5.1.1 二次根式(第1课时)
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计1
湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》教学设计1一. 教材分析湘教版数学八年级上册5.1《二次根式的概念及性质》是本册教材中关于二次根式的重要内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质及其运算。
通过本节的学习，学生能理解二次根式的含义，掌握二次根式的性质，并为后续的二次根式运算打下基础。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固二次根式的概念及性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学运算有一定的了解。
但二次根式作为新的数学概念，对其性质的理解和运用需要一定的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师应关注学生的认知水平，合理设计教学环节，引导学生逐步理解和掌握二次根式的概念及性质。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，并能运用性质进行简单的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及性质。
2.二次根式的运算。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.讲授法：教师讲解二次根式的性质，引导学生理解和掌握。
3.实践操作法：学生通过动手操作，巩固二次根式的性质。
4.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决二次根式运算问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次根式的概念及性质。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生对二次根式的理解。
3.黑板：准备黑板，用于板书解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如车轮直径、高楼高度等，引导学生思考实际问题中的二次根式。
让学生感受二次根式在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师讲解二次根式的概念，引导学生理解二次根式的含义。
通过PPT 展示二次根式的图像，让学生直观地感受二次根式的特点。
3.操练（10分钟）学生动手操作，巩固二次根式的性质。
二次根式(第1课时)
21.1二次根式（第1课时）教学任务分析教学目标知识技能1．了解二次根式的概念．2．了解二次根式的基本性质．数学思考经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力．解决问题通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力．情感态度学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．重点二次根式的概念和基本性质．难点二次根式的基本性质的灵活运用．教学流程安排活动流程图活动内容和目的活动1 二次根式的概念活动 2探究0)a≥是一个非负数活动3探究2(0)a a=≥活动4(0)a a=≥活动5 小结，课后作业由一组式子观察、归纳二次根式的概念．通过计算、抽象、概括得出二次根式的基本性质．回顾梳理，进一步认识理解二次根式的概念和基本性质．学生巩固、提高、发展．教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1问题用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？（2）平方根的性质是什么？（3）如果把上面所填式子叫做二次根式，那么你能用数学符号表示二次根式吗？例1当x是怎样的实数时，义？例 2 当x是怎样的实数教师演示课件，给出题目．学生根据所学知识回答问题．教师提出问题（1），注意学生是否能深入地观察，并发现和总结这组式子的特点；教师提出问题（2），检查学生对所学知识的掌握情况，并引导学生将所学知识与新知识相联系；教师提出问题（3），不同层次的学生会有不同的回答，学生可能遇到的困难：是否能够想到用字母表示数；是否能总结出0a≥这一条件．教师帮助学生解决这些困难．学生总结出二次根式的概念．在本次活动中，教师应重点关注：（1）学生是否掌握了二次根式有意义的条件；由实际问题入手，设置情境问题，激发学生的兴趣，让学生从不同的式子中探寻规律，为二次根式的引入作好铺垫．注重新旧知识的连贯性，使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯通的．为学生提供练习的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．通过题目的练呢？（2）学生是否能将二次根式有意义的条件应用到问题的解决过程中，并注意到被开方数整体大于等于零决不能等同于被开方数的某一项或某一部分大于等于零．习，使学生加深对所学知识的理解，避免一些常见错误．活动2问题0的大小．学生可能马上反映到>，部分学生能得出≥这一正确结论．因此，本次活动中教师应重点关注：（1）学生是否联想到刚刚学习过的二次根式有意义的条件，本题中即要满足0a≥；（2）学生是否能分a>和0a=这两种情况进行讨论．