2018-2019学年数学高考(文)二轮专题复习习题：第5部分小题提速练5-1-3-含答案
2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅱ卷）文科数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B等于()A．(－1，＋∞) B．(－∞，2)C．(－1,2) D．∅答案 C解析A∩B＝{x|x>－1}∩{x|x<2}＝{x|－1<x<2}．2．设z＝i(2＋i)，则等于()A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案 D解析∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴＝－1－2i.3．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A. B．2 C．5 D．50答案 A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝＝.4．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.答案 B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.5．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案 A解析由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，再假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与事实矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．6．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)等于()A．e－x－1 B．e－x＋1C．－e－x－1 D．－e－x＋1答案 D解析当x<0时，－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝e x－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面答案 B解析对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确，对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确，综上可知选B.8．若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω等于()A．2 B. C．1 D.答案 A解析由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.9．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆 4＋＝1的一个焦点，则p等于()A．2 B．3 C．4 D．8答案 D解析由题意知，抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.10．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0答案 C解析设y＝f(x)＝2sin x＋cos x，则f′(x)＝2cos x－sin x，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.11．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于()A. B. C. D.答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因为α∈，所以cos α＝，所以2sin α＝1－sin2α，解得sin α＝，故选B.12．设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A. B. C．2 D.答案 A解析如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2. 由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故选A.二、填空题13．若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．答案9解析作出已知约束条件对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．由解得即C点坐标为(3,0)，故z max＝3×3－0＝9.14．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．答案0.98解析经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为＝0.98.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________.答案解析∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝，由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1，又B∈(0，π)，∴B＝.16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________．答案26－1解析依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由18个正方形，8个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有26个面．注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为x，则x＋x＋x＝1，解得x＝－1，故题中的半正多面体的棱长为－1.三、解答题17.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．(1)证明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如图，作EF⊥BB1，垂足为F，则EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.18．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0，解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{a n}的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得b n＝log222n－1＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{b n}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.19．某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为＝0.21.产值负增长的企业频率为＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)＝×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s2＝i(y i－)2＝×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7]＝0.029 6，s＝＝0.02×≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.20．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．解(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则|y|·2c＝16，·＝－1，即c|y|＝16，①x2＋y2＝c2，②又＋＝1.③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.又由①知y2＝，故b＝4.由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．21．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＋ln x－1＝ln x－(x>0)．因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln 2－＝>0，故存在唯一x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0.又当0<x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点．(2)由(1)知f(x0)<f(1)＝－2，又f(e2)＝e2－3>0，所以f(x)＝0在(x0，＋∞)内存在唯一根x＝α.由1<x0<α得0<<1<x0.又f＝ln－－1＝＝＝0，故是f(x)＝0在(0，x0)的唯一根．综上，f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．解(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P的任意一点，连接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 经检验，点P在曲线ρcos＝2上．所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.23．[选修4－5：不等式选讲]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0. 所以，a的取值范围是[1，＋∞)．祝福语祝你考试成功!。
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
吉林省东辽五中2019届高三第二次模拟考试卷+文科数学+Word版含答案
2019届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（四）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·遵义联考]设集合{}220A x x x x =--<∈N 且，则集合A 的真子集有（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．[2019·龙岩期末]如图所示的茎叶图记录了CBA 球员甲、乙两人在2018-2019赛季某月比赛过程中的得分成绩，则下列结论正确的是（ ）A ．甲的平均数大于乙的平均数B ．甲的平均数小于乙的平均数C ．甲的中位数大于乙的中位数D ．甲的方差小于乙的方差3．[2019·江南十校]已知i 是虚数单位，则化简20181i 1i +⎛⎫⎪-⎝⎭的结果为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．14．[2019·四川一诊]如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为6分米，其内有一边长为1分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（ ）ABC ．16D5．[2019·长沙一模]已知1F ，2F 是双曲线22:1C y x -=的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，则12PF F △的面积为（ ） ABC ．2D ．16．[2019·清远期末]在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是线段1AB ，1BC 的中点，以下结论：①1AA MN ⊥；②MN 与AC 异面；③MN ⊥面11BDD B ；其中正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③7．[2019·宁德期末]已知点()2,1A ，点B 为不等式组0260y x y x y ⎧⎪⎨-≤+-≤⎪⎩≥所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A ．