2018年5月普通高等学校招生全国统一考试全国卷模拟试题文科数学(五)(附答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数学文含答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z = A．0B ．12C ．1D3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．22D ．2235．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15BCD ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题(内含详细答案)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则AB =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y =D ．y x =7．在ABC △中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB =A ．BCD ．8．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ．2B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．1B ．2C D 112．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3f f f++(50)f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学试卷(五)含答案
绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（五）本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B = （ ）A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（ ）条件．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的的值为（）A ．34B ．78C ．1516D ．31324．以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p ＞为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于,M N 两点，若MNF △为正三角形，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．2y =B ．2y =C ．2x =D ．2x =5()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（ ）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06．某家具厂的原材料费支出与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与的线性回归方程为ˆ8ˆyx b =+，则为（ ）x 24568y2535605575A ．5B ．15C ．12D ．207．已知三棱锥A BCD -的四个顶点,,,A B C D 都在球O 的表面上，,BC CD AC ⊥⊥平面BCD ，且2AC BC CD ===，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移()g x 的图像关于直线12x π= ）A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在OAB △中，OA = a ，OB = b ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=，则实数λ等于（ ）ABCD11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且(]2,2x ∈-时，()()4log g x f x x =-的零点个数是（ ）A ．4B ．7C．8D ．912点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =，设1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ，则21e e -的取值范围是（）A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷文数(五)答案-精选教学文档
2019年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷 文科数学（五）参考答案一、选择题 1～6 BCBBDD7～12 BDCCDA第（12）题提示：由sin sin()sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+=由tan B C =得sin sin cos cos B CB C=，即sin cos sin B C B C =联立解得cos sin 12B C =-，sin cos 1B C = 二、填空题（13）3 （14）23- （15）3 （16第（16）题提示：设a DA =、b DC =，由题12DF a b =+，13CE a b =-所以1cos 5ADC ∠=-，sin 5ADC ∠=，菱形的面积为2||||sin ADC S a b ADC ∆=⋅⋅∠=三、解答题 （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由sin()1C A -=得2C A π-=，……2分1sin sin()sin(2)cos 223B AC A A π=+=+==……4分由2112sin 3A -=得sin A =……6分（Ⅱ）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC =……8分 ABC ∆中，sin sin AC ABB ACB=∠ ……10分sin ACB ∠=12分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）d cx y +=2更适宜作为月销售额关于月广告投入的回归方程……4分（Ⅱ）512.065ii wω===∑，513.165ii yy ===∑……6分所以5511552211()()50.45()()iii ii i iii i y y w y yc ωωωωωωω====---⋅===--∑∑∑∑……8分y 关于x 的回归方程为20.45 2.233y x =+……10分当 2.2x =时，代入上式得 4.411y =，估计月广告投入220万元时的月销售额为4.411百万元……12分（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设CD 中点为M ，由EC ED =，EM CD ⊥又平面ECD ⊥平面BCD ，所以EM ⊥平面BCD ，……1分 因为⊥AB 平面BCD ，所以//AB EM ，//AB 平面ECD ……2分 所以点A 到平面ECD 的距离为点B 到平面ECD 的距离……3分由BCD ∆为边长为2的等边三角形，所以BM CD ⊥，BM ⊥平面ECD ……4分BM =，又ECD ∆为等腰直角三角形，2CD =，所以1ECD S ∆=……5分所以E ACD A ECD V V --==11133B ECD ECD V S BM -∆=⋅=⋅=6分 （Ⅱ）设BC 中点为N ，AC 中点为P ，连结NP 、PE 、MN所以//NP AB ，1NP =，又//EM AB ，1EM =，……8分所以//NP EM =，NPEM 为平行四边形……10分所以//MN EP ，又//BD MN ，所以//BD 平面ACE ……12分（20）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题c a =22311416a b+=，222a b c =+，……2分 联立解得21a =，214b =，椭圆方程为2241x y +=……4分 （Ⅱ）设200(,)2x A x ，抛物线在点A 处切线为2000()2x y x x x -=-，即2002x y x x =-……5分 联立椭圆方程得2234000(14)410x x x x x +-+-=设11(,)M x y 、22(,)N x y ，30122414x x x x +=+……6分420041640x x ∆=-++>，即202x <8分设33(,)B x y ，30123202214x x x x x +==+，422003022002114228x x y x x x =-=-++……9分 所以直线OB 的斜率33014OB y k x x ==-……10分 直线01:4OB l y x x =-，所以点P 坐标为01(,)4x -，……11分 所以点P 轨迹为14y =-，其中x <<0x ≠……12分 （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）定义域为(0,)+∞，2121()2ax f x ax x x+'=+=……2分当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增……3分当0a <时，令()0f x '=，解得x = 所以()f x在上单调递增，在)+∞单调递减……5分 （Ⅱ）不妨设12x x >，当0a =时，122k x x =+……6分即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即证11122121222(1)2()ln 1x x x x x x x x x x -->=++……8分令121x