最短路问题的Floyd算法优化

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最短路问题Dijkstra_Floyd_算法

K=3 +1=4 ∵ min{u6，u7，u8，u9}
=min{10，9，12，} =9= u7
∴ 点v7得永久标号， 7=5 ，
X2={v1，v4 ，v3 ， v2， v5，v7}，X2={v6 ，v8 ，v9}，
在vj∈X5中，临时标号不变。 K=4 +1=5 ∵ min{u6，u8，u9}=min{10，12，} =10= u6
K=0 ∵ min{u2，u3，u4，u5，u6，u7，u8，u9}
=min{6，3，1，，，，，}
=1= u4 6
v2
3
1
v5
4
2
v9
6 3
4
v1
1
2
v3
2
6
3 10 2
v8
v4
10
∴ 点v4得永久标号， 4=1 ，X1={v1，v4}， X1={v2，v3， v5，v6 ，v7，v8 ，v9}，在所有vj∈X1中， ∵ u6= ，u4+w46=1+10=11，即 u4+w46< u6 ∴ 修改临时标号u6= 11 ，6=4 ，其余标号不变。
6
1 2 6 10
v5
4 3 10 2
2 6
v9
3
v1
1
3
v3
2
从v1到v8：
v4
v6
v7
4
v8
P1=（v1，v2，v5，v8）
费用 6+1+6=13
P2=（v1，v3，v4， v6， v7， v8）费用 3+2+10+2+4=21
P3= …… 从v1到v8的旅行路线从v1到v8的路。最短路问题中，不考虑有向环、并行弧。

matlab的floyd算法

matlab的floyd算法Floyd算法，是一种图论算法，用于在加权图中求解最短路径。

它是以发明者之一、罗伯特·弗洛伊德的名字命名的。

这个算法同样被用于对于任意两点之间的最长路径（所谓的最短路径问题）进行求解。

算法描述给定一个带权的有向图G=(V,E)，其权值函数为w，下面我们定义从顶点i到顶点j的路径经过的最大权值为dist(i,j)。

特别地，当i=j时，dist(i,j)=0。

为了方便描述算法，我们用D(k,i,j)表示从顶点i到顶点j且路径中的所有顶点都在集合{1,2,⋯,k}中的所有路径中，最大边权值的最小值。

则从顶点i到顶点j的最短路径的边权值就是 D(n,i,j)，其中n是图中顶点的数量。

算法思想：建立中间顶点集合算法是通过不断地扩充中间顶点集合S，来求解任意两点之间的最短路径。

具体来说，设S={1, 2, ⋯, k}，其中k是整数。

Floyd算法的基本思想是，依次考察所有可能的中间顶点x（即所有S中的顶点），对于每个中间顶点x，若从i到x再到j的路径比已知的路径更短，则更新dist(i,j)为更小的值D(k,i,j)。

最终，在S={1, 2, ⋯, n}的情况下，所得到的D(n,i,j)就是顶点i到顶点j之间的最短路径的长度。

Floyd算法的核心是一个三重循环，在每一轮循环中，枚举S中所有的中间顶点x，通过动态规划计算出从i到j的最短路径长度D(k,i,j)。

这一过程可表述为：for k = 1 to nfor i = 1 to nfor j = 1 to nif D(k,i)+D(j,k) < D(k,i,j)D(k,i,j) = D(k,i)+D(j,k)其中D(0,i,j)即为dist(i,j)，若i和j不连通，则D(0,i,j)=+Inf。

算法实现function D = Floyd(adjmat)% adjmat为邻接矩阵邻接矩阵adjmat的定义为：- 若两个顶点之间有边相连，则对应位置为该边的边权值；- 若两个顶点之间没有边相连，则对应位置为0。

车辆路径问题的求解方法

车辆路径问题的求解方法
车辆路径问题是指在给定的地图或路网上，寻找一条最优路径或最短路径，使得车辆从起点到终点能够在最短时间或最小代价内到达目的地。

常见的车辆路径问题包括最短路问题、最小生成树问题、最优化路径问题等。

以下是常见的车辆路径问题的求解方法：
1. Dijkstra算法：Dijkstra算法是求解单源最短路径问题的经典算法，它通过不断更新起点到各个节点的最短距离来求解最短路径。

