第15章++简单几何体整理版 2
简单几何体课件1北师大版必修2
? 请大家想一想，在空间中，平面给大家的感觉会是怎样的 呢？
? 在空间中，平面和直线一样，都是无限延展的，因此，我 们不能把一个无限延展的平面在一张纸上或书本上表示出 来，我们通常用平面的一部分表示整个平面。
? 例如：
? 通常把平面用一个希腊字母α、β、γ等字母表示，
问题3如果把一个半圆面绕着其直径所在的 直线在空间旋转一周，则半圆面在旋转的过 程中所形成的图形会是什么呢？（球体）
七、球的结构特征
1、球的定义： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，将 半圆旋转一周后所形成的曲面叫作球面。
把球面所围成的几何体叫作 球体，简称球。
其中:把半圆的圆心叫做球心。
连结球心与球面上的任意一点的线段叫作球
()
2、平面没有边界，但有厚度； ( )
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、一个平面可以把空间分成两部分 . ( )
§1.简 单 几 何 体
?导入：三维空间是人类生存的现实空 间，生活中蕴涵着丰富的几何体，请大 家欣赏下列各式各样的几何体。
§1.1:简单的旋转体
? 问题1:如图所示：已知线段AB垂直于直线L于 A点，如果把线段AB绕着点A旋转一周，且在 线段AB在旋转的过程中始终与直线L垂直，那 么线段AB在旋转的过程中所形成的图形会是 什么呢？
的半径。
A
连结球面上的任意两点且过球心的线段叫做球的 直
径。
半
O
径
2、球的表示：用表示球心的字 母表示，如球O
球心
B
请大家想一想怎样用集合的观点去定义球？
? 把到定点O的距离等于或小定长的点的集合 叫作球体，简称球。
数学：1.1《简单几何体》课件3(北师大版必修2)
经典的建筑给 人以美的享受
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几何学
每个面都是平面图形 而且是平面多边形
组成它们的面 不全是平面图形
观察： 这些图片中 的物体具有 怎样的形状？ 如何描述？ 如何区分？
多面体
旋转体
旋转体
球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形 成的曲面叫做球面； 球面所围成的几何体叫做球体；半圆的圆心叫做球心； 连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连接球面上两点并且过球心的线段叫做球的直径.
母来表示，如右图，棱台ABCD-A1B1C1D1 。
A1 D1
C B1 1
特别地 用正棱锥截得的棱台叫作正棱台（侧面是 全等的等腰梯形）
圆柱
圆锥
圆台
旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一 条直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体， 这条定直线叫做旋转体的轴.
几个概念：
高； 底面；
侧面； 侧面的母线
判断： 1.分别以矩形两条不等的边所在的直线为旋转 轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不 同的圆柱; 2.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是 圆台;
3.有两个面平行，其余各面都是平行四边形
的几何体叫棱柱.
二、棱锥的结构特征
观察下列几何体,有什么相同点？
棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台
结构特征
有一个面是多
边形，其余各面都
是有一个公共顶点
的三角形，由这些
面所围成的多面体 叫棱锥.
侧棱
A
球
顶点 S
侧面
D
C
底面
B
S
A
BC
D
2、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面
简单几何体教师版
第15讲：简单几何体一、基础梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、∠'''＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直y′轴，两轴相交于点O′，且使x O y观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高'''平面，已在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x O y知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．5、柱、锥、台和球的侧面积和体积6(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．7、(1)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段P A、PB、PC两两互相垂直，可采用“补形法”成为一个球内接长方体．(2)正四面体的内切球与外接球半径之比为1∶3.（内切球半径是高的14，外切球半径是高的34）处理球与棱柱、棱锥切、接问题的思路：(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化空间问题为平面问题．