2013挑战中考数学压轴题_培训
中考数学压轴题100题精选71-80答案2013
中考数学压轴题100题精选（71-80题）答案【071】解：（1）由题意得129302b a a b c c ⎧=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩∴此抛物线的解析式为224233y x x =+- 3分 （2）连结AC 、BC .因为BC 的长度一定，所以PBC △周长最小，就是使PC PB +最小.B 点关于对称轴的对称点是A 点，AC 与对称轴1x =-的交点即为所求的点P .设直线AC则302k b b -+=⎧⎨=-⎩ ∴此直线的表达式为223y x =--．……5分 把1x =-代入得43y =-∴P 点的坐标为413⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ············································· 6分 （3）S 存在最大值······································································································ 7分理由：∵DE PC ∥，即DE AC ∥．∴OED OAC △∽△．∴OD OE OC OA =，即223m OE-=． ∴333322OE m AE OE m =-==，，方法一：连结OP OED POE POD OED PDOE S S S S S S =-=+-△△△△四边形 =()()13411332132223222m m m m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=23342m m -+ ········································································································· 8分 ∵304-<，∴当1m =时，333424S =-+=最大 ················································ 9分方法二：OAC OED AEP PCD S S S S S =---△△△△=()1131341323212222232m m m m ⎛⎫⨯⨯-⨯-⨯--⨯⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ （第24题图）=()22333314244m m m -+=--+ ········································································· 8分 ∵304-<，∴当1m =时，34S =最大 ·································································· 9分【072】解：（1）①2AB =，842OA ==，4OC =，S 梯形OABC =12②当42<<t 时，直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形OABC 面积－直角三角开DOE 面积2112(4)2(4)842S t t t t =--⨯-=-+-（2） 存在 ，123458(12,4),(4,4),(,4),(4,4),(8,4)3P P P P P --- 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： ① 以点D 为直角顶点，作1PP x ⊥轴Rt ODE ∆在中，2OE OD =∴，设2OD b OE b ==，.1Rt ODE Rt PPD ∆≈∆，（图示阴影）4b ∴=，28b =，在上面二图中分别可得到P 点的生标为P （－12，4）、P （－4，4）E 点在0点与A 点之间不可能；② 以点E 为直角顶点同理在②二图中分别可得P 点的生标为P （－83，4）、P （8，4）E 点在0点下方不可能. ③ 以点P 为直角顶点同理在③二图中分别可得P 点的生标为P （－4，4）（与①情形二重合舍去）、P （4，4）， E 点在A 点下方不可能.综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．下面提供参考解法二：以直角进行分类进行讨论（分三类）：第一类如上解法⑴中所示图22P DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为b (-,b)2，直线DE 的中垂线方程：1()22b y b x -=-+，令4y =得3(8,4)2b P -．由DE =2332640b b -+=解得 121883b b P P ==∴=3b ，将之代入（-8，4）（4，4)、22(4,4)P -； 第二类如上解法②中所示图22E DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PE 的方程：122y x b =-+，令4y =得(48,4)P b -．由已知可得PE DE =即=22(28)b b =-解之得 ，123443b b P P ==∴=，将之代入（4b-8，4）（8，4)、48(,4)3P - 第三类如上解法③中所示图22D DE y x b ∠=+为直角：设直线：，D 此时（-b,o)，E(O,2b) ，直线PD 的方程：1()2y x b =-+，令4y =得(8,4)P b --．由已知可得PD DE =即12544b b P P ==-∴=，将之代入（-b-8，4）（-12，4)、 6(4,4)P -（6(4,4)P -与2P 重合舍去）． 综上可得P 点的生标共5个解，分别为P （－12，4）、P （－4，4）、P （－83，4）、 P （8，4）、P （4，4）．事实上，我们可以得到更一般的结论：如果得出AB a OC b ==、、OA h =、设b ak -=，则P 点的情形如下【073】(1)∵∠A 、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A ＝∠C ． ∴Rt △APD ∽Rt △CPB，∴AP PD CP PB=，∴PA ·PB ＝PC ·PD ；………………………3分(2)∵F 为BC 的中点，△BPC 为Rt △，∴FP ＝FC ，∴∠C ＝∠CPF ． 又∠C ＝∠A ，∠DPE ＝∠CPF ，∴∠A ＝∠DPE ．∵∠A ＋∠D ＝90°， ∴∠DPE ＋∠D ＝90°．∴EF ⊥AD ．(3)作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N ，同垂径定理： ∴OM 2＝2－42＝4，ON 2＝2－32＝11 又易证四边形MONP 是矩形， ∴OP【074】（1）解：由题意得|4||8|12OA =-+=，A ∴点坐标为(120)-，．在Rt AOC △中，∠tan 12tan60OC OA OAC =∠=⨯=°C ∴点的坐标为(0-，．设直线l 的解析式为y kx b =+，由l 过A C 、两点，得012bk b⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩解得b k ⎧=-⎪⎨=⎪⎩直线l 的解析式为：y =-（2）如图，设2O ⊙平移t 秒后到3O ⊙处与1O ⊙第一次外切于点P ，3O ⊙与x 轴相切于1D 点，连接1331O O O D ，．则13138513OO O P PO =+=+= 31O D x ⊥轴，315O D ∴=，在131Rt O O D △中，1112O D ===． ········································· 6分1141317O D OO OD =+=+=，111117125D D O D O D ∴=-=-=，551t ∴==（秒）2O ∴⊙平移的时间为5秒． ······································································ 8分 【075】解：（1）对称轴是直线：1=x ，点A 的坐标是（3，0）． ···································································· 2分 （说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分） （2）如图11，连接AC 、AD ，过D 作轴 y DM ⊥于点M ，解法一：利用AOC CMD △∽△∵点A 、D 、C 的坐标分别是A （3，0），D （1，b a --）、C （0，b -）， ∴AO ＝3，MD =1．由MD OC CM AO =得13ba =∴03=-ab ···················································· 3分 又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02∴由⎩⎨⎧=-=-0303b a ab 得⎩⎨⎧==31b a∴函数解析式为：322--=x x y ····················································································· 6分 解法二：利用以AD 为直径的圆经过点C∵点A 、D 的坐标分别是A （3，0） 、D （1，b a --）、C （0，b -）， ∴29b AC +=，21a CD +=，2)(4b a AD --+=∵222AD CD AC =+∴03=-ab …① 又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02…② ················································· 4分 由①、②得13a b ==， ∴函数解析式为：322--=x x y ···································· 6分 （3）如图所示，当BAFE 为平行四边形时，则BA ∥EF ，并且BA ＝EF ． ∵BA =4，∴EF =4 ，由于对称为1=x ，∴点F 的横坐标为5． ······························ 7分 将5=x 代入322--=x x y 得12=y ，∴F （5，12）． 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧 抛物线上也存在点F ，使得四边形BAEF 是 平行四边形，此时点F 坐标为（3-，12）． 当四边形BEAF 是平行四边形时，点F 即为点D ，此时点F 的坐标为（1，4-）． 综上所述，点F 的坐标为（5，12）， （3-，12）或（1，4-）． 【076】解：（1）∵四边形OBHC 为矩形，∴CD ∥AB ， 又D （5，2）， ∴C （0，2），OC =2 .∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=2552122n m n 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=225n m∴抛物线的解析式为：225212+-=x x y …… 4分 （2）点E 落在抛物线上. 