该算法适用于路网较小的情况。

2. Floyd算法：Floyd算法是一种求解任意两点间最短路径的算法，它通过动态规划的思想，逐步计算出任意两点之间的最短路径。

该算法适用于路网较大的情况。

3. A*算法：A*算法是一种启发式搜索算法，它通过估计每个节点到终点的距离，来选择最优的扩展节点。

该算法适用于需要考虑路况等因素的情况。

4. 蚁群算法：蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的算法，它通过模拟蚂蚁在路径上的行走过程，来寻找最优路径。

该算法适用于需要考虑多个因素的情况。

5. 遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的算法，它通过不断交叉、变异、选择等操作，来寻找最优解。

该算法适用于需要考虑多个因素的情况。

以上是常见的车辆路径问题的求解方法，不同的问题需要选择不同的算法来求解。

最短路问题的求解方法

最短路问题的求解方法最短路问题是图论中的一个经典问题，它在很多实际应用中都有着重要的作用。

在现实生活中，我们经常需要求解最短路径，比如在地图导航、网络通信、交通运输等领域。

因此，研究最短路问题的求解方法具有重要的理论意义和实际应用价值。

在图论中，最短路问题的求解方法有很多种，其中比较经典的有Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。

这些算法各有特点，适用于不同的场景和要求。

下面我们就逐一介绍这些算法的原理和求解方法。

Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它采用贪心策略，每次找到当前距离最短的节点进行松弛操作，直到所有节点都被遍历。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的个数。

这种算法适用于边权值为正的图，可以求解从单个源点到其他所有点的最短路径。

Bellman-Ford算法是一种用于求解单源最短路径的算法，它可以处理边权值为负的图，并且可以检测负权回路。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为节点的个数，E为边的个数。

这种算法适用于一般情况下的最短路径求解，但是由于其时间复杂度较高，不适用于大规模图的求解。

Floyd-Warshall算法是一种用于求解所有点对最短路径的算法，它可以处理边权值为正或负的图，但是不能检测负权回路。

Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点的个数。

这种算法适用于求解图中所有点对之间的最短路径，可以同时求解多个源点到多个目标点的最短路径。

除了上述几种经典的最短路求解算法外，还有一些其他的方法，比如A算法、SPFA算法等。

这些算法在不同的场景和要求下有着各自的优势和局限性，需要根据具体情况进行选择和应用。

在实际应用中，最短路问题的求解方法需要根据具体的场景和要求进行选择，需要综合考虑图的规模、边权值的情况、时间效率等因素。

同时，对于大规模图的求解，还需要考虑算法的优化和并行化问题，以提高求解效率。

由三村最短路问题两个解法引发的推广

由三村最短路问题两个解法引发的推广
三村最短路问题是一道经典的图论问题，其两个解法——Dijkstra算法和SPFA算法是求解最短路问题中最常见的两种算法。

然而，这两种算法并不是万能的，它们在某些情况下可能会出现不
稳定的情况，甚至会因为一些特殊情况导致死循环。

因此，在实际应用场景中，我们需要针对具体问题的特点来选
择合适的求解最短路的算法。

例如，在需要处理负权边的情况下，Dijkstra算法已经不再适用，因为它只适用于处理非负权边的图。

此时，可以使用Bellman-Ford算法来解决该问题。

还有一种针对稀疏图的优化算法——堆优
化的Dijkstra算法，其可以在处理大型稀疏图时显著提升效率。

除此之外，还有一种通过预处理将最短路问题转化为最小生成
树问题来解决的算法——Floyd算法。

该算法可以处理带有负权环
的图，但是其时间复杂度相对较高。

综上所述，对于不同的最短路问题，我们需要使用不同的求解
算法，并且还需要根据具体问题的特点进行修改和优化。

因此，对
于算法的掌握不仅需要理解其原理，还需要灵活运用和创新。

matlab floyd最短路算法例题

matlab floyd最短路算法例题摘要：一、Floyd 算法介绍二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题三、Floyd 算法的应用案例四、总结正文：一、Floyd 算法介绍Floyd 算法是一种经典的动态规划算法，用于求解加权连通图（有向图、无向图）中所有顶点之间最短路的长度。