(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间关系，确定球心位置．(3)建立几何量间关系求半径r.二、典型例题考点1 空间几何体的结构特征例1、下列几个命题中，①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的多面体是棱台；④以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；⑤以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；其中正确命题的序号是．解：①如图，∴①不正确，棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故②不正确，棱台是由棱锥截来的，故要求等腰梯形的腰延长后要交与一点，故③不正确，圆台是由圆锥截来的，故要求以直角梯形的是直角边的腰所在直线为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故⑤不正确故答案为：④三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．考点2 空间几何体的三视图例2、一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱。
必修二几何体初步知识点整理
必修二几何体初步知识点整理本文档旨在整理必修二几何体的初步知识点，以帮助学生快速回顾和理解相关概念。
一、基本概念1. 几何体：几何体是由面、棱和顶点组成的三维图形。
2. 面：几何体的平面表面，可以是平面、弯曲面或曲面。
3. 棱：连接两个相邻顶点的线段。
4. 顶点：几何体的尖端或拐角点。
二、常见的几何体1. 立方体：所有的边长相等，所有的面都是正方形。
2. 正方体：所有的边长相等，所有的面都是正方形。
3. 圆柱体：两个平行的圆底，连接底部的是直圆柱，连接侧面的是斜圆柱。
4. 圆锥体：由一个圆锥面和一个顶点组成。
5. 球体：所有点到球心的距离相等。
三、特性和公式1. 表面积：- 立方体：$6a^2$，其中 $a$ 是边长。
- 正方体：$6a^2$。
- 圆柱体：$2\pi rh+2\pi r^2$，其中 $r$ 是底圆半径，$h$ 是高度。
- 圆锥体：$\pi r^2 + \pi rl$，其中 $r$ 是底圆半径，$l$ 是斜高度。
- 球体：$4\pi r^2$，其中 $r$ 是球半径。
2. 体积：- 立方体：$a^3$。
- 正方体：$a^3$。
- 圆柱体：$\pi r^2h$。
- 圆锥体：$\frac{1}{3}\pi r^2h$。
- 球体：$\frac{4}{3}\pi r^3$。
3. 对面积和体积的关系：相似几何体的面积和体积之比等于相应边长的比的立方。
四、示例问题1. 如何计算一个正方体的表面积？答：正方体的表面积等于 $6$ 乘以一个面的面积，即 $6a^2$。
2. 如何计算一个圆柱体的体积？答：圆柱体的体积等于底圆的面积乘以高度，即 $\pi r^2h$。
3. 如果两个立方体边长的比为$2:3$，它们的体积之比是多少？答：由于边长比为 $2:3$，则体积之比等于 $(\frac{2}{3})^3 =\frac{8}{27}$。
五、总结本文档对必修二几何体的初步知识点进行了整理和概述，包括基本概念、常见的几何体、特性和公式，以及示例问题的解答。
高一必修2,1.1简单几何体
棱锥的分类：
底面为三角形的叫三棱锥；底 Ａ 面是四边形的叫做四棱锥……
Ｓ
Ｃ
Ｂ
底面是正多边形，且各侧面全 等的叫正棱锥
S
棱锥的表示法：
三棱锥Ｓ-ＡＢＣ 四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ
A
D
C
B
三棱锥
Ｓ
Ａ
Ｃ
Ａ Ｂ Ｂ
Ｃ
Ｓ
三棱锥的每一个面都可以作为底而且不同的 面作底时，棱锥的形状和大小都不变，所以三 棱锥也叫作四面体。
球心
棱柱
棱柱
棱锥
棱台
棱柱
一般的,有两个面互 相平行,其余各面都是 四边形,并且每相邻两 个四边形的公共边都 互相平行,有这些面所 围成的多面体叫做棱 柱. 底面
侧面 侧棱 顶点
底面
棱柱的分类:
以底面的边数进行分类
三棱柱
四棱柱
六棱柱
棱柱的分类:
以侧棱与底面的关系分为
斜棱柱 直棱柱
正棱柱
棱柱的表示法： 用底面各顶点的字母表 示棱柱。
本节内容分两部分：
一、简单旋转体 1. 球 2. 圆柱、圆锥、圆台 二、简单多面体 1. 棱柱 2. 棱锥、棱台
圆柱
圆锥
圆台
球
(1)
(2)
(3)
(4)
圆柱
圆锥
圆台
球
轴上的边叫作旋转体的高，球除外.
底面
A’
母 线
O’ B’
轴 侧 面
以矩形的一边所 在直线为旋转轴,其 余边旋转形成的曲面 所围成的几何体叫做 圆柱。
第一章
第一节
立体几何初步
简单几何体
对立体几何的认识
• 三维空间是人类生存的现实空间.生活中蕴 涵着丰富的几何图形.本章将以具体的立体 图形，特别是以长方体为背景，通过直观 感知、操作确认、思辨论证、度量计算等 方法，了解简单几何体的基本特性及其直 观图和三视图，理解空间中的点、线、面 的位置关系，并能用数学语言对某些位置 关系进行描述和论证.培养和发展空间想象、 推理论证和运用图形语言进行交流的能力.