理由如下：……… 5分 由y = 0，得0225212=+-x x . 解得x 1=1，x 2=4. ∴A （4，0），B （1，0）.∴OA =4，OB =1. 由矩形性质知：CH =OB =1，BH =OC =2，∠BHC =90°，由旋转、轴对称性质知：EF =1，BF =2，∠EFB =90°，∴点E 的坐标为（3，－1）. 把x =3代入225212+-=x x y ，得123253212-=+⋅-⋅=y ， ∴点E 在抛物线上. （3）法一：存在点P （a ，0），延长EF 交CD 于点G ，易求OF =CG =3，PB =a －1.S 梯形BCGF = 5，S 梯形ADGF = 3，记S 梯形BCQP = S 1，S 梯形ADQP = S 2，下面分两种情形： ①当S 1∶S 2 =1∶3时，52)35(411<=+=S ，此时点P 在点F （3，0）的左侧，则PF = 3－a ，由△EPF ∽△EQG ，得31==EG EF QG PF ，则QG =9－3a ，∴CQ =3－(9－3a ) =3a －6，由S 1=2，得22)163(21=⋅-+-a a ，解得49=a ；②当S 1∶S 2=3∶1时，56)35(431>=+=S ，此时点P 在点F （3，0）的右侧，则PF = a －3，由△EPF ∽△EQG ，得QG = 3a －9，∴CQ = 3 +（3 a －9）= 3 a －6，由S 1= 6，得62)163(21=⋅-+-a a ，解得413=a ，综上所述：所求点P 的坐标为（49，0）或（413，0）……… 14分法二：存在点P （a ，0）. 记S 梯形BCQP = S 1，S 梯形ADQP = S 2，易求S 梯形ABCD = 8. 当PQ 经过点F （3，0）时，易求S 1=5，S 2 = 3，此时S 1∶S 2不符合条件，故a ≠3. 设直线PQ 的解析式为y = kx +b(k ≠0)，则⎩⎨⎧=+-=+013b ak b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=331a a b a k ，∴331---=a ax a y . 由y = 2得x = 3a －6，∴Q （3a －6，2） ……… 10分 ∴CQ = 3a －6，BP = a －1，742)163(211-=⋅-+-=a a a S . 下面分两种情形：①当S 1∶S 2 = 1∶3时，841S 41ABCD 1⨯==梯形S = 2；∴4a －7 = 2，解得49=a ；……………………………………………… 12分 ②当S 1∶S 2 = 3∶1时，6843S 43ABCD 1=⨯==梯形S ； ∴4a －7 = 6，解得413=a ；综上所述：所求点P 的坐标为（49，0）或（413，0）………… 14分[说明：对于第（3）小题，只要考生能求出49=a 或413=a 两个答案，就给6分. ]【077】解：（1）把B （0，6）代入m y +-=43，得m ＝6………………………1分把y ＝0代入643+-=y ，得x ＝8 ∴点A 的坐标为（8，0）…………… 3分 （2）在矩形OACB 中，AC ＝OB ＝6， BC ＝OA ＝8，∠C ＝90°∴AB ＝10862222=+=+BC AC∵P D ⊥AB ∴∠PDB =∠C ＝90°BA BC BP BD CBA ==∠cos ，∴108=a BD ∴a BD 54=∴a AD 5410-= 又∵B C ∥AE ，∴△PB D ∽△EAD∴BD AD BP AE =，即545410a aaAE -=，∴a a AE -=-=5.12)5410(45 ∵AC AE PC S PEAC )(21+=梯形，∴5.6166)5.128(21+-=-+-=a a a s（8<≤a o ）……………………………7分 （注：写成8<<a o 不扣分）② ⊙Q 是△OAB 的内切圆 ，可设⊙Q 的半径为r ∵8621)1086(21⨯⨯=++=∆r S OAB ,解得r=2.………………………………………8分 设⊙Q 与OB 、AB 、OA 分别切于点F 、G 、H可知，OF ＝2∴BF ＝BG ＝OB －OF ＝6－2＝4，设直线PD 与⊙Q 交于点 I 、J ，过Q 作Q M ⊥IJ 于点M ，连结IQ 、QG ， ∵QI ＝2，2.121==IJ IM ∴ 6.122=-=IM QI QM ∴ 在矩形GQMD 中，GD ＝QM ＝1.6∴BD ＝BG+GD ＝4+1.6＝5.6，由108cos ===∠BA BC BP BD CBA ，得745==BD BP ∴点P 的坐标为（7，6）…………………………………………………………………11分当PE 在圆心Q 的另一侧时，同理可求点P 的坐标为（3，6）………………………12分 综上，P 点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………………………………………13分。
2013中考压轴题解析
2013中考压轴题解析解析：二次函数压轴题必有求解析式的一问，而且第二问大部分都是各种存在性的问题，如果出现了第三问，那么很可能就是拓展内容，当然也可能不是3个小题，但是只要没有拓展类的问题，就不能算是难题了。
(1）抛物线解析式中有两个参数b、c，但是只给了一个坐标点D，所以我们还需要一个点才能解出两个参数，刚好直线CD的解析式给出了，那么可得到点C的坐标（0，2），那么可直接获取c=2，将点D坐标代入抛物线解析式-9+3b+2=7/2b=7/2所以解析式y=-x²+7/2x+2（2）O、C、P、F围成平行四边形，那么已知OC//PF，那么只要令OC=PF即可，根据第一问可知OC=2，所以PF=2，而我们则需要表示出PF的长度，P的坐标可知（m，-m²+7/2m+2），而F的坐标则需要借助CD所在的直线，直线CD：y=1/2x+2则可知F（m，1/2m+2）那么PF的长度怎么表示呢？是P在F上面，还是F在P上面呢？（这一点必须考虑到）题中只说了P是y轴右侧的，所以势必会存在两种情况，因此我们用坐标表示的时候加个绝对值，即PF=|-m²+3m|=2这样得到两个方程m²-3m+2=0和m²-3m-2=0；第二个方程解出的m有一个负值，舍去；那么最终可得到3个m的值；（3）第三小题这种直线夹角问题，初中阶段势必要借助相似，而这一题又是让直接写出结果，所以过程不用说，一定不会少；直接借助题上的图形，假设P就在这个位置上（P在CD上方，当然还可能出现在CD下方）；那么∠PCD=45°，有45°角，根据我们平时学的知识，唯有等腰直角三角形最适合，所以我们过P向CD做垂线，来构造等腰直角；如图，可知PG=CG，但是没啥用，因为条件太少，所以仍然不知道如何去解决P的位置，那么观察图形，我们做了PG⊥CD，同时构造了一个Rt△PFG，而这里还出现了个对顶角，∠PFG=∠CFE，如果过C向PE做垂线，垂线长度不仅=m，构造的三角形还能与△PFG相似，如图，利用对应角相等可得△CHF∽△PGF那么CH：PG=FH：FG其中CH=m，FH=m/2，FG=CG-CF=PG-CF而CF在Rt△CHF中，可知CF=m√5/2所以全部代入比例式中，可解出PG长度，而根据相似，或者勾股定理在△PGF中可得PF长度，那么PE=PF+FH+EH，即P的纵坐标可得，将P的横纵坐标代入抛物线解析式可解出m；第二种情况，P在CD下方的时候，如图，根据45°角可知绿色的CP线和第一种情况红色的CP关于CD对称，所以我们可以利用对称性找出绿色CP线的解析式，而不用非得再来一次相似，延长红色PG交绿色CP于K，如图，可知上方的P和绿色的K关于G对称，根据刚才的P的坐标，可以解出G的坐标（在△PGF中，过G向PF做垂线，得到G到x轴和y轴距离可得G坐标）利用中点坐标公式可求出K的坐标结合C和K的坐标获取直线CK的解析式联合抛物线解析式可得绿色P的坐标；（由于分号太多了，所以不提供计算过程）。
2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)
2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(二)例3 如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连接MF 交线段AD 于点P ，连接NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）当△NPF 的面积为32时，求x 的值； （3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切？如果能，请求出x 的值，如果不能，请说明理由．解析：（1）∵正方形BEFG 、正方形DMNK 、正方形ABCD ∴∠E ＝∠F ＝90O，AE ∥MC ，MC ∥NK ∴AE ∥NK ，∴∠KNA ＝∠EAF∴△KNA ∽△EAF ，∴NKEA＝KAEF，即yx ＋6＝y －6x∴y ＝x ＋6（0＜x≤6）（2）由（1）知NK ＝AE ，∴AN ＝AF∵正方形DMNK ，∴AP ∥NM ，∴FPPM＝AFAN＝1∴FP ＝PM ，∴S △MNP＝S △NPF＝32 ∴S 正方形DMNK＝2S △MNP＝64 ∴y ＝8，∴x ＝2（3）连接PG ，延长FG 交AD 于点H ，则GH ⊥AD易知：AP ＝y2，AH ＝x ，PH ＝y2－x ，HG ＝6；PG ＝AP ＋GF ＝y2＋x①当两圆外切时在Rt △GHP 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即(y2 －x )2＋6 2＝(y2＋x)2解得：x ＝－3－33（舍去）或x ＝－3＋33②当两圆内切时在Rt △GHP 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( y 2 －x )2＋6 2＝( y2－x)2方程无解所以，当x ＝33－3时，两圆相切例4 已知：正方形ABCD 的边长为1，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，∠EAF ＝45°，连接EF ．（1）如图1，当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设BE ＝x ，DF ＝y ，当点E 在线段BC 上运动时（不包括点B 、C ），求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当点E 在射线BC 上运动时（不含端点B ），点F 在射线CD 上运动．试判断以E 为圆心，以BE 为半径的⊙E 和以F 为圆心，以FD 为半径的⊙F 之间的位置关系；（4）如图2，当点E 在BC 的延长线上时，设AE 与CD 交于点G ．问：△EGF 与△EFAN KG CE D FA B PMADADF能否相似？若能相似，求出BE 的长，若不可能相似，请说明理由． 解析：（1）猜想：EF ＝BE ＋DF证明：将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABF ′，易知点F ′、B 、E 在同一直线上（如.