在教师的引导下，学生很容易得到如下结论：0)a≥是一个非负数．通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生的分类讨论的思想和归纳概括的能力．活动3问题根据算术平方根的意义填学生首先总结这组题目的特点．本次活动中，教师应重本次活动中，由具体的正数和零入手来研究二次根式的一个空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例2计算：（1）2；（2）2．点关注：（1）学生是否观察出被开方数的特点；（2）学生是否注意到先开平方，再平方这一运算顺序；（3）学生是否发现计算结果与被开方数的关系．学生在教师的引导下，得出一般性的结论：2(0)a a=≥学生自己总结过程中容易忽略括号中的内容，教师要加以补充并强调它的必要性．对于例2的第（2）题，形式上与2不一样，教师要关注学生是否联想到以前学习过的积的乘方运算，即222()ab a b=，有了对这一知识的复习，学生就会知道本题需要先进行积的乘方运算，再运用新学的二次根式的性质，分这样两步来计算问题就迎刃而解了．性质，再引导学生由具体到抽象，得出一般性的结论，并发现开平方运算与平方运算的关系．培养学生由特殊到一般的认识过程，提高归纳、总结的能力．通过这组题目的练习，加深对2(0)a a=≥这一性质的理解和应用．对于复杂的题目，要学会分解，化难为易．活动4问题（1）填空：=；=；教师首先引导学生比较活动3与活动4中两组题目的不同之处，注意学生是有了活动3的学习经验，学生具备了一定的观察、归纳和总结的能力，能够轻=；=．（2）思考：当0a≥时，=？（3）2与相等吗？例3化简：（1（2．否观察出：活动3中的题目是对非负数先进行开平方运算，再进行平方运算；而活动4中的题目正好相反，是先进行平方运算，再进行开平方运算．学生由这组题目能得到下面的结论：(0)a a=≥通过问题（3），教师引导学生得出一般性的结论．松地得出二次根式的又一个性质，体会到了学以致用，不断探求新知的乐趣．同时，通过对活动3和活动4两组题目的学习，培养了学生观察、对比的能力和意识，体会到了平方运算与开平方运算的内在联系．活动5问题本节课你学到了什么知识？你有什么认识？课后作业：教科书第8页第1、2、3、4题．教师引导，学生小结．本次活动中教师应重点关注：（1）理清本节课的知识脉络，突出学习重点；（2）引导学生谈一谈对2与（3）让学生认识到当a≥时，2=；学生课后独立完成．教师批改，作好教学情况记录．本次活动中教师应重点关注：学生共同总结，调动他们的主动参与意识，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题技巧．学生通过独立思考，完成课后作业，教师能够及时发现问题并反馈学生的学习情况，以便于查漏补缺，优化课堂教学．（1）对二次根式有意义的条件理解得是否深入；（2）是否有对平方运算与开平方运算的互为逆运算的体会，并熟练地运用到解题过程中去；（3）学生对所学知识的实际应用能力．。
《5.1二次根式》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级上册
《二次根式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生通过练习巩固对二次根式概念的理解，掌握二次根式的性质和运算法则，并能够运用所学知识解决实际问题。
通过作业的完成，提高学生的数学思维能力和解题能力。
二、作业内容1. 概念理解题：设计一系列关于二次根式概念的问题，如二次根式的定义、性质等，要求学生通过阅读课本和思考，准确回答问题。
2. 基础运算题：设计一些简单的二次根式加减乘除运算题，让学生熟练掌握二次根式的运算法则。
3. 应用题：设计一些与实际生活相关的二次根式应用题，如测量物体长度、计算面积等，让学生在解决问题的过程中，理解二次根式的实际意义。
4. 综合题：设计一些综合性的二次根式问题，涉及多个知识点，提高学生的综合运用能力。
三、作业要求1. 认真阅读课本，理解二次根式的概念和性质。
2. 独立完成作业，不得抄袭他人答案。
3. 运算过程中，注意运算步骤的规范性，保证答案的准确性。
4. 应用题和综合题要结合实际生活，理解问题的背景和意义。
5. 按时完成作业，并认真检查答案的正确性。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生的答案正确性、解题步骤的规范性、答案的简洁性等方面进行评价。
2. 评价方式：采用教师批改、同学互评、自我评价相结合的方式，及时反馈学生的作业情况。
3. 评价反馈：对于优秀作业进行表扬和鼓励，对于存在问题的地方进行指导和纠正，帮助学生提高数学学习能力。
五、作业反馈1. 收集学生的作业情况，统计学生的作业完成情况和错误情况。
2. 分析学生的作业问题，找出学生在学习过程中存在的困难和不足。
3. 根据分析结果，制定针对性的教学计划，帮助学生解决学习中存在的问题。
4. 将作业反馈及时告知学生，让学生了解自己的学习情况，及时调整学习策略。
六、总结本节课的作业设计旨在帮助学生巩固二次根式的概念和运算法则，提高学生的数学思维能力和解题能力。
通过作业的完成和反馈，帮助学生发现自己的不足之处，制定针对性的学习计划，提高学习效果。
2022秋八年级数学上册 第5章 二次根式5.1 二次根式1二次根式及其性质授课课件湘教版
感悟新知
要点精析：
知2－讲
(1)如果一个式子含有多个二次根式，那么它有意义的条件
是：各个二次根式中根式又含有分式，那么它有意
义的条件是：二次根式中的被开方数(式)是非负散，分式
的分母不等于0.
