8-5 隐函数的求导公式

2) 求反函数的偏导数.
① ①式两边对 x 求导, 得
x u x v 1 u x v x y u y v 0 u x v x
②
注意J 0, 从方程组②解得
u 1 x J 0
1
x v 1y , y J v v
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
定理3. 设函数
① 在点
满足:
的某一邻域内具有连续偏导数；
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
③ 雅可比行列式
v 1 x J
2 x 3 v 4 xy 2 u 2 x 4 4uvy 3
例3.(续)
方程组两边对 y 求导，并移项得
u v x 2vy v2 y y
2
u 2 v 2uy x 2 yu 2 x x
2
x 2vy 4 3 由题设 J x 4 uvy 0 2 2 2uy x
2
u x 2v 2 4 y 2 u2v y x 4 uvy 3
v 2 x 2 yu 2 2uy 2v 2 4 3 y x uvy
例4.设函数
邻域内有连续的偏导数,且 1) 证明函数组
在点(u,v) 的某一
在与点 (u, v) 对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 2) 求 对 x , y 的偏导数.
Fx x F y 2 F x y F x F y F y y Fx F
3 y 2 2
例1. 验证方程
在点(0,1)某邻域可确定
dy d2 y , 一个单值可导隐函数 y =f (x), 并求 dx x 0 dx 2 x 0 解: 令 F ( x , y ) x 2 y 2 1 ,
则① ②
Fx 2 x , Fy 2 y F (0,1) 0 ,
连续 ,
③ Fy (0,1) 2 0 由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可导 的隐函数 且
2x Fx dy 0 x0 2 y F x 0 y dx x 0 y 1
2 2 d y d y y x y xy d x ( ) 3 2 2 y dx dx y dx y
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x 0 , y0 ) 0 ; ③Fy ( x0 , y0 ) 0 则方程 的某邻域内可唯一确定一个 并有连续 单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
且有偏导数公式 :
1 u 1 (F , G) Fu Fv x J ( x, v ) G u Gv
1 u 1 (F , G) Fu Fv y J ( y, v ) G u Gv
Fx Fv G x Gv
F y Fv G y Gv
(P62-P63)
v 1 (F , G) Fu Fx 1 x J ( u, x ) Fu Fv Gu G x G u Gv v 1 (F , G) Fu F y 1 y J ( u, y ) Fu Fv Gu G y Gu Gv
Fx , x Fz
Fy z y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z 0 Fx Fz x
Fx z x Fz
Fy z 同样可得 y Fz
例2. 设 x 2 y 2 xyz e z 0 ,
u 1 (F , G) x J ( x, v )
v 1 (F , G) x J ( u, x )
同样可得
u 1 (F , G) y J ( y , v )
v 1 (F , G) y J ( u , y )
2 2 2 2 2 u u v v x u yv 0 , y u x v 1 , 例3. 设 求 x , y , x , y .
解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f ( x y z , x yz)
y z dx xz d y x y d z d z f1 dx d y dz f 2
所以
x r 1 y 1 r cos cos 2 2 J x y r x
y 1y 1 sin 2 2 J r r x y x 同样有 r y x 2 2 2 y x y y x y2
内容小结
x 1 u v J y x u
1 0
1y J u
同理, ①式两边对 y 求导, 可得
u 1 x , y J v
v 1 x y J u
例4的应用: 计算极坐标变换 x r cos , y r sin
的反变换的导数 . 由于
r
r 1y u x J v v 1y r x J u
解法2 利用公式
2 2 z F ( x , y , z ) x y xyz e 设 则 Fx 2 x yz , Fz xy e z

2 x yz 2 x yz Fx z z z xy e e xy x Fz
两边对 x 求偏导
z z z z 2 ( 2 y )( e xy ) ( 2 x yz )( e y ) z x x z 2 2 (e xy ) x
第五节
第八章
隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 思考与练习 设
求
提示:
z f ( x y z , x y z)
x
z f2 y z x y x
z • z f 1 1 x
解法1 利用隐函数求导
2z 求 . 2 x
z z z 2 x yz xy e 0 x x
再对 x 求导
z 2 x yz z x e xy
2 z z e 0 2 x
z 2 y x
2e z 2 xy 2 y( 2 x yz) ( 2 x yz)2 e z z 2 (e xy) (e z xy)3
在上册介绍的隐函数的概念,它是由一个二元方程 F(x, y)=0 (1) 在满足某些条件时所确定的函数y=y(x)或x=x( y) 定义1 如果(1)中的函数F (x, y) 在矩形区域(a, b) (c, d) 内满足:对任意x(a, b)都存在唯一的y( c, d )使(x, y) 是方程(1)的解,则称在D内方程(1)确定了一个隐函数 y =f (x), x (a, b) y (c, d). 此函数满足 x (a, b) ,F (x, f(x))0, y (c, d) 注意到x, y的对称性, 我们也可类似定义隐函数x=g( y).
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
u v x 2vy 2 xu x x
2
u 2 v 2uy x 2 xv x x
2
x 2vy 4 3 由题设 J x 4 uvy 0 2 2 2uy x
2
故有
3 2 u 1 2 xu 2vy 2 x u 4 xyv 2 x J 2 xv x x 4 4uvy 3
f1 y z f 2 z 1 f1 x y f 2 x • 1 f x 1 f y z x x y 1 2 z z 1 f1 x y f 2 x f1 y z f 2 z • x x 1 f 2 y z x z 0 f1 y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
导数
Fx dy dx Fy
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 F y
0
Fx dy dx Fy
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有
二阶导数 :
2
Fx Fy
y x d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 y Fy d x d x x Fy x Fx x F y F y x Fx Fx y F y F y y Fx Fx ( ) 2 2 Fy Fy Fy
J
p
(F , G ) ( u, v )

P
Fu
Fv
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
G u Gv
0
则方程组 F ( x , y, u, v ) 0 , G ( x , y, u, v ) 0 在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u ( x0 , y0 ) ,
v0 v ( x0 , y0 )的单值连续函数 u u ( x, y ) , v v ( x , y ),
2e z 2 xy 2 y( 2 x yz) ( 2 x yz)2 e z z 2 (e xy) (e z xy)3