图1） ∵AF ′＝AF∠F ′AE ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝90°－45°＝45°＝∠EAF 又AE ＝AE ，∴△AF ′E ≌△AFE∴EF ＝F ′E ＝BE ＋BF ＝BE ＋DF （2）在Rt △EFC 中，EC 2＋FC 2＝EF 2∵EC ＝1－x ，FC ＝1－y ，EF ＝x ＋y∴(1－x)2＋(1－y)2＝(x ＋y)2∴y ＝1－x 1＋x（0＜x＜1） （3）①当点E 在点B 、C 之间时，由（1）知EF ＝BE ＋DF ，故此时⊙E 与⊙F 外切； ②当点E 在点C 时，DF ＝0，⊙F 不存在.③当点E 在BC 延长线上时，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABF ′（如图2） 则AF ′＝AF ，∠1＝∠2，BF ′＝DF ，∠F ′AF ＝90° ∴∠F ′AE ＝∠EAF ＝45°又AE ＝AE ，∴△AF ′E ≌△AFE ∴EF ＝EF ′＝BE －BF ′＝BE －DF ∴此时⊙E 与⊙F 内切综上所述，当点E 在线段BC 上时，⊙E 与⊙F 外切；当点E 在BC 延长线上时，⊙E 与⊙F 内切（4）△EGF 与△EFA 能够相似，只要当∠EFG ＝∠EAF ＝45°即可 此时CE ＝CF 设BE ＝x ，DF ＝y ，由（3）知EF ＝x －y在Rt △CFE 中，CE 2＋CF 2＝EF 2 ∴(x －1)2＋(1＋y)2＝(x －y)2 ∴y ＝x －1x ＋1（x＞1）由CE ＝CF ，得x －1＝1＋y ，即x －1＝1＋x －1x ＋1化简得x2－2x －1＝0，解得x 1＝1－ 2（舍去），x 2＝1＋2 ∴△EGF 与△EFA 能够相似，此时BE 的长为1＋2例5 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＝2，BC ＝6，AB ＝3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧． （1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求BE 的长； （2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B ′EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B ′EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B ′D ，B ′M ，DM ．是否存在这样的t ，使△B ′DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；A BDCEF G 图2F ′12 A B DC E F图1F ′ 1 2（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．解析：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x则BE＝FG＝BG＝x∵AB＝3，BC＝6，∴AG＝AB－BG＝3－x∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC∴AGAB＝GFBC，即3－x3＝x6解得x＝2，即BE＝2（2）存在满足条件的t，理由如下：如图②，过D作DH⊥BC于点H则BH＝AD＝2，DH＝AB＝3由题意得：BB′＝HE＝t，HB′＝|t－2|，EC＝4－t在Rt△B′ME中，B′M2＝B′E2＋ME2＝22＋(2－12t)2＝14t2－2t＋8∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC∴MEAB＝ECBC，即ME3＝4－t6，∴ME＝2－12t在Rt△DHB′中，B′D2＝DH2＋B′H2＝32＋(t－2)2＝t2－4t＋13 过M作MN⊥DH于点N则MN＝HE＝t，NH＝ME＝2－1 2t∴DN＝DH－NH＝3－(2－12t)＝12t＋1在Rt△DMN中，DM2＝DN2＋MN2＝54t2＋t＋1（ⅰ）若∠DB′M＝90°，则DM2＝B′M2＋B′D2即54t2＋t＋1＝(14t2－2t＋8)＋(t2－4t＋13)，解得t＝207（ⅱ）若∠B′MD＝90°，则B′D2＝B′M2＋DM2即t2－4t＋13＝(14t2－2t＋8)＋(54t2＋t＋1)，解得t1＝－3＋17，t2＝－3－17∵0≤t≤4，∴t＝－3＋17（ⅲ）若∠B′DM＝90°，则B′M2＝B′D2＋DM2即14t2－2t＋8＝(t2－4t＋13)＋(54t2＋t＋1)，此方程无解综上所述，当t＝207或－3＋17时，△B′DM是直角三角形（3）当0≤t≤43时，S＝14t2BACDBACD备用图BACD图①EFGBACD图②EFGH B′MNBACD图③EFGB′H当43≤t≤2时，S＝－18t2＋t－23当2≤t≤103时，S＝－38t2＋2t－53当103≤t≤4时，S＝－12t＋52提示：当点F落在CD上时，如图③FE＝2，EC＝4－t，DH＝3，HC＝4由△FEC∽△DHC，得FEEC＝DHHC即24－t＝34，∴t＝43当点G落在AC上时，点G也在DH上（即DH与AC的交点）t＝2当点G落在CD上时，如图④GB′＝2，B′C＝6－t由△GB′C∽△DHC，得G′BB′C＝DHHC即26－t＝34，∴t＝103当点E与点C重合时，t＝4①当0≤t≤43时，如图⑤∵MF＝t，FN＝1 2t∴S＝S△FMN＝12·t·12t＝14t2②当43≤t≤2时，如图⑥∵PF＝t－43，FQ＝34PF＝34t－1∴S△FPQ＝12(t－43)(34t－1)＝38t2－t＋23∴S＝S△FMN－S△FPQ＝14t2－(38t2－t＋23)＝－18t2＋t－23③当2≤t≤103时，如图⑦∵B′M＝12B′C＝12(6－t)＝3－12t∴GM＝2－(3－12t)＝12t－1∴S梯形GMNF＝12(12t－1＋12t)×2＝t－1BC图⑤EBB C图⑥EBB C图⑦EBBACD图④EFGB′H∴S＝S梯形GMNF－S△FPQ＝(t－1)－(38t2－t＋23)＝－38t2＋2t－53④当103≤t≤4时，如图⑧∵PB′＝34B′C＝34(6－t)＝92－34t∴GP＝2－(92－34t)＝34t－52∴S梯形GPQF＝12(34t－52＋34t－1)×2＝32t－72∴S＝S梯形GMNF－S梯形GPQF＝(t－1)－(32t－72)＝－12t＋52BC图⑧EB。
2013年各地中考数学压轴题精选一[1]
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2013年各地中考压轴题精选一1、（2013泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE=（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．2、（2013•湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，﹣5）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．r=＞∴，即CE=，3、（2013•梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．×=CFP=×=1BC=CP=﹣．AP==．．长为半径画弧，与BC===BCMN====+x=时，有最小值，最小值为周长的最小值为1线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且于该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．轴的另一个交点，理由是最小值即可，即求出∴）∵，且在抛物线上，，时，5、（2013•襄阳）如图，已知抛物线y=ax+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为2秒时，△PAD的周长最小？当t为4或4﹣或4+秒时，△PAD是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．=得．﹣4+∴=∴=或．6、已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD 于点G．(1)如图l，求证：∠EAF=∠ABD；(2)如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=12∠BAF，AF=23AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．考点：本题考查了三角形全等的判断和性质，相似三角形的判断和性质，平行线分线段成比例定理，轴对称性质，三角形四边形内角和，线段的垂直平分线性质要求较高的视图能力和证明推理能力。
中考数学压轴题100题精选(21-30题)2013
中考数学压轴题100题精选（21-30题）（答案在本人文辑中寻找）【021】如图，点P 是双曲线11(00)k y k x x=<<，上一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线y =xk 2（0＜k 2＜|k 1|）于E 、F 两点． （1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1= ▲ (用含k 1、k 2的式子表示)； （2）图2中，设P 点坐标为（－4，3）．①判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；②记2PEF OEF S S S ∆∆=-，S 2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由。