(3)如果一个式子含有零指数幂或负整散指数幂，那么它有
谢谢观赏
You made my day!
之间存在如下关系：v2=gR，其中重力加速度常数 g=9.8 m/s2.若已知地球半径R，则第一宇宙速度 是多少？
感悟新知
知1－导
我们已经知道：每一个正实数a有且只有两个平方
根，一个记作 a ，称为a的算术平方根；另一个是 a－ .
感悟新知
结论
知1－讲
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号下的
①
13；②
－3；③－
3
x2＋1；④ 8；⑤
132；⑥ x2－2.
A．2 B．3 C．4 D．5
感悟新知
知识点 2 二次根式的“双重”非负性(a≥0， a 0 )
(1)式子 a 只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是 a 知2－导
为二次根式的前提条件.式子 就 2不是二次根式，但式 子 ( 2却) 2 又是二次根式．
数叫作被开方数.
感悟新知
1.定义：形如 a (a≥0)的式子叫作二次根式；
知1－讲
其中“ ”称为二次根号，a称为被开方数(式).
要点精析：(1)二次根式的定义是从代数式的结构形式上界
定的，必须含有二次根号“ ”；
“ ”的根指数为2，即 2 ，“2”一般省略不写.
(2)被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式
八年级数学上册5.1二次根式(第1课时)
问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， h 的算术平方根． 5
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式是二次根式不吗含二?次根号
被开方数是负数
(1) 32, (2) 6, (3)
是
不是
(4) -m 当m>0时被开 方数是负数
(5)
不是
12 ,
不是 xy＜0
xy（x,y异号），
不是
(6) a2 1 ,
是
非负数+正数 恒大于零
(7) 3 5
不是
根指数是3
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不 足道也.”
----中科院数学与系统科学研究院 李邦河
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数
叫做a的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 用 a (a 0) 表示.
...
N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如
B 有意义的条件：
A
A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A 1 有意义的条件：
B
A≥0且B≠0.