12BC ．1D ．28．[2019·福建质检]给出下列说法： ①“π4x =”是“tan 1x =”的充分不必要条件； ②定义在[],a b 上的偶函数()()25f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定形式是“x ∀∈R ，12x x+>”． 其中正确说法的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．[2019·衡水中学]已知函数()1y f x =+关于直线1x =-对称，且()f x 在()0,+∞上单调递增，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号31log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()032b f -=-．，()32log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<10．[2019·哈尔宾六中]《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐． 齐去长安三千里．良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．”为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图．若输出的S 的值为350，则判断框中可填（ ）A ．6?i >B ．7?i >C ．8?i >D ．9?i >11．[2019·湖北联考]在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 2ca Bb A -=， 则cos cos cos a A b B a B+的最小值为（ ）ABCD12．[2019·衡水金卷]椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形， 则椭圆的离心率为（ ） ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·九江一模]已知向量(=a，(2,=b ，则b 在a 方向上的投影等于__________． 14．[2019·江西名校联考]若()(log 1log 0a a a +<<，则实数a 的取值范围是__________．15．[2019·姜堰中学]已知函数()()2sin π0,,π2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，52MN =，则()1f =______．16．[2019·邵东月考]已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，4BC CD ==，AB AD ==A BCD -的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·泉州质检]已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，36a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n a n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18．（12分）[2019·泰安一中]如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，AD BC ∥，22AD AB BC ==，M 为边AD 的中点，1CB ⊥底面ABCD ．求证：（1）1C M ∥平面11AA B B ； （2）平面1BMB ⊥平面1ACB ．19．（12分）[2019·佛山质检]下表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：用这44人的两科成绩制作如下散点图：学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A，B两同学的成绩（对应于图中A，B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩()x与物理成绩()y的相关系数为0.8222γ=，回归直线l（如图所示）的方程为0.500618.68y x=+．（1）若不剔除A，B两同学的数据，用全部44人的成绩作回归分析，设数学成绩()x与物理成绩()y的相关系数为γ，回归直线为l，试分析γ与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l的大致位置；（2）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）；（3）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平，可按公式iiX XZs-=统一化成标准分再进行比较，其中iX为学科原始分，X为学科平均分，s为学科标准差）．20．（12分）[2019·聊城一中]已知焦点在y轴上的抛物线1C过点()2,1，椭圆2C的两个焦点分别为1F，2F，其中2F与1C的焦点重合，过1F与长轴垂直的直线交椭圆1F于A，B两点且3AB=，曲线3C是以原点为圆心以1OF为半径的圆．（1）求1C与2C及3C的方程；（2）若动直线l与圆3C相切，且与2C交与M，N两点，三角形OMN的面积为S，求S的取值范围．21．（12分）[2019·榆林一模]已知函数()2f x x x =-．（1）设()()()ln g x x f x f x '=-，求()g x 的最大值及相应的x 值； （2）对任意正数x 恒有()11ln f x f x m x x ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·山南期中]以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ=[]0,πθ∈），直线l 的参数方程为2cos 2sin x t y t αα=+=+⎧⎨⎩（t 为参数）．（1）点D 在曲线C 上，且曲线C 在点D 处的切线与直线20x y ++=垂直，求点D 的直角坐标和 曲线C 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·四川一诊]已知函数()211f x x a x =-+--（a ∈R ）的一个零点为1， （1）求不等式()1f x ≤的解集； （2）若()120,11a m n m n +=>>-，求证：211m n +≥．2019届高三第二次模拟考试卷文科数学（四）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】因为集合{}{}22012A x x x x x x x =--<∈=-<<∈N N 且且，所以{}0,1A =， ∵根据集合的元素数目与真子集个数的关系，n 元素的子集有2n 个， 集合A 有2个元素，则其真子集个数为2213-=，故选A ． 2．【答案】B 【解析】甲的平均数()114182222242425262828293238445128.315x =++++++++++++++=甲， 乙的平均数()117202224262728293232333344495131.115x =++++++++++++++=乙， 故x x <甲乙，故选项A 不成立，选项B 成立；甲的中位数是26，乙的中位数是29，故甲的中位数小于乙的中位数，故选项C 错误； 甲的方差大于乙的方差，故选项D 错误． 3．【答案】C 【解析】依题意()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，201820162450422i i i i 1+⨯+====-．故选C ． 4．【答案】B【解析】半径为6的圆形图案的面积为36π，其圆内接正六边形的面积为161sin 602⨯⨯⨯︒=236πP ==，故选B ． 5．【答案】A【解析】等轴双曲线22:1C y x -=的渐近线方程为y x =±，不妨设点P 在渐近线y x =上，则()00,P x x ，以12F F 为直径的圆为222x y +=， 又()00,P x x 在圆222x y +=上，解得01x =，12112PF F S =⨯=△A ．6．【答案】C【解析】连接1B C ，BD ，11B D ，由MN 为1ACB △的中位线可得MN AC ∥，故②错误；由1AA ⊥平面AC ，可得1AA AC ⊥，即有1AA MN ⊥，故①正确；由BD AC ⊥，1AC B B ⊥，可得AC ⊥平面11BDD B ，AC MN ∥， 即有MN ⊥面11BDD B ，故③正确，故选C ． 7．【答案】B【解析】结合不等式，绘制可行域，可得计算A 点到该区域最小值，即计算点A 到0x y -=的最小值，d ==，故选B ． 8．【答案】C【解析】对于①，当π4x =时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，ππ4x k =+，k ∈Z ，所以“π4x =”是“tan 1x =”的充分不必要条件，所以①正确； 对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-，因为定义域为[],a b ，所以5b =， 所以函数()25f x x =+，[]5,5x ∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确； 对于③，命题“0x ∃∈R ，0012x x +≥”的否定形式是“x ∀∈R ，12x x+<”，所以③是错误的； 故正确命题的个数为2，故选C ． 9．【答案】D【解析】因为()1y f x =+关于直线1x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称， 因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()f x 在(),0-∞上单调递减，()331log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()0303122b f f -⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．．，()3log 4c f =， 因为33log 5log 41>>，031120⎛⎫-<- ⎪⎝⎭<．，根据函数对称性及单调性可知b c a <<，所以选D ．10．【答案】B【解析】模拟程序的运行，可得0S =，1i =； 执行循环体，290S =，2i =；不满足判断框内的条件，执行循环体，300S =，3i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，310S =，4i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，320S =，5i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，330S =，6i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，340S =，7i =； 不满足判断框内的条件，执行循环体，350S =，8i =；由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为350． 可得判断框中的条件为7i >？，故选B ． 11．【答案】D【解析】∵cos cos 2ca Bb A -=，∴由正弦定理化简得：()1111sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin 2222A B B A C A B A B A B -==+=+，整理得sin cos 3cos sin A B A B =，∴cos cos 0A B >，∴tan 3tan A B =，∴则cos cos cos cos sin cos cos cos sin a A b B A b A B a B B a B A +=+=+≥===．∴可得cos cos cos a A b Ba B+D ．12．【答案】B【解析】设过点()1,0P -的直线方程为1x my =-， 联立方程组2214404x my y my y x⎧⎨⎩=-⇒-+==，因为直线与抛物线相切，所以2161601Δm m =-=⇒=±， 所以切线方程分别为1x y =-或1x y =--．此时1x =，2y =或1x =，2y =-，即切点()1,2M 或()1,2N -．又椭圆的右顶点(),0A a ，因为四边形PMAN 为平行四边形，所以PM AN k k =，即得()()02203111a a ---=⇒=---．