【022】一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m －2，0)，B (m ＋2，0)两点，记抛物线顶点为C ，且AC ⊥BC ．(1)若m 为常数，求抛物线的解析式；(2)若m 为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点，问是否存在实数m ，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【023】如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中：①当动点P 、Q 运动到何处时，以点P 、M 和点A 、B 、C 、D 中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；②当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【024】如图，已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．ADCB P MQ60°【025】如图12，直线4+-=x y 与两坐标轴分别相交于A 、B 点，点M 是线段AB 上任意一点（A 、B 两点除外），过M 分别作MC ⊥OA 于点C ，MD ⊥OB 于D ．（1）当点M 在AB 上运动时，你认为四边形OCMD 的周长是否发生变化？并说明理由； （2）当点M 运动到什么位置时，四边形OCMD 的面积有最大值？最大值是多少？（3）当四边形OCMD 为正方形时，将四边形OCMD 沿着x 轴的正方向移动，设平移的距离为)40<<a a （，正方形OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为S ．试求S 与a 的函数关系式并画出该函数的图象．图12（1）图12（2）图12（3）【026】如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积.（2）操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图12）.探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由.探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系.【027】阅读材料：如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：如图12-2，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B . (1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆； (3)是否存在一点P ，使S △PAB =89S △CAB ，若存在,求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.图12-2xC Oy ABD 1 1【028】如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。
2013年中考数学复习压轴题技巧训练-选择题技巧(精)
中考数学压轴题解题技巧 12013年中考数学冲击波__考前纠错必备 23中考数学压轴题解题技巧湖北竹溪城关中学明道银数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。
求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系进行探索研究。
一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，或探索两个三角形满足什么条件相似等，或探究线段之间的数量、位置关系等，或探索面积之间满足一定关系时求x的值等，或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。
而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。
解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数与方程思想。
以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。
对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。
2013年全国数学中考压轴题分类-反比例函数
2013年全国各地中考数学压轴题专集答案三、反比例函数（浙江湖州）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，sin ∠AOB ＝45，反比例函数y ＝kx （k ＞0）在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．（1）若OA ＝10，求反比例函数的解析式；（2）若点F 为BC的中点，且△AOF 的面积S ＝12，求OA 的长和点C 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点F 作EF ∥OB ，交OA 于点E （如图②），点P 为直线EF 上的一个动点，连结P A ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P ，O ，A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出．．．．所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）过点A 作∵sin ∠AOB ＝45，∴AH ＝8，OH ＝6∴A 点坐标为（6根据题意：8＝k6，∴∴反比例函数的解析式为y ＝48x （x ＞0）（2）设OA ＝a （a ＞0），过点F 作FM ⊥x 轴于M ∵sin ∠AOB ＝45，∴AH ＝45a ，OH ＝35a∴S △AOH ＝12·45a ·35a ＝625a 2∵S △AOF ＝12，∴S □AOBC ＝24∵F 为BC 的中点，∴S △OBF ＝6∵BF ＝12a ，FBM ＝∠AOB ，∴FM ＝25a ，BM ＝310a∴S △BMF ＝12BM ·FM ＝12·310a ·25a ＝350a 2∴S △FOM ＝S △OBF ＋S △BMF ＝6＋350a 2∵点A ，F 都在y ＝k x 的图象上，∴S △AOH ＝S △FOM ＝12k∴625a 2＝6＋350a 2，∴a ＝1033，∴OA ＝1033∴AH ＝833，∴OH ＝2 3∵S □AOBC ＝OB ·AH ＝24，∴OB ＝AC ＝3 3 ∴C （53，833） （3）存在三种情况： 当∠APO ＝90°时，在OA 的两侧各有一点P ，分别为：图①P 1（833，433），P 2（－233，433）当∠P AO ＝90°时，P 3（3439，433）当∠POA ＝90°时，P 4（－1639，433） （浙江义乌）如图1，已知y ＝6x （x ＞0）图象上一点P ，P A ⊥x 轴于点A （a ，0），点B 坐标为（0，b ）（b ＞0），动点M 是y 轴正半轴上B 点上方的点，动点N 在射线AP 上，过点B 作AB 的垂线，交射线AP 于点D ，交直线MN 于点Q ，连结AQ ，点C 为AQ 的中点． （1）如图2，连结BP ，求△P AB 的面积；（2）当点Q 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为23，求此时P 点的坐标；（3）当点Q 在射线BD 上时，且a ＝3，b ＝1，若以点B ，C ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长． 解：（1）S △P AB ＝S △P AO（2）如图1∴BQ ＝BC ＝NQ ，∠∵AB ⊥BQ ，C 为AQ ∴∠BQC ＝60°，∴∠在△ABQ 和△ANQ 中⎩⎪⎨⎪⎧BQ ＝NQ∠BQA ＝∠NQA QA ＝QA∴△ABQ ≌△ANQ ∴∠BAQ ＝∠NAQ ＝30°，∴∠BAO ＝30°∵S 菱形BCNQ ＝23，∴BQ ＝2 ∴AB ＝3BQ ＝23，∴OA ＝32AB ＝3 又∵P 点在反比例函数y ＝6x的图像上∴P 点坐标为（3，2）（3）∵a ＝3，b ＝1，∴A （3，0），B （0，1） ∴OA ＝3，OB ＝1，∴AB ＝10 ∵△AOB ∽△DBA ，∴OB AB ＝OA BD∴BD ＝310①如图2，当点Q 在线段BD 上时 ∵AB ⊥BD ，C 为AQ 的中点 ∴BC ＝12AQ∵四边形BQNC 是平行四边形 ∴QN ＝BC ，CN ＝BQ ，CN ∥BD图1图2图1∴CN QD ＝AC AQ ＝12∴BQ ＝CN ＝13BD ＝10∴AQ ＝2BQ ＝2 5 ∴C □BQNC ＝210＋2 5②如图3，当点Q 在线段BD 的延长线上时 ∵AB ⊥BD ，C 为AQ 的中点 ∴BC ＝CQ ＝12AQ∴平行四边形BNQC 是菱形，BN ＝CQ ，BN ∥CQ ∴BN QD ＝BN AQ ＝12，∴BQ ＝3BD ＝910 ∴AQ ＝AB 2＋BQ 2＝(10)2＋(910)2＝2205 ∴C □BQNC ＝2AQ ＝4205（浙江模拟）如图，直线y ＝12x ＋2与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝kx （x ＞0）的图象交于点B ，BC ⊥x 轴于C 点，且S △ABC ＝9．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 是反比例函数图象上的一动点，且位于直线BC 的右侧，过P 点作y 轴的平行线，交直线AB 于点M ，交x 轴于点N ．①当∠BPM ＝∠CPN 时，求P 点坐标；②是否存在点P ，使△BPM 与△BPC 全等？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由； ②当△BPM 是等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．解：（1）∵y ∴x ＝－4，∴设B （m ，12m ＋4 ∵S △ABC ＝9解得m 1＝－10（舍去），m 2＝2∴B （2，3），∴k ＝2×3＝6 ∴反比例函数的解析式为y ＝6x（2）①过点P 作PD ⊥BC 于点D ∵BC ⊥x 轴，MN ∥y 轴，∴BC ∥MN ∴PD ⊥MN∴∠BPM ＋∠BPD ＝90°，∠CPN ＋∠CPD ＝90° ∵∠BPM ＝∠CPN ，∴∠BPD ＝∠CPD ∴△BPD ≌△CPD ，∴BD ＝CD ∴D （2，32）当y ＝32时，32＝6x，解得x ＝4图3∴P （4，32）②当CP ∥BM 时，四边形BCPM 是平行四边形 此时△BPM ≌△BPC设直线CP 的解析式为y ＝12x ＋b ，把C （2，0）代入，得：0＝12×2＋b ，解得b ＝－1，∴y ＝12x －1 令12x －1＝6x ，解得x 1＝1＋13，x 2＝1－13（舍去） ∴P （13＋1，13－12） 当BM ＝BC 时，可求PM ≠PC 此时△BPM 与△BPC 不全等 同理，当PM ＝PC 时，BM ≠BC 此时△BPM 与△BPC 也不全等③P 1（4，32），P 2（35＋32，5－1），P 3（6，1）提示：如图所示，有三种情况减小，求t 的最大值；（3）记二次函数y ＝a (x ＋m )2＋4图象的顶点为B ，以AB 为边作矩形ABCD ，边CD 与反比例函数y 解：（1）∵y ＝12x 2＋2x ＋n ＝12(x ＋2)2＋n －2，∴顶点坐标为（－2，n －2）∴a ＝12，m ＝2＋1＝3，n －2＝4，∴n ＝6∴y ＝12(x ＋3)2＋4把x ＝1，y ＝n 代入y ＝12(x ＋3)2＋4，得n ＝12(1＋3)2＋4＝12 把x ＝1，y ＝12代入y ＝kx得k ＝12（2）∵反比例函数y ＝12x在图象所在的每一象限内，y 随着x 的增大而减小而二次函数y ＝12(x ＋3)2＋4的对称轴为直线x ＝－3要使二次函数y ＝12(x ＋3)2＋4在直线x ＝t 的一侧都是y 随着x 的增大而减小必须x ≤－3∴t 的最大值为－3（3）过A 作直线l ∥x 轴，作DF ⊥l 于F ，BE ⊥l 于E ∵B （－3，4），A （1，12），∴AE ＝4，BE ＝8 ∵BE ⊥l ，∴AB ＝AE 2＋BE 2＝42＋82＝4 5 ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90° ∴∠EAB ＋∠F AD ＝90°∵BE ⊥l 于E ，∴∠EAB ＋∠EBA ＝90° ∴∠F AD ＝∠EBA ，∴Rt △EBA ∽Rt △F AD ∴AF BE ＝DF AE ＝AD ABAD ＝ 5 ＝1 ∴点D 的坐标为（3，11） 同理可求点C （－1，3）（江苏泰州）如图，在平面直角坐标系xO y 中，直线y ＝x －2与y 轴相交于点A ，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B （m ，2）． （1）求该反比例函数的关系式；（2）将直线y ＝x －2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C ，且△ABC 的面积为18，求平移后的直线的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在线段AC 上存在一点P ，使△APB ∽△ABC ，求点P 的坐标．