第2章 数值计算功能

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3.删除矩阵的行和列
我们把空的中括号[]称为空矩阵，即矩阵大小为0×0。 可以通过把矩阵的行或列赋值为空矩阵来删除某行或某 列。 【例2-6】删除上例中A的第1，2列。
>> A(:,[1 2])=[]




A=
3 6
1 A 4 7
2 5 8
3 6 9

其实矩阵的开方运算和乘方运算互为逆运算。


5.矩阵的指数和对数运算
指数函数和对数函数是非常重要的两个函数， 所以MATLAB提供了两个专门的函数expm和 logm来实现矩阵的指数运算和对数运算。 【例2-13】求矩阵的指数运算和对数运算



>> A=rand(3)
A=
0.9501
2.2 稀疏型矩阵

如果在矩阵中，多数的元素并没有值，称此矩阵 为稀疏矩阵(Sparse Matrix)，由于矩阵在方 程中常使用二维阵列表示，二维阵列的大小与使 用的内存空间成正比，如果多数的元素没有值， 则会造成内存空间的浪费，为此，必须设计稀疏 矩阵的阵列储存方式，利用较少的内存空间储存 完整的矩阵信息。
0.2311 0.6068
0.4860
0.8913 0.7621
0.4565
0.0185 0.8214



>> expm(A) %对A矩阵的每个元素求以e为底 的指数 ans = 3.1250 1.7453 1.1993 0.6360 2.6358 0.1796 1.8010 2.2981 2.6663 >> logm(A) %对A矩阵的每个元素求以e为底 的对数 ans = -0.2977 0.3399 0.6044 0.2874 -0.1588 -0.0604 0.6696 0.8173 -0.3901






【例2-4】提取矩阵的元素。 >> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A= 123 456 789 可以用A(m,n)选出第m行n列的元素。 >> A(2,3) ans = 6 也可以用一个下标选出元素。 >> A(8) ans = 6
第2章 数值计算功能

MATLAB应用相当广泛的一个领域是解决数值计算问题。 这是由于MATLAB 对处理数组具有非凡的能力，使其成 为许多科学与工程应用中的一个有力的工具。本章主要介 绍矩阵的创建、运算以及如何运用MATLAB解决线性代 数中的相关问题。 【学习目标】 能够创建矩阵，并熟练掌握矩阵的各种运算法则 掌握稀疏矩阵的基本操作。


3、矩阵的除法 MATLAB定义了矩阵的左除及右除。“\”运算符号表示 两个矩阵的左除，“/”表示两个矩阵的右除。A\B即由 Gauss消去法来获得线性方程AX＝B的解X，即X＝A-1B。 矩阵的右除：MATLAB用“/”表示两个矩阵的右除。 X*A=B的解是X=B/A，对于非奇异方阵A，B/A等效为 BA-1 。
2.2.2 转换成满矩阵
6.矩阵的数组运算
运算中，往往需要在矩阵之间进行对应元素 的运算，这就是矩阵的数组运算。矩阵的数组运 算与前面运算区别主要放映在乘和除两种运算中。 1.乘法 矩阵的数组运算A.*B（称为数乘） 2.除法 矩阵的数组运算A./B（称为数除）



练习 已知A=[1 3 5;2 4 6;7 8 9]；B=[1 2 1;2 3 2;3 4 3] 比较A*B和A.*B以及A/B和A./B的区别

如果想实现矩阵中每个元素都进行3次方，则可用“.^” 实现，在运算符前面加“.”后就表示是对矩阵的元素操作。 >> A.^3 ans = 1 8 27 64 125 216 343 512 729 【例2-12】求例2-11中矩阵A的开方。 >> sqrtm(A) % sqrtm(A) 相当于A^0.5
reshape(A,M,N)命令将矩阵A的所有元素分配到一 个M×N的新的矩阵，当矩阵A的元素个数不是M×N 时，将返回一个错误。 reshape(A,M,N,P,…)命令返回由矩阵A的元素组成 的M×N×P….多维的矩阵，如果M×N×P….与A的 元素个数不一样时将返回错误。 reshape(A,[M,N,P,…])命令与 reshape(A,M,N,P,…)命令的作用一样。
表2.3给出了可以获得有关矩阵的形状与大小信息的函数。 表2.3 取得矩阵相关信息的函数 函数 说明 函数 说明
length
返回矩阵最长的 那维长度
返回矩阵的维数 （如二维、三 维）
numel
返回矩阵的元素数
ndims
size
返回矩阵每一维的 长度（2×3， 3×3 ）

