2018版高考数学复习第五章平面向量5.2平面向量基本定理及坐标表示教师用书文北师大版
2018届高考数学一轮复习课标版理科配套课件：第5章-第
)
4 3 B.5，－5 4 3 D.－5，5
[解析]
→ ＝ (4 － 1 ， － 1 － 3) ＝ (3 ， － 4) ， 则 | AB → |＝ AB
→ 1 AB → 2 2 3 ＋－4 ＝5.与AB同方向的单位向量为 ＝5(3，－4)＝ → |AB|
3 4 ，－ . 5 5
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
[解析]
解法一：若 e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则 e1∥e2，而
a 不能由 e1，e2 表示，排除 A；若 e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)， －1 2 因为 5 ≠ ，所以 e1，e2 不共线，根据平面向量基本定理， －2 可以把向量 a＝(3,2)表示出来，故选 B.
[答案]
A
4．已知 a＝(4,5)，b＝(8，y)且 a∥b，则 y 等于( A．5 32 C. 5
[解析] [答案]
)
B．10 D．15
∵a∥b，∴4y－40＝0 得 y＝10. B
5． (2016· 贵州调研)在下列向量组中， 可以把向量 a＝(3,2) 表示出来的是( ) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
的坐标为(4,3)， → |＝ 5，|OB → |＝5. |OA 又 tan∠AOB＝tan(∠AOy＋∠BOy) tan∠AOy＋tan∠BOy ＝ 1－tan∠AOy· tan∠BOy 4 2＋3
＝
4＝－2， 1－2×3
2 所以 sin∠AOB＝ . 5 1 → → 1 2 所以 S△AOB＝2|OA||OB|sin∠AOB＝2×5 5× ＝5. 5
(3)若 a，b 不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2，μ1 ＝μ2.( )
高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示教师用书 文 新人教版-新人
2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示教师用书 文 新人教版1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【知识拓展】1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 答案 A2．(教材改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( ) A ．(4,3) B ．(－4，－3) C ．(－3，－4) D ．(－3,4) 答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)．3．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 答案 A解析 AB →＝(3,1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________. 答案 －12解析 由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n －1，即n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12.5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 答案 C解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b . ∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13，∴DF ＝13AB .∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×[－12BD →－(－12AC →)] ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ，∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b＝23a ＋13b ， 故选C.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m的值为________．答案311解析 设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43(2)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b 等于( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8) D ．(－4,8) 答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.(2)因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ， 所以1×4＋2m ＝0，即m ＝－2，所以2a －b ＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)(2016·东城区模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3) 答案 (1)4 (2)A解析 (1)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.(2)设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2y －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 (2017·某某月考)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________. 答案 45°解析 由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．(2)设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．答案 (1)(2,4) (2)3＋222解析 (1)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．(2)由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λb ＋2，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征． 规X 解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[10分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[12分]1．(2016·某某六校教育研究会二模)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DE →＝2EC →，则BE →等于( )A ．b －13aB ．b －23aC ．b －43aD ．b ＋13a答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →，DE →＝2EC →， 所以BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋13CD →＝BC →－13AB →＝AC →－AB →－13AB →＝AC →－43AB →＝b －43a ，故选C.2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2) D ．(－2,0) 答案 A解析 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， ∴x ＝2，y ＝0.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b . 5．(2017·某某质检)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD交于点O ，则CO →的坐标为( )A ．(－12，5)B ．(12，5) C ．(12，－5) D ．(－12，－5) 答案 D解析 ∵AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC →＝12AC →＝(12，5)， ∴CO →＝(－12，－5)． 6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )A.23B.43C ．－3D ．0 答案 D解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝12. 9．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →， 又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，μ＝23， 所以λ＋μ＝43. 10.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，→＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵→＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．13.如图所示，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值． (1)解 OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →.(2)证明 一方面，由(1)，得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λy OB →；①另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →)＝13OA →＋13OB →.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λx ＝13，λy ＝13.∴1x ＋1y ＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．。