解：（1）∵点B （m ，2）在直线y ＝x －2上 ∴2＝m －2，m ＝4，∴点B （4，2） 设反比例函数的关系式为y ＝kx∵点B （4，2）在反比例函数的图象上 ∴k ＝4×2＝8 ∴y ＝8x（2）作BD ⊥y 轴于D ，CE ⊥y 轴于E 设C 点坐标为（x ，8x）∴S △ABC ＝S 梯形BDEC ＋S △ABD －S △ACE＝12(x ＋4)(8x －2)＋12×4×4－12x (8x ＋2) ＝16x－2x ＋4 ∵S △ABC ＝18，∴16x－2x ＋4＝18即x 2＋7x －8＝0，解得x 1＝－8（舍去），x 2＝1∴C 点坐标为（1，8）设平移后的直线的函数关系式为y ＝x ＋b ，把C （1，8）代入 得8＝1＋b ，∴b ＝7∴平移后的直线的函数关系式为y ＝x ＋7 （3）设直线AC 的函数关系式为y ＝tx ＋n 把A （0，－2），C （1，8）代入得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2t ＋n ＝8 解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝10n ＝－2∴y ＝10x －2 设P （x ，10x －2），∴AP 2＝x 2＋(10x －2＋2)2＝101x 2 ∵△APB ∽△ABC ，∴AP 2AB 2＝AB 2AC2而AB 2＝2×42＝32，AC 2＝12＋(8＋2)2＝101 ∴101x 232＝32101，解得x ＝32101（舍去负值） ∴点P 的坐标为（32101，118101）（江苏连云港）如图，已知一次函数y ＝2x ＋2的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝k 1x 的图象的一个交点为A （1，m ）．过点B 作AB 的垂线BD ，与反比例函数y ＝k 2x （x ＞0）的图象交于点D（n ，－2）．（1）求k 1和k 2的值； （2）若直线AB 、BD 分别交x 轴于点C 、E ，试问在y 轴上是否存在一点F ，使得△BDF ∽△ACE ．若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）∵点A （1，m ）在直线上y ＝2x ＋2∴m ＝4，即A （1，4）将A 点坐标代入y ＝k 1x中得k 1＝4过点A 、D 分别作y 轴的垂线，垂足分别为点M 、N ∵AB ⊥BD ，∴△ABM ∽△BDN ∴AM BN ＝BM DN ，即14＝2DN ∴DN ＝8，∴D （8，－2）将D 点坐标代入y ＝k 2x 中得k 2＝－16（2）存在符合条件的点F ，F （0，－8） 由y ＝2x ＋2，解得C （－1，0）∵OB ＝ON ＝2，DN ＝8，∴以OE ＝4易知AE ＝5，CE ＝5，AC ＝25，BD ＝45，∠EBO ＝∠ACE ＝∠CAE 若△BDF ∽△ACE ，则BD AC ＝BF AE ，即4525＝BF5∴BF ＝10，∴F （0，－8）（江苏镇江）我们知道：一次函数y ＝x －1的图象可以由正比例函数y ＝x 的图象向右平移1个单位长度得到，类似地，函数y ＝k x ＋2（k ≠0）的图象是由反比例函数y＝kx （k ≠0）的图象向左平移2个单位长度得到．运用这一知识解决下列问题．如图，已知反比例函数y ＝4x 的图象C 与正比例函数y ＝ax （a ≠0）的图象l 相交于点A （2，2）和点B ．（1）写出点B 的坐标，并求a 的值；（2）将函数y ＝4x 的图象和直线AB 同时向右平移n （n ＞0）个单位长度，得到的图象分别记为C ′和l ′，已知图象C ′经过点M （2，4）． ①求n 的值；②分别写出平移后的两个图象C ′和l ′对应的函数关系式； ③直接写出不等式4x －1≤ax －1的解集．解：（1）B （－2，－2）正比例函数y ＝ax 经过（2，2），则a ＝1（2）①∵函数y ＝4x 的图象向右平移n （n ＞0则设图象C ′对应的函数关系式：y ＝4x －n ，经过点M （2∴4＝42－n，∴n ＝1②图象像C ′对应的函数关系式：y ＝4x －1图象l ′对应的函数关系式：y ＝x －1 ③x ≥3或－1≤x ＜1（山东济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y ＝12x （x ＞0）图象上的任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A 、B ． （1）求证：线段AB 为⊙P 的直径； （2）求△AOB 的面积；（3）如图2，Q 是反比例函数y ＝12x （x ＞0）图象上异于点P 的另一点，以Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点C 、D ，连接AD 、CB ．求证：AD ∥CB ．（1）证明：∵点O 在⊙P ∴线段AB 为⊙P 的直径 （2）过点P 作PE ⊥x 轴，由题意可知PE 、PF 是△∴S △AOB ＝12OB ·OA ＝12×2PE ∵P 是反比例函数y ＝12x（x ∴PE ·PF ＝12∴S △AOB ＝2PE ·PF ＝24图1（3）连接CD由（1）知，线段CD 为⊙P 的直径∴点Q 在线段CD 上，且S △COD ＝S △AOB ＝24 ∴DO ·OC ＝BO ·OA ，即OA OC ＝ODOB又∵∠AOD ＝∠COB ，∴△AOD ∽△COB ∴∠OAD ＝∠OCB ，∴AD ∥CB（甘肃兰州）已知反比例函数y ＝23x 的图象与一次函数y ＝x ＋b （b ＞0）的图象交于A 、B 两点，连接OA 、OB ． （1）当∠AOB ＝150°时，求b 的值；（2）当线段AB 被坐标轴截成相等的三段时，求△AOB 的面积． 解：（1）过A 作AC ⊥y 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x y ＝x ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－b ＋b 2＋832y 1＝b ＋b 2＋832⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－b －b 2＋832y 1＝b －b 2＋832∴AC ＝BD ，OC ＝OD∴△AOC ≌△BOD ，∴∠AOC ＝∠BOD ∵∠AOB ＝150°，∠COD ＝90°，∴∠AOC ＝30° 设AC ＝a ，则OC ＝3a ，∴A （a ，3a ） ∵A （a ，3a ）在反比例函数y ＝23x 的图象上∴3a ＝23a ，∴a ＝2或a ＝－2（舍去）∴OC ＝3a ＝ 6设直线AB 交坐标轴于E 、F 两点 则E （0，b ），F （b ，0），∴OE ＝OF ＝b ∴△OEF 是等腰直角三角形 ∴△ACE 是等腰直角三角形 ∴CE ＝AC ＝ 2 ∴b ＝6－ 2（2）由题意，AE ＝EF ＝BF ∴OE ＝CE ＝AC ，∴OC ＝2AC ∴2a ＝23a，∴a 2＝ 3∴S △AOB ＝3S △AOE ＝3×12OE ·AC ＝32a 2＝332（河北模拟）如图，反比例函数y ＝kx （k ＞0）的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象交于A 、B 两点（点A 在第一象限，点B 在第三象限），已知点C （1，－1），且AC ∥y 轴． （1）求证：△ABC 是等腰直角三角形；（2）若AB ＝32，求k 、b 的值；（3）在（2）的条件下，P 是坐标轴上一点，满足∠APB ＝45°，直接写出点P 的坐标．（1）令x ＋b ＝kx ，得x 2＋bx －k ＝0解得x 1＝－b ＋b 2＋4k2，x 2＝－b －b 2＋4k2∴A （－b ＋b 2＋4k2，b ＋b 2＋4k 2），B （－b －b 2＋4k 2，b －b 2＋4k2∵C （1，－1），AC ∥y 轴，∴点A 的横坐标为1∴－b ＋b 2＋4k2＝1，∴b ＝k －1∴A （1，k ），B （－k ，－1），∴AC＝k ＋1 ∵点B 的纵坐标为－1，点C 的纵坐标为－1 ∴BC ∥x 轴，∴∠ACB ＝90° ∴BC ＝k ＋1，∴AC ＝BC ∴△ABC 是等腰直角三角形（2）∵A （1，k ），B （－k ，－1），AB ＝3 2 ∴(1＋k)2＋(k ＋1)2＝(32)2 解得k 1＝2，k 2＝－4（舍去） ∴k ＝2，b ＝k －1＝1（3）P 1（1＋22，0），P 2（0，－1－22）， P 3（－2－5，0），P 4（0，2＋5） 提示：构造辅助圆，构造全等（江西、江西南昌）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y 限内，AD ∥x 轴，AB ＝2，AD ＝4，点A 的坐标为（2，6）形记为A ′B ′C ′D ′，在平移过程中，矩形A ′B ′C ′D ′有两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的解析式；（2）若矩形以每秒1个单位的速度向下平移，矩形的两条边分别与反比例函数的图象交于E 、F 两点，矩形被直线EF 分为上、下两部分，记下部分的面积为S ，矩形平移的时间为t ，当1＜t ＜5时，求S 关于t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当E 、F 两点分别在边A ′B ′、B ′C ′上时，将△B ′EF 沿直线EF 翻折，使点B ′落在边A ′D ′上，求此时直线EF 的解析式．