该算法可以处理带有负权边的图，并且时间复杂度为O(n3)。

Floyd 算法的基本思想是：从任意节点i 到任意节点j 的最短路径不外乎2 种可能，1 是直接从i 到j，2 是从i 经过若干个节点k 到j。

所以，我们假设Dis(i,j) 为节点u 到节点v 的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) Dis(k,j) < Dis(i,j) 是否成立，如果成立，证明从i 到k 再到j 的路径比i 直接到j 的路径短，我们便设置Dis(i,j) Dis(i,k) Dis(k,j)。

二、MATLAB 实现Floyd 最短路算法的例题以下是一个使用MATLAB 实现Floyd 算法的例题：```MATLABfunction [T,pred] = floyd(adj_matrix)% 输入：邻接矩阵% 输出：最短路径矩阵，预测矩阵= size(adj_matrix, 1);T = zeros(n, n);pred = zeros(n, n);for i = 1:nfor j = 1:nfor k = 1:nif i ~= k && i ~= j && k ~= jT(i, j) = min(T(i, j), T(i, k) + T(k, j));pred(i, j) = T(i, k) + T(k, j);endendendendend```三、Floyd 算法的应用案例Floyd 算法在网络分析、社交网络、生物信息学等领域具有广泛的应用。

例如，在网络分析中，Floyd 算法可以用于寻找网络中的最短路径，以便快速传递信息或货物。

最短路问题的求解方法

最短路问题的求解方法最短路问题是图论中一个经典的问题，它在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通规划、网络通信、物流配送等领域都有着重要的作用。

在解决最短路问题时，我们通常会采用不同的算法来求解，本文将介绍几种常见的最短路求解方法。

首先，我们来介绍最简单的最短路求解方法——暴力法。

暴力法的思路是枚举所有可能的路径，并找出其中的最短路。

虽然暴力法在理论上是可行的，但在实际应用中，由于其时间复杂度较高，往往不适用于大规模的图。

因此，我们需要寻找更加高效的算法来解决最短路问题。

其次，我们可以考虑使用迪杰斯特拉算法（Dijkstra algorithm）来求解最短路问题。

迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它通过不断地选择距离起点最近的顶点，并更新其邻居顶点的距离，来逐步求解最短路。

迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。

这使得它在实际应用中具有较高的效率，尤其适用于稠密图的求解。

除了迪杰斯特拉算法外，我们还可以使用弗洛伊德算法（Floydalgorithm）来解决最短路问题。

弗洛伊德算法采用动态规划的思想，通过不断更新图中任意两点之间的最短路径长度，来逐步求解整个图的最短路。

弗洛伊德算法的时间复杂度为O(V^3)，因此在大规模图的求解中也具有较高的效率。

除了上述算法外，我们还可以考虑使用A算法、贝尔曼-福特算法等其他算法来解决最短路问题。

这些算法各有特点，适用于不同类型的图和不同的应用场景。

总的来说，最短路问题是一个重要且经典的问题，在实际应用中有着广泛的应用。

在求解最短路问题时，我们可以根据具体的情况选择合适的算法来求解，以提高效率和准确性。

希望本文介绍的几种最短路求解方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。

Floyd算法求解最短路长时的路径确定

简洁方式。最短路；法；算路径
ｌｎｔｎａｎｔｒｅｗｅｎａｙｔｉｔ，ｂｕｔｗａｔｔｔｒｎｈｈｒｅｔｐｔｅｗｅｎｔｅｇｈｏｅｗｏｋｂｔｅｎｗｏｐｏｎｓｔｉｎｏｄｅｅｍｉｅｔｅｓｏｓａｈｂｔｅｗｏｔｐｉｔ，ｗａｅａｉｅｙｖｇｅｉｅｆｏｎｓｓｒｌｔｖｌａｕｔｌ．Ｏｎｔｓｉｓｅｅｅａｔｌｅａｕｅｈｅｎｏｈｅｃｒｅｐｎｎｇｓｈｉｓｕ，ｒｌｖｎｉｒｔｒａｂｅｎｔｏｒｓｏｄｉｔｓｄｓｒｐｔｎｅｃｉｉ，ｂｕｌａｅｖｒｏｌｃｔｄ１ｉｐｒｃｏｅｙｌｅｌｙｇｒｔｍ．ｔｏｈｎｔｏｔａｒｅｙｃｍｐｉａｅ．１１ｓｐａｅｌｓｌｉｄＦｏｄａｏｉｈｌｎｋｌｈｕｇｔｏｈｅｂｉｆｔｅａｇｒｔｓａｓｏｏｈｍ，ｅｅｅｉｌｙａｏｔｓａｃｉｇｔｈｒｅｔｐｔｈｌｉｒｖａｄｔｓｍｐｅｗａｂｕｅｒｈｎｓｏｔｓａｈ．ｌｈｅｈｅ
ＷＵＬＩＵＬＩＬＵＮＹＵＳＨＵＮ
Ｆｌｙｏｄ算法求解最短路长时的路径确定
曾方俊
（州商业高等专科学校，州贵阳５００）贵贵５０４
摘
要：
最短路问题属于求优问题的一种，ｌｄＦｙ算法能够很方便地求出某网络上任意两点间的最短ｏ路长，但要去确定两点间具体的最短路径，法本身的表述就显得比较含糊，关文献对此算相问题有过相应的探讨，文紧密联系Ｆｏｄ算法思想，算法的基础上揭示了最短路径确定的本ｌｙ在

