2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.2.4、一元二次方程的根与系数的关系课件39
初中数学教学课件：21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(人教版九年级上)
察 下
2x2 +7x-4=0 1/2 -4 -7/2 -2
表
6x2+7x-3=0 -3/2 1/3 -7/6 -1/2
4 3/5 23/5 12/5 5x2-23x+12=0
请同学们猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的
两个实数根x1、x2，那么x1+x2， x1·x2与系数a，b， c 的关系.
21.2.4 一元二次方程的 根与系数的关系
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的
能力．
两个根x1、 两根 两根
请
方程
x2的值
的和 的积
同 学
x1 x2 x1+x2 x1·x2
们 观
3x2 -4x-4=0 2 -2/3 4/3 -4/3
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
天荷
开花
放，
选
择
在
夏
我们，还在路上……
【解析】设方程的另一个根是x1，那么
2x1= 6 5
∴x1=
3. 5
又 3 +2= k
5
5
∴ k=-7
答：方程的另一个根是 ，3 k的值是-7. 5
例 题 【例2】不解方程，求方程2x2+3x-1=0的
两个根的（1）平方和（2）倒数和.
【解析】设方程的两个根分别是x1 、x2那么
x1+x2 =
23，x1.x2 =
1.
2
人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教案设计
人教版九年级数学第二十一章2.4节21.2.4 一元二次方程的根与系数关系一教学目标知识与技能：1.理解一元二次方程根与系数之间关系的推导过程2.掌握一元二次方程根与系数的关系3.能够不解方程，应用根与系数关系解决问题过程与方法：1.通过学生探究、发现根与系数的关系，培养学生观察能力，思考归纳概括能力和探究精神2.通过探究学习，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的解决问题的思路。
3.让学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动，发展推理能力，培养创新精神。
情感态度与价值观：1.通过情境教学，激发学生的求知欲望，培养积极的学习态度2.通过对根与系数之间的关系探究，体会事物之间的联系，更好的认识世界。
3.体验教学活动充满着探究和创造，享受成功快乐。
二教学重点难点重点：一元二次方程根与系数关系及应用难点：探究根与系数之间关系过程三 教学过程教师准备：多媒体课件1-4 学生准备：预习学习内容 1.新课导入课件1 完成下列表格2.新知构建 一 探究活动观察以上表格，思考问题 ⑴通过观察你发现了什么规律？ ⑵语言叙述你发现的规律？ ⑶设x ²+px+q=0的两根为x ₁，x ₂ 用式子表示发现的规律【师生活动】：小组讨论，共同探究，对有困难学生进行指导 二 探究活动 课件2 完成下列表格填表，思考下列问题：⑴上面发现的结论在这里成立吗？⑵你能发现两根之和、两根之积与方程的系数有何关系？ ⑶用语言表述你的发现。
⑷进一步猜想：方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）的根x ₁，x ₂与a ，b ，c 之间的关系 ⑸你能证明上面的猜想吗？【师生互动】：小组合作交流，公同探究，教师及时指导学生把证明过程写板书。
课件3：一元二次方程ax ²+bx+c=0（a ≠0）a2ac 4b b x 21-+-= a 2ac 4b b x 22---=∴ x ₁+x ₂=a 2ac 4b b 2-+-+a 2ac 4b b 2--- = -abx ₁• x ₂=a 2ac 4b b 2-+- • a 2ac 4b b 2--- = ac【设计意图】：学生经历“实践、观察、发现、猜想、证明”的过程，使学生既动手、动脑又动口，教师引导启发，体现学生的主体学习特征，培养学生的创新精神。
九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案(新版)新人教版
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学目标：掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．教学重点：根与系数的关系及其推导．教学难点：正确理解根与系数的关系．教学过程：一、温故知新（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．二、探究新知由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1我们就可把它写成x2+px+q=0．结论2．如果方程x2+px+q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝-p，x1·x2=q．结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）x2-2x＋1＝0；（2）x2-9x＋10＝0；（3）2x2-9x＋5＝0；（4）4x2-7x＋1＝0；（5）2x2-5x＝0；（6）x2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系．三、应用新知（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成一般形式，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-ba 的负号。