解：（1）显然，平移后A ′、设平移距离为a ∵点A ′，C ′∴2(6－a )＝6(4－a （2）当1＜t ≤3时设边A ′B ′、B ′C ′分别与反比例函数的图象交于E 、F 两点 由题意得：E （2，3），F （64－t，4－t ）yB ′E ＝t －1，B ′F ＝64－t－2＝2t －24－t∴S ＝S △B ′EF ＝12(t －1)(2t －24－t )＝(t －1)24－t当3＜t ＜5时设边A ′D ′、C ′D ′分别与反比例函数的图象交于E 、F 两点 由题意得：E （66－t ，6－t ），F （6，1）D ′E ＝6－66－t ＝30－6t 6－t ，D ′F ＝6－t －1＝5－t ∴S ＝S 矩形A ′B ′C ′D ′－S △D ′EF ＝2×4－12(5－t )(30－6t 6－t )＝－3t 2＋22t －276－t综上，当1＜t ＜5时，S 关于t 的函数关系式为：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧(t －1)24－t（1＜t ≤3）－3t 2＋22t －276－t （3＜t ＜5）（3）设点B ′落在边A ′D ′上点B ′′处 由题意得：E （2，3），F （64－t ，4－t ）B ′E ＝B ′′E ＝t －1，B ′F ＝B ′′F ＝64－t －2＝2t －24－tA ′E ＝2－(t －1)＝3－t ，A ′B ′′＝(t －1)2－(3－t )2＝4t －8过F 作FH ⊥A ′D ′于H ，则FH ＝AB ＝2易证△A ′EB ′′∽△HB ′′F ，∴A ′B ′′B ′′E ＝HFB ′′F∴4t －8t －1＝22t －24－t，整理得：t 2－12t ＋24＝0 解得t 1＝6＋23（舍去），t 1＝6－2 3 ∴F （33＋32，23－2）设此时直线EF 的解析式为y ＝mx ＋n∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝333＋32m ＋n ＝23－2 解得⎩⎨⎧m ＝1－3n ＝1＋23∴此时直线EF 的解析式为y ＝(1－3)x ＋1＋2 3（青海西宁）如图，正方形OABC 在平面直角坐标系xO y 中，O 为坐标原点，反比例函数y ＝kx （x＞0）的图象经过正方形OABC 的对称中心D ，分别与AB 、BC 边交于点E 、F ，四边形OEBF 的面积为12．（1）求反比例函数y ＝kx的关系式；（2）若动点M 从A 开始沿AO 向O 以每秒1个单位的速度运动，同时动点N 从C 开始沿CB 向B 以每秒3个单位的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为t （秒），点B 关于直线MN 的对称点为B ′．①从运动开始到t ＝1这一过程中，求点B ′所经过的路径的长； ②当点B ′落在正方形OABC 内部时，直接写出t 的取值范围．解：（1∴D （k ，k ）∵S 四边形OEBF ＝S ∴(2k )2－12k －12k （2）①设MN 与∵AM ∥CN ，∴AG CG ＝AM CN ＝t 3t ＝13∴MN 过定点G∴点B ′所经过的路径是以G 为圆心，BG ∵k ＝4，∴B （4，4），∴正方形OABC 的边长为4 ∴BG ＝12＋32＝10当t ＝0时，点B ′与点O 重合当t ＝1时，AM ＝1，BN ＝4－3＝1 ∴AM ＝BN ，∴四边形AMNB 是矩形 ∴MN ⊥BC ，∴点B ′落在BC 上 易证∠1＝∠2＝∠3＝∠4 ∵∠1＋∠MGO ＝90°，∴∠4＋∠MGO ＝90° ∴∠OGB ′＝90° ∴点B ′所经过的路径长为：2π×10×90360＝102π②12＜t ＜1 提示：当点B ′落在OC 上时，连接BM 、B ′M 则B ′M ＝BM ，B ′N ＝BN∴B ′M 2＝BM 2＝t 2＋16，B ′N 2＝BN 2＝(4－3t )2 ∴OB ′2＝B ′M 2－OM 2＝t 2＋16－(4－t )2＝8t B ′C 2＝B ′N 2－CN 2＝(4－3t )2－(3t )2＝16－24t ∴OB ′＝22t ，B ′C ＝24－6t∴22t ＋24－6t ＝4，即2t ＋4－6t ＝2 解得t ＝0（舍去）或t ＝12由①知，当t ＝1时，点B ′落在BC 上 ∵点B ′落在正方形OABC 内部，∴12＜t ＜1（湖北模拟）已知双曲线y ＝4x 与直线y ＝14x 交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）如图1，点P 是第一象限内双曲线上一动点，BC ⊥AP 于C ，交x 轴于F ，P A 交y 轴于E ，求AE 2＋BF 2EF 2的值；（3）如图2，点M 为双曲线上一点，G （－1，0），将线段GM 绕点M 顺时针旋转90°，点G 恰好落在y 轴上的点N 处，将△MGN 绕平面内某点O ′旋转180°后得△QRS （点M 、G 、N 分别与点Q 、R 、S 对应），Q 、S 两点恰好落在双曲线上，求点O ′的坐标．解：（1）由⎩⎨⎧y ＝4x y ＝14x∵点A 在点B（2）过A 作AG ⊥设FH ＝a ，则OF设直线AC 与x ∵AC ⊥C F ，∴∠CFK ＋∠CKF ＝∠CFK ＋∠HBF ＝90°∴∠CKF ＝∠HBF∵∠GAE ＝∠CKF ，∴∠GAE ＝∠HBF ∴Rt △AEG ∽Rt △BFH ，∴AE BF ＝EG FH ＝AG BH＝4 ∴AE 2＝16BF 2＝16(a 2＋1)，EG ＝4FH ＝4a ，OE ＝|4a －1| ∴EF 2＝(4a －1)2＋(4＋a )2＝17(a 2＋1)∴AE 2＋BF 2EF 2＝17(a 2＋1)17(a 2＋1)＝1（3）①当点M 在第三象限时过M 作MD ⊥x 轴于D ，作ML ⊥y 轴于L易证△MDG ≌△MLN ，∴MD ＝ML ，DG ＝LN ∴M （－2，－2），N （0，－3） 设O ′（m ，n ），则S （2m ，2n ＋3），Q （2m ＋2，2n ＋2） ∵Q 、S 两点在双曲线y ＝4x上∴⎩⎪⎨⎪⎧2m (2n ＋3)＝4(2m ＋2)(2n ＋2)＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝－2n 1＝－2（舍去） ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝1n 2＝－12∴O 1′（1，－12）②当点M 在第一象限时，同理可得M （2，2），N （0，5） 设O ′（m ，n ），则S （2m ，2n －5），Q （2m －2，2n －2） ∵Q 、S 两点在双曲线y ＝4x上∴⎩⎪⎨⎪⎧2m (2n －5)＝4(2m －2)(2n －2)＝4解得⎩⎪⎨⎪⎧m 3＝3－336n 3＝7－334⎩⎪⎨⎪⎧m 4＝3＋336n 4＝7＋334∴O 2′（3－336，7－334），O 3′（3＋336，7＋334）（湖北模拟）如图，直线y ＝2x ＋4与x 轴交于点E ，与y 轴交于点A 图1限上的一点，以AD 为边，在第一象限内做正方形ABCD ． （1）若AD ＝AE ，求点B 的坐标；（2）若B、D 两点在反比例函数y ＝kx的图象上，求该反比例函数的解析式；（3）经过D 、C 、E 三点作⊙P ，过点C 作CQ ⊥AC 交⊙P 于Q ，当D 点在EA 延长线上运动时，CQ 的长度是否发生变化？若不变，请你证明并求出其值；若变化，请说明理由，并指出其变化范围解：在y ∴A ∴OA ∵AD ∵∠∴Rt ∴AH ＝EO ＝2，BH ＝AO ＝4 ∴B （4，2）（2）设D （m ，2m ＋4），则B （2m ，4－∴m (2m ＋4)＝2m (4－m )，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝1∴D （1，6）∴反比例函数解析式为y ＝6x（3）CQ 的长度不变延长CA 交⊙P 于F ，连接EF 、EC 、EQ ∵∠EDC ＝90°，∴EC 是⊙P 的直径 ∴∠EFC ＝∠EQC ＝90°又∵CQ ⊥AC ，∴四边形EFCQ 是矩形，∴CQ ＝EF在Rt △AEF 中，∠F AE ＝∠DAC ＝45°，AE ＝OA 2＋OE 2＝25 ∴CQ ＝EF ＝22AE ＝10 （湖北模拟）如图1，直线y ＝－x ＋4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，交双曲线y ＝kx （x ＜0）于点N ，S △OBN ＝10．（1）求双曲线的解析式；（2）如图2，平移直线BC 交双曲线于点P ，交直线y ＝－2于点Q ，若∠CPQ ＝∠BQP ，求平移后的直线PQ 的解析式； （3）如图3，已知A （2，0），点M 为双曲线上一点，CE ⊥OM 于E ，AF ⊥OM 于F ，设梯形ACEF 的面积为S ，若AF ·EF ＝23S ，求点M 的坐标．解：（1∴B （0，设N （x ∴12×4×4图1∴N （－1，5），∴k ＝(－1)×5＝－5 ∴双曲线的解析式为y ＝－5x（2）∵直线PQ 由直线BC 平移得到，∴PQ ∥BC∵∠CPQ ＝∠BQP ，∴四边形BCPQ 是等腰梯形或矩形 ∴CP ＝BQ作PE ⊥y 轴于E ，作QF ⊥x 轴于F 则∠PEC ＝∠QFB ＝90°∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC∵∠CPQ ＝∠BQP ，∴∠PCB ＝∠QBC ∴∠PCE ＝∠QBF ，∴△PCE ≌△QBF ∴PE ＝QF ＝2，∴点P 的横坐标为－2 ∴P （－2，52）∵PQ ∥BC ，∴设直线PQ 的解析式为y ＝－x ＋b 把P （－2，52）代入得：52＝2＋b ，∴b ＝12∴平移后的直线PQ 的解析式为y ＝－x ＋12（3）作AG ⊥CE 于G ，交OC 于H ，作FI ⊥OA 于I ，连接EH ∵CE ⊥EF ，AF ⊥EF ，∴四边形AFEG 是矩形 ∴∠GAF ＝90°，AF ＝EG ∵S ＝12(AF ＋CE )·EF ，AF ·EF ＝23S∴AF ·EF ＝13(AF ＋CE )·EF ＝13AF ·EF ＋13CE ·EF∴23AF ＝13CE ，∴CE ＝2AF ＝2EG ∴CG ＝EG∵GH ⊥CE ，∴CH ＝EH ，∴∠CEH ＝∠ECH ∵∠HEO ＋∠CEH ＝∠EOH ＋∠ECH ＝90° ∴∠HEO ＝∠EOH ，∴OH ＝EH ＝CH ＝12OC ＝2∵A （2，0），∴OA ＝2＝OH ∴∠HAO ＝45°，∴∠OAF ＝45° ∴OI ＝IF ＝1，∴F （1，－1） 设直线EF 的解析式为y ＝kx ∴k ＝－1，∴y ＝x联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝－5x 解得⎩⎨⎧x 1＝5y 1＝－5（舍去）⎩⎨⎧x 2＝－5y 2＝5 ∴点M 的坐标为（－5，5）（湖北模拟）如图1，一次函数y ＝－3x ＋b 与反比例函数y ＝3x（x ＞0）的图象交于点A 、B ，与x 轴、y 轴交于点C 、D ．（1）当0≤AB ＜2时，求b 的取值范围；图22图3（2）当AB ＝BC 时，求b 的值；（3）如图2，当b ＝23时，连接OA ，将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OP ，以点P 为顶点作∠MPN ＝60°，分别交直线CD 和x 轴负半轴于M 、N ．求证：PM 平分∠AMN ．