又交点()1,2在椭圆上，所以22149192b b +=⇒=，所以22292c a b c =-=⇒=23c e a ===，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】12-【解析】向量(=a，(2,=b ，则向量b 在a方向上的投影为12⋅==-a b a ， 故答案为12-．14．【答案】1,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由01a a >≠且，可得1a +>()(log 1log a a a +<，可得01a <<，由(log 0a <，得1>，所以114a <<． 15．【答案】1-【解析】函数()()2sin π0,,π2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的部分图象如图所示，()02sin 1f ϕ==，5π6ϕ∴=．52MN ==π3ω=，∴函数()π5π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()7π12sin16f ∴==-，故答案为1-． 16．【答案】36π【解析】如图取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥．∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，∴AE ⊥平面BCD ，又∵CE ⊂平面BCD ，∴AE CE ⊥．设ABD △的外接圆的圆心为O ，半径为r ．∵AB AD =，∴圆心O 在AE 所在的直线上，∴()22222r BE OE BE r AE ==++-． ∵在BCD Rt △中，BD，∴BE EC ==∴在ABE Rt △中，2AE =．∴()2282r r +-=，解得3r =，∴1OE =．在OEC Rt △中，3OC =，∴3OA OB OC OD ====． ∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球半径3R =． ∴球的表面积24π36πS R ==．故答案为36π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）2n a n =；（2）12443n n n +-++．【解析】（1）根据题意，得214236a a a a ⋅==⎧⎪⎨⎪⎩，即()()211113 26a a d a d a d ⎧⎪⎨=++=⎪⎩+，解得122a d ==⎧⎨⎩，或160a d ==⎧⎨⎩（不合，舍去），所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=．（2）由（1）得2224n a n n n b ===，所以数列n b 是首项为4，公比为4的等比数列． 所以()()123123n n n S a a a a b b b b =+++++++++()()1232244442n n n +=+++++12443n n n +-=++． 18．【答案】（1）见证明；（2）见证明．【解析】（1）因为1111ABCD A B C D -为四棱柱，所以11B C BC ∥且11B C BC =， 又M 为边AD 的中点，所以//BC AM ，即11B C AM ∥，又2AD BC =，所以BC AM =，即11B C AM =，所以四边形11B C MA 为平行四边形， 则11C M B A ∥，又1B A ⊂平面11AA B B ，1C M ⊄平面11AA B B ，所以1C M ∥平面11AA B B ．（2）由（1）知四边形BCMA 为平行四边形，且AM AB =，所以四边形BCMA 为菱形，所以BM AC ⊥， 又1CB ⊥底面ABCD ，所以1CB BM ⊥，所以BM ⊥平面1ACB ， 所以平面1BMB ⊥平面1ACB ．19．【答案】（1）0γγ<，理由见解析；（2）81分；（3）物理成绩要好一些． 【解析】（1）0γγ<，说明理由可以是：①离群点A ，B 会降低变量间的线性关联程度；②44个数据点与回归直线0l 的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小； ③42个数据点与回归直线l 的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大； ④42个数据点更加贴近回归直线l ；⑤44个数据点与回归直线0l 更离散，或其他言之有理的理由均可．要点：直线0l 斜率须大于0且小于l 的斜率，具体为止稍有出入没关系，无需说明理由． （2）令125x =，代入0.500618.680.500612518.68y x =+=⨯+， 得62.57518.6881y =+≈所以，估计B 同学的物理分数大约为81分．（3）由表中知C 同学的数学原始分为122，物理原始分为82， 数学标准分为16161122110511.50.6318.3618.36x x Z s --===≈．， 物理标准分为16162827480.7211.1811.18y y Z s --===≈， 0.720.63>，故C 同学物理成绩比数学成绩要好一些．20．【答案】（1）21:4C x y =，222:143y x C +=，223:1C x y +=；（2）32OMN S ≤≤△ 【解析】（1）由已知设抛物线方程为()220x py p =>，则42p =，解得2p =， 即1C 的方程为24x y =，焦点坐标为()20,1F ，所以椭圆中1c =，其焦点也在y 轴上设方程为()222210y x a b a b+=>>，由222211y x a by +==-⎧⎪⎨⎪⎩，得2b x a =±，223b AB a ==，又221a b =+，解得2a =，b 椭圆方程为22143y x +=，又11OF =所以所求圆的方程为221x y +=．（2）因为直线l 与圆3C 相切，所以圆心O 到直线的距离为1，所以1122OMN MN S MN =⨯⨯=△， 当直线l 的斜率不存在时方程为1x =±，两种情况所得到的三角形OMN 面积相等， 由221431y x x +==⎧⎪⎨⎪⎩得y =，不妨设M ⎛ ⎝⎭，1,N ⎛ ⎝⎭，MN =此时112OMN S MN =⨯⨯=△ 当直线l 的斜率存在时设为k ，直线方程为y kx m =+， 所以圆心O1=，即221m k =+，由22143y x y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩，得()2224363120k x kmx m +++-=， 所以()()()()()()22222222236443312361443394823Δk m k m k k k k k =-+-=+-+-=+ 恒大于0，设(),M M M x y ，(),N N N x y ，则2634M N kmx x k -+=+，2231234M N m x x k -=+，所以2OMN MN S ==△==，令234k t +=，则243t k -=，4t ≥，1104t <≤，所以OMNS △ 是关于1t 的二次函数开口向下，在1104t <≤时单调递减，所以32OMN S ≤<△32OMN S ≤≤△21．【答案】（1）当1x =时，()g x 取得最大值()10g =；（2）01m <≤． 【解析】（1）∵()2f x x x =-，∴()21f x x '=-，∴()()()()()232ln ln 21ln 23g x x f x f x x x x x x x x x '=-=---=-+-，则()()()221611661x x g x x x x x-+'=-+-=，∵()g x 的定义域为()0,+∞，∴2610x x+>，①当01x <<时，()0g x '>；②当1x =时，()0g x '=；③当1x >时，()0g x '<，因此()g x 在(]0,1x ∈上是增函数，在[)1,x ∈+∞上是减函数， 故当1x =时，()g x 取得最大值()10g =．（2）由（1）可知，()222111112f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不等式()11ln f x f x m x x ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可化为21112ln x x x m x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①因为0x >，所以12x x+≥（当且仅当1x =取等号） 设()12x s s x +=≥，则把①式可化为22ln s s s m --≥，即2ln 1m s s≤--（对2s ≥恒成立） 令()21h s s s=--，此函数在[)2,+∞上是增函数， 所以()21h s s s=--的最小值为()20h =， 于是ln 0m ≤，即01m <≤．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）()1,1-，曲线C的参数方程为x y ββ==⎧⎪⎨⎪⎩（β为参数，[]0,πβ∈）；（2）(22-．【解析】（1）由[])0,πρθ∈得曲线C 的直角坐标方程为()2220x y y +=≥，所以曲线C的参数方程为x y ββ==⎧⎪⎨⎪⎩（β为参数，[]0,πβ∈），设D点坐标为)ββ，由已知得C 是以()0,0O因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线OD 与直线20x y ++=的斜率相同，3π4β=， 故D 点的直角坐标为()1,1-．（2）设直线():22l y k x =-+与半圆()2220x y y +=≥=∴2410k k-+=，∴2k =，2k =， 设点()B，2AB k =，故直线l的斜率的取值范围为(22-．23．【答案】（1）403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为函数()211f x x a x =-+--（a ∈R ）的一个零点为1， 所以1a =，又当1a =时，()1211f x x x =-+--，()11212f x x x ≤⇒-+-≤，上述不等式可化为1 21122x x x ⎧⎪⎨-+-≤⎪⎩≤，或1121212x x x ⎧⎪⎨<-+-≤⎪⎩<，或11212x x x ≥-+-≤⎧⎨⎩， 解得120x x ⎧≤≥⎪⎨⎪⎩，或11 22x x <<≤⎧⎪⎨⎪⎩，或143x x ⎧≥≤⎪⎨⎪⎩，所以102x ≤≤或112x <<或413x ≤≤，所以原不等式的解集为403x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1211a m n +==-，因为0m >，1n >， 所以()()()2112221215911n m m n m n m n n m -⎛⎫+-=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭， 当且仅当3m =，4n =时取等号，所以211m n +≥．。
【解析】陕西省咸阳市2018-2019学年高二下学期期末考试教学质量检测数学(文)试题
A. 命题“ ”为真命题，命题“ ”为假命题
B. 命题“ ”为真命题，命题“ ”为真命题
C. 命题“ ”为假命题，命题“ ”为假命题
D. 命题“ ”为假命题，命题“ ”为真命题
【答案】D
【分析】
根据复合命题“ ”是假命题，“ ”是假命题，判断出 的真假，即可求解．
【详解】由题意，命题“若 ，则 ”的否命题是：“若 ，则 ”所以A不正确；
命题“若 ，则 互为相反数”的逆命题是：若 互为相反数，则 ，是真命题，正确；
命题“ ， ”的否定是：“ ， ”所以C不正确；
命题“若 ，则 ”的逆否命题是：“若 ，则 ”所以D不正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题的真假的判断与应用，涉及命题的真假，命题的否定，四种命题的逆否关系，，着重考查了推理能力，属于基础题．
8.已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，短轴长为 ，离心率为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，则 的周长为（ ）
A.4B.8C.16D.32
【答案】C
分析】
利用椭圆的定义，结合 ，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ，
所以 ， ，则 ，所以 ，
所以 的周长为 ，
故选：C．
15.先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件 为“第一次正面向上”，事件 为“后两次均反面向上”，则 ________.