t x =>，即证2(1)ln 1t t t ->+， 考虑函数2(1)4()ln ln 211t u t t t t t -=-=+-++(1)t ≥ 22214(1)()0(1)(1)t u t t t t t -'=-=>++……10分所以()u t 单调递增，()(1)0u t u >=，结论得证. ……12分（22）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标为22(3)8x y +-=……2分极坐标方程为26sin 10ρρθ-+=……5分 （Ⅱ）设1(,)6A πρ、2(,)6B πρ，曲线C 与6πθ=联立得，2310ρρ-+=， 所以123ρρ+=，121ρρ⋅=……8分21212122112()2||||7||||OA OB OB OA ρρρρρρρρρρ+-+=+==……10分 （23）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由()|1|f x ax a =+≤得1a ax a -+≤≤，……2分由解集为31[]22-，知0a >，所以解集为11a a x a a+--≤≤……4分 所以112132a a a a-⎧=⎪⎪⎨+⎪-=-⎪⎩，2a =……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）存在实数x 使得|21|2||2x x k +<++成立即存在实数x 使得|21||2|2x x k +-<+成立……6分又||21||2|||(21)(2)|1x x x x +-+-=≤，所以1|21||2|1x x -+-≤≤……8分 所以12k -<+，(3,)k ∈-+∞……10分。
2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟试题(五)文
普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(五)本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分。
共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}50,,0,1,3,5,A x x x N B A B =-<∈=⋂=则A ．{0，1，3，5)B ．{0，1，3)C ．{1，3，5)D ．{1，3} 2．已知复数()211i z i+=-(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A ．1i --B ．1i -+C ．1+iD ．1i - 3．4名同学依次掷一枚质地均匀的骰子，每人掷一次，规定掷到向上的点数是奇数的同学值日，则值日的同学不少于2人的概率为A ．14B ．516C ．1116D ．34 4．已知曲线()()()22,i i f x x x a f a =+在点处的切线斜率为()111i a i N a *+∈=，若， 239a a a ++⋅⋅⋅+=则A ．492B ．493C ．1513D ．1514 5．已知抛物线24y x =的准线与x 轴交于点M ，直线l 经过点M 与双曲线222x y -=的左、右两支分别交于P ，Q 两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．30,,44πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭D．[)0,π6．已知某几何体是由球体切割后得到的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为A．809πB．403πC．769πD．383π7．已知函数()()sin cos0f x x xωωω=+>，且满足()2f x f xπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，将函数()y f x=的图像向左平移12π个单位长度后得到的函数图像关于原点对称，则ω的最小值为A．1 B．5 C．9 D．138．设0.30.23121log,log3,2,32a b c d====，则A．a b c d<<<B．b<a<c<d C．b<a<d<c D．a <b<d<c9．已知()()ln0,02ax bf x a bx+=>>-是定义在区间()2,2-内的奇函数，则函数()()2111xxbg x axb-=-+的图像大致为10．执行如图所示的程序框图，如果输入的0,1S x==，那么输出的,S x的值分别是A．4,533B．4,633C．5,539D．5,63911．如图，在四棱锥S —ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，AB=2，SA=SB=SC=22=120ABC ∠，， M ，N 分别是△SAB ，△SBC 的重心，平面SMN 与平面SAD 的交线为l ，则异面直线l 与BC 所成角的余弦值为A ．24B ．22C ．1313D ．3131312．已知定义在区间()0-∞，内的函数()f x ，满足()()()023x f x f x f '+>-，且 ()20220f x x a =--+->，若恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(0，+∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－2)二、填空题：本题共4小题。
2018年全国统一招生考试最新高考信息卷五数学文试卷
绝密★启用前2018年最新高考信息卷文科数学（五）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()2i i i x y +=-，则i x y -=（） A ．1BCD【答案】D 【解析】()2i i i x y +=-，2i i x y ∴-+=-，12x y =-⎧∴⎨=-⎩，则i 12i x y -=-+=D ．2．已知集合{}2|40A x x x =∈-<N ，集合{}2|20B x x x a =++=，若{}1,2,3,3AB =-，则A B =（）A ．{}1B ．{}2C ．{}3D ．∅【答案】A 【解析】{}{}{}2|40|041,2,3A x x x x x =∈-<=∈<<=N N ，{}1,2,3,3A B =-{}23|20x x x a -∈++=得到960a -+=，3a ∴=-，{}{}2|2301,3B x x x =+-==-，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号{}1A B ∴=，故选A ．3．函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（） A ．π6B ．π3C ．π4D ．2π3【答案】B【解析】由题可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，即平移后得到的函数为奇函数，即sin 2sin 263ππx x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，对照选项可知选B ．4．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0—9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（） A ．14B ．25C ．710D ．15【答案】D【解析】由随机数表可知，满足题意的数据为978，479，588，779，据此可知，这三天中至D ． 5．如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【答案】C【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4、m ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4，则1324433m ⨯⨯⨯=，2m ∴=，将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为3R ==，故这个几何体的外接球的表面积为24π36πR =．故选C ．6．《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中(),MOD m n 表示m 除以n 的余数，例如()7,31MOD =．若输入m 的值为8时，则输出i 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】模拟执行程序框图，可得：2n =，0i =，8m =，满足条件8n ≤，满足条件()8,20MOD =，1i =，3n =，满足条件8n ≤，不满足条件()830MOD =,，4n =，满足条件8n ≤，满足条件()8,40MOD =，2i =，5n =，…，*8n∈N ，可得：2，4，8，∴共要循环3次，故3i =．故选B ． 7．已知235log log log 0x y z ==<，则2x 、3y 、5z的大小排序为（） A ．235x y z<< B ．325y x z << C ．523z x y<< D ．532z y x<< 【答案】A【解析】x ，y ，z 为正实数，令235log log log 0k x y z ===<，122k x -∴=，133k y-=，155k z -=可得：1221k x -=>，1331k y-=>，1551k z -=>，即10k ->， 因为函数1k f x x -=（）单调递增，∴235x y z<<．故选A ． 8．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，则下列命题中错误的是（） A ．如果m n ⊥，m α⊥，n β⊥，那么αβ⊥ B ．如果m α⊂，αβ∥，那么m β∥ C ．如果l αβ=，m α∥，m β∥，那么m l ∥D ．