4. 矩阵的乘方运算和开方运算

2.函数生成 MATLAB中提供了特殊函数可以生成特殊矩阵。 【例2-2】生成一个2×3全零矩阵，一个3×3单位矩阵。 >> a=zeros(2，3) a= %生成2×3全零阵


0
0 a= 1 0 0
0
0
0
0 %生成3×3单位阵
>> a=eye(3，3) 0 1 0 0 0 1
9

在MATLAB里不能用双下标来删除矩阵的某个元 素，例如X(1，2)=[]将给出错误信息。但可以用单下 标来删除矩阵的某个或某些元素，MATLAB删除这些 元素后，将剩下的元素按列编成一个长的行向量。

4.reshape函数实现改变矩阵大小

reshape函数可以实现矩阵行列大小的变化，但变化 前矩阵行列值的乘积和变化后的行列值的乘积不变。



2.矩阵的乘积 矩阵的乘积运算使用*运算符，而且相乘的矩阵必须满 足维数条件。如果A是一个m×p矩阵，而B是p×n 矩阵， 它们可以相乘产生m×n 矩阵。 【例2-9】求例2-8中矩阵A与B的转置矩阵的乘积。
>> A*B' ans = 26


在MATLAB里，单引号表示复共轭转置，一个点加单 引号“.′”表示普通转置，即沿主对角线左上与右下相对 元素对调。 >> B' ans = 2 3 6



【例2-3】把矩阵A，B分别在垂直方向，水平方向连接， A=[1 2 3]，B=[4 5 6]。
>> C1=cat(1，A，B) C1 = 1 4 2 5 3 6 %水平方向连接 5 6 %垂直方向连接

>> C2=cat(2，A，B)


C2 =
1 2 3 4
表2.2列出了常用的连接矩阵函数。 表2.2 连接矩阵函数
ans =


0.4498 + 0.7623i
1.0185 + 0.0842i 1.5873 - 0.5940i
0.5526 + 0.2068i
1.2515 + 0.0228i 1.9503 - 0.1611i
0.6555 - 0.3487i
1.4844 - 0.0385i 2.3134 + 0.2717i
2.2.1 稀疏型矩阵生成





在MATLAB中，用sparse函数来创建一个稀疏矩阵。 sparse (A) 由非零元素和下标建立稀疏矩阵A。如果A已是一个稀疏 矩阵，则返回A本身。 sparse (m，n) 生成一个m×n的所有元素都是0的稀疏矩阵。 【例2-14】把3阶的单位矩阵转换成稀疏矩阵。 >> as = sparse(eye(3))%生成主对角线为1的稀 疏矩阵。 as = (1，1) 1 %第1行第1列的元素为1 (2，2) 1 %第2行第2列的元素为1 (3，3) 1 %第3行第3列的元素为1
函数
功能
函数
功能
cat
horzcat vertcat
连接矩阵
水平连接多个矩 阵 垂直连接多个矩 阵
remat
blkdiag
复制一个矩阵到另一 个矩阵
对角连接多个矩阵
2.1.3 矩阵元素的下标引用及操作

1.矩阵下标
在MATLAB中，矩阵元素的引用可以通过下标 表示，通常有如下规则：
1) 用两个下标来表示：在矩阵A中，第i行j列的 元素用A(i，j)来表示。 2) 用一个下标来表示：对于矩阵，由于 MATLAB的基本运算都是对列操作的，矩阵认 为是按列优先排列的一个长的列向量，从而可 用单下标引用。



【例2-10】求矩阵a与b的左除和右除。 >> c=a\b %矩阵左除，相当于inv(a)*b c= 0.3333 0.6000 -0.2000 -0.6667 -0.4000 0.8000 1.0000 0.4000 0.2000 >> d=a/b %矩阵右除，相当于a*inv(b) d= 1.3333 1.3333 -1.0000 0 -0.5000 1.5000 1.6667 0.1667 -0.5000
Hilbert矩阵（沿主对角线 对称）
randn
triltriu diag
生成正态分布随机矩阵
生成上三角或下三角矩阵 生成对角矩阵
invhilb
magic pascal
逆Hilbert矩阵
Magic矩阵 Pascal矩阵
wilkinson
生成威尔金森矩阵
toeplitz
托普利兹矩阵
2.1.2 矩阵连接
1.直接生成 矩阵的生成可以通过在方括号[]中输入元素实现，不同行 之间要用分号隔开，不同列用空格分开。 【例2-1】生成一个2×3矩阵。 >> a=[1 2 3;4 5 6] a= 1 2 3 4 5 6 可以用冒号快速建立矩阵，步长在默认的情况下为1，也 可以自定义步长。 >> a=[1:3;4:6] a= 1 2 3 4 5 6