【答案】
【分析】
先列出事件 与事件 的基本事件的个数，再利用独立事件与条件概率的求法可得 ，即可求解．
【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，事件A为“第一次正面向上”，
C. 为 的极大值点D. 为 的极小值点
数学浙江专三维二轮专题复习 选择填空提速专练(一)
选择填空提速专练（一）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知A＝｛x|y2＝x｝,B＝｛y｜y2＝x}，则( ）A．A∪B＝A B．A∩B＝AC．A＝B D．(∁R A）∩B＝∅解析：选B 因为A＝｛x|x≥0}，B＝｛y|y∈R｝，所以A∩B＝A,故选B.2．设a,b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题错误的是（)A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β,则α⊥βC．若a⊥β,α⊥β，则a∥α或a⊂αD．若a∥α,α⊥β，则a⊥β解析：选D 易知A，B，C均正确；D中a和β的位置关系有三种可能，a∥β,a⊂β或a与β相交，故D错误，故选D.3．已知函数f（2x）＝x·log32,则f（39)的值为( ）A。
错误!B。
错误!C．6 D．9解析:选D 令t＝2x(t>0)，则x＝log2t,于是f（t)＝log2t·log32＝log3t（t>0),故函数f(x）＝log3x(x>0）,所以f(39)＝log339＝9，故选D。
4．在复平面内,已知复数z＝错误!，则z在复平面上对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B 因为z＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i，所以复数z 在复平面上对应的点为错误!，显然此点在第二象限,故选B.5．将函数y＝cos（2x＋φ）的图象向右平移错误!个单位，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为（）A.错误!B.错误!C。
错误! D.错误!解析：选B 设y＝cos(2x＋φ)向右平移错误!个单位长度得到的函数为g(x)，则g（x)＝cos错误!，因为g（x)＝cos错误!为奇函数，且在原点有定义，所以－错误!＋φ＝kπ＋错误!（k∈Z)，解得φ＝kπ＋错误!（k ∈Z）,故当k＝－1时，｜φ｜min＝错误!，故选B.6．已知实数a，b，则“|a＋b|＋|a－b｜≤1”是“a2＋b2≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:选A 由绝对值三角不等式｜a±b｜≤|a|＋｜b|可得错误!即错误!此不等式组表示边长为1的正方形区域(含边界)，而a2＋b2≤1表示单位圆域（含边界),故由错误!可以推出a2＋b2≤1，但是反之不成立，故选A。
高考数学二轮复习课件高考5个大题题题研诀窍函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”讲义理(含解析)
函数与导数综合问题巧在“转”、难在“分”[思维流程——找突破口] [技法指导——迁移搭桥]函数与导数问题一般以函数为载体，以导数为工具，重点考查函数的一些性质，如含参函数的单调性、极值或最值的探求与讨论，复杂函数零点的讨论，函数不等式中参数范围的讨论，恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点．对于这类综合问题，一般是先转化(变形)，再求导，分解出基本函数，分类讨论研究其性质，再根据题意解决问题.[典例] 已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x＋2e x ≤0. [快审题] 求什么 想什么 讨论函数的单调性，想到利用导数判断． 证明不等式，想到对所证不等式进行变形转化． 给什么 用什么 已知函数的解析式，利用导数解题．差什么 找什么 证不等式时，对不等式变形转化后还不能直接判断两函数的关系，应找出所构造函数的最值.[稳解题](1)f ′(x )＝ex－a (x >0)，①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0，当x >ea时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，e a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e a ，＋∞上单调递减．(2)证明：法一：因为x >0，所以只需证f (x )≤exx－2e ，当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max＝f (1)＝－e.记g (x )＝exx－2e(x >0)，则g ′(x )＝x －1e xx 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )min ＝g (1)＝－e.综上，当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤exx－2e ，即xf (x )－e x＋2e x ≤0. 法二：证xf (x )－e x＋2e x ≤0， 即证e x ln x －e x 2－e x＋2e x ≤0， 从而等价于ln x －x ＋2≤exe x .设函数g (x )＝ln x －x ＋2， 则g ′(x )＝1x－1.所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1. 设函数h (x )＝e xe x，则h ′(x )＝exx －1e x2. 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1. 综上，当x >0时，g (x )≤h (x )， 即xf (x )－e x＋2e x ≤0.[题后悟道] 函数与导数综合问题的关键(1)会求函数的极值点，先利用方程f (x )＝0的根，将函数的定义域分成若干个开区间，再列成表格，最后依表格内容即可写出函数的极值；(2)证明不等式，常构造函数，并利用导数法判断新构造函数的单调性，从而可证明原不等式成立；(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法，还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手，去求参数的取值范围．[针对训练]已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝ax 22，直线l ：y ＝(k －3)x －k ＋2.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行，求实数k 的值； (2)若至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，求实数a 的取值范围； (3)设k ∈Z ，当x >1时，函数f (x )的图象恒在直线l 的上方，求k 的最大值． 解：(1)由已知得，f ′(x )＝ln x ＋1，且y ＝f (x )在x ＝e 处的切线与直线l 平行， 所以f ′(e)＝ln e ＋1＝2＝k －3，解得k ＝5.(2)因为至少存在一个x 0∈[1，e]使f (x 0)<g (x 0)成立，所以至少存在一个x 使x ln x <ax 22成立，即至少存在一个x 使a >2ln x x成立．令h (x )＝2ln x x ，当x ∈[1，e]时，h ′(x )＝21－ln xx 2≥0恒成立，因此h (x )＝2ln x x在[1，e]上单调递增.故当x ＝1时，h (x )min ＝0，所以实数a 的取值范围为(0，＋∞)．(3)由已知得，x ln x >(k －3)x －k ＋2在x >1时恒成立，即k <x ln x ＋3x －2x －1.令F (x )＝x ln x ＋3x －2x －1，则F ′(x )＝x －ln x －2x －12.令m (x )＝x －ln x －2，则m ′(x )＝1－1x ＝x －1x>0在x >1时恒成立.所以m (x )在(1，＋∞)上单调递增，且m (3)＝1－ln 3<0，m (4)＝2－ln 4>0， 所以在(1，＋∞)上存在唯一实数x 0(x 0∈(3,4))使m (x 0)＝0，即x 0－ln x 0－2＝0. 当1<x <x 0时，m (x )<0，即F ′(x )<0，当x >x 0时，m (x )>0，即F ′(x )>0， 所以F (x )在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． 故F (x )min ＝F (x 0)＝x 0ln x 0＋3x 0－2x 0－1＝x 0x 0－2＋3x 0－2x 0－1＝x 0＋2∈(5,6)．故k <x 0＋2(k ∈Z)，所以k 的最大值为5. [总结升华]函数与导数压轴题堪称“庞然大物”，所以征服它需要一定的胆量和勇气，可以参变量分离、可把复杂函数分离为基本函数、可把题目分解成几个小题、也可把解题步骤分解为几个小步，也可从逻辑上重新换叙．注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分．同时要注意分类思想、数形结合思想、化归与转化等数学思想的运用．[专题过关检测] 1．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝ln x ＋a x(a ∈R)． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当a >0时，证明：f (x )≥2a －1a.解：(1)f ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax2(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a >0时，若x >a ，则f ′(x )>0，函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 若0<x <a ，则f ′(x )<0，函数f (x )在(0，a )上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a >0时，f (x )min ＝f (a )＝ln a ＋1. 要证f (x )≥2a －1a ，只需证ln a ＋1≥2a －1a，即证ln a ＋1a－1≥0.令函数g (a )＝ln a ＋1a－1，则g ′(a )＝1a －1a 2＝a －1a2(a >0)，当0<a <1时，g ′(a )<0，当a >1时，g ′(a )>0，所以g (a )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (a )min ＝g (1)＝0. 