如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥ 【答案】D【解析】对于A ，如果m n ⊥，m α⊥则n α∥或n α⊂，因为n β⊥，则αβ⊥，故正确；对于B ，如果m α⊂，αβ∥，那么m 与β无公共点，则m β∥，故正确；对于C ，如果l αβ=，m α∥，m β∥，则m l ∥，故正确；对于D ，如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，则有αβ⊥或αβ∥或α与β相交，故错误．故选D ．9．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的离心率为，其一条渐近线被圆()()2240x m y m -+=>截得的线段长为m 的值为（）A ．3B ．1C D ．2【答案】D【解析】双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的离心率为，则c a =，222c a ∴=，2222a b a ∴+=，a b ∴=故其一条渐近线不妨为0x y -=，圆()()2240x m y m -+=>的圆心(),0m ，半径为2，双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线被圆()()2240x m y m -+=>截得的线段长为2，圆心为(),0m ，则圆心到=，2m∴=，故选D．10．已知函数()31sin31xxf x x x-=+++，若[]21x∃∈-，，使得()()20f x x f x k++-<成立，则实数k的取值范围是（）A．()1,-+∞B．()3,+∞C．()0,+∞D．(),1-∞-【答案】A【解析】由题函数()31sin31xxf x x x-=+++的定义域为R，且()()()()3131sin sin3131x xx xf x x x x x f x--⎛⎫---=+-+-=-++=-⎪++⎝⎭，即函数()f x为及奇函数，且()()22ln331cos031xxf x x⋅'=++>+在[]2,1x∈-上恒成立，即函数()f x在[]2,1x∈-上单调递增，若[]21x∃∈-，，使得()()20f x x f x k++-<成立，即()()()()222f x x f x k f x x f k x x x k x+<--⇒+<-⇒+<-，则问题转化为[]21x∃∈-，，22k x x>+，即()2min2k x x>+，在[]2,1x∈-上22y x x=+得最小值为1-，故实数的取值范围是()1,-+∞．故选A．11．如图，过抛物线24y x=的焦点F作倾斜角为α的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A、B、C点，令1AFBFλ=，2BCBFλ=，则当π3α=时，12λλ+的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】设()11,A x y，()22,B x y，则由过抛物线24y x=的焦点的直线的性质可得1224162sin 603AB x x =++==︒，12103x x ∴+=，又21214p x x ==，可得13x =，213x =， 分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，则()()131=3113AF AE BF BD λ--===--，同理可得22BCBF λ==，125λλ∴+=，故选C ．12．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】C【解析】设()()h x xf x =，()()()h x f x x f x ''∴=+⋅，()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，()h x ∴是定义在实数集R 上的偶函数，当0x ＞时，()()()0h x f x x f x ''=+⋅＞，∴此时函数()h x 单调递增．111222a f h ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()22222b f f h =--==， ()()111ln ln ln ln 2ln 2222c f h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又12ln 22＞＞，b c a ∴＞＞，故选C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2018年数学模拟试卷(文科)带答案详解
2018年数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或02．（5分）定义运算=ad﹣bc，若z=，则复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知d为常数，p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．145．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣7．（5分）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则P一定为△ABC的（）A．AB边中线的三等分点（非重心）B．AB边的中点C．AB边中线的中点D．重心8．（5分）设，b=cos50°•cos128°+cos40°•cos38°，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个直角边长为1的直角三角形，则该几何体外接球的体积是（）A．36πB．9πC．D．10．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）11．（5分）己知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．2 D．312．（5分）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2） C．（，1）D．（2，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据，据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是．（参考公式：）14．（5分）已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：①若α∩β=a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．上述五个命题中，正确命题的序号是．15．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（2，0），若直线l上存在点M满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜．18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：．附表：19．（12分）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F分别在AD，BC上，且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H 在直线DE上，且EH=1．（1）求证：A′D∥平面B′FC；（2）求C到平面B′HF的距离．20．（12分）已知椭圆，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（1）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；（2）设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足，求△PAB面积的最大值．21．（12分）已知函数．（1）若g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为8x﹣2y﹣3=0，求a，b的值；（2）若b=a+1，x1，x2是函数g（x）的两个极值点，试比较﹣4与g（x1）+g（x2）的大小．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．（1）写出曲线C1的参数方程和曲线C3的普通方程；（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0【分析】利用A∪B=A⇒B⊆A，写出A的子集，求出各个子集对应的m的值．【解答】解：∵A∪B=A∴B⊆A∴B=∅；B={﹣1}；B={1}当B=∅时，m=0当B={﹣1}时，m=﹣1当B={1}时，m=1故m的值是0；1；﹣1故选：D【点评】本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集．2．（5分）定义运算=ad﹣bc，若z=，则复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用已知定义结合虚数单位i的运算性质求得z，进一步得到，求得的坐标得答案．【解答】解：由已知可得，z==1×i2﹣2i=﹣1﹣2i，∴，则复数对应的点的坐标为（﹣1，2），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．（5分）已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n +2﹣a n +1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先根据命题的否定，得到￢p 和￢q ，再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可．