（2）已知方程一根，求另一根．例：已知方程2x 2＋kx-4＝0的根是-4，求它的另一根及k 的值．答：方程的另一根是-12,k 的值7此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系，设未知数列方程达到目的，还可以向学生展现下列方法，并且作比较．方法（二）∵ -4是方程2x 2+kx-4=0的根，∴ 2×（-4）2＋k ×（-4）-4＝0，∴ k ＝7．∴ 原方程可变为2x 2+7x-4=0解此方程x=-4或x=12答：方程的另一个跟为12,k 的值为7.学生进行比较，方法（二）不如方法（一）简单，从而认识到根与系数关系的应用价值．四、课堂小结1.一元二次方程根与系数的关系：2.如何应用根与系数的关系解决问题：教学反思：21.2.4一元二次方程根与系数的关系（导学案）1、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______．2、关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______，c =______．3、一元二次方程210x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ）A ．0a =B ．2a =或2a =-C ．2a =D ．2a =或0a = 4、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )A .B .且C .D .且5、若n ()是关于x 的方程的根，则m ＋n 的值为( )A .1B .2C .－1D .－26、若方程的两根为x 1、x 2，则的值为() A ．3 B ．－3 C ．13D ．－137、一元二次方程x 2＋mx ＋3＝0的一个根为－1，则另一个根为 ． 8、若关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是 ．9、已知方程2310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值.10、已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，求2112x x x x +的值.。
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳 同步练习人教版数学九年级上册
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳当堂检测(建议用时：10分钟)1.已知x₁,x₂是一元二次方程2x²−4x+1=0的两个实数根，则.x₁·x₂等于( )A.-2B.−12C. 12D.22.已知一元二次方程的两根分别是2 和--3，则这个一元二次方程是( )A.x²−6x+8=0B.x²+2x−3=0C.x²−x−6=0D.x²+x−6=03.已知x₁，x₂是一元二次方程x²+4x−3=0的两个实数根，则x₁+x₂−x₁x₂的值是( )A.6B.0C.7D.-14.已知关于x 的一元二次方程. x²−6x+c=0有一个根为2，则另一根为.5.若关于x 的一元二次方程3x²+(2k−1)x+k—2=0的两个实数根互为相反数，则k的值为.6.已知关于x 的一元二次方程x²+3x+m−1=0的两个实数根为x₁,x₂,若2(x₁+ x₂)+x₁x₂+10=0,则m 的值为.7.不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1)6x²−x=2x²+3;(2)4x²−6=2x(x−2)+1.*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系要点归纳知识要点：−pq−ba ca ≥当堂检测1.C2. D3. D4.45. 126.-37.解：(1)原方程化为一般形式得4x²−x−3=0,则x1+x2=14,x1⋅x2=−34.(2)原方程化为一般形式得2x²+4x−7=0,则x1+x2=−2,x1⋅x2=−72.。
九年级数学上册21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系。
2.能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
二、课时安排1课时三、教学重点掌握一元二次方程根与系数的关系。
四、教学难点能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
五、教学过程（一）导入新课如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0（a ≠0），你能否用前面学过的配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．（二）讲授新课【问题】已知ax 2+bx+c =0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根为∴x 1+x 2和x 1x 2的值。
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c •也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx =-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x =-c a配方，得：x 2+b a x +（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x +2b a）2=2244b ac a∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x +2b a即x∴x 1，x 2∴x 1+x 2= - ba , x 1x 2=q归纳总结：如果方程x 2+px+q=0的两根是x 1 ，x 2，那么x 1+x 2= -p , x 1x 2= ca（三）重难点精讲例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积：（1）2310x x +-=（2）22410x x -+=解：（1）123x x +=- ，121x x ⋅=-（2）原方程可化为：21202x x -+=122x x +=，1212x x ⋅=例题2、已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值。
解：原方程可化为：26055kx x +-=设方程的另一根是x 1，那么2 x 1= 65- ∴x 1= 35- 又∵（35-）+2= 5k- ∴ k=-5[(35-)+2]=-7答：方程的另一个根是 35- ，k 的值是-7。
人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共19张PPT)
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.