所以ln a ＋1a－1≥0恒成立，所以f (x )≥2a －1a.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝e x－ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1；(2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0. 设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．(ⅰ)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ⅱ)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x. 当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)上的最小值．①当h (2)>0，即a <e24时，h (x )在(0，＋∞)上没有零点．②当h (2)＝0，即a ＝e24时，h (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．③当h (2)<0，即a >e24时，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)上有一个零点．由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )上有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)上有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点时，a ＝e24.3．(2018·西安质检)设函数f (x )＝ln x ＋k x(k ∈R)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，求f (x )的单调性和极小值(其中e 为自然对数的底数)；(2)若对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)<x 1－x 2恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)由条件得f ′(x )＝1x －kx2(x >0)，∵曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线与直线x －2＝0垂直，∴f ′(e)＝0，即1e －ke 2＝0，得k ＝e ，∴f ′(x )＝1x －e x 2＝x －ex2(x >0)．由f ′(x )<0，得0<x <e ；由f ′(x )>0，得x >e ， ∴f (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 当x ＝e 时，f (x )取得极小值，且f (e)＝ln e ＋ee ＝2.∴f (x )的极小值为2.(2)由题意知对任意的x 1>x 2>0，f (x 1)－x 1<f (x 2)－x 2恒成立， 设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋k x－x (x >0)， 则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴h ′(x )＝1x －kx2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即当x >0时，k ≥－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14恒成立，∴k ≥14.故k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞. 4．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)·ln(1＋x )－2x . (1)若a ＝0，证明：当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0； (2)若x ＝0是f (x )的极大值点，求a .解：(1)证明：当a ＝0时，f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x ，f ′(x )＝ln(1＋x )－x1＋x. 设函数g (x )＝ln(1＋x )－x1＋x ，则g ′(x )＝x1＋x2.当－1<x <0时，g ′(x )<0；当x >0时，g ′(x )>0， 故当x >－1时，g (x )≥g (0)＝0， 且仅当x ＝0时，g (x )＝0，从而f ′(x )≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0. 所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增． 又f (0)＝0，故当－1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0.(2)①若a ≥0，由(1)知，当x >0时，f (x )≥(2＋x )ln(1＋x )－2x >0＝f (0)， 这与x ＝0是f (x )的极大值点矛盾． ②若a <0， 设函数h (x )＝f x 2＋x ＋ax 2＝ln(1＋x )－2x2＋x ＋ax2.由于当|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，2＋x ＋ax 2>0， 故h (x )与f (x )符号相同． 又h (0)＝f (0)＝0， 故x ＝0是f (x )的极大值点， 当且仅当x ＝0是h (x )的极大值点． h ′(x )＝11＋x－22＋x ＋ax 2－2x 1＋2ax2＋x ＋ax22＝x 2a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1x ＋1ax 2＋x ＋22.若6a ＋1>0，则当0<x <－6a ＋14a，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )>0， 故x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1<0，则a 2x 2＋4ax ＋6a ＋1＝0存在根x 1<0，故当x ∈(x 1,0)，且|x |<min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，1|a |时，h ′(x )<0， 所以x ＝0不是h (x )的极大值点．若6a ＋1＝0，则h ′(x )＝x 3x －24x ＋1x 2－6x －122，则当x ∈(－1,0)时，h ′(x )>0； 当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0. 所以x ＝0是h (x )的极大值点， 从而x ＝0是f (x )的极大值点． 综上，a ＝－16.。
2018年广东省肇庆市高考数学二模试卷(文科)(2)
2018年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的模是（）A．2 B．C．D．2．（5分）M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，2}D．{1，2}3．（5分）已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟．则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）已知f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数5．（5分）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．356．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞0”是“x≥0”的充分不必要条件B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥07．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1 D．8．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（）A． B．C．D．9．（5分）能使函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称，且在区间[0，]上为减函数的φ的一个值是（）A．B． C． D．10．（5分）已知t＞1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z11．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8 D．412．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，1]B．[﹣4，1]C．[﹣2，0]D．[﹣4，0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知||=||=|+|=1，则|﹣|=．14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值是．15．（5分）正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a n=．16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，面VAC⊥面ABC，VA=AC=2，∠VAC=120°，BA ⊥BC则三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为acsin2B．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若C=5，3sin2C=5sin2B•sin2A，且BC的中点为D，求△ABD的周长．18．（12分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，已知S n，a n+1，4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，设b n的前n项和为T n，求证：T n．19．