练一练
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
一定是二次根式的个数有
（ B）
湘教版数学八年级上册《5.1二次根式》说课稿
湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》说课稿一. 教材分析湘教版数学八年级上册《5.1 二次根式》这一节的内容，主要介绍了二次根式的概念、性质和运算方法。
这部分内容是初中数学的重要知识，也是学习高中数学的基础。
通过学习二次根式，学生可以培养数学思维能力，提高解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次根式的相关知识。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了实数、有理数等基础知识，对数学运算有一定的掌握。
但是，对于二次根式这一概念，学生可能比较陌生，需要通过实例和引导，让学生逐步理解和掌握。
此外，学生可能对二次根式的运算方法有一定的困难，需要通过大量的练习和讲解，让学生熟练掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，能够运用二次根式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、交流等过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生体验到数学的乐趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次根式的概念、性质和运算方法。
2.教学难点：二次根式的运算方法，特别是乘除法的运算规则。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等，引导学生主动探究，积极参与课堂讨论。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、黑板等，直观展示二次根式的概念和运算方法，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入二次根式的概念，激发学生的兴趣。
2.新课讲解：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，通过例题展示运算过程，让学生理解和掌握。
3.课堂练习：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固二次根式的运算方法。
4.小组讨论：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出一些拓展问题，激发学生的思考。
湘教版数学八年级上册_课时作业：第1课时_二次根式的概念及性质
5.1 第1课时 二次根式的概念及性质一、选择题1．下列各式中，是二次根式的为( ) A.39B ．－0.36 C.－1100D.a －1(a ＜1)2．若式子m －3有意义，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥3 B ．m ≤3 C ．m ≥0D ．m ≤03．使x －3有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≤3 B ．x ＜3 C ．x ≥3D ．x ＞34．若－（1－a ）2有意义，则满足条件的a 的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．无论x 取何值，下列各式中一定有意义的是( ) A.x 2－1 B.x ＋1 C.|x |D.1x 26．当x 的取值范围为x ≥2时，下列各式有意义的是( ) A.x －2x －2B.1x －2C.x －2D.2－x7．若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是( ) A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＝12D ．x ≠128．计算(－11)2＋（－13）2的结果是( ) A ．－2 B ．－24 C ．2D ．249．若a 2＝3，则a 的值是( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3D ．910．如果|a |－a ＝0，那么a 2的值为( ) A ．－aB ．0C ．aD ．±a11．若1＜x ＜2，则|x －3|＋（x －1）2的值为( ) A ．2x －4 B ．－2 C ．4－2xD ．2二、填空题12．使式子m －3有意义的最小整数m 的值是________． 13．计算：(－3)2＝________．14．若代数式x ＋2＋3－x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________. 15．已知实数a 在数轴上的对应点的位置如图1所示，则化简|a －1|＋a 2的结果是________．图116．若实数a ，b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，则a 2b的值为________．17．已知x ，y 均为实数，且y ＝x 2－9－9－x 2＋4，则x －y ＝________． 三、解答题 18．计算：(1)⎝⎛⎭⎫792；(2)⎝⎛⎭⎫252；(3)（－5）22.19．