B.
a≠b，则 + 的值是( A )
−
C.
D.
−
解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，
∴
+ =
+
=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
人教数学九年级上册21.2.4：一元二次方程的根与系数关系 教学设计
《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析学生已经学习了完一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课进一步的学习，使学生了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系及其应用.难点：探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）. 【设计意图】通过复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。
问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。
问题3：（1）填写上表后思考：①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程x 2-4x-7=0的根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= ; 已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= .已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= . [答案]4，-7；-3，-5；23，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？ [回答]若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .③如何证明以上发现的规律呢？[论证结论]教师与学生共同整理证明过程： 证明：当Δ>0时，由求根公式得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝ca ； 当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b2a .所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15； （2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=39-； （3）方程化为4x 2-5x+1=0，∴x 1+x 2=45，x 1·x 2=41. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )A ．－4B ．－1C ．1D ．4变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值． [解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1， ∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。
2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.2.4、一元二次方程的根与系数的关系同步练习14
一元二次方程的根与系数的关系一、教材题目：P17 T77. 求下列方程两个根的和与积：(1)x 2－3x ＋2＝10；(2)5x 2＋x －5＝0；(3)x 2＋x ＝5x ＋6；(4)7x 2－5＝x ＋8.二、补充题目：部分题目来源于《典中点》3．已知方程x 2－5x ＋2＝0的两个解分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值为( )A ．－7B ．－3C ．7D ．34．已知方程x 2－2x －1＝0，则此方程( )A ．无实数根B ．两根之和为－2C ．两根之积为－1D ．有一根为－1＋ 25．(2015·广西)已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是( )A ．x 2－7x ＋12＝0B ．x 2＋7x ＋12＝0C ．x 2＋7x －12＝0D ．x 2－7x －12＝012．(2015·烟台)等腰三角形三边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( )A ．9B ．10C ．9或10D ．8或1015．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2－3x －1＝0的两个根，求下列代数式的值．(1)(x 1－x 2)2；(2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 1.16．(2015·潜江)已知关于x 的一元二次方程x 2－4x ＋m ＝0.(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足5x 1＋2x 2＝2，求实数m 的值．17．(2014·泸州)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个实数根．(1)若(x 1－1)(x 2－1)＝28，求m 的值；(2)已知等腰三角形ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的长，求这个三角形的周长．答案一、教材7. 解：(1)方程可化为x 2－3x －8＝0，x 1＋x 2＝－(－3)＝3，x 1x 2＝－8.(2)x 1＋x 2＝－15，x 1x 2＝－55＝－1. (3)方程可化为x 2－4x －6＝0，x 1＋x 2＝－(－4)＝4，x 1x 2＝－6.(4)方程可化为7x 2－x －13＝0，x 1＋x 2＝－－17＝17，x 1x 2＝－137. 二、 典中点3.D4.C5.A12．B 点拨：由一元二次方程根与系数的关系求得a ＋b ＝6，再根据等腰三角形的三边关系，判断a ，b 的取值，进而求得n 值．本题容易出错的地方是忽略利用三角形三边关系舍去一种情况，而导致多解．15．