2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 文 新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 文 新人教版1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义cos θ＝a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋－22＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝。
【中小学资料】2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 理 新人教版
第五章 平面向量 5.4 平面向量的综合应用教师用书 理 新人教版1．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．3．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.2．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × )(3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) (4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )1．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋－2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2， ∴△ABC 为直角三角形．2．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.3．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4， 即x ＋2y ＝4.4．(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α， ∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]， ∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]， ∴|2a －b |∈[0,4]． ∴|2a －b |的最大值为4.5．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).题型一 向量在平面几何中的应用例1 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心 答案 (1)12(2)C解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.(2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)AB→|AB →|，AC→|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为(AB→|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC . 又AB→|AB →|·AC→|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC＝π3，所以△ABC 为等边三角形． (2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )，则PA →＋3PB →＝(5,3a －4y )， 即|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a . 因此当y ＝34a 时，|PA →＋3PB →|2的最小值为25.故|PA →＋3PB →|的最小值为5. 题型二 向量在解析几何中的应用例2 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝________________________________________________________________________. 答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)± 3 解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k2＝3，得k ＝±3，即y x＝± 3. 思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.题型三 向量的其他应用命题点1 向量在不等式中的应用例3 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________． 答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.命题点2 向量在解三角形中的应用例4 (2016·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0， ∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.命题点3 向量在物理中的应用例5 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为()A ．27B ．2 5C ．2D ．6答案 A解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27. 思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)3 (2)3解析 (1)由图象可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3. (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三审图形抓特点典例 (2016·太原一模)已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6E 为函数图象的对称中心，C 为图象最低点―――――――――――→作出点C 的对称点MD 、B 两点对称 CD 和MB 对称―――――――――――→CD →在x 轴上的投影是π12BM 在x 轴上的投影OF ＝π12 ――――――→A (－π6，0)，AF ＝π4―→T ＝π―→ω＝2――――――――→y ＝x ＋φ和y ＝sin 2x 图象比较φ2＝π6―→φ＝π3解析 由E 为该函数图象的一个对称中心，作点C 的对称点M ，作MF ⊥x 轴，垂足为F ，如图．B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12.又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象可以看作是由y ＝sin ωx 的图象向左平移得到，故可知φω＝φ2＝π6，即φ＝π3.答案 A1．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．2．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.3．(2016·南宁模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a∥b ，则sin 2α等于( ) A ．3 B ．－3 C.45 D ．－45答案 D解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0， ∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.4．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cosB ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3. 5．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2， ∴y 2＝x ＋6，即点P 的轨迹是抛物线．