计算： (1)⎝⎛⎭⎫45－122＋⎝⎛⎭⎫45－12；(2)（－5）2＋(－2)2－25.20．已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图2所示，化简：a 2－|a ＋b |＋（c －a ）2＋|b ＋c |.图221．已知实数a 满足|2018－a |＋a －2019＝a . (1)求实数a 的取值范围； (2)求a －20182的值．阅读理解题先阅读，后解答：(1)由根式的性质计算下列式子得①32＝3；②（23）2＝23；③（－1）2＝1；④（－5）2＝5；⑤02＝0.由上述计算，请写出a2的结果(a为任意实数)．(2)利用(1)中的结论，直接写出下列问题的结果：①（3.14－π）2＝________；②化简：x2－4x＋4(x＜2)＝________．(3)应用：若（x－5）2＋（x－8）2＝3，则x的取值范围是________．详解详析[课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] C3．[解析] C 根据二次根式在实数范围内有意义的条件可知x －3≥0，解得x≥3. 4．[解析] A 由题意，得－(1－a)2≥0，则(1－a)2≤0.又∵(1－a)2≥0，∴(1－a)2＝0，解得a ＝1.故选A .5．[答案] C6．[解析] C 若式子x －2x －2有意义，则⎩⎨⎧x －2≥0，x －2≠0，解得x>2.若式子1x －2有意义，则x －2>0，解得x>2.若式子x －2有意义，则x －2≥0，解得x≥2.若式子2－x 有意义，则 2－x≥0，解得x≤2.故选C .7．[解析] C 根据二次根式a 的定义，要使a 在实数范围内有意义，则a≥0，所以 2x －1≥0，1－2x≥0，由此可得x ＝12.8．[解析] D 原式＝(－1)2×(11)2＋13＝11＋13＝24. 9．[答案] A10．[解析] C 由|a|－a ＝0，得|a|＝a ，故a 2＝|a|＝a. 11．[解析] D ∵1＜x ＜2，∴x －3＜0，x －1＞0，∴|x －3|＋（x －1）2＝|x －3|＋|x －1|＝3－x ＋x －1＝2.故选D . 12．[答案] 3 13．[答案] 3[解析] 负实数的偶次幂为正，所以(－3)2＝(3)2，而(a)2＝a ，所以(3)2＝3. 14．[答案] －2≤x≤3[解析] 由题意，得x ＋2≥0，3－x≥0，解得－2≤x≤3. 15．[答案] 1[解析] 由数轴可知0＜a ＜1，则|a －1|＝1－a ，a 2＝a ，故|a －1|＋a 2＝1. 16．[答案] 1[解析] ∵|a ＋2|＋b －4＝0， ∴a ＋2＝0且b －4＝0， 解得a ＝－2，b ＝4， ∴a 2b ＝（－2）24＝44＝1.17．[答案] －1或－7[解析] 由题意得x 2－9＝0，解得x ＝±3，∴y ＝4，∴x －y ＝－1或x －y ＝－7.故答案为－1或－7.18．[解析] 结合题目特点，根据(a)2＝a(a≥0)，(ab)2＝a 2b 2和⎝⎛⎭⎫a b 2＝a2b 2来计算．解：(1)⎝⎛⎭⎫792＝79. (2)⎝⎛⎭⎫252＝（2）252＝（2）225＝225.(3)（－5）22＝|－5|2＝52.19．解：(1)原式＝45－12＋1－45＝12.(2)原式＝5＋2－5＝2.20．解：由数轴可知a ＜0，b ＜0，c ＞0，且b ＜a ，|b|＞|c|，所以a 2－|a ＋b|＋（c －a ）2＋|b ＋c|＝|a|－|a ＋b|＋|c －a|＋|b ＋c|＝－a ＋(a ＋b)＋c －a －(b ＋c)＝－a.21．解：(1)由题意得a －2019≥0，解得a≥2019.(2)∵a≥2019，∴2018－a ＜0，∴a －2018＋a －2019＝a ，∴a －2019＝2018，两边平方，得a －2019＝20182，∴a －20182＝2019.[素养提升] 解：(1)a 2＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）.(2)①（3.14－π）2＝|3.14－π|＝π－3.14. ②x 2－4x ＋4＝（x －2）2＝|x －2|. ∵x ＜2，∴x －2＜0，∴x 2－4x ＋4＝2－x. (3)∵（x －5）2＋（x －8）2＝3＝||x －5＋||x －8.①当x ＜5时，x －5＜0，x －8＜0，∴原式＝5－x ＋8－x ＝13－2x ，令13－2x ＝3，则 x ＝5，不成立；②当5≤x≤8时，x －5≥0，x －8≤0，∴原式＝x －5＋8－x ＝3，成立；③当x ＞8时，x －5＞0，x －8＞0，∴原式＝x －5＋x －8＝2x －13，令2x －13＝3，则 x ＝8不成立．∴x 的取值范围是5≤x≤8.。
5.1.1二次根式
( 1 ) 1-x ；
答案：x≤1
3 答案：x≥ 2
( 2 ) 2x-3 .
2. 计算：
( 1 )( - 3 ) ；
2 5 ( 2 )( ) ； 2
2
答案：3
5 答案： 4
3. 计算：
( 1) 7 ；
( 2)
( 3)
2
答案：7
；
；
2
-3
3 4
2
答案：3
2
答案：3 4
因为速度一定大于0， 所以第一宇宙速度
v = gR.
5 的平方根是± 5， 0 的平方根是0， 正实数 有且只有两个平方根， 一个记作 a ，称 为 a 的 算术平方根；另一个是 a .
我们把形如 a 的式子叫作二次根式，根号 下的数叫作被开方数. 由于在实数范围内，负实数没有平方根， 因此只有当被开方数是非负实数时，二次 根式才在实数范围内有意义．
( 2)
-1.2
2
= 1.2 = 1.2 .