（12分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站距离x（千米）火灾损失费用y（千元）如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：参考数据：y i x i y i（x i﹣）（y i﹣（x i﹣）2（y i﹣）2≈≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣x．20．（12分）如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，使得AF⊥BD，DE∥CF，得空间几何体ADE﹣BCF，如图2．（Ⅰ）证明：BE∥面ACD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ACD的体积．21．（12分）已知函数f（x）=ae x﹣x，f′（x）是f（x）的导数．（Ⅰ）讨论不等式f′（x）g（x﹣1）＞0的解集；（Ⅱ）当m＞0且a=1时，若f（x）＜e2﹣2在x∈[﹣m，m]恒成立，求m的取值范围．四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ+=4cosθ+4sinθ．（Ⅰ）当α=时，直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；（Ⅱ）已知点P（1，），且曲线C1和C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+3|+|x﹣1|，g（x）=﹣x2+2mx．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若对任意的x1，x2，f（x1）≥g（x2）恒成立，求m的取值范围．2018年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足z（1+i）=2，i为虚数单位，则复数z的模是（）A．2 B．C．D．【解答】解：由z（1+i）=2，得z=，∴|z|=．故选：C．2．（5分）M={﹣1，0，1，2}，N={x|x2﹣x≤0}，则M∩N=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣1，2}D．{1，2}【解答】解：N={x|x2﹣x≤0}={x|0≤x≤1}，则M∩N={0，1}，故选：B3．（5分）已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟．则乘客到达站台立即乘上车的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由于地铁列车每10分钟一班，列车在车站停1分钟，乘客到达站台立即乘上车的概率为P==．故选：A．4．（5分）已知f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x），则f（x）是（）A．f（x）是奇函数，且在（0，10）是增函数B．f（x）是偶函数，且在（0，10）是增函数C．f（x）是奇函数，且在（0，10）是减函数D．f（x）是偶函数，且在（0，10）是减函数【解答】解：由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），关于原点对称，又由f（﹣x）=lg（10﹣x）+lg（10+x）=f（x），故函数f（x）为偶函数，而f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）=lg（100﹣x2），y=100﹣x2在（0，10）递减，y=lgx在（0，10）递增，故函数f（x）在（0，10）递减，故选：D．5．（5分）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A．9 B．18 C．20 D．35【解答】解：初始值n=3，x=2，程序运行过程如下表所示：v=1i=2 v=1×2+2=4i=1 v=4×2+1=9i=0 v=9×2+0=18i=﹣1 跳出循环，输出v的值为18．故选：B．6．（5分）下列说法错误的是（）A．“x＞0”是“x≥0”的充分不必要条件B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0【解答】解：A．“x＞0”是“x≥0”的充分不必要条件，正确，故A正确，B．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，C．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，正确，故错误的是C，故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为3，则实数b=（）A．B．C．1 D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小为3，即2x+y=3．由，解得，即A（，），此时点A也在直线y=﹣x+b上．即=﹣+b，即b=．故选：A8．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=a（cosC﹣sinC），a=2，c=，则角C=（）A． B．C．D．【解答】解：∵b=a（cosC﹣sinC），∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC﹣sinAsinC，可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC﹣sinAsinC，∴cosAsinC=﹣sinAsinC，由sinC≠0，可得：sinA+cosA=0，∴tanA=﹣1，由A为三角形内角，可得A=，∵a=2，c=，∴由正弦定理可得：sinC===，∴由c＜a，可得C=．故选：B．9．（5分）能使函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称，且在区间[0，]上为减函数的φ的一个值是（）A．B． C． D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称，∴函数f（x）是奇函数，满足f（0）=sinφ+cosφ=0，得tanφ=﹣，∴φ=﹣+kπ，k∈Z；又f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）在区间[0，]上是减函数，∴φ+≤2x+θ+≤φ+，令t=2x+φ+，得集合M={t|φ+≤t≤φ+}，且M⊆[+2mπ，+2mπ]，m∈Z；由此可得：取k=1，m=0；∴φ=，M=[π，]满足题设的两个条件．故选：C．10．（5分）已知t＞1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【解答】解：∵t＞1，∴lgt＞0．又0＜lg2＜lg3＜lg5，∴2x=2＞0，3y=3＞0，5z=＞0，∴=＞1，可得5z＞2x．=＞1．可得2x＞3y．综上可得：3y＜2x＜5z．故选：D．11．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8 D．4【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面是腰为2的等腰直角三角形，高为2，该几何体的体积V=，故选：B12．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则实数a的取值范围为（）A．[﹣2，1]B．[﹣4，1]C．[﹣2，0]D．[﹣4，0]【解答】解：|f（x）|=，画函数|f（x）|的图象，如图所示，、当x＞0时，|f（x）|=ln（x+1）＞0，当x＜0时，|f（x）|=x2﹣4x＞0从图象上看，即要使得直线y=ax都在y=|f（x）|图象的下方，故a≤0，且y=x2﹣4x在x=0处的切线的斜率k≤a．又y'=[x2﹣4x]'=2x﹣4，∴y=x2﹣4x在x=0处的切线的斜率k=﹣4∴﹣4≤a≤0．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知||=||=|+|=1，则|﹣|=．【解答】解：根据题意，||=||=|+|=1，则有|+|2=2+2•+2=2+2•=1，解可得：•=﹣，则有|﹣|2=2﹣2•+2=2﹣2•=3，则有|﹣|=；故答案为：14．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（）的值是．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象，可得A=，==﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴f（）=sin=，故答案为：．15．（5分）正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a n=．【解答】解：由=（n∈N*），可得a2n=a n•a n+2，+1∴数列{a n}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴a n=，故答案为：16．（5分）在三棱锥V﹣ABC中，面VAC⊥面ABC，VA=AC=2，∠VAC=120°，BA ⊥BC则三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积是16π．【解答】解：如图，设AC中点为M，VA中点为N，∵面VAC⊥面ABC，BA⊥BC，∴过M作面ABC的垂线，球心O必在该垂线上，连接ON，则ON⊥AV．在Rt△OMA中，AM=1，∠OAM=60°，∴OA=2，即三棱锥V﹣ABC的外接球的半径为2，∴三棱锥V﹣ABC的外接球的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为acsin2B．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若C=5，3sin2C=5sin2B•sin2A，且BC的中点为D，求△ABD的周长．【解答】解：（Ⅰ）由△ABC的面积为acsinB=acsin2B．得sinB=2sinBcosB，∵0＜B＜π，∴sinB＞0，故cosB=，∴sinB==；（Ⅱ）由（Ⅰ）和3sin2C=5sin2B•sin2A得16sin2C=25sin2A，由正弦定理得16c2=25a2，∵c=5，∴a=4，BD=a=2，在△ABD中，由余弦定理得：AD2=c2+BD2﹣2c•BD•cosB=25+4﹣2×5×2×=24∴AD=2，∴△ABD的周长为c=BD+AD=7+2．18．（12分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，已知S n，a n+1，4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，设b n的前n项和为T n，求证：T n．