配方法求函数的值域
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
重难点2-1-函数值域的常见求法8大题型(原卷版)
重难2-1 函数值域的求法8大题型函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
一、求函数值域的常见方法1、直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2、逐层法：求12(())n f f f x 型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3、配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“(0)x y ax bx c a =++≠”或“2[()]()(0)y a f x bf x c a =++≠”的函数均可用配方法求值域；4、换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有 （1）y cx d=+或cx d y ax b +=+的结构，可用cx d t +=”换元；（2）y ax b cx d =+±+,,,a b c d 均为常数，0,0a c ≠≠），可用“cx d t +=”换元；（3）22y bx a x =-型的函数，可用“cos ([0,])x a θθπ=∈”或“sin ([,])22x a ππθθ=∈-”换元；5、分离常数法：形如(0)ax by ac cx d+=≠+的函数，应用分离常数法求值域，即2()ax b a bc ady d cx d c c x c+-==+++，然后求值域；6、基本不等式法：形如(0)by ax ab x =+>的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a b +≥求函数的值域（或最值）时，应满足三个条件：①0,0a b >>；②a b+（或ab ）为定值；③取等号的条件为a b =，三个条件缺一不可；7、函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域（或最值）（1）形如0)y ax b ac =+<的函数可用函数单调性求值域；（2）形如by ax x=+的函数，当0ab >时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解； 当0ab <时，by ax x=+在(,0)-∞和(0,)+∞上为单调函数，可直接利用单调性求解。
求函数值域的几种方法
求函数值域的几种方法函数是中学数学的重要的基本概念之一，它与代数式、方程、不等式、三角函数、微积分等内容有着密切的联系，应用十分广泛。
函数的基础性强、概念多，其中函数的定义域、值域、奇偶性等是难点之一，是高考的常见的题型。
下面就函数的值域的求法，举例说如下。
一．观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数的值的值域。
≥0，故。
∴函数的值域为y≥3点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数12xyx+=+的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数12xyx+=+的反函数为:121yxy-=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数21(x-1)3(12)21(2)xxx x-+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪->⎩的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由22x x -++≥0,可知函数的定义域为x ∈[－1，2]。
此时22x x -++=－21()2x -＋94∈[0，94]∴≤32,函数的值域是[0, 32] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
求函数值域的几种方法
解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .
•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
求函数的值域
求函数的值域
函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这
个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在
某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。
f：A→B中，
值域是集合B的子集。
如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就
是函数f(x)的值域。
求函数的值域的方法：
一、配方法
将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。
二、常数分离
这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。
三、逆求法
对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。
四、换元法
对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。
五、单调性
可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。
六、基本不等式
根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。
七、数形结合
可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。
八、求导法
求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。
配方法求值域的方法
配方法求值域的方法要确定一个函数的值域，我们需要找出函数的所有可能输出值。
下面我将介绍三种常用的方法来求函数的值域。
第一种方法是使用图像来确定函数的值域。
对于一些简单的函数，我们可以通过绘制图像来观察函数的取值范围。
例如，对于一个一元函数f(x)，我们可以绘制出函数的图像，然后通过观察图像来确定函数的值域。
如果图像是一个连续的曲线，我们可以观察曲线的上下界，即函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
如果图像是一个离散的点集，我们可以确定出函数的所有取值，从而确定函数的值域。
第二种方法是使用代数方法来确定函数的值域。
对于一些复杂的函数，我们可以使用代数方法来分析函数的性质，从而确定函数的值域。
例如，我们可以求函数的导数，然后找出导数为0的点，这些点就是函数的驻点。
然后我们可以求出这些点的函数值，从中找出最大值和最小值，这样就可以确定函数的值域。
另外，我们还可以使用极限、积分、微分等数学方法来分析函数的性质，从而确定函数的值域。
第三种方法是使用数学工具来确定函数的值域。
对于一些特殊的函数，我们可以使用数学工具来求解函数的值域。
例如，对于一个幂函数f(x)=x^n，我们可以使用不等式来求解函数的值域。
我们可以通过分析x的取值范围，然后求解不等式来确定函数的值域。
另外，对于一些三角函数、指数函数等复杂的函数，我们可以使用特殊的性质和公式来求解函数的值域。
在实际应用中，我们经常会遇到需要确定函数的值域的问题。
例如，在最优化问题中，我们需要确定目标函数的值域，以确定最优解。
另外，在数据分析中，我们也需要确定函数的值域，以了解数据的分布情况。
因此，熟练掌握求解函数值域的方法是非常重要的。
综上所述，确定函数的值域可以使用图像法、代数法和数学工具法等多种方法。
不同的方法适用于不同的函数，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的值域。
在实际应用中，我们经常会使用多种方法来求解函数的值域，以确保求解的准确性。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域的求法
∴ 1 4 4b , 1 4 a2
4
4
∴ a b=43
当y=0时，方程有解
∴ a 4b=3
练习：已知函数 y
ax b
的
x2 x 1
值域为[-1，4].求实数a, b的值.