2
当a<0时 a2 = a是否仍然成立？为什么？ 一般地，当a<0时， a2 因此，我们可以得到：
议一议 议一议
= -a.
a a ≥ 0 2 a a a a ＜ 0
练习
1. 当x是怎样的实数时，下列 二次根式有意义？
本章内容 第5章
二次根式
本课内容 本节内容
5.1
二次根式
说一说
， 0 的平方根是 . ，
（1） 5 的平方根是 正实数a的平方根是
（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定 的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力， 正实数a的平方根是 . 从而将飞船送入环地球运行的轨道.而第一宇宙速度 2 v v与地球半径R之间存在如下关系： = gR ，其中重 力加速度常数 g 9.8m / s 2 .若已知地球半径R，则第 一宇宙速度v是多少？
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求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
© 八年级数学组
建宁实验中学
【解析】（1）由于被开方数是非负数，可知a+1≥0，
即a≥-1. （2）由于被开方数是非负数，且分母不为零，可知
1-2a >0，即a<
.
（3）由（a-3）2≥0，可知a可以取任意实数.
建宁实验中学
第5章
5.1
二次根式
二次根式
第1课时
© 八年级数学组
建宁实验中学
1.理解二次根式的概念，会辨别二次根式. 2.理解二次根式的双重非负性，并能利用它解决相关 问题.
© 八年级数学组
建宁实验中学
⑴什么叫作一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则
这个数就叫作a的一个平方根.
a的平方根是
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫作它的算术平方根. 用
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平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是0；
负数没有平方根.
1.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？
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通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作 被开方数.
2. 能利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
(1)会求根号内字母的取值范围.
(2)会求二次根式的值.
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人的一生，总是难免有浮沉.不会永远如旭日东升，也
3.－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有平方根和算术平方根；负数没有平方 根和算术平方根.
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S
下球体对应的在平面图上的圆形的面积为S，
则半径为_________.
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形如 a (a 0) 的式子叫作二次根式 1. 表示a的算术平方根. 2. a可以是数,也可以是代数式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0, .
不会永远痛苦潦倒.反复地一浮一沉，对于一个人来说，
正是磨炼.因此，浮在上面的，不必骄傲；沉在底下的， 更用不着悲观.必须以率直、谦虚的态度，乐观进取、
向前迈进.
——松下幸之助
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a ≥0 ( 双重非负性).
5. 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
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算一算
1.下列各式是二次根式吗? 在实数范围内,负数没有平方根.
(m≤0),
(x,y 异号)，
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【例题】
【例】求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
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【跟踪训练】
x取何值时,下列二次根式有意义?
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. .
. .
【解析】
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.
.
.
.
【解析】
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3.（绵阳·中考）要使 足( A. C. ＜x＜3 )
有意义，则x应满
B.x≤3且x≠ D. ＜x≤3
有意义的x值为2≤x≤3.
（2）因为1-
=1-|x|,当x=〒1时，1-|x|=0，
有意义.
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原式没有意义，所以当x≠〒1时，式子
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（3）因为x2+1＞0, 所以二次根式 在x取任何实数时都有意义.
（4）因为x-1≥0,所以x≥1.因为2-x＞0,所以x＜2. 所以当1≤x＜2时，式子 有意义.
6
【解析】
,
答案：
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7.判断下列代数式中哪些是二次根式？ ⑴
， √
，√
⑵ (4)
×
√
(3)
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8.x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： （1） （2）
(3)
【解析】（1）要使
(4)
有意义，必须使3-x≥0,即x≤3；
要使
有意义，必须使x-2≥0，即x≥2,所以使式子
【解析】选D.由二次根式和分式的意义得：
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4.在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电 功率计算公式 可得它两端的电压U为（ ）
A.
C.
B.
D.
【解析】选C.因为
，所以U2=PR，所以
.
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5
【解析】
答案：
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