解：（1）令－3x 设A （x 1，y 1），B过A 作AE ∥yE 则tan ∠ABE ＝AE BE ＝∴∠ABE ＝60°，∴当AB ＝0时，点A 与点B 重合，∴x 1＝x 2＝1∴2＝b3，∴b ＝2 3当AB ＝2时，BE ＝1，∴BE 2＝1 ∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1∴(b 3)2－4＝1，解得b ＝15（舍去负值）∴0≤AB ＜2时，23≤b ＜15（2）作AG ⊥y 轴于G ，BH ⊥x 轴于H∵一次函数y ＝－3x ＋b 的图象与x 轴、y 轴交于点C 、D∴OD ＝b ，OC ＝b3∴AD ＝3AG ＝3x 1，BC ＝3HC ＝3(b3－x 2)＝b －3x 2 ∵x 1＋x 2＝b3，∴AD －BC ＝3x 1＋3x 2－b ＝0 ∴AD ＝BC∵AB ＝BC ，∴AD ＝AB ＝BC∴AB ＝13CD ，∴BE ＝13OC ，∴BE 2＝19OC 2＝127b 2∴(b 3)2－4＝127b 2，解得b ＝362（舍去负值） （3）延长AO 、PN 交于点F ∵OA ＝OP ，∠AOP ＝60°∴△AOP 为等边三角形，∴AP ＝OP ，∠OP A ＝60° ∵∠MPN ＝60°，∴∠MP A ＝∠FPO 由（1）知，当b ＝23时，点A 与点B 重合，x 1＝x 2＝1 ∴A （1，3），P （－1，3），∴∠P AM ＝120°＝∠FPO ∴△APM ≌△OPF ，∴PM ＝PF ，∠AMP ＝∠F∵∠GP A ＝∠NPO ，AP ＝OP ，∠P AG ＝∠PON ＝60° △APG ≌△OPN ，∴PG ＝PN∵PM ＝PF ，∠MPN ＝∠FPG ，PN ＝PG ∴△PMN ≌△PFG ，∴∠PMN ＝∠F图1∴∠AMP ＝∠PMN ，即PM 平分∠AMN（湖北模拟）如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足a ＋1＋(a ＋b ＋3)2＝0，□ABCD 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝kx 经过C 、D 两点．（1）求k 的值；（2）如图2，点P 在双曲线y ＝kx 上，点Q 在y 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 、Q 的坐标；（3）如图3，以线段AB 为对角线作正方形AFBH ，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MNHT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．（∴∴∵设∵∴∴k ＝1×4＝4（2）由（1∵点P 在双曲线y ＝4x 上，点Q 在y ∴设P （x ，4x），Q （0，y ）①当AB 为边时若四边形ABPQ 为平行四边形 则PQ ∥AB ，∴点P 的横坐标为1 ∴P 1（1，4），Q 1（0，6） 若四边形ABQP 为平行四边形则AP ∥BQ ，∴点P 的横坐标为－∴P 2（－1，－4），Q 2（0，－6） ②当AB 为对角线时则AP ∥BQ 且AP ＝BQ ， ∴点P 的横坐标为1 ∴P 3（－1，－4），Q 3（0，2） （3）连接NH 、NT 、NF∵MN 是线段HT ∵四边形AFBH 是正方形图1∴BF ＝BH ，∠NBF ＝∠NBH ， 又BN ＝BN ，∴△BFN ≌△BHN ∴NF ＝NH ，∴NH ＝NT ＝NF ∴∠NTF ＝∠NFT ＝∠AHN ∴∠TNH ＝∠TAH ＝90° ∴MN HT ＝12（湖北模拟）如图，点A 在反比例函数y ＝k 1x （k ＜0，x ＜0）图象上，点B 在反比例函数y ＝k 2x （k＞0，x ＞0）图象上，△AOB 是等腰直角三角形，OA ＝OB ＝2，AB 交y 轴于C ，∠AOC ＝60°． （1）将△AOC 沿y 轴折叠得△DOC ，试判断点D 是否存在y ＝k 2x 的图象上，并说明理由；（2）连接BD ，求四边形BCOD 的面积；（3）将直线OB 向上平移，分别交y ＝k 1x 于E ，交y ＝k 2x 于F ．问：是否存在某一位置使EF ＝2？若存在，求E 、F 两点的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）点D 在y ＝k 2x 的图象上，理由如下：作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥y 轴于F ∵∠COE ＝90°，∠AOC ＝60°，∴∠AOE ＝30° ∵OA ＝2，∴AE ＝1，OE ＝ 3 ∴A （－3，1），∴k 1＝－ 3∵△AOB 是等腰直角三角形，OA ＝OB ∴∠AOB ＝90°，∴∠BOF ＝30° ∴BF ＝1，OF ＝ 3 ∴B （1，3），∴k 2＝ 3 ∴y ＝3x由题意，A 、D 两点关于y 轴对称，∴D （3，1） 当x ＝3时，y ＝1 ∴点D 在y ＝3x的图象上 （2）过B 作BG ⊥OD 于G 由题意，∠DOC ＝∠AOC ＝60° ∵∠BO F ＝30°，∴∠BOD ＝30° ∴OB 平分∠DOF ，∴BF ＝BG ∴S △BOF ＝S △BOG ∵∠BOF ＝30°，∠ABO ＝45°，∴∠BCF ＝75° ∵OA ＝O B ，OA ＝OD ，∴OB ＝OD ∴∠BDG ＝75°，∴∠BCF ＝∠BDG ∴△BCF ≌△BDG ，∴S △BCF ＝S △BDG ∴S 四边形BCOD ＝2S △BOF ＝2×12×3×1＝ 3（3）∵点E 在反比例函数y ＝－3x的图象上∴设E （a ，－3a）（a ＜0） 由题意，EF ∥OB ，又EF ＝2＝OB ∴四边形OBFE 是平行四边形∵O （0，0），B （1，3），∴F （a ＋1，－3a＋3） ∵点F 在反比例函数y ＝3x的图象上 ∴(a ＋1)(－3a＋3)＝3，即a 2－a －1＝0 解得a 1＝1＋52（舍去），a 2＝1－52∴E （1－52，15＋32），F （3－52，15＋332）（湖北模拟）如图1，直线y ＝3x ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以AB 为直角边作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，双曲线y ＝kx经过点C ．（1）求双曲线的解析式；（2）如图2，点P 为第四象限双曲线上一点，连接BP 交x 轴点E ，点Q （m ，n ）为线段AB 上一动点，过Q 作QD ⊥BP 于D ，若QD ＝t ，问是否存在点P ，使n ＋t ＝3？若存在，求点P 的坐标；（1）过C 作CH ⊥由y ＝3x ＋3得：A∴OA ＝1，OB ＝3 ∵∠BAC＝90°∵∠ABO ＋∠BAO 又∵AC ＝AB ，∠∴△ACH ≌△BAO ∴OH ＝OA ＋AH ＝4∴k ＝－4×1＝－4∴双曲线的解析式为y ＝－4x（2）过Q 作QM ⊥x 轴于M ，QN ⊥y 轴于N 则四边形OMQN 为矩形，∴n ＝QM ＝ON ∵QD ＝t ，n ＋t ＝3，OB ＝3，∴ON ＋QD ＝OB ∵ON ＋BN ＝OB ，∴QD ＝BN ∵∠BNQ ＝∠QDB ＝90°，BQ ＝BQ ∴△BQN ≌△QBD ，∴∠BQN ＝∠QBD ∵QN ∥OA ，∴∠BQN ＝∠BAO ∴∠QBD ＝∠BAO ，∴AE ＝BE 设OE ＝x ，则BE ＝AE ＝x ＋1 在Rt △BOE 中，x 2＋32＝(x ＋1)2 解得x ＝4，∴E （4，0）设直线BP 的解析式为y ＝kx ＋3 ∴0＝4k ＋3，∴k ＝－34，∴y ＝－34x ＋3图1令－34x ＋3＝－4x ，解得x 1＝6－2213（舍去），x 1＝6＋2213∴存在满足条件的点P ，点P 的坐标为（6＋2213，3－212）（湖北模拟）如图，正方形ABCD 的边长为17，顶点A 、B 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，顶点C 在反比例函数y ＝kx （k ＞0，x ＞0）图象上，连接OD 交双曲线于点E ，且E 是OD 的中点．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M 、N 分别在边AB 、CD 上，将正方形ABCD 沿直线MN 翻折，使点D 落在x 轴上的点D ′（3，0）处，求直线MN 的解析式；（3）若点P 、Q 在正方形ABCD 的边上，将正方形ABCD 沿直线PQ 翻折，使点D 始终落在x 轴上，设直线PQ 的解析式为y ＝mx ＋n ，直接写出m 的取值范围．（2）S ＝⎩⎨4－1t －1t －2（t ＞52）（3）当2≤t ≤52时，DE ＜2，DF ≤2S ＝12DE ·DF ＜2 当t ＞52时，由4－1t －1t －2＝2，解得t ＝3＋52或t ＝3－52（舍去）∴t ＝3＋52（四川模拟）已知：在平面直角坐标系xO y 中，直线y ＝x －4k 与双曲线y ＝16kx 在第一象限的交点为A ，且OA ＝43．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）点D 在双曲线y ＝16kx 第一象限的图象上，且点D 到直线y ＝x －4k 的距离为52，求点D 的坐标；（3）过A 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为B 、C ，过原点作直线l 与直线y ＝x －4k 平行，直线l 交BC 于E ，过E 作直线m 分别交x 轴正半轴、y 轴正半轴于M 、N ．试探究1OM ＋1ON 是否为定值，并写出探究过程． 解：（1）设A （a ，b ）∵点A 是直线y ＝x －4k 与双曲线y ＝16kx 在第一象限的交点∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －4k b ＝16k a ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝4k ab ＝16k∴a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ＝16k 2＋32k∵OA ＝43，∴OA 2＝48∴16k 2＋32k ＝48，即k 2＋2k －3＝0 解得k 1＝－3（舍去），k 2＝1 ∴k ＝1∴直线的解析式为y ＝x －4，双曲线的解析式为y ＝16x（2）∵点D 到直线y ＝x －4的距离为5 2∴点D 在与直线y ＝x －4平行且相距52的两条平行直线l 1和l 2上由平行线的性质可知，l 1和l 2与y 轴的交点到直线y ＝x －4的距离也为5 2 设直线y ＝x －4与x 轴交于点F ，与y 轴交于点G l 1与y 轴交于点P ，过P 作PQ ⊥直线FG 于Q 则OF ＝OG ＝4，∴∠OFG ＝∠OGF ＝45°在Rt △PQG 中，PQ ＝52，∠PGQ ＝45° ∴PG ＝2PQ ＝10，∴P （0，6）同理可求得：直线l 2与y 轴的交点坐标为R （0，－14） ∴l 1：y ＝x ＋6；l 2：y ＝x －14解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋6y ＝16x得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2y 1＝8⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－8y 2＝－2（舍去） 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －14y ＝16x 得⎩⎨⎧x 1＝7＋65y 1＝65－7⎩⎨⎧x 2＝7－65y 2＝－7－65（舍去） ∴D 1（2，8），D 2（65＋7，65－7）（3）过E 作EG ⊥OB 于G ，EH ⊥OB 于H ∵直线l 过原点且与直线y ＝x －4平行 ∴直线l 的解析式为y ＝x ，∴EG ＝EH 设EG ＝EH ＝h则S △OMN ＝12OM ·ON ＝12OM ·h ＋12ON ·h∴1OM ＋1ON ＝OM ＋ON OM ·ON ＝1h∵S △OBC ＝12OB ·OC ＝12OB ·h ＋12OC ·h∴1h ＝OB ＋OC OB ·OC ，∴1OM ＋1ON ＝OB ＋OCOB ·OC 设A （a ，b ），由（1）知，a －b ＝4，ab ＝16 ∴a ＋b ＝(a －b )2＋4ab ＝80＝4 5 ∵AB ⊥x 轴，AC ⊥y 轴，∴OB ＝a ，OC ＝b ∴1OM ＋1ON ＝a ＋b ab ＝4516＝54 ∴1OM ＋1ON 是定值，其值为54。