*6.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6解析 如图，向量α与β在单位圆O 内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为两边的三角形的面积为14，故β的终点在如图所示的线段AB 上(α∥AB →，且圆心O 到AB 的距离为12)，因此夹角θ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.7．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.8．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3， ∴|a －b |＝ 3.9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a与b 的夹角的范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π解析 设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x ，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根， 即Δ＝|a |2－4a ·b ＞0，∴a ·b ＜a 24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＜a 24a 22＝12，即cos θ＜12，又∵θ∈[0，π]，∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.*10.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，圆M ：(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF →的最小值是________．答案 6解析 圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心C (2,0)，半径为2，圆M (x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1，圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，半径为1， ∵CM ＝5＞2＋1，故两圆相离．如图所示，设直线CM 和圆M 交于H ，G 两点，则PE →·PF →最小值是HE →·HF →，HC ＝CM －1＝5－1＝4，HF ＝HE ＝HC 2－CE 2＝16－4＝23，sin∠CHE ＝CE CH ＝12，∴cos∠EHF ＝cos 2∠CHE ＝1－2sin 2∠CHE ＝12，HE →·HF →＝|HE →|·|HF →|·cos∠EHF ＝23×23×12＝6.11．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.① 由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，32y －b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x2代入①，得－x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．12．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A2，cos 2A2)，n ＝(cos A2，－2)，m ⊥n .(1)求角A 的大小； (2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长． 解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝(23sin A2，cos 2A 2)·(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝1－13＝63. 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ，所以b ＝a ·sin Bsin A＝2×6332＝423.*13.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1 ＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19， 当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3. 综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。
浙江版2018年高考数学一轮复习专题5.2平面向量基本定理及坐标表示讲
第02节 平面向量基本定理及坐标表示【考纲解读】【知识清单】1．平面向量基本定理及其应用 平面向量基本定理如果12e e ，是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量a，有且只有一对实数12λλ，，使1122a e e λλ=+.其中，不共线的向量12e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 对点练习：向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ-＝________．【答案】32-2．平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a x y i j ＝＋，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． (2)若1122()()A x y B x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－． 3．平面向量的坐标运算(1)若1122()()a x y b x y ==，，，，则1212()a b x x y y ±=±±，； (2)若()a x y ＝，，则()a x y λλλ＝，． (3)设1122()()A x yB x y ，，，，则2121()A x x y y B ＝－，－，221221|()A x x y B y ＝－(－|)对点练习：【2017湖南郴州一测】ABCD Y 中，(1,2)AB =u u u r ，(1,4)AD =-u u u r，则AC =u u u r （ ）A ．(3,3)-B ．(2,2)- C. (2,2)- D ．(0,6) 【答案】D【解析】试题分析：AC =u u u r (0,6)AB AD +=u u u r u u u r,故选D.3．平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 对点练习：【2017广西名校摸底】已知函数322+=-x y 的图象是由函数x y 2=的图象按向量a 平移而得到的，又b a ∥，则=b （ ）A ．)3,2(--B ．)2,3(-C ．)3,2(-D ．)2,3( 【答案】A【考点深度剖析】平面向量基本定理及坐标表示，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．【重点难点突破】考点1 平面向量基本定理及其应用【2017·杭州测试】 如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.【答案】OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b.【解析】∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b.【领悟技法】1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．2.特别注意基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底12e e ，线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的． 【触类旁通】【变式一】如图，已知AP uuu r ＝43AB uuu r ，用OA uu u r ，OB uuu r 表示OP uuu r ，则OP uuu r等于( )A.13OA uu u r －43OB uuu rB.13OA uu u r ＋43OB uuu rC.－13OA uu u r ＋43OB uuu rD.－13OA uu ur －43OB uuu r 【答案】C【解析】OP uuu r ＝OA uu u r ＋AP uuu r ＝OA uu u r ＋43AB uuu r ＝OA uu u r ＋43 (OB uuu r －OA uu u r )＝－13OA uu ur ＋43OB uuu r ，选C.考点2 平面向量的坐标运算【2-1】已知向量()()()1,3,1,2,2,4AB BC AD =-=--=u u u r u u u r u u u r，则CD =u u u r （ ）A ．()4,1-B ．()0,9C ．()2,1-D ．()2,9 【答案】D【2-2】已知向量(,),(1,2)a x y b ==-r r ，且(1,3)a b +=r r ，则|2|a b -r r等于（ ）A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=r r ,(1,2)b =-r ,故(2,1)a =r ,所以2(4,3)a b -=-r r,故22|2|435a b -=+=r r ,故应选D. 