第15章简单几何体复习与小结(教师版)
第15章 简单几何体(教师版)复习与小结一．要点呈现1、多面体的结构特征：（1）棱柱：有两个面 互相平行 ，其余各面是 平行四边形 ，且相邻两个面的交线都 互相平行 ．（2）棱锥：有一个面是 多边形 ，而其余各面都是有一个 公共顶点 的三角形．（3）圆柱：旋转图形 矩形 ，旋转轴： 矩形的一条边 所在的直线．（4）圆锥：旋转图形 直角三角形 ，旋转轴： 一条直角边 所在的直线．（5）球：旋转图形 半圆 ，旋转轴： 半圆的直径 所在的直线．2、平行投影与直观图：空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画，其规则是：（1）原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x 轴、y 轴的夹角为45︒，z 轴与x 轴和y 轴所在平面 垂直 ．（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别 平行于坐标轴 ．平行于y 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于x 轴的线段长度在直观图中 取原长度一半 ．3、特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为 斜 棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直 棱柱；底面是正多边形的直棱柱是 正 棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做 平行六面体 ；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做 直平行六面体 ；底面是矩形的直平行六面体叫做 长方体 ；棱长都相等的长方体叫做 正方体 ；其中长方体对角线的平方等于同一顶点上 三条棱长度的平方和 .4、特殊的棱锥：如果棱锥的底面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为 正棱锥 ，它的各侧面底边上的高均 相等 ，叫做 斜高 ；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为 正四面体 .5、在推导几何体体积公式时，我们应用了祖暅原理，该原理的意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 .6、两点间的球面距离的定义是： 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度叫两点间的球面距离 .二．范例导析【例1】三棱锥O-ABC 的三条棱OA, OB, OC 两两垂直，OA=1，OB=OC=2，求：（1）内切球表面积； （2）外接球体积.分析：通过体积相等法求内切球的半径；怎样找外接球的球心？解答：（1）内切球的半径为：45r -=8825-； （2）外接球的半径为：32R =，体积为92π.【例2】在斜三棱柱111C B A ABC -中，=∠AC A 12π=∠ACB ， 61π=∠C AA ，侧棱1BB 与底面所成的角为3π，341=AA ， 4=BC .求斜三棱柱-ABC 111C B A 的体积V . 分析：由题意知：AC ⊥面11CBB C ,所以:面ABC ⊥面11CBB C ，点1B 在面ABC 内的射影落在BC 上，可求出三棱柱的高解答：48V =【例3】如图：圆锥的顶点是S ，底面中心为O.OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角为2arccos ， 求圆锥的体积.分析： 证明不可能垂直可用反证法，注意书写格式；异面直线AD 与BC 所成角来求底面圆的半径解答：（2）163V π=三．随堂训练一．填空题1. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为163. 2. 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB ＝2，AD ＝3，AA 1＝1，则顶点A 、B 间的球面距离是22π． 3. 如图，用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为45︒，容器的高为10cm ．制作该容器需要铁皮面积为 444 cm 2．（衔接部分忽略不计，结果保留整数）4.如图，ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点C 、M ，与AC 交于N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为5327π． 5. 在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=，若△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是32π. 10cm6. 一个透明密闭的正方体容器的棱长为1，该容器盛有一部分水的容积为V ，经转动这个 正方体，水面在容器中的形状可以是三角形，则正方体容器中水的容积V 的范围是15(0,][,1)66． 二．选择题7. 用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（ D ）A ．平面六边形B ．菱形C ．梯形D ．直角三角形8. 一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是（ C ）A.3π100cm 3 B.3π208cm 3 C.3π500cm 3 D.3π34161cm 3 9. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误的是 ( D ) A ．AC⊥BE B ．EF∥平面ABCD C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值 D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等三．解答题10.设地球的半径为R ，在北纬45°圈上有A B 、两点，它们的经度相差90°，求：（1）这两点所对的纬线劣弧长。
第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)
第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面 面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半 径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三 与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三 面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。