作业：金版名卷（十 一） （老师可选定题目）
∴△=(2-y)2-4(y-2)(y-3)≥0 (y-2≠0)
∴(y-2)(3y-10)≤0
2 y 10 3
当y 2时；(y-2)x2+(2-y)x+y-3=0
上式化为：2-3=0； y 2
2 y 10 3
练习：求函数y x 1 的值域。 x2 2x 3
(2) y k (k 0) y k
x
x 1
y k 2 x 1
对称中心（0，0）（-1，2)
y
o
x
试问: y x 1的图像由y k 如何平移得到
x2
x
解：y x 1 x 2 3
x2
x2
3 1 x2 y
o
x
例4、求下列函数的值域:① y x 2 1 x2 1
(3) 2 x 0 (4) 0 x 4
求 y 的取值范围。
二次函数y x2 2x 8的值域
条件： (1) x R
(2) 2 x 4
(3) 2 x 0 (4) 0 x 4
Y
A
0
（-2，0）
2
BX
（4，0）
X=1
练习: 已知函数f(x+1)=x2+2x-3,试求f(x). 当x∈[-5,3)时f(x)的值域.
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{ y| y
}
4a
例 求下列函数的值域：
① y=x2-4x+1
② y=x2-4x+1 x[3,4]
③ y=x2-4x+1 , x[0,1] ④ y=x2-4x+1 x[0,5]
解： ∵ y=x2-4x+1 = (x-2)2-3
∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. (对称轴x=2)
①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R
求值域的方法，这节课主要讲解配方法求函数的
值域。
配方法：
• 形如 y=ax2+bx+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数 的值域, 要注意 x 的取值范围.
二次函数 : f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
定义域为R
当a>0时，值域为: 当a<0时，值域为:
4ac b2
{ y| y
}
4a
4ac b2
授课人： 王晓倩
求函数值域方法很多，常用方法有：
（1） 配方法 （2） 换元法
（3）判Байду номын сангаас式法 （4）不等式法
（5）反函数法、 （6）图像法（数形结合法）
（7）函数的单调性法(导数） （8）均值不等式法
•
这些方法分别具有极强的针对性，每一种
方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问
题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择
决定函数的最大（小）值.
练习
求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的 值域: ①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]
谢谢观看！
x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， ymin =-3， ymax =6
值域为[-3，6].
注：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
⑴若定义域为R时 : 当a>0时，则当x=
b
时，
2a
其最小值；ym in
4ac 4a
b2
当a<0时，则当
x
b 2a
时，其最大值.
ymax
4ac 4a
b2
⑵若定义域为x [a,b]
∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y≥-3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2, x=4时，y=1
∴在[3,4]上,ymin =-2， ymax =1； 值域为[-2，1]. 解③略: 解④ ∵顶点横坐标2 [0,5] 当x=2时，ymin =-3, x=0时，y=1,
则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
.
①若x0 [a,b],则
②若X0 [a,b],则[a,b]
当a>0时,f(x0)是函数的最小值;
在f(x)的单调区间内
当a<0时,f(x0)是函数的最大值 再比较f(a),f(b)的大小
只需比较f(a),f(b)的大小即可 决定函数的最大（小）值.