【解答】解：p ：对于任意n ∈N *，a n +2﹣a n +1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p ：∃n ∈N *，a n +2﹣a n +1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列， 由￢p ⇒￢q ，即a n +2﹣a n +1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *，使得a n +2﹣a n +1≠d ， 即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A ．【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为8，12，则输出的a=（ ）A ．4B ．2C ．0D ．14【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论．【解答】解：由a=8，b=12，不满足a＞b，则b变为12﹣8=4，由b＜a，则a变为8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：A．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．5．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．3 B．C．D．【分析】如图所示，由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F，准线l方程，准线l与x 轴相交于点M，|FM|=4．经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|．由QN∥MF，可得=，即可得出．【解答】解：如图所示由抛物线C：y2=8x，可得焦点为F（2，0），准线l方程为：x=﹣2，准线l与x轴相交于点M，|FM|=4．经过点Q作QN⊥l，垂足为N则|QN|=|QF|．∵QN∥MF，∴==，∴|QN|=3=|QF|．故选：A．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、平行线分线段成比例，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣【分析】由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．【解答】解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，故选：D【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．7．（5分）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则P一定为△ABC的（）A．AB边中线的三等分点（非重心）B．AB边的中点C．AB边中线的中点D．重心【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量加法的平行四边形法则以及共线的向量的加法法则，即可得出正确的结论．【解答】解：如图所示：设AB 的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∵=（+2），∵2=，∴=×（4+）=∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：A【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角形的重心的应用问题，是综合性题目．8．（5分）设，b=cos50°•cos128°+cos40°•cos38°，，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】运用两角和差的正弦和余弦公式，化简整理，再由余弦函数的单调性，即可得到所求大小关系．【解答】解：=×sin（56°﹣45°）=sin11°=cos79°，b=cos50°•cos128°+cos40°•cos38°=﹣cos50°•cos52°+sin50°•sin52°=﹣cos102°=cos78°，=（cos80°﹣cos100°）=cos80°，由cos78°＞cos79°＞cos80°，即b＞a＞c．故选：B．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用两角和差公式和二倍角公式，同时考查余弦函数的单调性，属于中档题．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个直角边长为1的直角三角形，则该几何体外接球的体积是（）A．36πB．9πC．D．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R==，故该几何体外接球的体积V=πR3=π，故选：C．【点评】解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键．10．（5分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点取得最大值，并由此构造出关于m的不等式组是解答本题的关键．11．（5分）己知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．2 D．3【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=﹣x上，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l1，y=x，l2，y=﹣x，F（c，0），圆的方程为（x﹣）2+y2=，将y=x代入（x﹣）2+y2=，得（x﹣）2+（x）2=，即x2=cx，则x=0或x=，当x=时，y═•=，即A（，），设B（m，n），则n=﹣•m，则=（m﹣，n﹣），=（﹣c，），∵=2，∴（m﹣，n﹣）=2（﹣c，）则m﹣=2（﹣c），n﹣=2•，即m=﹣2c，n=，即=﹣•（﹣2c）=﹣+，即=，则c2=3a2，则=，故选：B．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为a，c的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，）B．（1，2） C．（，1）D．（2，3）【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=﹣＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据，据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是=0.7x+0.35．（参考公式：）【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵∴这组数据的样本中心点是（4.5，3.5）把样本中心点代入回归直线方程=0.7x+a∴3.5=4.5×0.7+a，∴a=0.35那么这组数据的回归直线方程是=0.7x+0.35故答案为：=0.7x+0.35．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．14．（5分）已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：①若α∩β=a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．上述五个命题中，正确命题的序号是②⑤．【分析】对于①③，根据线面垂直的判断定理，对于②④⑤线面垂直的性质定理，判断即可．【解答】解：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a ⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确，对于③α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确，对于④若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确，对于⑤根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确故答案为：②⑤【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．15．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是[1，e2﹣2] ．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值故方程﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故答案为：[1，e2﹣2]【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[，e]上有解．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（2，0），若直线l上存在点M满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），则实数a的取值范围是[，] ．【分析】设M（x，﹣x﹣a），由已知条件利用两点间距离公式得（x﹣2）2+（﹣x﹣a）2=4x2+4（﹣x﹣a）2，由此利用根的判别式能求出实数a的取值范围．