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j 列的元素都大于等于
d ( kij
1) 时,
此时直接得
d ( k) ij
=
d ( kij
1) ,
加法的计算量为
0次. 故算法
2中, 计算
点
vi 到点
vj
的最短路
d
( ij
k)
的
加法计算
量为
0~
n-
2 次,
为一随机变量, 不妨记为 X.
现假设随机变量 X
在
0
~
n-
2取值是等可能的 [ 6] , 由此得随机变量
显然上述寻找最短路径的方法不直观、比较繁琐. 基于这两点不足, 本文在不含负回路的网络中对
F loyd算法进行了优化, 不仅简化了计算量, 而且0- 07 基金项目: 广西省自然科学基金项目 ( 2008M 1002 ) 作者简介: 张德全 ( 1959 ), 男, 河南漯河人, 副教授, 研究方向: 最优化理论.
D
( k) 的元素
d
(k ij
)
:
r 从 1到 n, 且 r∃ i, j时,
如果
d ( kir
1)
∀
d
( ij
k-
1) 或
d ( krj
1)
∀
d
(k ij
-
1) ,
说明插入点
vr 后路长
d ( kij
1)
不会变短,
此时无须计算
d(k ir
1)
+
d
(k rj
-
1
)
.
否则
d ( k) ij
=
m
in { d
,
4+
2} =
6,
a( 1) 35
=
v4;
d ( 1) 41
=
d ( 0) 41
=
!
,
a ( 1) 41
=
;
d ( 1) 42
=
d ( 0) 42
=
1,
a( 1) 42
=
0;
d ( 1) 43
=
m
in {
d ( 0) 43
,
d ( 0) 42
+
d ( 0) 23
}=
m in{ !
,
1+
1} =
2,
a( 1) 43
等领域有着十分广泛的应用, 对该问题求解算法的设计和改进有着重要的理论和应用价值. 目前, 关于最短路问题的研究已有较多结果. 传统的最短路算法主要有 F loyd算法 [ 1] 和 D ijkstra算法 [ 2] 等. 其中 F loyd算
法主要用于计算所有节点对之间的最短路; 而 D ijkstra 算法是一种用于计算从一个源节点到其所有宿节
点最短路的高效算法. 文献 [ 1]提出的 F loyd 算法是通过权矩阵计算来实现的一种方法, 其主要思想是从代表任意两个节点 vi 到 vj 距离的带权邻接矩阵 D ( 0) 开始, 首先计算 D ( 1) , 即计算 vi 到 vj 经过一次经转的
所有可能路径, 经过比较后选出最短路, 代替 D ( 0) 中对应的路径, 迭代列出距离矩阵 D ( 1) , D ( 1) 中各元素表
X
的数学期望为 n2
2,
即在计算点
vi 到点
vj
的最短路
d
( ij
k)
时
,
加法计算量为 n- 2, 而距离矩阵中有 n2 个元素, 因此算法 2求最短路的计算复杂度约为 O ( 1 n3 ). 由此可
2
2
见, 利用算法 2求最短路时, 计算量约为算法 1的一半.
3 计算实例
例 1 已知网络如图 1所示, 计算所有节点之间的最短路. 解显然图 1是一个不含负回路的网络, 由图 1得初始距离矩阵 D ( 0) 和序号矩阵 A ( 0) :
(k- 1) rj
∀d
( ij
k
-
1) ,
则说明插入节点
vr 后,
点
vi 经过
节点
vr
到达点
vj
的路长不会比原来的短, 于是不用再计
d ( kir
1)
+
d(k rj
-
1) , 进入下一个节点的搜索.
对于问题 ( 2), 构造一个序号矩阵
A (k)
=
(
a
( ij
k)
),
( k=
0,
1,
), 记录算法第二步中第 k 次迭代插入节