【领悟技法】注意向量坐标与点的坐标的区别：要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息． 【触类旁通】【变式一】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r，则2a b -=r r （ ）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =r ，所以2(4,8)(1,1)a b -=--r r=()5,7，故选A.【变式二】【2017河北武邑三调】在矩形ABCD 中，()()1,3,,2AB AC k =-=-u u u r u u u r，则实数k =（ ）A ．5-B ．4- C. 23D ．4 【答案】D【解析】(1,1)1304CB AB AC k AB CB k k =-=--⇒•=-+=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故选D.考点3 平面向量共线的坐标表示【3-1】向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭r r ，且//a b r r ，则cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．23-D ．223-【答案】A【3-2】设向量a r =()21x ,-，b r =()14x ,+，则“3x =”是“a r //b r”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当3x =时，()2,2a =r ，()4,4b =r ，此时//a b r r ；当//a b r r时，()()11248x x -+=⨯=，解得3x =±.所以“3x =”是“//a b r r”的充分而不必要条件.【领悟技法】1.向量共线的充要条件有两种： （1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 当涉及到向量或点的坐标问题时，应用（2）解题较为方便. 2.两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等. 【触类旁通】【变式一】已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==v v ，且//a b v v，则tan θ=（ ） A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b v v ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A.【变式二】已知向量=（2，2），=（cosα，﹣sinα），则向量的模的最小值是（ ） A ．3 B ．3 C ．D ．2 【答案】C 【解析】考点4 平面向量共线的应用【4-1】设(1,2)OA =-u u u r ，(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，0,0a b >>，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】D 【解析】(1,1)AB a =-u u u r ，(,1)BC b a =--u u u r，若A 、B 、C 三点共线，//AB BC u u u r u u u r ，由向量共线定理得()()111a b a -⨯=⨯--，21a b ∴+=，故()12124244248b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭． 【4-2】如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u r u u u r,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m的值为( )A ．1B ．31C ．19D ．3 【答案】C【课本回眸】向量共线的充要条件有两种： （1）a b ∥⇔(0)a b b λ≠=.（2）若1122()()a x y b x y ==，，，，则a b ∥⇔12210x y x y =-. 【领悟技法】当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件（2）解题较为方便. 【触类旁通】【变式一】设两个向量()222,cos ,,sin 2μλλθμθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭a b ，其中,,R λμθ∈．若2=a b ，则λμ的最小值为______． 【答案】6- 【解析】值为值为6-.【变式二】【2017山西大学附中二模】在直角梯形,,DC//AB,AD DC 1,AB 2,E,F ABCD AB AD ⊥===分别为,AB AC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动（如图所示）．若AP ED AF λμ=+u u u v u u u v u u u v ，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是___________．【答案】[]1,1-2sin cos 24πλμθθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，,444πππθ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦[]21,14πθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.【易错试题常警惕】易错典例：如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC ．易错分析：不能结合图形特征，灵活建立直角坐标系，将向量用坐标表示，将问题转化成三角问题求解．正确解析：以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD 的边长为1，则1E 0C 11D 01A 002（，），（，），（，），（，）． 设P cos sin (1,1)AC θθ∴=u u u r （，）， .又向量,AP DE AC μλ+=由题意得 00cos 10sin 12πθθθ≤≤∴≤≤≤≤，，，∴当cos 1θ=时，同时，sin 0θ=时，λμ+取最小值为21. 温馨提醒：涉及几何图形问题，要注意分析图形特征，利用已有的垂直关系，建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，利用向量共线的充要条件，应用函数方程思想解题.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。
高考数学一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表真题演练集训 理 新人教A版(2
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标表真题演练集训理新人教A版1．［2016·新课标全国卷Ⅱ］已知向量a＝(1，m),b＝(3,－2），且(a＋b）⊥b，则m＝（）A．－8 B．－6C．6 D．8答案：D解析：由向量的坐标运算，得a＋b＝(4,m－2)，由(a＋b）⊥b，得(a＋b)·b＝12－2（m－2)＝0，解得m＝8，故选D.2．[2015·四川卷]设向量a＝(2,4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝( ）A．2 B．3C．4 D．6答案:B解析：∵a∥b，∴2×6－4x＝0,解得x＝3。
3．［2014·福建卷]在下列向量组中，可以把向量a＝（3，2）表示出来的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝（1，2)B．e1＝（－1，2),e2＝（5，－2）C．e1＝(3,5），e2＝(6，10）D．e1＝(2,－3），e2＝（－2,3）答案：B解析:解法一：若e1＝(0,0)，e2＝(1,2)，则e1∥e2,而a不能由e1，e2表示，排除A；若e＝（－1,2），e2＝(5，－2），因为错误!≠错误!，所以e1，e2不共线，根据共面向量的基本定1理，可以把向量a＝(3,2）表示出来，故选B.解法二：因为a＝（3，2),若e1＝（0,0)，e2＝(1,2)，不存在实数λ，μ,使得a＝λe1＋μe2，排除A；若e1＝（－1，2)，e2＝（5，－2），设存在实数λ,μ，使得a＝λe1＋μe2，则（3，2）＝（－λ＋5μ，2λ－2μ），所以错误!解得错误!所以a＝2e1＋e2，故选B.4．[2015·新课标全国卷Ⅱ]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________。
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示(PPT课件)
5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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2.(教材改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的 坐标为 .