【解答】解：设M（x，﹣x﹣a），∵直线l：x+y+a=0，点A（2，0），直线l上存在点M，满足|MA|=2|MO|，∴（x﹣2）2+（﹣x﹣a）2=4x2+4（﹣x﹣a）2，整理，得6x2+（6a+4）x+a2+3a2﹣4=0①，∵直线l上存在点M满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），∴方程①有解，∴△=（6a+4）2﹣24（3a2+﹣4）≥0，整理得9a2﹣12a﹣28≤0，解得≤a≤，故a的取值范围为[，]，故答案为：[，]【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜．【分析】（1）过点C作AB边上的高交AB与D，通过acosB+b=c，可知∠A=60°；（2）通过（1）及a1=2cosA、a5=9可知公差d=2，进而可得通项a n=2n﹣1，分离分母得=（﹣），并项相加即可．【解答】（1）解：过点C作AB边上的高交AB与D，则△ACD、△BCD均为直角三角形，∵acosB+b=c．∴AD=AB﹣BD=c﹣acosB=b，∴∠A=60°；（2）证明：由（1）知a1=2cosA=2cos60°=1，设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=a1+（5﹣1）d=9，∴d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==（﹣），∴S n=（++…+﹣）=（1﹣）＜．【点评】本题考查等差数列的性质，考查三角形的角的大小，利用并项法是解决本题的关键，属于中档题．18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：．附表：【分析】（1）根据题意，填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论；（2）按分层抽样方法抽出幸福感强的孩子，利用列举法得出基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下：计算，对照临界值表得，有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；…（6分）（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感弱的孩子3人，记作：b1，b2，b3；“抽取2人”包含的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个；…（8分）事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共6个；…（10分）故所求的概率为．…（12分）【点评】本题考查了对立性检验与分层抽样方法和列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．19．（12分）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F分别在AD，BC上，且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H 在直线DE上，且EH=1．（1）求证：A′D∥平面B′FC；（2）求C到平面B′HF的距离．【分析】（1）证明A′E∥B′F，即可证明B′F∥平面A′ED，然后证明CF∥平面A′ED，推出平面A′ED∥平面B′FC，然后证明A′D∥平面B′FC．（2）求出B′H，求出S，利用求解即可．△HFC【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴A′E∥B′F，又A′E⊂平面A′ED，B′F⊄平面A′ED ∴B′F∥平面A′ED同理又CF∥ED，CF∥平面A′ED且B′F∩CF=F，∴平面A′ED∥平面B′FC又A′D⊂平面A′ED，∴A′D∥平面B′FC（2）解：由题可知，，EH=1，∵B′H⊥底面EFCD，∴，又B′F=3，∴，FC=AD﹣BF=2S=FC•CD=2，△HFC，，∴，∴．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知椭圆，斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点A，B．（1）设M为弦AB的中点，求动点M的轨迹方程；（2）设F1，F2为椭圆C在左、右焦点，P是椭圆在第一象限上一点，满足，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）由由①，②；①﹣②得：，，即，由M在椭圆内部，则，即可求得动点M 的轨迹方程；（2）由向量数量积的坐标运算，求得P点坐标，求得直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，根据基本不等式的性质，即可求得△PAB面积的最大值．【解答】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由①，②；①﹣②得：，，即．…（4分）又由中点在椭圆内部得，∴M点的轨迹方程为，；…（5分）（2）由椭圆的方程可知：F1（﹣，0）F2（，0），P（x，y）（x＞0，y＞0），=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），由•=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+y2=﹣，即x2+y2=，由，解得：，则P点坐标为，…（6分）设直线l的方程为，，整理得：，由△＞0得﹣2＜m＜2，则，，…（8分），，∴．…（9分），当且仅当m2=4﹣m2，即时，取等号，∴△PAB面积的最大值1．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算三角形的面积公式与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数．（1）若g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为8x﹣2y﹣3=0，求a，b的值；（2）若b=a+1，x1，x2是函数g（x）的两个极值点，试比较﹣4与g（x1）+g（x2）的大小．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出a＞4，且x1+x2=a，x1x2=a，令，则f'（x）=lnx+1﹣x﹣1=lnx﹣x，根据函数的单调性判断即可．【解答】（1）根据题意可求得切点，由题意可得，，∴，即，解得a=1，b=﹣1．…（3分）（2）证明：∵b=a+1，∴，则．根据题意可得x2﹣ax+a=0在（0，+∞）上有两个不同的根x1，x2．即，解得a＞4，且x1+x2=a，x1x2=a．…（5分）∴．…（6分）令，则f'（x）=lnx+1﹣x﹣1=lnx﹣x，令h（x）=lnx﹣x，则当x＞4时，，∴h（x）在（4，+∞）上为减函数，即h（x）＜h（4）=ln4﹣4＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（4，+∞）上为减函数，即f（x）＜f（4）=8lnx﹣12，∴g（x1）+g（x2）＜8ln2﹣12，…（10分）又∵，，∴，即，∴g（x1）+g（x2）＜﹣4．…（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及代数式的大小比较，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．（1）写出曲线C1的参数方程和曲线C3的普通方程；（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ化直线方程为普通方程，写出过P（0，2）的直线参数方程，由题意可得，运用同角平方关系化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C3的普通方程，可得t的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，可得普通方程为x﹣y+2=0，则C1的参数方程为（t为参数），由曲线C2的参数方程为（α为参数），可得，即有C3的普通方程为x2+y2=9．…（5分）（2）C1的标准参数方程为（t为参数），与C3联立可得t2+2t﹣5=0，令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，则有t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===2…（10分）【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．【分析】（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，利用“1”的代换，即可求的最小值；（Ⅱ）分类讨论，解不等式，即可求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，又因为，由a，b∈（0，+∞）可知，当且仅当a=2b时取等，所以的最小值为8．…（5分）（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x﹣1|+|2x﹣3|≥8，①，∴．②，∴x∈∅，③，∴x≥4．综上，．…（10分）【点评】本题考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(五)(衡水金卷调研卷)文数试题-附答案精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合{}10A x x =+≥，101x B xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则图中阴影部分所表示人集合为A ．{}1x x ≥- B ．{}1x x <- C ．{}11x x -≤≤- D ．﹛1x x <-或1x ≥﹜ 2.