顶点对之间的最短距离信息, 成为最短距离矩阵. 其算法 (记为算法 1)如下 [ 3] :
第一步, 作初始距离矩阵
D ( 0)
=
(
d
( ij
0)
), 其中:
d(0) ij
=
W ij, i, j 相邻对
, ( i, j= 1, 2,
! , i, j 不相邻或无路时
, n);
第二步, 构造迭代矩阵 D ( k)
=
0, i, j相邻时 , i, j 不相邻或无路时, ( i, j= 1, 2,
, n).
此时距离矩阵 D ( 0) 中的元素
d
( ij
0)
表示任
意两
点
vi、vj
不经过其它节点的路长.
第二步, 构造迭代矩阵 D ( k)
=
(d
(k ij
)
)和序号矩阵
A(k)
=
(
a( k ) ij
).
#
对于迭代矩阵
d ( 0) 12
,
d ( 0) 34
+
d ( 0) 42
} = m in{ !
,
2+
1,
4+
2} =
3,
a(1) 32
=
v1;
d ( 1) 34
=
d ( 0) 34
=
4,
a( 1) 34
=
0;
d ( 1) 35
=
m
in {
d ( 0) 35
,
d ( 0) 34
+
d ( 0) 45
}=
m in{ !
(k ij
-
1)
,
d ( k- 1) ir
+
d ( k- 1) rj
}.
% 相应地, 序号矩阵 A ( k) 的各元素变化为:
若
d(k ) ij
=
d(k- 1) il
+
d ( klj
1) ,
且
d ( k) ij
<
d ( kij
1) , 则记下点
vl, 并在序号矩阵中
A ( k ) 对应的元素
a
( ij
a( 1) 24
=
0;
d ( 1) 25
=
m
in
{
d ( 0) 25
,
d ( 0) 24
+
d ( 0) 45
}=
m
in{ 5,
2+
2}
=
4,
a ( 1) 25
=
v4;
d ( 1) 31
=
d ( 0) 31
=
2,
a( 1) 31
=
0;
d ( 1) 32
=
m
in
{
d ( 0) 32
,
d ( 0) 31
+
k)
变
为:
a ( k) ij
=
{
a ( kil
1) ,
vl,
a ( k- 1) lj
}.
表明经过该次迭代后从节点 vi 出发到节点 vj 的最短路长经过节点 vl 路长变短.
否则,
a ( k) ij
=
a . ( k - 1 ) ij
第三步, 若 D ( k+ 1) = D ( k ) , 迭代终止. 否则, 返回第二步.
摘要: 给出了在不含负回路的网络中 F loyd算法的优化方法, 通过构造求解最短路径的迭
代矩阵和序号矩阵优化了 F loyd算法, 使计算量降低一倍, 并且路径寻找简单、直观、高效.
关键词: 最短路; F loyd 算法; 最短路径; 优化
中图分类号: TP301. 6
文献标识码: A
0 引言
最短路作为图与网络技术研究中的一个经典问题一直在工程规划、地理信息系统、通信和军事运筹学
第 28卷第 2期 2009年 3月
许昌学院学报 JOURNAL OF XUCHANG UN IVERSITY
Vo .l 28. N o. 2 M ar. 2009
文章编号: 1671 - 9824( 2009) 02 - 0010- 04
最短路问题的 F loyd算法优化
张德全, 吴果林
( 桂林航天工业高等专科学校计算机系, 广西桂林 541004)
,
3+
1} =
4,
a( 1) 53
=
v2;
d ( 1) 54
=
m
in {
d ( 0) 54
,
d ( 0) 52
+
d ( 0) 23
}=
m in{ !
,
3+
2} =
5,
a( 1) 54
=
v2;
于是得矩阵 D ( 1 ) 和 A ( 1) :
0 1236
0 0 v2 v2 v2
3 0124
v3 0 0 0 v4