关闭
设 D(x, y), 则由������������ = ������������, 得(4,1)=(5-x,6-y), 4 = 5-������, ������ = 1, 即 解得 ������ = 5. 1 = 6-������, (1,5)
解析
关闭
答案
第五章
知识梳理 双击自测
5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-7-
3.下列向量组能够作为基底表示向量a=(-2,3)的序号 是 . ①(2,1),(-4,-2);②(0,1),(1,2);③(1,4),(2,5)
关闭
①中两向量共线,②③中两向量不共线.
关闭
(6,3),(6,5)
解析 答案
第五章
知识梳理 双击自测
5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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5.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于
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因为 a+b=(1,3), b=(-1,2), 故 a=(2,1). 所以 a-2b=(4, -3), 故|a-2b|= 42 + 32=5. 5
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第五章
知识梳理 双击自测
5.2 平面向量基本定理及向量的坐标表示
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1.已知向量a=(2,3),b=(x,-6),若a∥b,则x的值为( A.2 B.-2 C.-4 D.-3
最新-2018高三数学 5-2第二讲平面向量的坐标运算教师讲义手册课件全国版 文 新人教A版 精品
故选B. 答案：B
3．已知a＝(－1,3)，b＝(x，－1)，且a∥b，则x等于 ()
解析：∵a∥b， ∴(－1)×(－1)－3×x＝0⇒x＝ .故选C. 答案：C
4．设i、j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴正方向
A．(1，－2) C．(5,0) 解析：∵2 D. 答案：D
B．(7,6) D．(11,8) ＝8i＋4j＋3i＋4j＝11i＋8j，故选
(2007·辽宁)△ABC的三内角A，B，C所对应边的长分
别为a，b，c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若
p∥q，则角C的大小为
()
答案：B
解析：∵p∥q，∴(a＋c)(c－a)＝b(b－a)
即ab＝a2＋b2－c2，
故选B.
【例3】 在▱ABCD中，A(1,1)， ＝(6,0)，点M是线
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点
A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足
其中α、β∈R
且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为
()
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．3x＋2y－11＝0
C．2x－y＝0
D．x＋2y－5＝0
答案：D
解析：本题主要考查向量的基本概念，共线向量的基 础知识以及轨迹方程的求法．
∴选D.
即x＋2y－5＝0.