已知复数123z i =+，2z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），若1218z z i =+，则a 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．4 3.已知函数()f x 的图象关于原点对称，且在区间[]5,2--上单调递减，最小值为5，则()f x 在区间[]2,5上A ．单调递增，最大值为5B ．单调递减，最小值为5-C ．单调递减，最大值为5-D ．单调递减，最小值为54.已知直线231x +=与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，与直线0x y +=交于点C ，若OC OA OB λμ=+（O 为坐标原点），则λ，μ的值分别为 A ．2λ=，1μ=- B ．4λ=，3μ=- C. 2λ=-，3μ= D ．1λ=-，2μ=5.已知122log 3a =，22log 3b =，1232c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32d e =，则A ．d c a b >>>B ．d b c a >>> C.c d a b >>> D ．a c b d >>>6.已知0a >，0b >，则点()1,2P 在直线b y x a =的右下方是双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围为()3,+∞的A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 7.已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥；③存在两条平行直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；④存在两条异面直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α，则可以推出//αβ的是 A ．①③ B ．②④ C. ①④ D ．②③ 8.已知直线2y =与函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的相邻两个交点间的距离为6，点()1,3P 在函数()f x 的图像上，则函数()()12log g x f x =的单调递减区间为A ．()()6,26k k k Z ππππ-+∈B ．(),63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C. ()11,63k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()()61,26k k k Z -+∈ 9.在如图所求的程序框图中，若输出n 的值为4，则输入的x 的取值范围为A ．13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]3,13 C.[)9,33 D ．913,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为A ．295937144a ππ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．2959144a ππ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭C.29593744a ππ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．295937144a ππ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭11.甲、乙两人各自在400米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是 A ．18 B ．1136 C.1564D ．14 12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()102f =，则不等式()102x f x e -<的解集为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,+∞ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),0-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,2,2,2,x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()()()3ff f -的值为 ．14.已知命题:P x R ∀∈，()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为 ．15.已知()222210x y a b a b +≤>>表示的区域为1D ，不等式组0,0,0,bx cy bc bx cy bc bx cy bc bx cy bc -+≥⎧⎪--≤⎪⎨+-≤⎪⎪++≥⎩表示的区域为2D ，其中()2220a b c c =+>，记1D 与2D 的公共区域为D ，且D 的面积S 为23，圆2234x y +=内切于区域D 的边界，则椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为 ．16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()3log 22n n n a b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x 表示，数据如下表： 特征量1 2 3 4 5 6 7 x98 88 96 91 90 92 96 y9.98.69.59.09.19.29.8（1）求y 关于x 的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；（3）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，PD ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=，2PD a =，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，三棱锥P EAD -的体积为183，求a 的值. 20. 已知动圆C 恒过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线12x =-相切.（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）若过点()3,0P 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB （O 为坐标原点）分别交直线3x =-于点M ，N ，证明：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值. 21. 已知函数()()322316f x x a x ax =-++，a R ∈.（1）若对于任意的()0,x ∈+∞，()()6ln f x f x x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，设函数()f x 在区间[]1,2上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，记()()()h a M a m a =-，求()h a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线11,2:322x t l y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=时，有a b c k ++≤成立.试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10:ACDDA 11、12：CB二、填空题13.2log 3 14.5,24⎛⎤⎥⎝⎦15.12或32 16.4062.5 三、解答题17.解：（1）由134n n a a +=+， 得()1232n n a a ++=+， 即1232n n a a ++=+，且123a +=,所以数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以12333n n n a -+=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为()*32n n a n N --∈.（2）由（1）知，23n n a +=，所以3log 333n n n n nb ==. 所以1231231233333n n nnT b b b b =++++=++++.① 234111231333333n n n n nT +-=+++++.② ①-②，得234211111333333n n T =+++++13n n += 11111331113223313nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=--⋅-， 所以332323044343443n n n nn n T +=-=-⋅⋅⋅.故数列{}n b 的前n 项和323443n n n T +=-⋅. 18.解：（1）由题得，98889691909296937x ++++++==. 9.98.69.59.09.19.29.89.37y ++++++==.()()()()198939.99.3niii x x y y =--=-⨯-+∑()()()()88938.69.396939.59.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()91939.09.390939.19.