简单几何体二
1.2空间几何体的三视图和直观图一、教学内容：1 了解中心投影与平行投影；2 能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体；3 用斜二测画法画空间几何体的直观图二、基础知识：1. 中心投影与平行投影：①投影法的提出：②中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。
在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影.。
2.三视图：定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）侧视图（从左向右）、俯视图（从上到下）几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为例题1，画出正四棱锥的三视图练习1，画出正三棱锥的三视图例题2，如图１所示，空心圆柱体的正视图是（）练习2 已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如右图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ）Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱3. 水平放置的平面图形的斜二测画法：平面图形斜二测画法规则：在已知图形中建立直角坐标系xOy .画直观图时，它们分别对应'x 轴和_____轴，两轴相交于点'O ，使______'''=∠y O x ，它们确定的平面表示水平平面；（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴和'y 轴的线段；（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持_________；平行于y轴的线段，长度为原来的________.几何体的斜二测侧画法：（1） 在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴交于O 点，再取z 轴，使90xOz ∠= ，且90yOz ∠= ；（2）画直观图时把它们画成对应的x '轴，y '轴和z '轴，它们相交于O '点，并使45x O y '''∠= （或135 ），90x O z '''∠= ，x '轴和y '轴所确定的平面表示水平平面；（2）已知图形中平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，y '轴或z '轴的线段；（3）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
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棱柱的概念1. 下列命题中真命题的序号为_________。
① 有两个面互相平行的多面体是棱柱； ② 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体；③ 若一个平行六面体的四个侧面都是正方形，则这个平行六面体是正方体； ④ 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体。
答案：④2. 下面是关于四棱柱的四个命题：① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；② 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱。
其中真命题的编号是_______ 答案：②④棱柱的面积体积计算1. 正三棱柱底面周长和高都是12，则该正三棱柱的全面积是_ __；体积是_ __.解：11243421442S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=+侧全底14122V Sh ==⨯⨯=2. ，平行于底面的截面面积是2，则直三棱柱的体积是_ __.解：2V Sh ===3. 长方体长宽高的比是3:2:1，最大面的面积是18，则长方体的全面积是_ __.解：由题意可设长方体的长是3x ，宽是2x ，高是x ，则3218x x ⋅=，x =于是，长方体的长是所以，长方体的全面积(18266=++⨯=4. 已知斜三棱柱的一个侧面的面积为10，该侧面与其相对侧棱的距离为3，则此斜三棱柱的体积为 （ ）（A ）30 （B ）15 （C ）10 （D ）60解：11111111103103152323A BBC C A BB C C V V V --=+=⨯⨯+⨯⨯⨯= 5. 一个长方体有公共顶点的三个面的面积分别是632、、，这个长方体体积是____。
6. 斜三棱柱的高为6，直截面是边长为4的正三角形，且侧棱与底面成 60角，则其体积为______。
7. 如左图，已知正方体的棱长为a ，沿图中对角面将它分割成两个部分，拼成如右图的平行六面体，则平行六面体的全面积为（ ）（A ）2(8a +（B ）2(2a +（C ）2(4a +（D ）2(6a - 答案：C8. 已知正四棱柱的一条对角线长cm 9，它的全面积为2144cm ，求这个四棱柱的体积。
锥的概念1. 下列命题中真命题的序号为_______ ① 棱锥都没有对角线；② 侧棱长相等的棱锥，其顶点在底面的射影一定在底面多边形的内部； ③ 三个侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正三棱锥； ④ 各个面都是全等的三角形的棱锥是正三棱锥；⑤ 顶点在底面的射影是底面三角形的外心和内心的三棱锥必定是正三棱锥。
答案：①⑤2. 四棱锥成为正四棱锥的一个充分不必要条件是（ ）（A ）底面是正方形 （B ）各侧面是等腰三角形且底面是正方形（C ）各侧面是正三角形 （D ）顶点在底面的射影是底面四边形对角线的交点答案：C 锥的相关计算1. 长方体1111D C B A ABCD -的体积是V ，棱1AA AD AB 、、的中点分别为G F E 、、，则三棱锥EFG A -的体积是__________。
2. 体积为3的正四面体的棱长为（ ）（A ）6 （B ）10 （C ）15 （D ）33. 在一个棱长为a 的正四面体中，有一个蚂蚁从一个顶点沿表面爬到对面的中心，则它所爬的最短距离是____________。