1．要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形 式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样 有方向与大小的信息．
2．在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB的 分点，且|PA|＝2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也可能是 AB的外分点，即可能的结论有：
3．数学上的向量是自由向量，向量x＝(a，b)经过平 移后得到的向量的坐标仍是(a，b)．
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2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及坐标表示教师用书 文 北师大版1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.【知识拓展】1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( × ) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ )1．设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( )A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对 答案 A2．(教材改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( ) A ．(4,3) B ．(－4，－3) C ．(－3，－4) D ．(－3,4)答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)．3．(2015·课标全国Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 答案 A解析 AB →＝(3,1)，AC →＝(－4，－3)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．4．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n＝________. 答案 －12解析 由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n －1，即n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－12. 5．(教材改编)已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 答案 (1,5)解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.题型一 平面向量基本定理的应用例1 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 答案 C解析 ∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点，∴DE EB ＝13，∴DF ＝13AB .∴DF →＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×[－12BD →－(－12AC →)] ＝16AC →－16BD →＝16a －16b ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b＝23a ＋13b ， 故选C.思维升华 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m的值为________．答案311解析 设BP →＝kBN →，k ∈R . 因为AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN → ＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →，且AP →＝mAB →＋211AC →，所以1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎪⎫133，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43(2)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ，则2a －b 等于( ) A ．(4,0) B ．(0,4) C ．(4，－8) D ．(－4,8)答案 (1)D (2)C解析 (1)由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.(2)因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m,4)，且a ∥b ， 所以1×4＋2m ＝0，即m ＝－2，所以2a －b ＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)．思维升华 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．(1)(2016·北京东城区模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.(2)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A ．(2，72)B ．(2，－12)C ．(3,2)D ．(1,3)答案 (1)4 (2)A解析 (1)以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.(2)设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝y －，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.题型三 向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标例3 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 答案 (3,3)解析 方法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3,3)． 命题点2 利用向量共线求参数例4 (2016·郑州模拟)已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝(12，1＋sin θ)，若a ∥b ，则锐角θ＝________. 答案 45°解析 由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，所以cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(1)已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．(2)设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．答案 (1)(2,4) (2)3＋222解析 (1)∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ， ∴DC →＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )， AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．(2)由已知得AB →＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，所以(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2＝λb ＋，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，所以1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋ 222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．11．解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导 建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征． 规范解答解 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B (－12，32)．[4分]设∠AOC ＝α(α∈[0，2π3])，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，[10分]又α∈[0，2π3]，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[12分]1．(2016·江西玉山一中期考)如图，在平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μAB →，则μ的值为( ) A.14 B.13 C.12D ．1答案 C解析 ∵在平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点， ∴AM →＝AD →＋DM → ＝AD →＋12AB →，∵AC →＝λAM →＋μAB →， ∴AC →＝λ(AD →＋12AB →)＋μAB →＝λAD →＋(12λ＋μ)AB →，∵AC →＝AD →＋AB →，∴λ＝1，12λ＋μ＝1，∴μ＝12.2．已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2) D ．(－2,0)答案 A解析 设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)， ∴x ＝2，y ＝0.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 答案 B解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)， 且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12，故选B.4．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b答案 B解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b . 5．(2016·淮南一模)已知平行四边形ABCD 中，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 与BD交于点O ，则CO →的坐标为( )A ．(－12，5) B ．(12，5) C ．(12，－5) D ．(－12，－5) 答案 D解析 ∵AC →＝AB →＋AD →＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，∴OC →＝12AC →＝(12，5)， ∴CO →＝(－12，－5)． 6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )A.23B.43C ．－3D ．0 答案 D解析 因为CD →＝2DB →，所以CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0，故选D. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________. 答案 12解析 ∵a ∥b ，∴sin 2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0，∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12. 9．在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.答案 43解析 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →， 又AC →＝λAE →＋μAF →＝(12λ＋μ)AB →＋(λ＋12μ)AD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧ 12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 10.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)． 13.如图所示，G 是△OAB 的重心，P ，Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P ，G ，Q 三点共线．(1)设PG →＝λPQ →，将OG →用λ，OP →，OQ →表示；(2)设OP →＝xOA →，OQ →＝yOB →，证明：1x ＋1y是定值． (1)解 OG →＝OP →＋PG →＝OP →＋λPQ →＝OP →＋λ(OQ →－OP →)＝(1－λ)OP →＋λOQ →.(2)证明 一方面，由(1)，得OG →＝(1－λ)OP →＋λOQ →＝(1－λ)xOA →＋λyOB →；①另一方面，∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝23OM →＝23×12(OA →＋OB →) ＝13OA →＋13OB →.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ －λx ＝13，λy ＝13.∴1x ＋1y ＝3(1－λ)＋3λ＝3(定值)．。