【解答】解：（Ⅰ）∵S n，a n+1，4成等比数列，∴（a n+1）2=4S n，∴S n=（a n+1）2，当n=1时，a1=（a1+1）2，∴a1=1，当n≥2时，，∴两式相减得，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0又a n＞0，∴，∴数列{a n}的首项为1，公差为2的等差数列，即a n=2n﹣1，证明：（Ⅱ），∴，∴．19．（12分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x（单位：千米）和火灾所造成的损失数额y（单位：千元）有如下的统计资料：距消防站距离x（千米）火灾损失费用y（千元）如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：参考数据：y i x i y i（x i﹣）（y i﹣（x i﹣）2（y i﹣）2≈≈参考公式：相关系数r=，回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣x．【解答】解：（Ⅰ）…（2分）（Ⅱ）依题意得…（3分）…（4分），，所以，…（6分）又因为故线性回归方程为（+（III）当x=10时，根据回归方程有：20．（12分）如图1，在高为2的梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，CD=5，过A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E、F．已知DE=1，将梯形ABCD沿AE、BF同侧折起，使得AF⊥BD，DE∥CF，得空间几何体ADE﹣BCF，如图2．（Ⅰ）证明：BE∥面ACD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：证法一、连接BE交AF于O，取AC的中点H，连接OH，则OH是△AFC的中位线，∴OH∥CF，OH=．由已知得DE∥CF，DE=，∴DE∥OH，DE=OH，连接DH，则四边形DHOE是平行四边形，∴EO∥DH，又∵EO⊄面ADC，DH⊂面ADC，∴EO∥面ACD，即BE∥面ACD；证法二、延长FE，CD交于点K，连接AK，则面CKA∩面ABFE=KA，由已知得DE∥CF，DE=，∴DE是△KFC的中位线，则KE=EF．∴KE∥AB，KE=AB，则四边形ABEK是平行四边形，得AK∥BE．又∵BE⊄面ADC，KA⊂面ADC，∴BE∥面ACD；证法三、取CF的中点G，连接BG，EG，得DE∥CG，DE=CG，即四边形CDEG是平行四边形，则EG∥DC，又GE⊄面ADC，DC⊂面ADC，∴GE∥面ADC，又∵DE∥GF，DE=GF，∴四边形DGFE是平行四边形，得DG∥EF，DG=EF，又ABFE是平行四边形，∴AB∥EF，AB=EF，得AB∥DG，AB=DG，∴四边形ABGD是平行四边形，则BG∥AD，又GB⊄面ADC，DA⊂面ADC，∴GB∥面ADC，又GB∩GE=G，∴面GBE∥面ADC，又BE⊂面GBE，∴BE∥面ACD；=V E﹣ACD ，（Ⅱ）解：∵GB∥面ADC，∴V B﹣ACD由已知得，四边形ABFE为正方形，且边长为2，则在图2中，AF⊥BE，由已知AF⊥BD，且BE∩BD=B，可得AF⊥平面BDE，又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，又AE⊥DE，AF∩AE=A，∴DE⊥平面ABFE，且AE⊥EF，∴AE⊥面CDE，∴AE是三棱锥A﹣DEC的高，∵四边形DEFC是直角梯形．且AE=2，DE=1，EF=2，∴．21．（12分）已知函数f（x）=ae x﹣x，f′（x）是f（x）的导数．（Ⅰ）讨论不等式f′（x）g（x﹣1）＞0的解集；（Ⅱ）当m＞0且a=1时，若f（x）＜e2﹣2在x∈[﹣m，m]恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ae x﹣1…（1分）f'（x）•（x﹣1）=（ae x﹣1）（x﹣1）＞0，当a≤0时，不等式的解集为{x|x＜1}…（2分）当时，，不等式的解集为…（3分）当时，，不等式的解集为{x|x≠1}…（4分）当时，，不等式的解集为…（5分）（Ⅱ）法一：当a=1时，由f'（x）=e x﹣1=0得x=0，当x∈[﹣m，0]时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，当x∈[0，m]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；f（x）max是f（﹣m）、f（m）的较大者．f（m）﹣f（﹣m）=e m﹣e﹣m﹣2m，…（7分）令g（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，，…（9分）所以g（x）是增函数，所以当m＞0时，g（m）＞g（0）=0，所以f（m）＞f（﹣m），所以．…（10分）f（x）＜e2﹣2恒成立等价于，由f（x）单调递增以及f（2）=e2﹣2，得0＜m＜2…（12分）法二：当a=1时，由f'（x）=e x﹣1=0得x=0，当x∈[﹣m，0]时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，当x∈[0，m]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；f（x）max是f（﹣m）、f（m）的较大者．…（7分）由f（m）=e m﹣m＜e2﹣2，由f（x）单调递增以及f（2）=e2﹣2，得0＜m＜2．…（9分）当0＜m＜2时，﹣2＜﹣m＜0，因为当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（﹣m）＜f（﹣2）=e﹣2+2＜e2﹣2，综上m的范围是0＜m＜2…（12分）四.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ+=4cosθ+4sinθ．（Ⅰ）当α=时，直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；（Ⅱ）已知点P（1，），且曲线C1和C2交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），∴消去参数t，得：得直线l的直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+cosα=0．曲线C1的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，曲线C的1标准方程：x2=4y．…（4分）∵曲线C2的极坐标方程是ρ+=4cosθ+4sinθ，即ρ2+7=4ρcosθ+4ρsinθ，∴C2的普通方程为x2+y2+7=4x+4y，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=1．…（6分）（Ⅱ）方法一：∵C2的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，∴C2是以点E（2，2）为圆心，半径为1的圆，∵，∴P在圆外，过P做圆的切线PH，切线长…（8分）由切割线定理知|PA|•|PB|=|PH|2=4…（10分）方法二：将代入（x﹣2）2+（y﹣2）2=1中，化简得t2﹣2（sinα+2cosα）t+4=0，…8分∴|PA|•|PB|=|t1•t2|=4．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+3|+|x﹣1|，g（x）=﹣x2+2mx．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）若对任意的x1，x2，f（x1）≥g（x2）恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）法一：不等式f（x）＞4，即|x+3|+|x﹣1|＞4．可得，或或…（3分）解得x＜﹣3或x＞1，所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．…（5分）法二：|x+3|+|x﹣1|≥|x+3﹣（x﹣1）|=4，…（2分）当且仅当（x+3）（x﹣1）≤0即﹣3≤x≤1时等号成立．…（4分）所以不等式的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}．…（5分）（Ⅱ）依题意可知f（x）min＞g（x）max…（6分）由（Ⅰ）知f（x）min=4，g（x）=﹣x2+2mx=﹣（x﹣m）2+m2所以…（8分）由m2＜4的m的取值范围是﹣2＜m＜2…（10分）。
2018-2019学年度广东省中山市高二第二学期期末水平测试文科数学试题(含答案)
高二文科数学试卷 第1页（共18页）2018-2019学年度中山市高二级第二学期期末统一考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．i 是虚数单位，则ii21-的虚部是( ) A ．-2B ．-1C ．i -D ．i 2-2．用反证法证明“方程)0(02≠=++a c bx ax 至多有两个解”的假设中，正确的是( ) A ．至少有两个解 B ．有且只有两个解 C ．至少有三个解 D ．至多有一个解 3. 若抛物线ay x =2的焦点到准线的距离为1，则a=（ ） A. 2B ．4C ．±2D ．±44. ”的＞”是“＞“33ba22b a （ ） A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性？（）A.甲B．乙C．丙D．丁6.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”。
执行如图所示的程序框图，若输入11x=，22x=，0.1d=，则输出n的值为（）高二文科数学试卷第2页（共18页）高二文科数学试卷 第3页（共18页）A. 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 7. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学 生，得到如下22⨯的列联表：由公式))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，算得82.72≈K附表：参照附表，以下结论正确的是（ ）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”8．（a +b ）n（n ∈N *）当n ＝1，2，3，4，5，6时展开式的二项式系数表示形式高二文科数学试卷 第4页（共18页）借助上面的表示形式，判断λ与μ的值分别是（ ） A ．5，9B ．5，10C ．6，10D ．6，99． A ． a c b << B ． C ．b c a <<D ． ＜10．已知 ， 是椭圆C ：12222=+by a x ( ＞ ＞ )的左右焦点，B 为椭圆C 短轴的一个端点，直线 与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2是等腰三角形，则21AF AF =( )A ．31B ．21 C ．32D ．311．函数x x x x f sin )(2+=的图像大致为（）高二文科数学试卷 第5页（共18页）12．已知双曲线)0,(12222>=-b a by a x ，过x 轴上点p 的直线l 与双曲线的右支交于M ，N两点(M 在第一象限)，直线MO 交双曲线左支于点 Q (O 为坐标原点)，连接QN ，若∠MPO ＝60°，∠MNQ ＝30°，则该双曲线的离心率为 ( )A ．2B ．3C ． 2D ． 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）13．曲线 在点(0，-1)处的切线方程为_______。