解:最短距离为13AO AD OD a =+=+= 4. 若将一个圆锥的高增加101，底面积减少101，则所得棱锥的体积是原棱锥体积的（ ） （A ）99100 （B ）10099（C ）910 （D ）109 解：11911991,3310101003V Sh V S h Sh ==⨯⨯=⨯原新 所以，选B5、圆锥底面半径为１cm ，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.6、在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动， 则P 、Q 两点的最短距离为（ ）A.55 B.552 C. 2 D. 1【解析】如图1，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。
过O 作OQ ⊥SC ，在SO C Rt ∆中，552=OQ 。
又P 在BD 上运动，且当P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为552，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。
故选B 。
8、求半径为R 的球内接正三棱锥体积的最大值。
分析:要使球内接正三棱锥的体积最大,则需正三棱锥的边或高最大,而高过球心,则可寻球高与半径之间的关系。
【解析】如右图所示，设正三棱锥高1O A =h ,底面边长为a 由正三棱锥性质可知1O B=3a ， 又知OA=OB=R 则在Rt ABC ∆中，222()()3a R h R =--∴ 23(2)a h R h =- ∴V=221(2)3h R h =-=(2)22h h R h ⨯-32223h h R h ⎛⎫++- ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭3(当且仅当22h R h =-，即43h R =时，取等号 ) ∴正三棱锥体积最大值为3策略四；变量分析法9、如图已知在ABC ∆中，090=∠C ，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 交PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，当2==AB AP ，θ=∠AEF ，当θ变化时，求三棱锥AEF P -体积的最大值。
SDCQBAP O分析：θ的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的，要求三棱锥P-AEF 的体积，则需找到三棱锥P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。
【解析】∵PA ⊥平面ABC ， ABC BC 平面⊂∴PA ⊥BC又∵ BC ⊥AC ,A AC PA =⋂ ∴BC ⊥平面PAC,PAC AF 平面⊂， ∴BC ⊥AF ，又∵AF ⊥PC ， PC C BC =⋂ ∴AF PBC 平面⊂平面PBC ，∴AF ⊥EF ∴EF 是AE 在平面PBC 上的射影， ∵AE ⊥PB ，∴EF ⊥PB ∴ PE ⊥平面AEF在三棱锥P-AEF 中，∵AP=AB=2，AE ⊥PB ，∴2=PE ，2=AE ，θsin 2=AF ，θcos 2=EF ，θθθ2sin 622cos 2sin 2213131=⨯∙⨯⨯=∙=∆-PE S V AEF AEF P ∵20πθ<<， ∴πθ<<20， 12sin 0≤<θ∴ 当4πθ=时，AEF P V -取得最大值为62。
10、如图，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。
平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ， 则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ）A.、a 2B 、b 2C 、c 2D 、c b a ++【解析】如图，将四面体的侧面展开成平面图形。
由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与A ’、D 与D ’在四面体中是同一点，且''////D A BC AD ，'//CD AB ，A 、C 、A ’共线，D 、B 、D ’共线，BD DD AA 2''==。
又四边形PQRS 在展开图中变为折线S ’PQRS ，S ’与S 在四面体中是同一点。
因而当P 、Q 、R 在S ’S 上时，AB D CA A ′ D CD ′ SS ′ PR QRS QR PQ P S +++'最小，也就是四边形PQRS 周长最小。
又''SA A S =，所以最小值''DD SS L ==b BD 22==。
故选B 。
11、（1）三棱锥ABC P -中，若棱x PA =,其余棱长均为1，探讨x 是否有最值；（2）若正三棱锥底面棱长棱长均为1，探讨其侧棱是否有最值。
解析：如图第1题：当P-ABC 为三棱锥时，x 的最小极限是 P 、A 重合，取值为0，若PBC ∆绕BC 顺时针旋转，PA 变大， 最大极限是P ,A,B,C 共面时，PA 为菱形ABPC的对角线长度为第2题：若P 在底面的射影为O,易知PO 越小，侧棱越小。
故P 、O 重合时，侧棱取最小极限值，PO 无穷大时，侧棱也无穷大。
可知两题所问均无最值。
球的概念1. 下列三个命题中错误．．的个数是（ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆； ②球面积是它大圆面积的四倍；③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长。
A.0B.1C.2D.3答案：C1. 一平面截球得到直径为6 的圆面，球心到这个平面的距离是4 ，则球的体积是（ ）A.3π100B.3π208C.3π500D.3π34161解：由题意113,4AO OO ==,则5OA = 所以，354300π3V R π==球的相关计算2. 若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的（ ）倍.A.4B.3C.2D.13. 某地球仪上北纬30 纬线的长度为12π ，该地球仪的半径是_____，表面积是____.4. 已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ） A.31B.33 C.32D.36解：由,B C 间的球面距离为2π,球O 的半径为1得： BC 所对大圆的圆心角为2l R πα==,又因为1R =，所以BC =AC AB BC ===设平面ABC 所在的圆的半径为r ，则r =，在1Rt BOO ∆中，1OO == 5. 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球面面积是（ ）A.16π9B.8π3C.4πD.64π9解：由右图可得，r =,左图中112OO OC =，由勾股定理得：43OC = 所以，26449S R ππ==6. 已知球内接正方体的表面积为S ，那么球的体积等于_________.7、表面积为324 的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.。