123--2013年全国中考数学压轴题解析汇编(3)及答案(粤闽桂海川滇黔省会)
【2013·广州·24题】已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.（1）当OC=时，求证：CD是⊙O的切线；（2）当OC＞CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE.①当D为CE中点时，求△ACE的周长；②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE·ED的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）连接OD。
∵AB是⊙O的直径，AB=4∴OA=OB=OD=2 ∴OD2=4∵OA=CD∴CD=2 ∴CD2=4∵OC=∴OC2=8∵OC2=OD2+CD2∴△ODC是直角三角形，且∠ODC=90°∴OD⊥CD∴CD是⊙O的切线（2）①连接OE、OD。
∵D为CE的中点∴DE=CD∵CD=OA=2，OA=OD=OE∴DE=OD=OE=2∴△ODE是等边三角形∴∠DOE=∠ODE=60°∵CD=OD=2 ∴∠DOC=∠OCD∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60°∴∠DOC=∠OCD=30°过点D作DF⊥OC于F则OF=CF=OD·cos∠DOC=2∴OC=OF+CF∵∠DOC=30°，∠DOE=60°∴∠AOE=90°∴AE=∴△ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA=+2=②存在四边形AODE为梯形。
由题意知，当OD∥AE时，四边形AODE为梯形。
由对称性知，存在两个这样的梯形，即在AC的上下方各一个。
∵OD∥AE∴∠DOC=∠EAO∵△ODC、△AOE是等腰三角形又OA=OE=OD=CD=2∴△ODC≌△AOE∴OC=AE设OC=AE=m(m＞，则AC=m+2∵OD∥AE∴OD OCAE AC=∴22mm m=+，即m2-2m-4=0解得m11(舍去)∴AE1∵∠DOC=∠EAO=∠OCD∴CE=AE∴ED=CE-CD=AE-CD1-1∴AE·ED11)=4【2013·广州·25题】已知抛物线y 1=2(0,)ax bx c a a c ++≠≠过点A (1,0)，顶点为B ，且抛物线不经过第三象限。
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1 1.1 因动点产生的相似三角形问题 1. （12年苏州）如图1，已知抛物线211(1)444byxbx（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
2.（12 年黄冈市中考模拟）如图 1，已知抛物线：1(2)()yxxmm (m＞0)与 x 轴交于点 B、C，与 y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧． （1）若抛物线 C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使得 BH＋EH 最小，求出点 H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线 C1 上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？ 若存在，求 m 的值；若不存在，请说明理由． 2
3.（11 年上海）直线113yx分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，△AOB 绕点O 按逆
时针方向旋转90°后得到△COD， 抛物线y＝2ax＋bx＋c 经过A、C、D 三点． (1) 写出点A、B、C、D 的坐标； (2) 求经过A、C、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标； (3) 在直线BG 上是否存在点Q，使得以点A、B、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由
4（11 年上海）Rt△ABC 在直角坐标系内的位置如图1 所示，反比例函数Kyx（K在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB 边交于点E（2，n），△BDE 的面积为2． （1）求m 与n 的数量关系；
（2）当tan∠A＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标. 3
5.(10年义乌) 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1） 直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
6. 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线2
2ymxmxn上．
（1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A′，点B 的对应点为B′，若四边形A A′B′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x 轴上找一个点D，使得以点B′、C、D 为顶点的三角形与△ABC 相似.
4
7.( 09年临沂) 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
, 8. 如图1，△ABC 中，AB＝5，AC＝3，cosA＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点
B 重合），作DE//BC 交射线CA 于点E.． (1) 若CE＝x，BD＝y，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的 (2) 当分别以线段BD，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度； (3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
5
1.2 因动点产生的等腰三角形问题 9.( 12 年扬州) 如图1，抛物线2yaxbxc经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M，使△MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10.( 12临沂) 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6
11(11年湖州) 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． （1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值； （3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．
12.( 2011 年盐城) 如图1，已知一次函数y＝－x＋7 与正比例函数43yx的图象交于点A，且与x 轴交于点B． （1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC⊥y 轴于点C，过点B 作直线l//y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O—C—A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交线段BA 或线段AO 于点Q．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 7
13. 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点，点M 以2 个单位长度/秒的速度自C 向A 方向作匀速运动，点N 以5 个单位长度/秒的速度自A向B 方向作匀速运动，MN 交OB 于点P． (1)求证：MN∶NP 为定值； (2)若△BNP 与△MNA 相似，求CM 的长； (3)若△BNP 是等腰三角形，求CM 的长．
14.( 10 年南通) 如图1，在矩形ABCD 中，AB＝m（m 是大于0 的常数），BC＝8，E 为线段BC 上的动点（不与B、C 重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF 与射线BA 交于点F，设CE＝x，BF＝y． （1）求y 关于x 的函数关系式； （2）若m＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
（3）若12ym,要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
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15.( 09 年重庆) 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的 正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D，连结DC，过点D 作DE⊥DC， 交OA 于点E． （1）求过点E、D、C 的抛物线的解析式； （2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F，另一边与
线段OC交于点G．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M，点M 的横坐标为65，那么EF＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ 与AB 的 交点P 与点C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由.
16. （江苏09） 如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点(30)D，和点(04)E，．动点C从点(50)M，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒． （1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、12t个单位长度为半径的C⊙与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB． ①当C⊙与射线DE有公共点时，求的取值范围； ②当PAB△为等腰三角形时，求的值．