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小题提速练(三)(满分80分，押题冲刺，45分钟拿下客观题满分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M ＝{x |x 2－2x －3＜0}，N ＝{x |log 2x ＜0}，则M ∩N 等于( ) A ．(－1,0) B ．(－1,1) C ．(0,1)D ．(1,3)解析：选 C.由题干条件可知，M ＝{x |－1＜x ＜3}，N ＝{x |0＜x ＜1}，所以M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}．2．若复数z 的实部为1，且|z |＝2，则复数z 的虚部是( ) A ．－ 3 B ．± 3 C ．±3iD ．3i解析：选B.复数z 的实部为1，设z ＝1＋b i ，|z |＝2，可得1＋b 2＝2，解得b ＝±3，复数z 的虚部是± 3.3．若命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则下面结论正确的是( )A ．p 是假命题B ．﹁q 是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．p ∨q 是真命题解析：选D.当α＝π2时，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π2＝cos π2＝0， ∴命题p ：∃α∈R ，cos(π－α)＝cos α是真命题，∵∀x ∈R ，x 2＋1≥1＞0，∴命题q 是真命题，∴A 中p 是假命题是错误的；B 中﹁q 是真命题是错误的；C 中p ∧q 是假命题是错误的；D 中p ∨q 是真命题是正确的．4．如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值等于( )A ．0.120B ．0.180C ．0.012D ．0.018解析：选D.由30×0.006＋10×0.01＋10×0.054＋10x ＝1，解得x ＝0.018.5．若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D.由题意可知，该几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，ln x ，x ＞1，则f (f (e))＝(其中e 为自然对数的底数)( )A ．0B ．1C ．2D ．(e 2＋1)解析：选C.由题意得，f (e)＝ln e ＝1，所以f (f (e))＝f (1)＝1＋1＝2.7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x1＋2x cos x 的图象大致为( )解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x1＋2－x cos(－x )＝2x 1－2－x 2x 1＋2－xcos x ＝2x－12x ＋1cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当0＜x ＜1时，1－2x1＋2x ＜0，cos x ＞0，f (x )＜0，因此结合选项知，C 正确，选C.8．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，选D.9．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4(－2＜x ＜14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →＝(其中O 为坐标原点)( )A ．－32B ．32C ．－72D ．72解析：选D.由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＝0可得π8x ＋π4＝k π，∴x ＝8k －2，k ∈Z ，∵－2＜x＜14，∴x ＝6即A (6,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于点A 对称即x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(6,0)＝6(x 1＋x 2)＝72.10．双曲线C 1的中心在原点，焦点在x 轴上，若C 1的一个焦点与抛物线C 2：y 2＝12x 的焦点重合，且抛物线C 2的准线交双曲线C 1所得的弦长为43，则双曲线C 1的实轴长为( )A ．6B ．2 6 C. 3D ．2 3解析：选D.由题意可得双曲线C 1的一个焦点为(3,0)，∴c ＝3，可设双曲线C 1的标准方程为x 2a 2－y 29－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，x 2a 2－y 29－a2＝1，解得y ＝±9－a2a，∴2×9－a 2a＝43，解得a ＝3，∴双曲线C 1的实轴长为2a ＝2 3.11．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上非顶点的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B.如图，当点P 在椭圆与y 轴交点处时，点M 与原点O 重合，此时|OM →|取最小值0.当点P 在椭圆与x 轴交点时，点M 与焦点F 1重合，此时|OM →|取大值22.∵xy ≠0，∴|OM →|的取值范围是(0,22)．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x ＜0，ln x ，x ＞0，若函数f (x )的图象在A ，B 两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－1，＋∞)D ．(－ln 2，＋∞)解析：选C.当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ＋a 的导数为f ′(x )＝2x ＋1；当x ＞0时，f (x )＝ln x 的导数为f ′(x )＝1x，设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2，当x 1＜x 2＜0，或0＜x 1＜x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2，当x 1＜0时，函数f (x )在点A (x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋x 1＋a )＝(2x 1＋1)(x －x 1)；当x 2＞0时，函数f (x )在点B (x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，两直线重合的充要条件是1x 2＝2x 1＋1①，ln x 2－1＝－x 21＋a ②，由①及x 1＜0＜x 2得0＜1x 2＜1，由①②得a ＝ln x 2＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－12－1，令t ＝1x 2，则0＜t ＜1，且a ＝－ln t ＋14t 2－12t －34，设h (t )＝－ln t ＋14t 2－12t －34(0＜t ＜1)，则h ′(t )＝－1t ＋12t －12＜0，即h (t )在(0,1)为减函数，则h (t )＞h (1)＝－ln 1－1＝－1，则a ＞－1，可得函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，a 的取值范围是(－1，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分；共20分)13．若直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长，则ab 的取值范围是________．解析：∵直线ax －by ＋1＝0平分圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的周长， ∴直线ax －by ＋1＝0过圆C 的圆心(－1,2)，∴有a ＋2b ＝1，∴ab ＝(1－2b )b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，∴ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1814．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的i 值为________．解析：由程序框图知：程序第一次运行n ＝10，i ＝2；第二次运行n ＝5，i ＝3；第三次运行n ＝3×5＋1＝16，i ＝4；第四次运行n ＝8，i ＝5；第五次运行n ＝4，i ＝6；第六次运行n ＝2，i ＝7；第七次运行n ＝1，i ＝8.满足条件n ＝1.程序运行终止，输出i ＝8.答案：815．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≤0，y ≥2，x －4y ＋k ≥0，且目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为－1，则实常数k ＝________.解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，结合图象可知，当过点A (x,2)时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1＝4×2－k ，故k ＝9.答案：916．在一个棱长为4的正方体内，最多能放入________个直径为1的球．解析：根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的空隙，共放9个；第3层继续往空隙放，可放16个；第4层同第2层放9个；第5层同第1、3层能放16个，所以最多可以放入小球的个数：16＋9＋16＋9＋16＝66(个)．答案：66。