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()92939.29.396939.89.39.9-⨯-+-⨯-=()()()()22221989388939693nii x x =-=-+-+-∑()()()()2222919390939293969382+-+-+-+-=.所以()()()1219.90.1282niii nii x x y y b x x ==--==≈-∑∑. 9.30.1293 1.86a =-⨯=-.所以线性回归方程为0.12 1.86y x =-. （2）由于0.120b =>.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.当95x =时，0.1295 1.869.5y =⨯-≈.（3）由于95分以下的分数有88，90，91，92，共4个，则从中任选两个的所有情况有()88,90，()88,91，()88,92，()90,91，()90,92，()91,92，共6种.则这两个人中至少有一个分数在90分以下的情况有()88,90，()88,91，()88,92，共3种. 故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率3162P ==.19.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥. 又四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又PDBD D =，所以AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ， 所以平面EAC ⊥平面PBD .（2）因为//PD 平面EAC ，平面EAC平面PBD OE =.所以//PD OE .又O 为AC 与BD 的交点， 所以O 是BD 的中点，所以E 是PB 的中点. 因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=， 所以取AD 的中点H ，连接BH ，可知BH AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD BH ⊥. 又PDPD D =，所以BH ⊥平面PAD . 由于AB a =，所以32BH a =. 因此E 到平面PAD 的距离11332224d BH a a ==⨯=， 所以3111332183332412P EAD E PAD PAD V V S d a a a a --∆==⨯=⨯⨯⨯⨯==. 解得6a =，故a 的值为6. 20.解：（1）由题意得，点C 与点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离始终等于点C 到直线12x =-的距离.因此由抛物线的定义，可知圆心C 的轨迹为以1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，12x =-为准线的抛物线.所以122p =，即1p =. 所以圆心C 的轨迹方程为22y x =. （2）由圆心C 的轨迹方程为22y x =，可设()2112,2A t t ，()2222,2B t t ，()120t t ≠， 则()21323,2PA t t =-，()22223,2PB t t =-，由A ，P ，B 三点花线，可知()()2212232322320t t t t -⋅--⋅=，即()()()()22122231122312123223230230230t t t t t t t t t t t t t t t t --+=⇒-+-=⇒+-=.因为12t t ≠，所以1232t t =-. 又依题得，直线OA 的方程为11y x t =. 令3x =-，得133,M t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 同理可知133,N t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 因此以MN 为直径的圆的方程可设为()()1233330x x y y t t ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 化简得()22121233930x y y t t t t ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭，即()()212212123930t t x y y t t t t +++++=. 将1232t t =-代入上式，可知()()22123260x y t t y ++-+-=， 在上式中令0y =，可知136x =-+，236x =--，因此以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为12363626x x -=-+++=，为定值. 21.解：（1）因为()()()2616ln f x f x a x x +-=-+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以()2ln 1xa x-+≥. 令()2ln x g x x =，0x >，则()'212ln x g x x -=. 令()'0g x =，则x e =.当()0,x e ∈时，()'0g x >，()g x 在区间()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <，()g x 在区间(),e +∞上单调递减.所以()()max 12g x g e e==， 所以()112a e -+≥，即112a e≤--， 所以实数a 的取值范围为1,12e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦. （2）因为()()322316f x x a x ax =-++， 所以()131f a =-，()24f =.所以()()()()'2661661f x x a x a x x a =-++=--. 令()'0fx =，则1x =或a .①若513a <≤， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0fx >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f ≤，所以()()24M a f -=，()()323m a f a a a ==-+，所以()()()()32324334h a M a m a a a a a =-=--+=-+.因为()()'236320h a a a a a =-=-<，所以()h a 在区间51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以当51,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()h a 的最小值为58327h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若523a <<， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0f x >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f >，所以()()131M a f a =--，()()323m a f a a a -=-+.因为()()2'2363310h a a a a =-+=->， 所以()h a 在区间5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以当5,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()58327h a h ⎛⎫>=⎪⎝⎭. ③若2a ≥， 当()1,2x ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,2上单调递减，所以()()131M a f a ==-，()()24m a f -=.所以()()()31435h a M a m a a a =-=--=-，所以()h a 在区间[)2,+∞上的最小值为()21h =.综上所述，()h a 的最小值为827. 22.解：（1）将直线11,2:322x t l y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t ， 得3320x y ++-=，故直线l 的普通方程为3320x y ++-=.将曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为()()22124x y -+-=， 即222410x y x y +--+=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=.（2）由（1）可知，圆心()1,2C 到直线:3320l x y ++-=的距离为()23232331d ++-==+. 则222432AB R d =-=-=（R 为圆C 半径）. 所以1123322ABC S AB d ∆=⨯=⨯⨯=. 故所求ABC ∆面积为ABC ∆的面积为3.23.解：（1）由题知，()3,2,21,21,3. 1.x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩所以()2f x ≥，即32,2x -≥⎧⎨<-⎩或212,21x x +≥⎧⎨-≤≤⎩或32,1.x ≥⎧⎨>⎩解得12x ≥. 故原不等式的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为()21213f x x x x x =+--≤+-+=（当且仅当()()210x x +-≥时取等号）， 所以3k =，因此有3a b c ++=. 所以111a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅111333322222a b c a b c +++++++≤++===（当且仅当1a b c ===时取等号）， 故不等式a b c k ++≤得证.。
