2＝ a2＋b2－2abcos C＝ a2＋b2－ab＝21， ∴c＝ 21； 当 C＝120°时， c2＝ a2＋ b2－2abcos C=a2＋b2＋ab＝61 ， ∴ c＝ 61. ∴c 的长度为 21 或 61.
提示：h＝3(20)＋1.70≈13.2米．
由余弦定理得 b2＝a2＋ c2－ 2accos B . 故 cos B ＝ (2)sin A ＝sin (30 °＋ 45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45 °＝ 2＋ 6 sin A ＝ ＝1＋ 3. sin B 2 sin C sin 60° c＝b× ＝2× ＝ 6. sin B sin 45° 故 a＝ b× 2＋ 6 . 4
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考点4 正、余弦定理在实际问题中的应用
例4：如图所示， 一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以100 km/h的
速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海 岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件稿件交 送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75 km，快艇应如何行驶才能尽快把稿件 交到司机手中，最快需要多长时间？
2 ， 因此 B ＝45°. 2
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[借题发挥] 结合题目中现有条件，熟练的应用正、余弦定理及其变型， 准确合理的选择恰当的定理应用，是解决解三角形问题的基 本思路和方法，此外还应注意三角形内在的一些隐含条件， 例如内角和为π等等．
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5.在△ABC中，A＝60°，a＝ 6 ，b＝4，那么满足条件的△ABC ( ) A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定
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6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，b＝8 3 ，c＝8 3 ， S△ABC＝16 ，则A＝ ( ) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
3.正、余弦定理的实际应用 正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的应用．常见题有 距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图形的面积问题等．解决这 类问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出 示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定 理求解，最后将结果还原为实际问题，可用框图表示：
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考点3 利用正、余弦定理判定三角形的形状
例3：在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．
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[借题发挥]
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9．△ABC中，BC＝ 13 ，A＝60°，AC＝4，则边AC上的高是
(
)
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10.空中有一气球，在它的正西方A点测得它的仰角为45°，同时在它 南偏东60°的B点，测得它的仰角为30°，若A、B两点间的距离为266 米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离是 ( )
判定三角形形状通常有两种途径： 一是通过正弦定理和余弦定理化边为角，如a＝2Rsin A， a2＋b2－c2＝2abcos C等，利用三角变换得出三角形内角之间 的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内 角关系，如sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；
sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或
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4.已知△ABC的周长为4( 2＋1)，且sin B＋sin C＝ 2 sin A. (1)求边长a的值；(2)若S△ABC＝3sin A，求角A的余弦值．
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2 3＋ 6 ； 6 2＋ 6 6－ 2 当 B ＝45 °时， sin C＝ 或 sin C＝ . 4 4 综上，当 A ＝ 45°时， sin C＝ 2.已知 a、b、c 是 △A BC 中 A 、B 、C 的对边，S 是 △A BC 的面 积．若 a＝4，b＝5， S ＝5 3，求 c 的长度．
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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11.(安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
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7、如图所示，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔尖A处的仰角分 别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且MN＝PN＝500 m，求塔高AB.
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(时间：90分钟 满分：120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)