解：根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝32，x 1x 2＝－12. (1)(x 1－x 2)2＝x 12＋x 22－2x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝174. (2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 1＝x 1x 2＋1＋1＋1x 1x 2＝－12＋2－2＝－12. 16．解：(1)∵方程x 2－4x ＋m ＝0有实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4m≥0，∴m≤4.(2)∵方程x 2－4x ＋m ＝0的两实数根为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝4，①又∵5x 1＋2x 2＝2，②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，x 2＝6. ∴m＝x 1·x 2＝－2×6＝－12.17．解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2＋5.∴(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝m 2＋5－2(m ＋1)＋1＝28，∴m 2－2m －24＝0，∴(m－6)(m ＋4)＝0，∴m 1＝6，m 2＝－4.(2)①当7为腰长时，则另一腰长7为方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＋5＝0的一个根．将x ＝7代入得49－14(m ＋1)＋m 2＋5＝0，整理得m 2－14m ＋40＝0，即(m －4)(m －10)＝0，∴m 1＝4，m 2＝10.当m＝4时，原方程为x2－10x＋21＝0，∴(x－7)(x－3)＝0，x1＝7，x2＝3.即另一边长为3，7，7，3能组成三角形，此时周长为7＋7＋3＝17.当m＝10时，原方程为x2－22x＋105＝0.∴(x－7)(x－15)＝0，∴x1＝7，x2＝15.另一边长为15，7，7，15不能组成三角形，故舍去．②当7为底边长时，方程有两个相等的实数根，Δ＝4(m＋1)2－4×1×(m2＋5)＝8m－16＝0，∴m＝2.此时方程为x2－6x＋9＝0，∴(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝3.7，3，3不能组成三角形，故舍去．∴这个三角形的周长为17.。
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举一反三 1. 已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一 个根是－1，试求m的值与另一个根.
解：∵设一元二次方程2x2－3mx－5＝0的另一个根为a， ∴a×(－1)＝ . 解得a＝ .
∴
＋(－1)＝
，解得m＝1.
2. 设x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根， 试求x12＋x22的值. 解：∵一元二次方程x2－2x－3＝0的两根是x1，x2， ∴x1＋x2＝2，x1· x2＝－3. ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1· x2＝22－2×(－3)＝10.
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2. 若一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2 ，则 x1· x2的值是( D A. 4 ) C. 3 D. －3 B. －4
3. 若方程x2－2x－1＝0 的两根分别为x1，x2，则x1＋
x2－x1x2 的值为 3 .
新知 2
利用根的判别式解决存在性问题
存在性解法一般是无论存在与否，都先假设存 在，然后以此作为条件推理，如果推出矛盾，则表
第二十一章 一元二次方程
21.2
21.2.4
解一元二次方程
一元二次方程的根与系数的关系
新知 1
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根为x1， x2，则有 即一元二次方程的
两根之和等于一次项系数除以二次项系数所得商的相 反数，两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 易错点：两根之和x1＋x2＝－ 数a，b本身的“－”混为一谈. 中的“－”与系
6.(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0 的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，求m＋n的值. 解：∵关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两 个实数根分别为x1＝－2，x2＝4， ∴－2＋4＝－m，－2×4＝n， 解得m＝－2，n＝－8，
∴m＋n＝－10.
例题精讲
【例1】已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝ 0的两个根，则x1· x2等于( A.－4 解析 ∴ B.－1 ) C. 1 D. 4
由题可知：a＝1，b＝－4，c＝1，
答案
C
举一反三 1. 若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根， 则x1＋x2的值是( A A. －10 ) B. 10 C. －16 D. 16
示不存在，反之，则存在.
例题精讲 【例2】设x1，x2是方程x2－x－2 013＝0的两实数 根，则x1(3)＋2 014x2－2 013＝ . 解 ∵x2－x－2 013＝0，∴x2＝x＋2 013. 又∵x1，x2是方程x2－x－2 013＝0的两实数根， ∴x1＋x2＝1，∴x13＋2 014x2－2 013 ＝x1· x12＋2 013x2＋x2－2 013 ＝x1· (x1＋2 013)＋2 013x2＋x2－2 013 ＝(x1＋2 013)＋2 013x1＋2 013x2＋x2－2 013 ＝x1＋x2＋2 013(x1＋x2)＋2 013－2 013 ＝1＋2 013 ＝2 014. 答案 2 014