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2018年5月普通高等学校招生全国统一考试全国卷模拟试题
文科数学（五）（附答案）
本试卷共6页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U 为实数集R ，集合{|ln(32)}A x y x ==-，{|(1)(3)0}B y y y =--≤，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．3(,1)
,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．[3,)+∞ D ．3,[3,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
2.已知复数z 满足3(1)(34)(2)z ai i ai =++-++（i 为虚数单位），若z i 为纯虚数，则实数a 的值为（ ）
A ．45
B ．2
C ．54-
D ．12-
3.已知命题p ：x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：0
x R ∃∈，002sin 2cos 3x x +=.则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．()p q ∧⌝
D ． ()p q ⌝∧
4.已知函数
()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21()1g x x =+，则下列结论中不正确是（ ） A ．()g x 的值域为(]0,1
B ．()f x 的单调递减区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
C ．()()f x g
x ⋅为偶函数
D ．()f x 的最小正周期为π
5.若实数x ，y 满足113x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21y z x -=
的取值范围是（ ）
A ．2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.
根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B ．月跑步平均里程逐月增加
C ．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月
D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较
平稳
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A ．25
B ．26
C ．24
D ．23
8.过点(3,4)P 作圆
224x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB =（ ） A
．5
．5
． D
．
9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n b b b b +=++n b +⋅⋅⋅+，121b b ==，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为（ ）
A ．1062
B ．2124
C ．1101
D ．
1100
10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．104π+
B ．68π+
C ．108π+
D ．64π+
11.已知动点(,)M x y
21x =+-，设点M 的轨迹为曲
线E ，A ，B 为曲线E 上两动点，N 为AB 的中点，点N 到y 轴的距离为2，则弦AB 的最大值为（ ）
A ．6
B ．4
C ．5
D ．5
4
12.如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形，AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且
14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2π
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22~23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.
13.在ABC ∆中，中线AM ，BN 交于点O ，若OM AB AN λμ=+，则λμ+= ．
14.在区间[]1,1-上随机取两个数x ，y
，则事件“y ≥”发生的概率为 ．
15.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y bx =±，A ，B 为双曲线的左，右顶点，M 为
双曲线上异于A ，B 的任意一点，且0MC AB ⋅=，0BN AM ⋅=，MC 与BN 交于点G ，若点G 在双曲线上，则双曲线的离心率为 ．
16.已知函数()f x ，任取两个不相等的正数1x ，2x ，总有
1212[()()]()0f x f x x x -->，对于任意的0x >，总有[()ln ]1f f x x -=，若
2()'()()g x f x f x m m =+-+有两个不同的零点，则正实数m 的取值范围为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
25sin 2sin 224B C A π+⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭. （1）求角A ；
（2）若a =ABC ∆周长的取值范围.
18. （本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，22BC AB ==，
BD BA ⊥，2PA PB PD ===，M 为PD 的中点.
（1）求证：//PB 平面AMC ；
（2）求点A 到平面PBC 的距离.
全国大学生机器人大赛是由共青团中央，全国学联，深圳市人民政府联合主办的赛事，是中国最具影响力的机器人项目，是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力，坚持和态度，展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队踊跃报名，这些参赛战队来自全国六大赛区，150余所高等院校，其中不乏北京大学，清华大学，上海交大，中国科大，西安交大等众多国内顶尖高校，经过严格筛选，最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中，某大学共有“机器人”兴趣团队1000个，大一、大二、大三、大四分别有100，200，300，400个，为挑选优秀团队，现用分层抽样的方法，从以上团队中抽取20个团队.
（1）应从大三抽取多少个团队？
（2）将20个团队分为甲、乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲、乙两组的分数如下：
甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142
乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140
从甲、乙两组中选一组强化训练，备战机器人大赛.
（i）从统计学数据看，若选择甲组，理由是什么？若选择乙组，理由是什么？
（ii）从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队，求至少有一个团队为144分的概率.
已知椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点1F ，2F 的距离之和为4.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线AB ：y x m =+与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m
，使
AB =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.
21. （本小题满分12分） 已知函数2()(31)x
f x x x e -=++，其中e 为自然对数的底数.
（1）求函数()f x 的单调区间； （2）求证：0x >时，
261()(33ln )f x x x x x e e ⎡⎤-⋅-++≥⎢⎥⎣⎦.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角，且2πα≠），
以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.
（1）若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的倾斜角；
（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且354
6ππα≤≤，点(0,2)P ，求PA PB +的取值范围.
23. （本小题满分12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =.
（1）求不等式()2F x x ≥+的解集；
（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥.。